电路相量法的加减运算公式
第五章向量法
T
i
O T
t
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHz * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz
电
路
理
论
分
析
（2）相位、初相位、相位差（变化进程）
①相位（ω t+） 确定正弦量瞬时值的电角度，与时间t有关。 ②初相位（ ） t=0时的相位；确定正弦量初始值的电角度。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i R
W RI T
2
W
T
0
Ri (t ) d t
2
电流有效值定义为： 均方根值
电
路
理
论
分
析
I
def
1 T
T
0
i (t )dt
2
同理，电压有效值定义为：
1 T 2 U u ( t ) d t 0 T
def
正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：
A B A e j a B e j B A j ( a b ) A e ( a b ) B B j
几何意义：
模相除 角相减
B
A 1 A/B
电
路
理
论
分
析
例1
解
5 47 10 25 ?
原 式 (3 .41 j3 .657 ) (9 .063 j4 .226 ) 12 .47 j0 .569 12 .48 2 .61
电
路
理
论
《电路基础》第22讲 正弦稳态电路的计算
已知：U=115V , U1=55.4V ,
U2=80V , R1=32 , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
解一： I U1 / R1 55.4 / 32
U
I
(R1 R2 )2 (L)2
U2
I
R22 (L)2
115
55.4
(32 R2 )2 (314L)2 32
80
55.4
i2 0.182 2 cos(314t 20) A
i3 0.57 2 cos(314 t 70) A
14
例4. 已知：IS 490o A , Z1 Z 2 j30Ω
Z3 30Ω , Z 45Ω 求：I.
Z2 I
解： 法一：电源变换
IS
Z1 Z3 Z
Z1
//
Z3
30( j30) 30 j30
∑i (t) = 0 ∀t ∑I= 0
∑u (t) = 0 ∀t ∑U= 0
3. 基本元件VCR（VAR）的相量形式
UR RIR
UR RIR
UL jL IL
U L LIL
UC
1
jC
IC
j
1
C
IC
UC
1
C
IC
∑Im = 0 ∑Um = 0
u i
u
i
2
u
i
2
7
3. 感抗、容抗、电抗、复阻抗、感纳、容纳、电纳、复导纳
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1 I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
U _
Z1
Z2
jL
第三章(第3节)电路定理的相量形式1
& & & U = jXLI = jωLI ,
ZL = j XL = jωL
& & U = ZL I
&= 1 U & I jωL
定义: 定义:
阻抗(Ω) 阻抗(Ω)
返 回
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波形图及相量图 uL o pL i 2π ω t
& UL
电压超前 电流90 电流900
& I
Ψi
瞬时 功率
ω pL = uLi =ULmIm cos( t +Ψi )sin(ω t +Ψi )
② I =Uω C
& UC =U∠Ψu
电流超前电压90° ③ 电流超前电压 °
& I C = ωCU Ψu + π 2
iC(t) + u(t) C
& I C = ωCU Ψu + π 2 = ωCU Ψu π 2
= ( jωC)U Ψu = ( jωC)UC
& = j 1 I = 1 I & & 相量关系: 相量关系: UC C C ωC jωC
第三节 电路基本定律的相量形式
1. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式 来进行计算.因此,在正弦电流电路中, 来进行计算.因此,在正弦电流电路中,KCL和 和 KVL可用相应的相量形式表示: 可用相应的相量形式表示: 可用相应的相量形式表示
∑i(t) = 0
& ∑I =0 & ∑U =0
& UL = ω LI Ψi + π 2
i(t) + uL(t) L
U
03-正弦量的相量表示法知识点
正弦量相量表示1、基本概念（1）正弦电路相量表示方法。
正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。
为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。
正弦量的相量表示如表1所示。
表1正弦量的相量式三角函数式相量的极坐标式相量的直角坐标式电压tU u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。
相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。
正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。
2、正弦交流电路的相量分析方法正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。
（1）相量式法1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示；2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。
一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。
（2）相量图法1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定；2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图；3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。
2、注意事项（1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。
（2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。
（3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
第三章 正弦交流电路和向量法
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2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(ω t+ψ)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)幅值 振幅、 最大值) (1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 反映正弦量变化幅度的大小。 角频率(angular frequency)ω (2) 角频率 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
0
t = 0 → 50 = 100cosψ
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t ) = 100cos(103 t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有最大值
3
π
ψ = ±π 3 π ψ =−
3
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
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π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。
i1 = 2 I1 cos(ω t +ψ 1 )
i2 = 2 I2 cos(ω t +ψ 2 )
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ω
角频率： 角频率：
u, i i1 I1
i1 0
ω
i2
i2 I2
i1+i2 →i3 i3 ω I3 ωt
有效值： 有效值： Ψ 1 初相位： 初相位：
Ψ2
Ψ3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以， 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此，
第3章
正弦交流电路和相量法
重点： 重点： 正弦量的表示、相位差； 1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 电路定理的相量形式； 3. 电路定理的相量形式；
【VIP专享】第7课_电路定理的相量形式
50
XL 5
5 2
2
XC
R
50 5
2
10
2
I2
U
I5 2
UL
+ I-jXL
U R
_
I1
-jXC +
UC
I2 -
450 I1
UR UC
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3.4 正弦交流电路的相量模型
阻抗
I
正弦稳态情况下 I
+ U -
无源 线性
+
U
Z
-
定义阻抗
U Z I| Z | φz
欧姆定律的 相量形式
Z U
阻抗模
| Z |
R2 X 2
φz
arctg
X R
U
或
R=|Z|cosz
Z I
X=|Z|sinz
z u i
阻抗三角形
|Z| X
z
R
分析 R、L、C 串联电路得出：
（1）Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠z为复数，故称复阻抗 （2）L > 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，电压领先电流；
相量图：选电流为参考向量， i 0
0.02F
解 U 12000
u 15
_
4H
jX L j45 j20
1 jX C j 5 0.02 j10
I
IR IL
IC
U R
U jX L
U jX C
120
1 15
1 j20
1 j10
8 j6 j12 8 j6 1036.90 A
i(t) 10 2 cos(5t 36.90 )A
15、正弦交流电的相量表示法cos
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
第8章( 8.1-8.3) 相量及相量分析法
例
i(t)
+ u(t) -
R
已知： u( t ) U m sin(wt y u ) 解: L
求：稳态解 i(t)
1. 经典法: 一阶常系数 di(t ) Ri (t ) L U m sin(wt y u ) 线性微分方程 dt 自由分量(齐次方程通解)： A e-(R/L) t
全解：
第8章 相量及相量分析法 8.1-8.3 重点：
复数及其运算 相位差
相量和相量图 正弦量的相量表示
电路元件VCR 的相量形式
电路定律的相量形式
8 .1 .1 正弦量的基本概念 正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按 正弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向 也是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
u (t ) 2U cos(wt y ) U Uy
例1. 已知
解： I 10030o A
o
i 141.4 cos(314t 30 ) A u 311.1cos(3 14t 60o )V
试用相量表示 i, u 。
U 220 60o V
14
例2. 已知 I 5015o A, f 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。
y
Re
a
Re
A a jb
A A e jy | A | y
11
2. 复数运算
(1)加减运算——直角坐标
(2) 乘除运算——极坐标 3. 旋转因子
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 A2 A1 A2 y 1 y 2
复数 e jy = cos y + jsin y = 1∠y A e jy A逆时针旋转一个角度y ，模不变
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电路相量法的加减运算公式
电路相量法是电路分析中常用的一种方法，可以通过相量的加减运算来简化复杂的电路计算。
下面将为大家介绍电路相量法的加减运算公式。
在电路分析中，经常会遇到需要计算电压、电流和功率的情况。
而电路相量法可以将这些量用相量的形式表示，从而简化计算过程。
在进行电路相量法的加减运算时，我们需要了解一些基本的公式。
我们来看电压的相量运算。
电压相量的加减运算可以用以下公式表示：
U = U1 + U2
其中，U表示总电压，U1和U2分别表示两个电压源的相量。
这个公式的意思是，将两个电压源的相量相加，得到总电压的相量。
接下来，我们来看电流的相量运算。
电流相量的加减运算可以用以下公式表示：
I = I1 + I2
其中，I表示总电流，I1和I2分别表示两个电流源的相量。
这个公式的意思是，将两个电流源的相量相加，得到总电流的相量。
我们来看功率的相量运算。
功率相量的加减运算可以用以下公式表
示：
P = P1 + P2
其中，P表示总功率，P1和P2分别表示两个功率源的相量。
这个公式的意思是，将两个功率源的相量相加，得到总功率的相量。
通过以上的公式，我们可以进行电路相量法的加减运算。
在实际应用中，我们可以根据具体的电路情况，将电压、电流和功率用相量的形式表示，然后根据公式进行相应的计算。
这样可以简化电路分析的过程，提高计算的效率。
需要注意的是，在进行电路相量法的加减运算时，我们需要将相量的大小和方向考虑在内。
相量的大小表示了电压、电流或功率的大小，而相量的方向表示了电压、电流或功率的方向。
在进行相量的加减运算时，我们需要同时考虑相量的大小和方向，确保计算结果的准确性。
电路相量法的加减运算公式可以简化复杂的电路计算，提高计算的效率。
通过将电压、电流和功率用相量的形式表示，并根据相量的加减运算公式进行计算，我们可以更方便地分析电路的特性和性能。
在实际应用中，我们可以根据具体的电路情况，灵活运用电路相量法，解决各种电路分析问题。