第1讲-绝对值和绝对值不等式的解法
第1讲 绝对值和绝对值不等式的解法 5.1 绝对值的概念 定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值． 例如，2到原点的距离等于2，所以22．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易
得到绝对值的求法：,00,0,0aaaaaa． 5.1.1 绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A．±2 B．2 C．-2 D．4 解：A
【例2】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ） A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3 解：C 【例3】已知：abc≠0，且M=abcabc，当a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可能． 当a、b、c都是正数时，M= ______； 当a、b、c中有一个负数时，则M= ________； 当a、b、c中有2个负数时，则M= ________； 当a、b、c都是负数时，M=__________ ． 解：3；1，1，3． 练习1：已知abc，，是非零整数，且0abc，求abcabcabcabc的值
解：由于0abc，且abc，，是非零整数，则abc，，一正二负或一负二正， （1）当abc，，一正二负时，不妨设000abc，，，原式11110； （2）当abc，，一负二正时，不妨设000abc，，，原式11110． 原式0． 【例4】若42ab，则_______ab． 解：424204,2ababab，所以2ab． 结论：绝对值具有非负性，即若0abc，则必有0a，0b，0c．
练习1：2120ab， a________；b__________
解：1,2ab． 练习2：若7322102mnp，则23_______pnm＋． 解：由题意，713,,22mnp，所以13237922pnmm＋． 5.1.2 零点分段法去绝对值 对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 【例5】阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道0000xxxxxx，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12xx
时，可令10x和20x，分别求得12xx，（称12，分别为1x与2x的零点值），在有理数范围内，零点值1x和2x可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况： ⑴当1x时，原式1221xxx ⑵当12x时，原式123xx ⑶当2x≥时，原式1221xxx
综上讨论，原式211312212xxxxx 通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： （1）别求出2x和4x的零点值 解：令20x，解得2x，所以2x是2x的零点；令40x，解得4x，所以4x是4x的零点． （2）化简代数式24xx 解：⑴当2x时，原式2422xxx； ⑵当24x时，原式246xx； ⑶当x≥4时，原式2422xxx．
综上讨论，原式222624224xxxxx． （3）化简代数式122yxx 解：当1x时，53yx； 当12x时，3yx； 当2x时，35yx． 综上讨论，原式531312352xxxxxx． 5.1.3 绝对值函数 常见的绝对值函数是：,0,0xxyxxx，其图象是
绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是0x．思考如何画yxa的图象？ 我们知道，x表示x轴上的点x到原点的距离；xa的几何意义是表示x轴上的点x到点a的距离． 【例6】 画出1yx的图像 解：（1）关键点是1x，此点又称为界点； （2）接着是要去绝对值 当1x时，1yx；当1x时，1yx． （3）图像如右图 说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到 练习1.（1）画出2yx的图像； （2）画出2yx的图像
【例7】画出122yxx的图象 解：（1）关键点是1x和2x （2）去绝对值 当1x时，53yx； 当12x时，3yx； 当2x时，35yx． （3）图象如右图所示． 【例8】 画出函数223yxx的图像 解：（1）关键点是0x （2）去绝对值： 当0x时，223yxx； 当0x时，223yxx （3）可作出图像如右图 【例9】 画出函数232yxx的图像 解：（1）关键点是1x和2x （2）去绝对值： 当1x或2x时，232yxx； 当12x时，232yxx （3）可作出图像如右图
1．35________；3________；3.1415_____； 2．2215xy，4x，则y__________． 3．若0aa，那么a一定是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 4．若xx，那么x是________数． 5．如图，化简22abbcac_____________
6．已知2(2)210xy，则2xy_______． 7．化简12xx，并画出12yxx的图象 8．化简523xx． 9.画出23yx的图像 10.画出223yxx的图像 答案： 1．35；3；3.1415 2．2或1 3．C 4．负 5．-4 6．3
7．23,21,2123,1xxyxxx，图象如下 8．32,538,52332,2xxyxxxx 9．如图所示 10．如图所示
5.2 绝对值不等式 到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式． 【例1】 解方程：21x． 解：原方程变为21x，∴3x或1x． 【例2】解不等式 1x． 解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：1和1，自然只有在1和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x的解集是{|11}xx． 练习1．解不等式：（1）3x； （2）3x （3）2x 解：（1）{|33}xx （2）{|33}xxx或 （3）{|22}xx
结论：（1）(0)xaa的解集是{|}xaxa，如图1． （2）(0)xaa的解集是{|}xxaxa或，如图2．
【例3】解不等式 21x． 解：由题意，121x，解得13x，所以原不等式的解集为{|13}xx． 结论：（1）(0)axbcccaxbc．
（2）(0)axbccaxbc或axbc 练习1：解不等式：（1）103x；（2）252x；（3）325x； 解：（1）由题意，3103x，解得713x，所以原不等式的解集为{|713}xx． （3）由题意，252x或252x，解得72x或32x，，所以原不等式的解集为73{|}22xxx或． （3）由题意，5325x，解得14x，所以原不等式的解集为{|14}xx．
练习2：解不等式组2405132xx． 解：由240x，得424x，解得26x，① 由5132x，得133x，即3133x，解得4233x，② 由①②得，4233x，所以原不等式的解集为42{|}33xx． 练习3：解不等式1215x． 解：方法一：由215x，解得23x；由121x得，0x或1x， 联立得2013xx或，所以原不等式的解集为{|2013}xxx或． 方法二：12151215xx或5211x，解得2013xx或，所以原不等式的解集为{|2013}xxx或． 【例4】解不等式：4321xx 解：方法一：（零点分段法） （1）当34x时，原不等式变为：(43)21xx，解得13x，所以13x； （2）当34x时，原不等式变为：4321xx，解得2x，所以2x； 综上所述，原不等式的解集为1{|2}3xxx或． 方法二：43214321xxxx或43(21)xx，解得13x或2x，所以原不等式的解集为1{|2}3xxx或． 结论：（1）()()()axbfxfxaxbfx． （2）()()axbfxaxbfx或()axbfx．
练习4：解不等式：431xx． 解：由431xx得(1)431xxx，解得2453x，原不等式的解集为24{|}53xx．
【例5】解方程：（1）213xx （2）215xx （3）314xx （4）324xx 【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的： 若a和b是数轴上的两个数，那么当axb时，数x到a和b的距离之和等于a与b的距离；当xa或xb时，数x到a和b的距离之差的绝对值，等于a与b的距离．
以上所有问题都可以用此方法解决． 解：（1）等式左边式子21xx的几何意义是，实数x到2和1的距离之和，而2和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当x位于2和1之间时，x到2和1的距离之和就刚好为3，所以x的取值范围是21x．
（2）等式左边式子的几何意义是，实数x到2和1的距离之和，由于2和1的距离是3，所以x一定在2和1的两边，经过计算，可知当x位于3和2时，满足条件． （3）等式左边式子的几何意义是，实数x到3和1的距离之差，由于3和1的距离刚好是4，所以当x位于3到1的两边时，x到3和1的距离之差刚好为4，x的取值范围是3x或1x． （4）等式左边式子的几何意义是，实数x到3和2的距离之差，由于3和1的距离刚好是5，所以x一定位于3到2之间，可知当x位于52和32时，满足条件．
高中数学高考第1节 绝对值不等式 课件
两招解不等式问题中的含参问题
自
主 回
(1)问题转化
课
顾
①把存在性问题转化为求最值问题，即 f(x)＞a 有解⇔f(x)max＞a.
后 限
②不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题；
时 集
课
训
堂 考
③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问
点
探 究
题都可转化为最值问题，即 f(x)＜a 恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a 恒成
课
.
后
限
2 [由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.
时 集
训
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.]
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4．不等式|x＋1|－|x－2|≥1 的解集是
．
课
前
自 主 回 顾
{x|x≥1}
－3，x≤－1，
[令 f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1，－1＜x＜2， 3，x≥2.
当课 后 限
时
课 －1＜x＜2 时，
集 训
堂
考 点
由 2x－1≥1，解得 1≤x＜2.又当 x≥2 时，f(x)＝3＞1 恒成立．所
探
究 以不等式的解集为{x|x≥1}．]
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16
课
前
自 主 回
课堂考点探究
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
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17
课
前 自
考点 1 绝对值不等式的常用解法
主
回
解绝对值不等式的常用方法
前
自
主 回
高中数学 第一节 绝对值不等式
绝对值不等式
结 束
(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知， 当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3； 1 当 f(x)＝－1 时，可得 x＝ 或 x＝5． 3 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3}， f(x)<－1
ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c . ②|ax＋b|≥c⇔______________________
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
绝对值不等式
结 束
[小题体验]
1． 若不等式|kx－4|≤2 的解集为 x|1≤x≤3 ， 则实数 k＝________．
3 3 综上知，原不等式的解集为x|－2≤x≤2 ．
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绝对值不等式
1 1 法二：原不等式可化为x－2＋x＋2≤3，
结 束
1 1 其几何意义为数轴上到 ， － 两点的距离之和不超过 3 的点的集 2 2 3 3 1 1 合，数形结合知，当 x＝ 或 x＝－ 时，到 ，－ 两点的距离之 2 2 2 2 3 3 和恰好为 3，故当－ ≤x≤ 时，满足题意，则原不等式的解集 2 2
解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6． ∵不等式的解集为 x|1≤x≤3 ，∴k＝2． 答案：2
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绝对值不等式
结 束
2．函数 y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．
解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函数 y 的最小值为 8． 答案：8
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9
( ×) ( √) ( ×) ( ×) ( √)
选修4－5 不等式选讲
10
二、易错纠偏 常见误区 (1)含参数的绝对值不等式讨论不清； (2)存在性问题不能转化为最值问题求解． 1．若不等式|kx－4|≤2 的解集为{x|1≤x≤3}，则实数 k＝________． 解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以 2≤kx≤6.因为不等式的解集为 {x|1≤x≤3}，所以 k＝2. 答案：2
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选修4－5 不等式选讲
4
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式 |x|<a
a>0 __{_x_|_－__a_<_x_<_a_}_____
|x|>a
___{_x_|x_>_a__或__x_<_－__a_}___
a＝0 __∅_____
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选修4－5 不等式选讲
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x＋4，x>－4， (2)f(x)＝|x＋4|＝0，x＝－4，
－4－x，x<－4，
所以不等式 f(x)>1－12x 等价于
x＋4>1－12x（x>－4）， 0>1－12x（x＝－4）， －4－x>1－12x（x<－4），
解得 x>－2 或 x<－10，故不等式 f(x)>1－12x 的解集为{x|x>－2 或 x<－10}．
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选修4－5 不等式选讲
12
含绝对值不等式的解法(师生共研)
绝对值不等式的解法及应用
绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。
本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。
一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。
例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。
2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。
Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。
Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。
例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。
1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。
通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。
下面通过一个例子来说明。
例题：求解不等式 |2x-1|<5 。
解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。
然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。
最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。
2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。
绝对值不等式
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x∈ (0，2)时，y<0， 所以原不等式的解集是 {x|0<x<2}．
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选修45 不等式选讲
a 1 (2)当 x∈ [－ ， )时， f(x)＝ 1＋a， 2 2 不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋ a≤x＋3， a 1 a 所以 x≥a－ 2 对 x∈[－ ， )都成立，故－ ≥a－ 2， 2 2 2 4 即 a≤ . 3 4 从而 a 的取值范围是 (－ 1， ]． 3
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选修45 不等式选讲
1． (2013· 高考重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x－ 5|＋ |x＋3|<a
(－∞，8] ． 无解，则实数 a 的取值范围是____________
【解析】∵|x－5|＋|x＋3| ＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8， ∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8， 要使|x－5|＋|x＋3|<a 无解，只需 a≤8.
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选修45 不等式选讲
(1)对绝对值三角不等式定理 |a|－ |b|≤|a± b|≤|a|＋ |b|中等号成 立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时，如 求 y＝ |x－ a|＋ |x－b|或 y＝ |x＋a|－ |x－ b|型的最值问题， 利用 绝对值三角不等式更简捷、方便． (2)该定理可以强化为： ||a|－ |b||≤|a± b|≤|a |＋ |b|，它经常用于 证明含绝对值的不等式．
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选修45 不等式选讲
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－ |x－ 2|≥|x＋a|. 当 x∈ [1， 2]时，|x－ 4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－ x－ (2－x)≥|x＋ a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－ 3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[－3， 0]．
高三复习第一讲 绝对值不等式
选修4－5 不等式选讲第一讲 绝对值不等式【考纲速读吧】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a ＋b|≤| a |＋|b|； ②| a －b|≤| a －c|＋|c －b|．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： | a x ＋b|≤c ；| a x ＋b|≥c ； |x －a |＋|x －b|≥c ．【要点集结号】个重要公式| a ±b|≤| a |＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值． 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当点必须注意1．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b|>m 或|x －a |＋|x －b|<m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式| a ＋b|≤| a |＋|b|及推广形式 |a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |进行放缩．1．分离参数法：运用“f （x ）≤a ⇔f （x ）max≤a ，f （x ）≥a ⇔f （x ）min≥a ”可解决恒成立中的参数范围问题．2．更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．3．数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．【课前自主导学】011．绝对值不等式的解法（1）形如| a x ＋b|≥|cx ＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（1） 形如| a x ＋b|≤c （c>0）和|ax ＋b|≥c （c>0）型不等式① 绝对值不等式|x|>②|a x ＋b|≤c （c>0）和|b|≥c ⇔__________（c>0）．（1）不等式|2x ＋1|≤3的解集是________． （2）不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的解集是________． 2．绝对值不等式的应用（1）定理：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a |＋|b|，当且仅当________时，等号成立．（2）如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤|a －b|＋|b －c|．当且仅当（a －b ）（b －c ）≥0时，等号成立．（3）由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. ②||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |. ③||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.（1）函数y ＝| x －1|＋|x －2|的最小值为________．（2）函数y ＝|x |－|x －3|的最大值为________．【自我校对】1． {x |－a <x <a } {x |x >a 或x <－a } －c ≤ax ＋b ≤c ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c想一想：提示：关键是根据绝对值的意义或性质去掉绝对值．填一填：（1）{x |－2≤x ≤1} （2）{x |x ≤－32，且x ≠－2} 2．a b≥0想一想：提示：关键是根据含绝对值不等式定理或性质转化，消去自变量x ．填一填：（1）1 （2）3【核心要点研究】02【考点一】绝对值不等式的解法例1 [2012·湖南高考]不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．【审题视点】应用零点分段法，不等式分情况讨论去掉绝对值符号；也可移项两边平方解不等式．[解析] 方法一：原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－3>0或⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <1，4x >1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3>0， ∴∅或14<x <1或x ≥1，∴不等式解集为{x |x >14}． 方法二：由|2x ＋1|－2|x －1|>0，得|2x ＋1|>2|x －1|，平方，得12x >3，x >14．∴解集为{x |x >14}． [答案] {x |x >14} 【师说点拨】1．形如|x ＋a|±|x －b|≥c 不等式的解法常用零点分段讨论法，其步骤为（1）求零点；（2）划分区间、去绝对值号；（3）分别解去掉绝对值的不等式；（4）取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．2．上述不等式也可用|x －a 1|±|x －a 2|的几何意义去求解集【变式探究】 若不等式|2x －a|＋a ≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值．解：由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ．所以a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3．由不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}，知a －3＝－2，所以a ＝1．【考点二】绝对值不等式的证明例2 [2012·江苏高考]已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518． [证明] 因为3|y |＝|3y |＝|2（x ＋y ）－（2x －y ）|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518． 奇思妙想：本例条件不变，问题改为“|x －5y |<43”，该如何证明？ 证明：令x －5y ＝m （x ＋y ）＋n （2x －y ），则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，m －n ＝－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝2，∴|x －5y |＝|－3（x ＋y ）＋2（2x －y ）|≤3|x ＋y |＋2|2x －y |，由题知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而|x －5y |<43． 【师说点拨】含绝对值不等式的证明题主要分两类，一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．【变式探究】 设a ∈R ，函数f （x ）＝ax 2＋x －a （－1≤x ≤1），若|a |≤1，求证：|f （x ）|≤54． 证明：证法一：∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1． 又∵|a |≤1，∴|f （x ）|＝|a （x 2－1）＋x |≤|a （x 2－1）|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54．、 证法二：设g （a ）＝f （x ）＝ax 2＋x －a ＝（x 2－1）a ＋x ．∵－1≤x ≤1，当x ＝±1即x 2－1＝0时， |f （x ）|＝|g （a ）|＝1≤54； 当－1<x <1即x 2－1<0时，g （a ）＝ax 2＋x －a 是单调递减函数． ∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1．∴g （a ）max ＝g （－1）＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54； g （a ）min ＝g （1）＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54． ∴|f （x ）|＝|g （a ）|≤54． 【考点三】绝对值不等式的综合应用例3 [2012·辽宁高考]已知f （x ）＝|ax ＋1|（a ∈R ），不等式f （x ）≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．（1）求a 的值； （2）若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f (x 2)≤k 恒成立，求k 的取值范围． 【审题视点】 （1）先解绝对值不等式，注意对字母a 的讨论，然后利用集合相等求a ；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，将原函数转化为分段函数求最大值．[解] （1）由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2．又f （x ）≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时， －4a ≤x ≤2a，得a ＝2． （2）记h （x ）＝f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫x 2＝|2x ＋1|－2|x ＋1|，则h （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，【师说点拨】 不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面（如f （x ）>m 的解集是空集，则f （x ）≤m 恒成立）也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f （x ）<a 恒成立⇔a >f （x ）m a x ，f （x ）>a 恒成立⇔a <f （x ）min ．【变式探究】 已知关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －1|≤log 2a （其中a >0）．（1）当a ＝4时，求不等式的解集；（2）若不等式在[－π2，＋∞）内有解，求实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝4时，不等式即为|2x ＋1|－|x －1|≤2，当x <－12时，－x －2≤2，得－4≤x <－12，当－12≤x ≤1时，3x ≤2，得－12≤x ≤23， 当x >1时，x ≤0，此时x 不存在．∴不等式的解集为{x |－4≤x ≤23}．（2）∵设f （x ）＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1， ∴f （x ）∈[－32，＋∞），即f （x ）的最小值为－32．若f （x ）≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32， 解得a ≥24，即a 的取值范围是[24，＋∞）． 【经典演练提能】04 1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为（ ） A ．（－4，－2） B ．（0,2） C ．（－4,2） D. (－4，－2)∪(0,2)答案：D解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|>1|x ＋1|<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>1或x ＋1<－1－3<x ＋1<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－2－4<x <2⇒－4<x <－2或0<x <2． 2．[2013·皖南八校联考]不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[－1,4]B ．（－1,4]C ．[－1,4）D ．（－1,4）答案：A 解析：y ＝|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴a 2－3a ≤4．∴－1≤a ≤4，选A 项．3．[2012·广东高考]不等式|x ＋2|－|x|≤1的解集为_______．答案：{x |x ≤－12} 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋2－x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <0，x ＋2＋x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－x －2＋x ≤1，解之得x ≤－12． 所以不等式的解集为{x |x ≤－12}． 4．[2012·陕西高考]若存在实数x 使| x －a |＋| x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案：－2≤a ≤4解析：在数轴上确定点1，再移动点a 的位置，观察a 点的位置在－2和4的位置时是边界位置，所以－2≤a ≤4．5．[2013·宝鸡统考]已知函数f （x ）＝|x －a |．（1）若不等式f （x ）≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若f （x ）＋f （x ＋5）≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3．又已知不等式f （x ）≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2． （2）∵a ＝2∴f （x ）＝|x －2|．设g （x ）＝f （x ）＋f （x ＋5）， 于是g （x ）＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g （x ）>5；当－3≤x ≤2时，g （x ）＝5；当x >2时，g （x ）>5．综上可得，g （x ）的最小值为5． 从而，若f （x ）＋f （x ＋5）≥m ，即g （x ）≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为（－∞，5]．【限时规范特训】05（时间：45分钟 分值：100分）一、选择题1．[2013·株洲模拟]不等式（1＋x ）（1－|x |）>0的解集是（ ）A ．{x |0≤x <1}B ．{x |x <0且x ≠1}C ．{x |－1<x <1}D ． {x |x <1且x ≠－1}答案：D解析：当x ≥0时，（x ＋1）（x －1）<0，∴0≤x <1．当x <0时，（x ＋1）2>0，∴x ≠－1，综上可知，选D 项．2．[2013·西安质检]已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为（－12，12），则t ＝（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：B解析：∵|2x －t |<1－t ，∴t －1<2x －t <1－t ．∴2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0． 3．[2013·淮安模拟]设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足（ ）A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3答案：D解析：由题意可得集合A ＝{x |a －1<x <a ＋1}，集合B ＝{x |x <b －2或x >b ＋2}，又因为A ⊆B ，所以有 a ＋1≤b －2或b ＋2≤a －1，即a －b ≤－3或a －b ≥3．因此选D ．4．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是（ ）A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．（－∞，－5]∪[7，＋∞）D ．（－∞，－4]∪[6，＋∞）答案：D解析：|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点到－3,5的距离之和，不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是（－∞，－4]∪[6，＋∞）．故应选D ．5．[2013·大连模拟]已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m ，命题q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由绝对值不等式的几何性质可知，∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥|（x ＋2）－（x －1）|＝3，故若命题p 为真命题，则m ≤3；当命题q 为真命题时，方程x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0有根，则Δ＝（－2m ）2－4（m 2＋m －3）＝12－4m ≥0，解得m ≤3；所以“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的充要条件．6．[2013·江门模拟]设函数f （x ）＝|x －a |＋3x ，其中a >0．若不等式f （x ）≤0的解集为{x |x ≤－1}，则a 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－1D ．1答案：B解析：由f （x ）≤0，得|x －a |＋3x ≤0．此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2. 因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2． 二、填空题7．已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为________． 答案：4解析：∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |对于任意的a ，b 恒成立，∴最小值为4．8．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．答案：（－∞，－3]∪[3，＋∞）解析：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|（x ＋1）－（x －2）|＝3，所以只需|a |≥3即可，所以a ≥3或a ≤－3．9．[2013·天津模拟]已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈（0，＋∞）}，则集合A ∩B ＝________．答案：{x |－2≤x ≤5}解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－（x －4）≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－（x －4）＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5．综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈（0，＋∞），∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 三、解答题10．[2013·贵阳模拟]设函数f （x ）＝|x －a |＋x ，其中a >0．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥x ＋2的解集；（2）若不等式f （x ）≤3x 的解集为{x |x ≥2}，求实数a 的值．解：（1）当a ＝1时，f （x ）≥x ＋2可化为|x －1|≥2，解得x ≥3或x ≤－1．故不等式f （x ）≥x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． （2）由f （x ）≤3x ，得|x －a |≤2x ，此不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ≤2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a －x ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，－a ≤x 或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，a 3≤x ，因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≥13a }，由题设可得a ＝6． 11．[2013·郑州模拟]设f （x ）＝2|x |－|x ＋3|．（1）求不等式f （x ）≤7的解集S ；（2）若关于x 不等式f （x ）＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．解：（1）f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点，由此得S ＝[－4,10]．（2）由（1）知f （x ）的最小值为－3，则不等式f （x ）＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0， 解得0≤t ≤3，所以t 的取值范围是[0,3]．12．[2013·南宁模拟]已知函数f （x ）＝log 2（|x ＋1|＋|x －2|－m ）．（1）当m ＝5时，求函数f （x ）的定义域；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ，求m 的取值范围．解：（1）由题意知，|x ＋1|＋|x －2|>5，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>5，解得x <－2或x >3． ∴函数f （x ）的定义域为（－∞，－2）∪（3，＋∞）．（2）由对数函数的性质知，f （x ）＝log 2（|x ＋1|＋|x －2|－m ）≥1＝log 22，不等式f （x ）≥1等价于不等式 |x ＋1|＋|x －2|≥2＋m ，∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|（x ＋1）－（x －2）|＝3，而不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ， ∴m ＋2≤3，故m 的取值范围是（－∞，1]．。
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a
绝对值不等式的解法
绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。
绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。
绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。
绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。
下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。
1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。
我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。
但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。
如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。
2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。
对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。
上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。
我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。
对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。
- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。
201X-201x高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法学案 新人教
1.2.2 绝对值不等式的解法预习案一、预习目标及范围1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题．二、预习要点教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a∅ ∅ |x |>a {x ∈R |x ≠0} R教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法1．利用绝对值不等式的几何意义求解．2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解．三、预习检测1.不等式|x ＋1|＞3的解集是( )A ．{x |x ＜－4或x ＞2}B ．{x |－4＜x ＜2}C ．{x |x ＜－4或x ≥2} D.{x |－4≤x ＜2}2.不等式|x ＋1|＋|x ＋2|＜5的解集为( )A ．(－3,2)B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 3.在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．探究案一、合作探究题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式．[再练一题]1．解不等式：(1)3＜|x＋2|≤4；(2)|5x－x2|≥6.题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题例2已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【精彩点拨】解f x≤3，由集合相等，求a→求y＝f x＋f x＋5的最小值，确定m的取值范围[再练一题]2．关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)<m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)<m恒成立？题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x＋2|＞|x－1|；(2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.【精彩点拨】(1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．[再练一题]3．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)解不等式f(x)>2.二、随堂检测1．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.参考答案预习检测：1.【解析】 由|x ＋1|＞3，得x ＋1＞3或x ＋1＜－3，因此x ＜－4或x ＞2.【答案】 A2.【解析】 |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|＜5解集是(－4,1)．【答案】 C3.【解析】 不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，由绝对值的几何意义知(如图)，当－32≤x ≤32时，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3成立．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 随堂检测：1.【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 B2.【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3.【解析】 |x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－32且x ≠－2 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
高中数学绝对值不等式的解法 PPT课件 图文
一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
x
0
|x－x1|
x
x1
3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
－x ,x<0
1
－1 o 1
x
1
二、探索解法
2
探索：不等式|x|<1的解集。
3 4
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
－1 o 1
x
②
①
②
-c
0
c
题型1: 如果 c 是正数，那么
① x c x 2 c 2 c x c
② x c x 2 c 2 x c ,或 x c
【解】 (1)问题可转化为对一切x∈R恒有 a<f(x)⇔a<f(x)min， ∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5， 即f(x)min＝5，∴a<5.
(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min， 同上得a>5.
(3)问题可转化为对一切x∈R恒有 a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想, 理解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号 内多项式的_正__、__负__性，进而去掉绝对值符号. (3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程 的思想.正确求出函数的_零__点__并画出函数图象(有时需要考查 函数的增减性)是关键.