湖南长沙市一中2020届高三月考试卷理科数学试题(5页)
姓名___________
准考证号_______
绝密★启用前
湖南长沙市一中2020届高三月考试卷理科数学试题
数学(理科)试题
注意事项:
1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设i为虚数单位,若复数z满足iz=1+i,则z的共轭复数为
A.1-i B. -1-i C. -1+i D.1+i
2.已知等差数列na中,a2+a3=4,a5+a6=6,则a11+a12=
A.10 B.8 C.12 D.14
3.若11ab<0,则下面四个不等式恒成立的是
A. a+b 4.妈妈为儿子十八岁亲手制作一个两层的生日蛋糕.生日蛋糕的三视图及尺寸如下图所示(图中小正方形的边长为1个单位).蛋糕制作好后，需在看得见的部分涂上奶油,则奶油的面积为 A.10π B.12π C. 14π D.18π 5.在(2x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数为 A.-20 B.15 C.-10 D.5 6.我校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课 的时间为7: 50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8: 50~9: 30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 7.已知F1、F2分别为双曲线E: 22221xyab=1的左、右焦点,点M在E上, 12FF : 2FM: 1FM=2: 3: 4,则双曲线E的渐近线方程为 A. y=士2x B. y=土12x C. y=3x D. y=33 8.若a,b★R,则使ab>1成立的一个充分不必要条件是 A. |a+b|≥1 B.a2+b2> 1 C. a<1或b<1 D. a≤1且b≤1 9.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称,反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系.某科研机构研究发现,一品种中医药的药物成份甲的含量x(单位:克)与药物功效y(单位:药物单位)之间具有关系y= 10x-x2.检测这种药品一个批次的5个样品,得到成份甲的含量x的平均值为4克,标准差为2克,则估计这批中医药的药物功效y的平均值为 A.22药物单位 B.20药物单位 C.12药物单位 D.10药物单位 10.已知函数g(x)为一次函数,若m，n∈R,有g(m+n)=g(m)+g(n)- 3,当x∈[-2,2]时,函数2(2412()log()xxfxgx的最大值与最小值之和是 A.10 B.8 C.7 D.6 11.已知函数()2sin()(0)fxx满足f(3)=2,f(π)=0,且f(x)在区间 (5312，)单调，则的取值个数为 A.7 B.8 C.9 D.10 12.已知两个不相等的非零向量ar,br两组向量12345,,,,xxxxxuruuruuruuruur和12345,,,,yyyyyuuruuruuruuruur均由 二个ar和三个br排列而成.记S=122334455xyxyxyxyxyruuruuruuruuruuruuruuruuruur,Smin表 示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的个数是 ∈S有5个不同的值; ∈若ar∈br,则Smin与|ar|无关; ∈若ar//br,则Snim与br无关; ∈若br>4ar,则Smin>0; ∈若2barr,Smim=82ar,则ar与br的夹角为3. A.2 B.3 C.4 D.5 第II卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横 线上. 13.已知抛物线x2=8y.上一点P到其焦点的距离为6,则点P的坐标为________。 14.今年由于猪肉涨价太多,更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其他肉类.某天在市场中随机抽取100名市民调查其购买肉类的情况，其中不买猪肉的有30位,买了肉的有90位,买了猪肉且买了其他肉的人共25位,以这100个样本估计这一天该市只买了猪肉且没买其他肉的人数与全市人数的比值为_______ 15.已知函数22,0()10xexfxx,若∈R, f(x)≥mx ,则m的取值范围是______。 16.如图,在长方体ABCD- A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=.3，E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内.若直线D1P//平面EFG,则线段D1 P的长度的最小值为_____。 三、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17. (本题满分12分) 已知a,b,c分别为∈ABC的内角A,B,C的对边，且222sin2cos22BAbbc (1)求角B的大小; (2)若c=6,a∈[2,6],求sin C的取值范围. 18. (本题满分12分) 如图,将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠,使得平 面ABD⊥平面CBD,且AE∈平面ABD. (1)若AE=2 ,求直线DE与直线BC所成角的大小; (2)若二面角A- BE- D的大小为3,求AE的长度. 19. (本题满分12分) 已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为22，点A为其左顶点,点D的坐标为(1,0),过点D作直线l与椭圆交于E,F两点，当EF垂直于x轴时, EF=6. (1)求该椭圆的方程; (2)设直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为Q,设直线l与QD的斜率分别为k,k' ,且k≠0,求证:k●k'为定值. 20. (本题满分12分) 近些年随着我国国民消费水平的升级,汽车产品已经逐渐进入千家万户,但是我国的城市发展水平并不能与汽车保有量增速形成平衡,城市交通问题越发突出,因此各大城市相继出现了购车限号上牌的政策.某城市采用摇号买车的限号上牌方式，申请人提供申请,经审查合格后，确认申请编码为有效编码,这时候就可以凭借申请编码参加每月一次的摇号.假设该城市有20万人参加摇号,每个月有2万个名额,每个月摇上的人退出摇号,没有摇上的人继续下个月摇号. (1)平均每个人摇上号需要多长时间? (2)如果每个月都有2万人补充进摇号队伍,以每个人进入摇号的月份算第一个月，他摇到号的月份设为随机变量X. (i)证明:{P(X=n)}(n∈N* ,1≤n≤35)为等比数列; (i)假设该项政策连续实施36个月，小王是第一个月 就参加摇号的人,记小王参.加摇号的次数为Y,试求Y的数学期望(精确到0.01). 参考数据:0. 934≈0. 028,0. 935≈0.025. 21. (本题满分12分) 设函数22()ln(1)1,()(1)xfxxaxxgxxeax. (1)若a≥0,讨论g(x)的零点个数; (2)证明:f(x)≤g(x). (二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题记分. 22.(本题满分10分)选修4--4:坐标系与参数方程 已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系. (1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程; (2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,又点Q在OP上且满足2OQOPOR,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程. 23. (本题满分10分)选修4一5:不等式选讲 已知函数()224fxxx的最小值为m. . (1)求m的值; (2)若a.b.c为正实数,且a+b+c=4m,求证: 111(1)(1)(1)abc≥8.
2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（理）试题
2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（理）试题
一、单选题
1．设1i2i1iz，则||z
A．0 B．12 C．1 D．2
【答案】C
【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.
详解：1i1i1i2i2i1i1i1iz
i2ii，
则1z，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．若xR，则“31x”是“1x”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分别求解两个不等式再判断即可.
【详解】
因为3yx为增函数,故31x解得1x,又1x解得1x或1x,故“31x”是“1x”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型.
3．下列命题中，,mn表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面． ①若m，//n，则mn； ②若，，则//；
③若//m，//n，则//mn； ④若//，//，m，则m．
正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由n知，存在直线b内，使nb，所以,mbmn，故①正确；对于②，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有m， ，正确．故正确命题为①④，选C.
【2020届】湖南省 长沙市 第一中学 高三数学第一次月考试题文
千里之行始于足下 - 1 - 湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题 文
时量：120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i为虚数单位，若复数2)1(1iz,则||z
A. 1 B. 2 C. 2
D. 5
2.已知集合A={21|xx}，B={2,1,0}，则BA
A. 21|xx B. {2,1,0} C. {2,1} D. {1,0}
3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：
附表：
随机变量：))()()(()(22dbcadcbabcadnK 千里之行始于足下 - 2 - 经计算，统计量K2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关"
D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
4. 已知向量babka),2,2(),2,(为非零向量，若)(baa,则实数k的值为
A.0 B.2 C.-2 D.1
5. 美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为
A. 21 B. 22 C. 23 D. 31
6.若21212,)21(,8.0logcba，则有
湖南省长沙一中2020届高三(上)月考数学(理科)试题(三)
湖南省长沙一中2020届高三（上）月考数学（理科）试题（三）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合2{|340}Axxx，{|3}Bxx，则AB（ ）
A．1,3 B．,4 C．1,4 D．(,3)
2．已知欧拉公式cossinixexix(i为虚数单位),则根据欧拉公式3ie表示的复数在复平面位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数31221,1()3log,1xxfxxx，则((4))ff（ ）
A．3 B．4 C．5 D．14
4．已知1sin62,且0,2,则cos( )
A．0 B．12 C．32 D．1
5．4212xx的展开式中3x的系数为( )
A．31 B．32 C．36 D．40
6．函数ln11xfxx的大致图象是( )
A． B．
C． D．
7．等腰直角三角形ABC中,2ABAC,点D为斜边BC上的三等分点,且2AMAD,则MCMB( )
A．0 B．49 C．2 D．89
8．已知数列na为等差数列,其前n项和为nS,且23a,525S,若2sin3nnnba,并设数列nb的前n项和为nT,则9T( )
A．32 B．0 C．33 D．332
9．已知函数()cos()(0fxx，0)是奇函数，且在[,]34上单调递减.则的最大值是（ ）
A．12 B．23 C．32 D．2
10．已知F是双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，P是双曲线的左顶点，过点F且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若2APB，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
湖南省长沙市第一中学2020届高三月考卷(七)理科数学试卷附全解全析
长沙市一中2020届高三月考试卷（七）
数学（理科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集UZ，1,2,3,4A，(1)(3)0,xxxzBx，则()UACBI（ ）
A.1,2 B.2,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4
2.已知复数12izi，则z的共轭复数z（ ）
A.1355i B.1355i C.1355i D.1355i
3.函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.61-2)(1)tt（的展开式中，3t项的系数（ ）
A.20 B.30 C.10 D.24
5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得2p是素数，素数对,2pp称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）
A.114 B.17 C.314 D.13
6.如图所示的程序框图，则输出的,,xyz的值分别是（ ）
A.13009，600，11203 B.1200，500，300 C.1100，400，600 D.300，500，1200
湖南省长沙一中2020届高考月考卷(七)理科数学试卷(附全解全析)
长沙市一中2020届高三月考试卷(七)
数学(理科)
注意事项:
1. 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答第I卷时，将答案写在答题卡，上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一-并交回。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=Z，A={1,2,3,4},B=(1)(3)0,xxxxz,则A()UCBI=
A. {1,2} B. {2,3} C. {1,2,3} D. {1,2,3,4}
2.已知复数12izi，则z的共轭复数z=
A. 1355i B. 1355i C. 1355i D. 1355i
3.函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是
4. 61-2)(1)tt（的展开式中，t项的系数为
A.20 B.30 C.-10 D.-24
5.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一 ,可以这样描述:存在无穷多个素数p使得p+2是素数,素数对(p，p+2)称为孪生素数，从20以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为
A. 114 B. 17 C. 314 D. 13
6.如图所示的程序框图，则输出的x、y、z的值分别是
2020届湖南省长沙市一中高三月考试题(四)数学(理)试题
2020届湖南省长沙市一中高三月考试题（四）数学（理）试题
一、单选题
1．设1i2i1iz，则||z
A．0 B．12 C．1 D．2
【答案】C
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.
详解：1i1i1i2i2i1i1i1iz
i2ii，
则1z，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．若xR，则“31x”是“1x”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
分别求解两个不等式再判断即可.
解：
因为3yx为增函数,故31x解得1x,又1x解得1x或1x,故“31x”是“1x”的充分不必要条件.
故选：A
点评：
本题主要考查了幂函数与绝对值不等式的求解与充分不必要条件的判断,属于基础题型.
3．下列命题中，,mn表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面．
①若m，//n，则mn； ②若，，则//；
③若//m，//n，则//mn； ④若//，//，m，则m．
正确的命题是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由nP知，存在直线b内，使nbP，所以,mbmn，故①正确；对于②，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有mP， ，正确．故正确命题为①④，选C.
2020届湖南省长沙一中高三上学期月考数学(理)试题(三)(解析版)
第 1 页 共 23 页 2020届湖南省长沙一中高三上学期月考数学（理）试题（三）
一、单选题
1．已知集合2{|340}Axxx，{|3}Bxx，则AB（ ）
A．1,3 B．,4 C．1,4 D．(,3)
【答案】B
【解析】求出集合A，B，由此能求出AB.
【详解】
因为集合2{|340}{|14}Axxxxx，
{|3}Bxx，
{|14}{|4},4ABxxxx，
故选：B
【点睛】
本题考查集合的交集运算，涉及解一元二次不等式，属于基础题.
2．已知欧拉公式cossinixexix(i为虚数单位),则根据欧拉公式3ie表示的复数在复平面位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】3ie表示的复数为：cos3sin3i，根据3,2即可得出结论.
【详解】
由题意可得3iecos3sin3i，
3,2，cos30,sin30，
因此在复平面中位于第二象限.
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号，属于基础题. 第 2 页 共 23 页 3．已知函数31221,1()3log,1xxfxxx，则((4))ff（ ）
A．3 B．4 C．5 D．14
【答案】A
【解析】根据题意，由函数的解析式求出f（4）的值，即可得(ff（4）)f（1），计算即可得答案.
【详解】
解：根据题意，函数31221,1()3log,1xxfxxx，
则1243log4321f，
则2((4))1213fff.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.
4．已知1sin62,且0,2,则cos( )