2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期10月月考数学试题
一、单选题 1．设2111()1111fxxx，xR，则方程()0fx的解集为（ ）
A．{1} B．{}1 C．{1,1} D．以上答案都不
对 【答案】C 【解析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 【详解】
因为22
2
1111111()11111111111xxfxxxxx
221(1111)1(11)1(11)xxxx
222xxxx
222x,
由()0fx,得2220x,即21x,所以1x或1x.
所以方程()0fx的解集为{1,1}.
故选C.
【点睛】 本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.
2．函数2cos2cos()1sincosxxfxxx的图像（ ）
A．关于直线4x对称 B．关于点3(,0)8对称
C．关于y轴对称 D．关于原点对称
【答案】B 【解析】计算行列式并利用辅助角公式化简()2cos(2)4fxx，再利用三角函数的性质求解，即可得答案. 【详解】 ∵2()2cos2sincos1cos2sin22cos(2)4fxxxxxxx，
对A，将4x代入解析式得3()2cos244f，故A错误； 对B，∵3()2cos082f，∴函数关于点3(,0)8对称，故B正确； 对C，D，函数既不是偶函数也不是奇函数，∴图象不关于y轴对称，也不关于原点对称，故C，D错误； 故选：B. 【点睛】 本题考查行列式计算、三角恒等变换、三角函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
3．若矩阵abcdM，记abMcd，以下四个命题中的矩阵,AB都是22阶矩
阵，1001I，则其中真命题的个数为（ ） ① 若R，则AA； ② 若ABI，则BAI；
③ABAB； ④ 若1AB，则ABI；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B 【解析】通过矩阵相乘和行列式计算，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】
对①，令1111A，则22A，2A，故①错误； 对②，矩阵相乘不满足交换律，故②错误； 对③，12123434,aabbaabbAB，1123122431433244ababababababababAB，
14231423()()bbbbaaaa|AB||A||B|，故③正确； 对④，令0110AB，此时1AB，但ABI不成立，故④错误. 故选：B. 【点睛】 本题考查二阶矩阵和二阶行列式的计算，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．已知角、满足coscoscos()，有如下两个命题：
① 存在为第一象限角，角为第三象限角；
② 存在为第二象限角，角为第四象限角；
则下列选项中，正确的是（ ） A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误
【答案】A 【解析】只要找到角，角满足条件，即可得答案. 【详解】
对①，令5,44，则522coscos04422，53cos()cos0442，
故①正确；
对②，令37,44，则3722coscos04422， 375cos()cos0442，故②正确；
故选：A. 【点睛】 本题考查三角函数值的符号，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意能找到满足条件的角，即证存在性成立.
二、填空题 5．已知向量,ab满足4ab，3ab，则ab的值为________.
【答案】74
【解析】对式子4ab，3ab两边分别平方，再相加，即可得答案. 【详解】 ∵4ab，3ab， ∴2222216,29abababab， ∴两式相减得：74ab. 故答案为：74.
【点睛】 本题考查利用模的等式求向量的数量积，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.
6．行列式123456789中的元素6的代数余子式的值为________. 【答案】6 【解析】直接利用代数余子式的定义，计算512(1)78的值，即可得答案. 【详解】 ∵行列式123456789中的元素6的代数余子式为512(1)78，
∴512(1)78(814)6. 故答案为：6.
【点睛】 本题考查行列式的代数余子式，考查运算求解能力，求解时注意符号问题.
7．已知矩阵3122A，则23AA________.
【答案】2240
【解析】直接利用矩阵的四则运算法则，即可得答案. 【详解】
∵23AA313131115932232222221066640. 故答案为：2240
.
【点睛】 本题考查矩阵的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 8．已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,3)A、(1,2)B、(3,2)C，点G为△ABC
的重心，则||CG的值为________. 【答案】13 【解析】利用重心的坐标公式求得点G的坐标，进而得到CG的坐标，再代入模的计算公式. 【详解】
设()Gxy,，则1131,33221,3xy，∴(1,1)G， ∴(13,12)(2,3)CG， ∴||4913CG. 故答案为：13. 【点睛】 本题考查三角形的重心坐标公式、向量模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
9．若增广矩阵1112mmmm的线性方程组无解，则m________. 【答案】1 【解析】由题意可得101mm，且1102mmm，解得即可． 【详解】 二元一次方程组的增广矩阵是1112mmmm，该方程组无解，
101mm，且1102mmm，
210m且2(1)0mmm， 1m．
故答案为：1． 【点睛】 本题考查二元一次方程组的增广矩阵．考查行列式，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义． 10．已知无穷数列{}na的前n项和221nSn，则集合*1{|}nnaanN的真子集的
个数为________. 【答案】3
【解析】根据数列的递推关系可得数列是从第二项起为等差数列，从而得到1nnaa有两个值，从而得集合*1{|}nnaanN含两个元素，再计算真子集的个数. 【详解】 ∵221nSn，则212(1)1nSn， 两式相减得：142(1)nann，∴26a，∴14(1)nnaan， 当1n时，113aS， ∴213aa， ∴*1{|}{3,4}nnaanN， ∴真子集的个数为2213. 故答案为：3.
【点睛】 本题考查数列的递推关系求通项、集合真子集的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意问题转化为判断集合的元素个数问题. 11．已知向量1,3a，2,1b，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范
围是________.
【答案】555,,33
【解析】利用向量的数量积大于0，且向量不共线，得到关于的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】
2019-2020学年上海市曹杨二中高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市曹杨二中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．“实数a 、b 、c 成等比数列”是“lga 、lgb 、lgc 构成等差数列”的（ ）条件 A.充分非必要 B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要 【答案】B【解析】根据等比数列与等差数列关系,通过特殊数列可知非充分性;根据对数运算,可知必要性. 【详解】若实数a b c 、、 成等比数列,当出现负数时,不满足lg lg lg a b c 、、成等差数列,所以不是充分条件;若lg lg lg a b c 、、成等差数列,则满足lg 2lg ac b =()0,0,0a b c >>>即2lg lg lg a c b +=由对数运算可知2lg lg ac b =,即2ac b =由等比中项定义可知a b c 、、 成等比数列,所以为必要条件综上可知“实数a b c 、、 成等比数列”是“lg lg lg a b c 、、成等差数列”的必要非充分条件 故选：B 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，数列中等差数列与等比数列的定义，属于基础题。
2．已知*11001()1100n nn n a n N n n⎧≤≤⎪⎪+=∈⎨⎪>⎪⎩，则当n →∞时，数列n a 的极限是（ ） A.0 B.1C.0或1D.不存在【答案】A【解析】根据分段数列,当n →∞时取*1()n a n N n=∈,根据极限的定义即可求得极限值.因为*11001()1100n nn n a n N n n⎧≤≤⎪⎪+=∈⎨⎪>⎪⎩ 所以当n →∞时*1()n a n N n=∈ 由极限定义可知,当n →∞时10n→所以数列n a 的极限是0 故选:A 【点睛】本题考查了数列的极限求法,注意分段数列的定义域范围,属于基础题.3．已知13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形状，记(),A m n 表示第m 行，第n 个数，则()11,2A = （ ）A.673-B.683-C.1013-D.1023-【答案】D【解析】()11,2A 表示三角形数表的第11行的第2个数,根据题意得第10行的最后一个数是100a ,进而求得第11行中第2 个数,即可求值. 【详解】根据(),A m n 表示第m 行，第n 个数 则()11,2A 表示第11行的第2个数根据数表可知,每行的最后一个数为行数的平方数,所以第10行的最后一项为100a 所以第11行第2个数为102a 即102110202133a -⎛⎫== ⎪⎝⎭本题考查了数列的简单应用,观察数表,根据示例找出项的排列规律,属于基础题. 4．某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，3，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权），按“0”，令1,i j 0,i j ij a ⎧=⎨⎩第号同学同意第号同学当选第号同学不同意第号同学当选，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）A.1112121222k k a a a a a a +++++++……B.1112112222k k a a a a a a +++++++……C.1112212212k k a a a a a a +++…D.1112122212k k a a a a a a +++… 【答案】C【解析】根据题意,分别列出同意1号同学当选和2号同学当选的同学,则同时同意1号与2号当选的人数为它们对应相乘再相加即可. 【详解】 由题意可知全班k 名同学同意1号同学当选的情况为1121311,,k a a a a ⋅⋅⋅k 名同学同意2号同学当选的情况为1222322,,k a a a a ⋅⋅⋅同时同意1号与2号同学当选的情况为11122122313212,,k k a a a a a a a a ⋅⋅⋅ 所以同时同意第1号与2号同学当选的人数为11122122313212k k a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+故选:C 【点睛】本题主要考查了矩阵在实际问题中的应用,理解题意分组分析是解决好这个问题的关键,属于中档题.二、填空题5．在数列－1，0，211298n n-，，，，…中，0.08是它的第________项． 【答案】10令22n n-＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)． 【点睛】本题考查由通项公式求项数，考查基本分析求解能力.6．若数列{}n a 满足1*1204,2,nn a a a n n N -=-⎧⎨=+≥∈⎩，则该数列从第____项起为正值； 【答案】7【解析】根据2n ≥时的递推公式可知,该数列为等差数列,由1a 和d 可得该等差数列的通项公式,进而得解. 【详解】因为当2n ≥时满足14n n a a -=+即14n n a a --=,所以数列{}n a 为等差数列,120a =-,4d =所以通项公式为()11n a a n d +-=()2014n =-+-⨯424n =-所以当4240n ->时,解得6n > 即从第7项开始,数列{}n a 为正值 故答案为:7 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本求法,通项公式的简单应用,属于基础题.7．若3a > ，则113lim 3n n n n n a a ++→∞-+=______；【答案】1a-【解析】对要求极限的数列分子分母同时除以n a ,根据指数函数的性质即可求得极限值. 【详解】113lim 3n nn n n a a++→∞-+ 31lim 33nn n aa a →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭因为3a >所以301a <<,根据指数函数的性质可知当n →∞时, 30na ⎛⎫→ ⎪⎝⎭所以31011lim 033nn n a a a a a →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-+⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 故答案为: 1a-【点睛】本题考查了数列极限的求法,对数列进行合适的变形是解决此类问题的关键,属于中档题.8．观察下式：211=，22343++=， 2345675++++=，2456789107++++++=，则可归纳出一般结论：________． 【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-【解析】根据所给式子，归纳第n 个式子左边应该为()()()1232n n n n +++++⋯+-，右边为()221n -，所以填()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-.9．已知等差数列{}n a 中，1591317117a a a a a -+-+=，则315a a +=_____； 【答案】234【解析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得9a ,进而可求得315a a +.因为数列{}n a 是等差数列 由等差中项定义可知,117513a a a a +=+所以159********a a a a a a -+-+==而315922117234a a a +==⨯=故答案为:234 【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题. 10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,n n a a S +=-=，则n a =______； 【答案】122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥ 【解析】根据条件1n n a S +=,通过递推法,然后作差即可证明数列{}n a 为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列{}n a 的通项公式. 【详解】 因为1n n a S += 当2n ≥时,1nn a S -=两式相减可得11n nn n a a S S +--=-即1n n n a a a +-=,变形后可得12n na a += 因为1n n a S +=,且12a =-所以当1n =时, 2112a S a ==-=所以数列{}n a 从第二项开始是以22a =-,2q =为公比的等比数列所以21222n n n a --=-⨯=-而12a =-不满足上式 所以122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥ 故答案为: 2-⎧1n =【点睛】本题考查了数列递推公式的用法,等比数列的证明及通项公式的求法,属于基础题. 11．设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 前n 项和，若10a >，且1520S S =，则当n =____时，n S 取得最大值； 【答案】17或18【解析】根据等差数列1520S S =,可求得180a =,结合10a >可判断出等差数列为递减数列,进而可得n S 取得最大值时n 的值. 【详解】因为{}n a 为等差数列,且1520S S = 所以16171819200a a a a a ++++=根据等差中项的性质可得180a =因为10a >所以等差数列{}n a 为递减数列, 180a =,从第19项开始为负数所以当17n =或18n =时, n S 取得最大值 故答案为:17或18 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.12．若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n 次分裂之后共有______个细胞. 【答案】124n -+【解析】设n 次分类后共有n a 个细胞,则根据题意可得递推公式()122n n a a +=-,通过构造等比数列即可求得通项公式. 【详解】由题意可设n 次分类后共有n a 个细胞 则第1n +次分裂后共有细胞个数为()122n n a a +=-即,且5a =对数列等式两端同时减去4,可得()1424n n a a +-=-即1424n n a a +-=-,14541a -=-=所以数列{}4n a -是以141a -=为首项,2q =为公比的等比数列所以1412n na --=⨯,化简可得124n n a -=+即n 次分裂之后共有124n -+个细胞 故答案为: 124n -+ 【点睛】本题考查了数列在实际问题中的应用,构造数列法求通项公式的应用,注意构造出数列的首项与公比与原数列是不同的,属于中档题.13．已知数列{}n a 满足：112,02121,12n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2019a =_________；【答案】37【解析】通过列举法,可以根据数列{}n a 的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得2019a .【详解】因为数列{}n a 中167a =,满足112,02121,12n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩所以2165212177a a =-=⨯-= 3253212177a a =-=⨯-=43362277a a ==⨯=546521277a a =-=⨯= 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列 所以2019673333a a a ⨯===故答案为: 37【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.14．平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成()f k 个区域，则1k +条直线把平面分成的区域数(1)()f k f k +=+____________.【答案】1k +【解析】第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即()()1?1f k f k k +=++。
上海市2022高二数学上学期10月月考试题(含解析)
【答案】D
【解析】
不妨设
∵ ， ．
∴ 、 ．
∴点 在以 为圆心半径为 圆上．
∴ 与 的夹角为直线 的倾斜角．
设
∴ ．
即 ，则 ．
又∵ ， ．
∴ 、 夹角 ．
故选 ．
16.三角形ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于D，M，若 ，AB=2，则AC=（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
(2)记 为 ， 的夹角，求 的取值范围.
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）先写出各向量的坐标表示,并求出数量积,再由等差中项列式整理即可；
（2）利用（1）中结果可得 ,再列出 ,进而求出 ,根据（1）中 范围得到 范围,从而得到 范围
【详解】解：（1） , ,
, ,
, ,
,
， ， 成公差小于零的等差数列,
9.在△ABC中， °，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2 ，D在线段AC上运动，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先对 、 用 、 表示,并可将 整理成关于 的二次函数,由余弦定理可解得 ,即确定 的范围,进一步求得其最小值
【详解】由题, ,
,
设 ,由余弦定理得, ,即 ,整理后可得 ,解得 或 （舍）
【答案】(1) ；(2) ；(3) ，Q .
【解析】
【分析】
（1）利用数量积的定义得到 ,设过点 与 轴的垂线的垂足为点 ,再利用三角形面积公式整理即可；
（2）由（1）可分别求出 , , ,从而得到点 的坐标；
（3）由题,可得 ,代入 的式子中得到关于 的函数,根据 的范围求取最值即可,从而得到此时点 的坐标
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题Word版含解析
上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题一.填空题1.若集合，，，则实数_______；【答案】【解析】【分析】根据并集定义求结果.【详解】因为，，，所以.【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.2.已知关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______________；【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.3.函数的定义域_______________；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.4.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则等于___________；【答案】【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.5.函数的最小正周期为___________；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期. 【详解】，所以周期为；【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.6.等差数列中，，则该数列的前项的和__________.【答案】52【解析】由等差数列的性质可得+=2，代入已知式子可得3=12，故=4，故该数列前13项的和故答案为：527.已知函数，若函数为奇函数，则实数为_______；【答案】【解析】【分析】令,根据奇函数性质得,化简得结果.最后验证.【详解】令, 则为奇函数，因此当时，；满足条件.因此.【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.8.数列中，若，，则______；【答案】【解析】【分析】先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，，……，，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.9.设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则_______________.【答案】【解析】【分析】根据定义化简，再根据分段函数求结果.【详解】因为,因此.【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.10.在中，边上的中线，若动点满足（），则的最小值是_____________；【答案】【解析】【分析】先根据向量共线得在线段上，再根据向量数量积化简，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】因为，所以三点共线，且在线段上，设，又因为，故最小值为.【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力.11.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，，令，给出以下四个命题：①若与共线，则；②；③对任意的，有；④（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是____________ 【答案】①③④【解析】【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若与共线，则，故①正确；因为，，故②错误；因为，故③正确；因为，，则化简为：，等式左右两边相等，故④正确；综上，正确的序号为：①③④；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.12.已知为的外心，且，，则实数_____【答案】【解析】【分析】先点乘向量，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果. 【详解】两边同点乘向量，可得，，所以由向量投影得，所以，由正弦定理知：，【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.若平面向量和互相平行，其中，则（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先根据向量平行得方程解得x，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量和互相平行，所以，因为则或，选B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵中，角所对的边分别为，，或∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件．故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．15.函数，若存在，使，那么（）A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得或，选C【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.16.定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
绝密★启用前 上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-= 2．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ） A ．－15 B ．－9 C ．1 D ．9 3．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)∞-+∞U 4．已知直线:1l x y +=与双曲线2221x y a -=（0a >）交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若512DA DB =uu u r uu u r ，则a 的值为( ) A ．1713 B ．1913 C ．2113 D ．2 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明5．椭圆212x y +=的左焦点的坐标为________. 6．若12z i =+，则||z =________. 7．若(2,1)n =-v 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示） 8．双曲线221x y a+=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =________. 9．圆心为(1,2)C -且经过点(5,1)P 的圆的方程为________.10．倾斜角为4π的直线过抛物线22y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则||AB =______.11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．12．在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为_______.13．已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点，则11||||AF BF +的取值范围为________.14．已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+u u u ru u u r u u u r ，则23x y +的取值范围为________.三、解答题15．设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根的绝对值的和为2，求实数m 的值.16．已知点(1,)P a 在双曲线22:14y x Γ-=上.(1)求双曲线的两条渐近线方程；(2)求点(1,)P a 到两条渐近线距离的乘积. 17．已知椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点2，直线l 与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，11(,)p ax y =u r ，22(,)q ax y =r . (1)求椭圆的方程； (2)若p q ⊥u r r，直线l 经过点F ，求直线l 的方程. 18．已知抛物线2:2y px Γ=（0p >）经过点(1,2)P ，直线l 与抛物线Γ有两个不同的交点A 、B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)若直线l 过点(0,1)Q ，求直线l 的斜率的取值范围； (2)若直线l 过点(0,1)Q ，设(0,0)O ，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=uuu r uuu r ，求11λμ+的值； (3)若直线l 过抛物线Γ的焦点F ，交y 轴于点D ，DA AF λ=uu u r uu u r ，DB BF μ=uu u r uu u r ，求λμ+的值.参考答案1．D【解析】【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴i ﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题2．A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.3．C【解析】由题意得圆心为(,0)a ．圆心到直线的距离为d =，由直线与圆有公共点可得≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-．选C ．4．A【解析】【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系，再由512DA DB =uu u r uu u r 找到A 、B 两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a 的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=， 设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ，∵512DA DB =uu u r uu u r ，∴()()11225,1,112x y x y -=-， ∴12512x x =，212221a x x a -+=-，212221a x x a-⋅=-，∴1212x x x x +=⋅，2222551212x x x +=，211731717,512512x x ∴==⨯=，∴2122171725121a x x a -⋅=⨯=-，解得1713a =， 故选：A.【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a 的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题.5．(1,0)-【解析】【分析】由椭圆的标准方程求得椭圆的c ，可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】 根据椭圆2212x y +=的标准方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=，所以左焦点的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-.【点睛】本题考查椭圆的基本几何性质，属于基础题.6【解析】【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】∵12z i =+，∴||z ==【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.7．arctan 2【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期(4月)月考数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期（4月）月考数学试题一、单选题1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由公理2的推论()()12即可得到答案. 【详解】 由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得1234P P P P 、、、在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l P 时, 1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线, 故必要条件不成立; 故选:A 【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面; ()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;2．设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则（ ）A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行【答案】C【解析】利用空间中两直线的位置关系求解． 【详解】解：l αβ--Q 是直二面角，直线a 在平面α内， 直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，∴当//a l ，且//b l 时，由平行公理得//a b ，即a ，b 可能平行，故A 与D 错误；当a ，b 垂直时，则a 与b 在α内的射影垂直，由于二面角是直二面角，b 在α内的射影即为l ，则可证得a l ⊥，与已知矛盾， a ∴与b 不可能垂直，有可能平行．故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假性的判断，涉及空间中线线、线面的位置关系，考查推理证明的思想． 3．函数{}{}:1,2,31,2,3f →满足()()()f f x f x =，则这样的函数共有（ ）A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个【答案】D【解析】根据题意，分类讨论()1f 、()2f 、()3f 取不同的值进行讨论，得出结论． 【详解】解：根据题意，函数:{1f ，2，3}{1→，2，3}满足(())()f f x f x =， 当f （1）f =（2）f =（3）1=或2或3，共3个． 当f （1）1=；f （2）f =（3）2=或3，共2个． 当f （2）2=；f （1）f =（3）1=或3，共2个． 当f （3）3=；f （1）f =（2）1=或2，共2个．当f （1）1=；f （2）2=；f （3）3=；1个 所以这样的函数共有10个． 故选：D ． 【点睛】本题考查了映射的个数，涉及映射的定义，考查的分类讨论思想．4．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上动点，则PEQ ∆周长的最小值为( )A ． 22B 10C 11D ．3【答案】B【解析】由题意得：PEQ ∆周长取最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为M ，关于11B C 的对称点为N ，求出MN ，即可得到PEQ ∆周长的最小值． 【详解】由题意得：PEQ ∆周长取最小值时，P 在11B C 上，在平面11B C CB 上，设E 关于1B C 的对称点为M ，关于11B C 的对称点为N ， 连结MN ，当MN 与11B C 的交点为P ，MN 与1B C 的交点点M 时， 则MN 是PEQ ∆周长的最小值，2EM =，2EN 135MEN ∠=︒，242222()102MN ∴=+-⨯⨯⨯-PEQ ∴∆10．故选B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．二、填空题5．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有_____种排法．（用数字作答） 【答案】240【解析】a 必须在，因此先从剩下的5个字母中选3个，得到的4个字母再全排列，即可. 【详解】根据题意从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母,a 必须在，因此从剩下的5个字母中选3个与a 一起排列，共有3454240C A =(种). 故答案为：240. 【点睛】本题主要考查的是排列与组合，是基础题. 6．若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x项的系数，则2323222lim n n n a a a →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭ ． 【答案】8【解析】试题分析：由题意222n n n a C -=，322118()(1)21n n n n a n n n n -==--⋅-，∴2323222nna a a ++⋅⋅⋅+= 111118[(1)()()]2231n n -+-++--L 88n=-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=． 【考点】二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限． 7．二项式151()x x-的展开式中系数最大的项是第___项． 【答案】9【解析】根据二项式系数的性质可得，151()x x-展开式中，二项式系数最大是781515C C =，由此可得结论． 【详解】根据二项式系数的性质可得，151()x x-展开式中，二项式系数最大是781515C C =，是第8项或第9项，又151()x x-展开式中的奇数项为“+”，偶数项符号为“-”，∴二项式151()x x-的展开式中系数最大的项是第9项．故答案为：9． 【点睛】本题考查二项式定理的应用和二项式系数的性质，对二项展开式的理解是解题的关键． 8．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 _________ ．【答案】．【解析】试题分析：根据题意，计算出扇形区域ADE 和扇形CBF 的面积之和为，结合矩形ABCD 的面积为2，可得在矩形ABCD 内且没有信号的区域面积为，再利用几何概型计算公式即可得出所求的概率． 首先，因为扇形ADE 的半径为1，圆心角等于，所以扇形ADE 的面积为．同理可得，扇形CBF 的面积也为；然后又因为长方形ABCD 的面积，再根据几何概型的计算公式得，在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．【考点】几何概型． 9．记15251ii aa a a ==+++∑L ，若123454.47, 4.51, 4.61, 4.65, 4.76,a a a a a =====则5123,ii a==∑另有正整数(15)i A i ≤≤的和仍是23，若以i A 来估计,i a 则“误差和”51||iii A a =-∑的最小值为______．【答案】1.96【解析】先将5123i i a ==∑分解为1234523a a a a a ++++=，以i A 来估计i a ，根据绝对值的性质，得124A A ==，3455A A A ===时，51||i i i A a =-∑取到最小值，代入题中的表达式即可求出这个最小值． 【详解】解：根据题意，512345123i i a a a a a a==++++=∑，已知另有正整数(15)i A i ≤≤的和仍是23， 即1234523A A A A A ++++=，且123454.47, 4.51, 4.61, 4.65, 4.76,a a a a a ===== 可知“误差和”51||iii A a=-∑取最小值时，则124A A ==，3455A A A ===，此时：51|||4 4.47||4 4.51||5 4.61||5 4.65||5 4.76| 1.96i i i A a =-=-+-+-+-+-=∑.故答案为：1.96 【点睛】本题查了含有绝对值的最值问题，应用绝对值的性质进行放缩是解决本题的关键．10．在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 和BD 的交点，,,,P Q M N 分别是线段,,,OA OB OC OD 的中点，在,,,A P M C 中任意取一点E ，在,,,B Q N D 中任意取一点F ，设点G 满足向量OG OE OF u u u r u u u r u u u r=+，则在上述点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为__________． 【答案】34【解析】由题意知，G 点的位置受到.E F 点取法不同的限制，令(),E F 表示.E F 的一种取法，则()()()(),,,,,,,A B A Q A N A D ，()()()(),,,,,,,P B P Q P N P D ，()()()(),,,,,,,M B M Q M N M D ，()()()(),,,,,,,C B C Q C N C D 共有16 种取法，而只有()()()(),,,,,,,P Q P N M Q M N 落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4 个，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）概率1643164P -== ，故答案为34.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及随机变量的均值与方差的基本含义，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.11．设函数()6,121,1x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中含2x 项的系数是__________． 【答案】60【解析】根据分段函数的解析式先求出()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式，再根据利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，整理成最简形式，令x 的指数为2，求得r ，再代入求出结果即可. 【详解】解：由函数()6,121,1x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，当1x ≤-时，()21f x x =--， 此时()()min 1211f x f =-=-=，()()621f f x x ∴=--⎡⎤⎣⎦()621x =+，由二项式展开式的通项公式可得162r r rr T C x +=，当2r =时，含2x 项的系数为226260C ⨯=，故答案为：60. 【点睛】本题考查了分段函数的应用，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题． 12．由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则13a b >的概率为______． 【答案】16672000【解析】根据题意，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈，要使得13a b >，即：13a b >，分类讨论当1,2,3a =L 时，对应的b 的值，得出所有取法，即可求出13a b >的概率.【详解】解：由题可知，{}11000A x N x *=∈≤≤，且,a b A ∈， 要使得13a b >，即：13a b >，则有：当1a =时，1b =或2，有2种取法；当2a =时，b 的取值增加3、4、5，有2+3种取法； 当3a =时，b 的取值增加6、7、8，有223+⨯种取法；L L当333a =时，b 有23323+⨯种取法； 当3341000a ≤≤时，b 都有1000种取法.故()()()2223223233236671000131000a P b ++++⨯+++⨯+⨯⎛⎫>= ⎪⎝⎭L ()2333216636671000166710002000⨯+⨯+⨯==. 故答案为：16672000. 【点睛】本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力. 13．从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数()2f x ax bx c =++的系数，则使得()1Z 2f ∈的概率为 ．【答案】4190【解析】试题分析：首先从0,1,2,,9⋅⋅⋅这10个整数中任意取3个不同的数分别为,,a b c ，取法数为310720A =，使(1)2f Z ∈，即使a b c ++(0)a ≠为偶数的取法有12322325535254()()328C C A C A A A -+-=，所概率为3284172090=．【考点】古典概型． 14．已知当|1|2x <时，有21124(2)12n x x x x=-++-+-L L ，根据以上信息，若对任意1||2x <都有20123,(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++++-+L L 则11a =______． 【答案】910【解析】根据题意，通过类比可得当1||2x <时，有3693311()1n x x x x x =++++⋯++⋯-，从而得对任意1||2x <，都有20123311(1)(12)121n n x x a a x a x a x x x x x=⋅⋅=+++⋯++⋯-++-，要求11a 即为11x 的系数，然后根据分类计数原理，即可得答案． 【详解】 解：Q 当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x=-+-⋯+-+⋯+，①∴当1||2x <时，有3693311()1n x x x x x =++++⋯++⋯-，② 又对任意1||2x <， 都有20123311(1)(12)121n n x x a a x a x a x x x x x=⋅⋅=+++⋯++⋯-++-， 11a ∴即为11x 的系数，可取①中的10(2)x -，②中的1；或①中7(2)x -，②中的3x ； 或①中的4(2)x -，②中的6x ；或①中的()2x -，②中的9x ； ()107411(2)(2)(2)2910a ∴=-+-+-+-=，故答案为：910． 【点睛】本题考查二项式定理的应用和形式上的类比推理，同时考查分类计数原理，注意不重不漏．三、解答题15．在四棱锥P ABCD -中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥底面ABCD ，E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为2arctan.2（1）求PA 的长度；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小．(结果用反三角函数表示) 【答案】（1）2；（2）10arccos10. 【解析】（1）根据题意，由于PA ⊥底面ABCD ，利用线面垂直的性质，得出CD PA ⊥，进而可证出CD ⊥平面PAD ，根据PC 与平面PAD 所成的角求出PD 的大小，进而求PA 的大小；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线的夹角.【详解】（1）PA ⊥Q 底面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，CD PA ∴⊥，又在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，CD \^平面PAD ，PC ∴与平面PAD 所成的角为CPD ∠， 故2tan CD CPD PD ∠==， 又2CD =， 22PD ∴=，222PA AD PD +=，2PA ∴=，（2）以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0A ，0，0)，(2E ，1，0)，(0P ，0，2)，(0D ，2，0)∴(2AE →=，1，0)，(0,2,2)PD →=-，10cos ,||||AE PDAE PD AE PD →→→→→→∴<>==g g ， 所以异面直线AE 与PD 所成角的大小为10； 【点睛】 本题考查通过运用线面夹角求线段长和通过空间向量法求异面直线的夹角，还涉及线面垂直的性质和判定定理，考查计算能力．16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”， 并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x 元/张()x N ∈，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10%x ，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100%11x x +．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？【答案】（1）16万“足球迷”， 3万“铁杆足球迷”，（2）140元/张【解析】【详解】（1）样本中“足球迷”出现的频率=(0.160.100.06)0.516%++⨯=“足球迷”的人数=10016%16⨯=（万）“铁杆足球迷”=100(0.060.5)3⨯⨯=（万）所以16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人.（2）设票价为10010x +元，则一般“足球迷”中约有13(110%)x -万人，“铁杆足球迷”约有1003(1%)11x x -+万人去现场看球. 令10013313(110%)3(1%)1610111011x x x x x x -+-=--≤++ 化简得：2131136600x x +-≥解得：165,413x x ≤-≥或，由x ∈N ，4x ∴≥ 即平均票价至少定为100+40=140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人.【考点】频率分布直方图17．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝2，13DD =E 是C 1D 1的中点，F 是CE 的中点．（1）求证：EA ∥平面BDF ；（2）求证：平面BDF ⊥平面BCE ；（3）求二面角D ﹣EB ﹣C 的正切值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6. 【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，因为OF 是△ACE 的中位线，则OF ∥AE ，由线面平行的判定定理得证；（2）欲证平面BDF ⊥平面BCE ，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面BCE ，又DF ⊂平面BDF ，从而得到结论；（3）由（2）知DF ⊥平面BCE ，过F 作FG ⊥BE 于G 点，连接DG ，则DG 在平面BCE 中的射影为FG ，则∠DGF 即为二面角D ﹣EB ﹣C 的平面角，在三角形DGF 中求出此角的正切值即可．【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，可得OF 是△ACE 的中位线，OF ∥AE ， 又AE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EA ∥平面BDF ；（2）计算可得DE ＝DC ＝2，又F 是CE 的中点，所以DF ⊥CE又BC ⊥平面CDD 1C 1，所以DF ⊥BC ，又BC ∩CE ＝C ，所以DF ⊥平面BCE 又DF ⊂平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面BCE ；（3）由（2）知DF ⊥平面BCE ，过F 作FG ⊥BE 于G 点，连接DG ，因为DF ⊥BE ，DF FG F =I ，所以BE ⊥平面GDF ，从而DG ⊥BE ，所以∠DGF 即为二面角D ﹣EB ﹣C 的平面角，设其大小为θ，计算得3DF =，2FG =，tan 6DF FG θ==.【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面角的求法，考查了利用线面垂直证线线垂直，及二面角的定义与求解，属于中档题．18．正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是在底面上的射影，6PO =，Q 是AC 上的一点，过Q 且与PA 、BD 都平行的截面为五边形EFGHL ．（1）在图中作出截面EFGHL ，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）9.【解析】（1）根据题意，作辅助线，过Q 作//EL BD ，//QG PA 且过点E 作//EF PA ，交PB 于点F ，过点L 作//HL PA 交PD 于点H ，连接,,FG GH FH ， 即可得出截面EFGHL ；（2）由题意可知，//PA 截面EFGHL ，//BD 截面EFGHL ，根据PO ⊥平面ABCD ，利用线面垂直的性质和判定，可证出BD ⊥平面PAC ，则BD PA ⊥，进而得出EF EL ⊥，所以截面EFGHL 是由两个全等的直角梯形组成，设EQ x =，则QL x =，截面EFGHL 面积为S ，根据()S EF QG EQ =+，代入计算，最后利用二次函数求得最大值.【详解】解：（1）由题可知，Q 是AC 上的一点，过Q 且与PA 、BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，过Q 作//EL BD ，交AB 于点E ，交AD 于点L ，过Q 作//QG PA ，交PC 于点G ，再过点E 作//EF PA ，交PB 于点F ，过点L 作//HL PA 交PD 于点H ，连接,,FG GH FH ，//EF PA ∴，//HL PA ，//GQ PA ，////EF HL GQ ∴，所以,,,,E F G H L 共面，Q ∈平面EFGHL ，//EL BD Q ，EL ⊂平面EFGHL ，//BD ∴平面EFGHL ，同理//PA 平面EFGHL .所以过Q 且与PA 、BD 都平行的截面EFGHL 如下图：（2）由题意可知，//PA 截面EFGHL ，//BD 截面EFGHL ，//,//,//PA EF PA HL PA GQ ∴，//,//BD EL BD FH ，而O 是在底面上的射影，6PO =，PO ∴⊥平面ABCD ，BD AC ⊥，PO BD ∴⊥，且AC BD O =I ，所以BD ⊥平面PAC ，则BD PA ⊥，EF EL ∴⊥，又//FH BD Q ， P ABCD -为正四棱锥，PH PF ∴=，故PFG PHG ≅△△，于是GF GH =，因此截面EFGHL 是由两个全等的直角梯形组成，因//EL BD ，则AEL △为等腰直角三角形，设EQ x =，则QL x =， 所以，32232x EF BE OQ PA BA OA -===，13EF x PA ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，同理得，16QG x PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又因为PA == 设截面EFGHL 面积为S ，所以()222S EF QG EQ x x ⎛⎫=+=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，即：(2299922S x x =-+=-+，当且仅当x 时，S 有最大值为9.所以截面EFGHL 的面积最大值为9.【点睛】本题考查根据线面平面的性质进行作图和截面的面积最大值的求法，还涉及线面平行和垂直的性质和判定定理，考查空间想象能力和计算能力.。
上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)
2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（ ）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（ ）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。
上海市曹杨二中2019-2020学年高二上10月份月考数学试卷(无答案)
2019-2020 年曹二高二上10月月考试卷 一、填空题： 1. 在数列
2
1121,0,,,,,98nn……中，2
25是它的第____________项；
2. 若数列满足，则该数列从第____________项起为正值；
3. 若a > 3，则113lim3nnnnaa = ______________； 4. 观察下式： 222211,2343,345675,456789107，……，则可归纳
出结论_________________________________； 5. 已知等差数列中，，则
315
aa=______________；
6. 数列的前n项和为
nS，若112,nnaaS，则n
a=_____________；
7. 设为等差数列，
nS为数列前n项和，若10a，且，则当n = ____________时，n
S取得
最大值； 8. 若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n次分裂之后共有_____________个细胞！
9. 已知数列满足：
112,02121,12nnnnnaaaaa
，若167a，则2019a = _____________；
10. 平面上有n条直线，他们任意2条不平行，任何3条不共点，设k条这样的直线把平面
分成fk个区域，则k +1 条直线把平面分成的区域数1fkfk____________； 11. 在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差，
现给出以下命题： ①若数列满足
*
12121,1,3,nnncccccnnN
，则该数列不是比等差数列；
①若数列满足，则该数列是比等差数列，且比公差0； ①等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列； ①若是等差数列，是等比数列，则数列
2019-2020学年上海市嘉定二中高二上学期10月月考数学试题(解析版)
第1页共13页2019-2020学年上海市嘉定二中高二上学期 10月月考数学试、单选题则A .O ；③若n im %七，，则n i m a ^i mb n ；④若 其中正确命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】利用极限的性质与运算逐项判断即可 【详解】2 2对①，若lim a n =A ，则lim A ,故错误1对②，若a n 0 , l n im -a n 二A ，则可能A = 0 ;如：a n, A=0,故错误八n对③若lim a n-b n =0，则lima n ’limp n 可能不存在，如a^b^ - n ，故错误 n ^^n ^^ n -JaC11 f?22对④，若lim a . = A ，贝y lim a . =A ，正确 故选：A 【点睛】本题考查极限的运算即性质，考查推理能力，是基础题2 .在下列各式中，正确的是( 【答案】B【解析】由题意结合向量的数量积的运算法则逐一考查所给的选项是否正确即可 •【详解】逐一考查所给的选项：■勺N 山 I“ 呻F it 卄A.a b =]a b cosva,b =，若两向量的夹角不等于 0，贝U a b ^|a b ，题中说法错误；t 4 4 4 H 4 4 4^^ 4 44、、、B. 若a _ (b -c)，则a b -c )=a b -a c 二0 ,据此可得a b = a ，c ，题中说法正确;1.有下列四个命题：①若2 2nm an"则；②若 a n 0，n m a n 〃， lim a n= A 贝y lim a n2n f ： n ；:4 44■A .a b=abC. (a b)2B.若 a _ (b - c)，则 a b = a ca a c a = 0b = c【点睛】第2页共13页科时22 2 22 2C. （a b ） = a b cos ：：：a,b •，若两向量不共线，则（a b ）2= a b ，题中说法错误；D .若a b 二a c ，且a - o ，贝y bcos ：：： a b 二 c cos ：：： a c .，不一定有 b 二:，题中说法错误• 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，向量的运算法则，向量数量积的定义与计算等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力•T TH |4|3.已知0,62为不共线的非零向量， 且 旬，则以下四个向量中模最大的是（）1112 323*A .— e ◎B . 一ec. — 6]+ — 62D .— e+一仓22 334 455【答案】C【解析】由题意首先计算选项中所给的向量的平方，然后利用作差法比较大小即可 【详解】设向量6,62的夹角为日，向量不共线，则1-cosB >0则原问题等价于考查：字¥ , m 字，字去,字1 P 2的最大值，（2呻丄3吗）213丄12才 2 25综上可得，所给的四个向量中模最大的是 丄：••由于:122丿孑肓62丿5 4. cos-9 972—0，/4 2丿15^5勺丿212001-cos ；厂 0, 且:第3页共13页4 4 故选：C.【点睛】第2页共13页本题主要考查向量的模的计算，等价转化的数学思想，作差法比较大小的方法等知识, 意在考查学生的转化能力和计算求解能力•=BC 〔cosC -cosB ，故 BC x (cosC-cos B ) = 0，”•” cos B = cosC, B = CTIT结合B =C, A 可知△ ABC 为等边三角形• 3故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则， 由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 • A.直角三角形 【答案】CB.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【解析】由题得到相应的等量关系即可确【详解】 由题意可得:迅I BC _風彳耳(_cosB )+I A of I 丨A D彳BC 卜cosCACABACAB \AC 汇 cosA—斗 1 -----AB x ACAC 1，则△ ABC 的形状为( ) 且:二、填空题X x 2y =15 •线性方程组 的增广矩阵是|3x — y = —2【解析】由所给的方程组确定方程的增广矩阵即可【详解】【答案】<3 -1 —2丿由线性方程组X • 2y 二1可知其增广矩阵为:3x-y =-2故答案为:【点睛】本题主要考查增广矩阵的含义，属于基础题•46 .平面向量G =（3, —4）的单位向量坐标为 ________________ ,【答案】 1,_5【解析】 结合所给的向量将其单位化即可确疋平面向量的单位向量【详解】故答案为：3,-4 .155丿【点睛】本题主要考查向量的单位化及其计算，属于基础题22n +n+1 lim 厂 n —厂 n 3n【答案】2【解析】由题意结合极限的运算法则计算其极限即可【详解】 故答案为：2.【点睛】本题主要考查极限的运算法则，属于中等题•呻 厂呻 厂■* 4 H 48.设向量a =3>l2 , b=^2，若（a+^b ）丄（a —扎b ），则实数九= _________________________ , 【答案】-3【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于■的方程，解方程即可确定■的由所给的向量可知其单位向量为:7 .计算: 由题意可得:lim 2n 22 n n 13nVm：1 1 22n n=2.【详解】2 2由题意可得：(a r”b) (a -h b) =0,即：a - 2b - 0, 据此有：18 -2，2 =0,.. 乂 : <3. 故答案为：_3 • 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件， 方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力•4 49 •向量a=(3,1)在b = (2,—1)方向上的射影为 ____________________ . 【答案】,5【解析】由题意首先求得向量的数量积，然后利用射影的定义即可确定向量的射影 【详解】由题意可知：a b =3 2 1 -1， 且 b 二.，冇二,5,4 4据此可得向量a =(3,1)在b =(2, -1)方向上的射影为故答案为：,5 • 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算与几何意义，平面向量射影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力f 1 ) C )【答案】0, ,1 I 2丿12丿【解析】由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前 n 项和的极限得到a 1关于q的表达式即可确定首项的范围 •【详解】等比数列的极限存在，则：-V ：： q ::: 1且q = 0，即-1,0 U 0,1 .由等比数列的极限有：lim( a 1 a 2 ... ' a n )=产」,10 .在无穷等比数列a 冲,inim：(a i 比…鸟厂？，则a !的取值范围是Tq—U O,1 , ai,2 U 2,1 •f 1 % f l\ 故答案为：0, ,1 .I 2丿12丿【点睛】本题主要考查等比数列前 n 项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力•11.已知 O 为坐标原点，点 A(4,2) ,B(-6,-4),C(x, -1)共线，且 OC=：mOA nOB ， 贝 H mn =_______________ .1【答案】-4【解析】由题意首先利用共线的充分必要条件得到 x 的值，然后利用向量的坐标运算法则求得m , n 的值即可确定 mn 的值. 【详解】_4_2 _1+4ABC 三点共线，则：kwk Bc ，即：石，解得：X —，即C 十，结合 OC 二 mOA nOB 有: 一1, 一1 二 m 4,2 n -6, -4 ,1故答案为：丄.4【点睛】意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .12•已知两点P(2, -1 )、卩2(0,5 )，点P 在RP 2延长线上，且满足贝U P 点的坐标为 ________________ ，(2 )则:a i 1 -q1 1 -q整理可得:4m -6 n = -1(，解得:2m -4n = -11m -21， n =— - 2故mn=」-本题主要考查三点共线的充分必要条件,方程的数学思想，平面向量的坐标运算等知识,【答案】-=7I 3丿【解析】结合向量关系得到关于点的坐标的方程组，求解方程组即可确定点P的坐标.AB =3AF若AD= xAF yAE ,x, y R ，则x y 的值为2【解析】试题分7 D 为 BC 的中点【详解】由题意可得：式3^，设点P 的坐标为Px,y ,则:f 2) 故答案为： —一,7.I 丿【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算， 由向量求解点的坐标的方法， 方程的数学思想等知 识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力I l_ I I I | |13 .已知久B 匸为圆。
上海市嘉定二中2019_2020学年高二数学上学期10月月考试题(含解析)
上海市嘉定二中2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（每题5分，一共60分）：1.线性方程组2132x y x y +=⎧⎨-=-⎩的增广矩阵是___________.【答案】1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】由所给的方程组确定方程的增广矩阵即可. 【详解】由线性方程组2132x y x y +=⎧⎨-=-⎩可知其增广矩阵为：1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭.故答案：1 2 13 1 2⎛⎫⎪--⎝⎭．【点睛】本题主要考查增广矩阵的含义，属于基础题.2.平面向量(3,4)a =-r的单位向量坐标为___________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】结合所给的向量将其单位化即可确定平面向量的单位向量.【详解】由所给的向量可知其单位向量为：⎛⎫，即34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查向量的单位化及其计算，属于基础题.3.计算：2221lim 3n n n n n→∞+++=___________.【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合极限的运算法则计算其极限即可.【详解】由题意可得：22211221200limlim 233101n n n n n n n n n→∞→∞++++++===+++. 故答案为：2．【点睛】本题主要考查极限的运算法则，属于中等题.4.设向量a =r b =r ()()a b a b λλ+⊥-r r r r，则实数λ=___________.【答案】3± 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可确定λ的值.【详解】由题意可得：()()0a b a b λλ+⋅-=r r r r ，即：2220a b λ-=r r ，据此有：21820,3λλ-=∴=±. 故答案为：3±．【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.向量(3,1)a =r 在(2,1)b r=-方向上的射影为___________.【解析】 【分析】由题意首先求得向量的数量积，然后利用射影的定义即可确定向量的射影.【详解】由题意可知：()32115a b ⋅=⨯+⨯-=r r，且b ==r 据此可得向量(3,1)a =r 在(2,1)b r=-方向上的射影为a b a⋅==r r r【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算与几何意义，平面向量射影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.在无穷等比数列{}n a 中，121lim(...)2n n a a a →∞+++=，则1a 的取值范围是___________. 【答案】110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】由题意首先确定公比的范围，然后结合等比数列前n 项和的极限得到1a 关于q 的表达式即可确定首项的范围.【详解】等比数列的极限存在，则：11q -<<且0q ≠，即()()1,00,1q ∈-U . 由等比数列的极限有：112lim(...)1n n a a a a q→∞+++=-， 则：1111,122a qa q -=∴=-， ()()1,00,1q ∈-Q U ，11110,,1222q a -⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查等比数列前n 项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知O 为坐标原点，点(4,2)A ,(6,4)B --,(,1)C x -共线，且OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r,则mn =___________.【答案】14【解析】 【分析】由题意首先利用共线的充分必要条件得到x 的值，然后利用向量的坐标运算法则求得m ，n 的值即可确定mn 的值.【详解】ABC 三点共线，则：AB BC k k =，即：4214646x ---+=--+，解得：1x =-，即()1,1C --，结合OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r有：()()()1,14,26,4m n --=+--，整理可得：461241m n m n -=-⎧⎨-=-⎩，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故111224mn =⨯=.故答案为：14． 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，方程的数学思想，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知两点()1P 2，-1、()2P 0,5，点P 在12PP 延长线上，且满足1223PP PP =u u u u r u u u u r，则P 点的坐标为___________. 【答案】2,73⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】结合向量关系得到关于点的坐标的方程组，求解方程组即可确定点P 的坐标.【详解】由题意可得：1223PP P P =u u u u r u u u r，设点P 的坐标为(),P x y ，则： ()()1222,6,,5PP P P x y =-=-u u u u r u u u r ，故：()23635x y -=⎧⎨=-⎩，解得：237x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 则P 点的坐标为2,73⎛⎫-⎪⎝⎭. 故答案为：2,73⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，由向量求解点的坐标的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为_______．【答案】90o【解析】 【分析】根据条件,可知BC 为圆O 的直径,因而由直径所对圆心角为90︒可知,AB AC ⊥.【详解】由1+2AO AB AC =u u u r u u u r u u u r（），故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而090BAC ∠=，因此AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为090所以答案为90︒【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.10.如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点.F 为边AB 上的点，且3AB AF =u u u r u u u r，若AD x AF y AE =+u u u r u u u r u u u r，,x y R ∈，则x y +的值为 .【答案】52. 【解析】试题分析：D Q 为BC 的中点，，AD AB BD∴=+u u u r u u u r u u u r 1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF y AE⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，32x ∴=，1y =，35122x y ∴+=+=. 考点：平面向量的基底表示11.如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅u u u r u u u r的最大值为 ．【答案】8 【解析】 试题分析：由平面向量数量积知识得，cos '248AN AB AN AB NAB AM AB AM AB ⋅=⋅⋅∠=⋅≤⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r u u u r考点：1.平面向量数量积的概念.12.有一列向量{}{}{}1112222:(,),:(,),,:(,)n n n n n a a x y a a x y a a x y ===u u r u r u u r u u r u u r u u rL ，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列{}n a u u r ，满足13(20,13),(18,15)a a =-=-u r u u r，那么这列向量{}n a u u r 中模最小的向量的序号n =_______【答案】4或5 【解析】 【分析】由题意结合等差向量列的定义首先确定向量{}n a u u r的坐标表示，然后求解向量的模即可确定最小的向量的序号.【详解】由题意可得：()()()3118,1520,132,2a a -=---=u u r u r，则每一项与前一项的差所得的同一个向量为：()1,1， 结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：()201121n x n n =-+-⨯=-，()131112n y n n =+-⨯=+，即：()21,12n a n n =-+u u r，这列向量{}n a u u r 的模：n a ==u u r考查二次函数()2218585f x x x =-+，当18942x ==时，二次函数有最小值， 则这列向量{}n a u u r中模最小的向量的序号n =4或5.故答案为：4或5．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、选择题（每题5分，一共20分）：13.有下列四个命题：①若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=； ②若0n a >，lim n n a A →∞=，则0A >；③若()lim 0n n n a b →∞-=，则lim lim n n n n a b →∞→∞=；④若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=.其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A 【解析】 【分析】利用极限的性质与运算逐项判断即可【详解】对①, 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=±,故错误 对②, 若0n a >，lim n n a A →∞=，则可能0A =；如：1n a n=，A =0,故错误 对③,若()lim 0n n n a b →∞-=，则lim ,lim n n n n a b →∞→∞可能不存在，如n n a n b ==，故错误 对④，若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=，正确 故选：A【点睛】本题考查极限的运算即性质，考查推理能力，是基础题 14.在下列各式中，正确的是（ ）A. a b a b ⋅=⋅r r r rB. 若()a b c ⊥-r r r ，则a b a c ⋅=⋅r r r rC. 222()a b a b ⋅=⋅r r r r D. 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r ，则b c =r r【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的数量积的运算法则逐一考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：A . cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>r r r r r r ，若两向量的夹角不等于0o，则a b a b ⋅≠⋅r r r r，题中说法错误；B . 若()a b c ⊥-r r r ，则()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=r r r r r r r ，据此可得a b a c ⋅=⋅r r r r，题中说法正确；C . 2222()cos ,a b a b a b ⎡⎤⋅=⋅⨯<>⎣⎦r r r r r r，若两向量不共线，则222()a b a b ⋅≠⋅r r r r ，题中说法错误；D . 若a b a c ⋅=⋅r r r r ，且0a ≠r，则cos cos b a b c a c <⋅>=<⋅>r r r r r r ，不一定有b c =r r ，题中说法错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的概念，向量的运算法则，向量数量积的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知12,e e u r u u r为不共线的非零向量，且12e e =u r u u r ，则以下四个向量中模最大的是（ ） A. 121122e e +ur u u rB. 121233e e +ur u u rC. 121344e e +ur u u rD.122355e e +ur u u r 【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先计算选项中所给的向量的平方，然后利用作差法比较大小即可.【详解】设向量12,e e u r u u r的夹角为θ，向量不共线，则1cos 0θ->则原问题等价于考查：2121122e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r ，2121233e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r ， 2121344e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r ，2122355e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭u r u u r 的最大值，由于：2121111cos 2222e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ，2121254cos 3399e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ，21213106cos 441616e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ，212231312cos 552525e e θ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u r u u r ， 且：()221212131111cos 044228e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r u u r u r u u r ，()221212135451cos 0449972e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ur u u r u r u u r ，()2212121323211cos 04455200e e e e θ⎛⎫⎛⎫+-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ur u u r u r u u r ， 综上可得，所给的四个向量中模最大的是121344e e +ur u u r .故选：C.【点睛】本题主要考查向量的模的计算，等价转化的数学思想，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在ABC △，若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，且12AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u ru u u r u u u r ，则ABC △的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法判断【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则逐一考查所给的等式，得到相应的等量关系即可确定△ABC 的形状.【详解】由题意可得：()cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AB ACAB AC ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()cos cos BC C B =⨯-u u u r ，故()cos cos 0BC C B ⨯-=u u u r，cos cos ,B C B C ∴==，且：cos 1cos 2AB AC A AB AC A AB AC AB AC⨯⨯⋅===⨯u u u r u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r ，则3A π=， 结合,3B C A π==可知△ABC 为等边三角形.故选： C.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题（14+16+18+22=70分）：17.在四边形ABCD 中，AB u u u r ＝(6，1)，BC uuu r ＝(x ，y )，CD uuu r ＝(－2，－3)，且BC uuu r ∥DA uuu r. (1)求x 与y 的关系式；(2)若AC u u u r ⊥BD u u u r，求x 、y 的值．【答案】（1）0（2）62,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩【解析】 【分析】(1)利用向量的坐标运算求出BC uuu v 与DA u u u v，根据向量平行的充要条件可得结果；（2）利用向量的坐标运算求出AC u u u v 与BD u u u v，根据向量垂直的充要条件列方程，结合（1）的结论可得结果. 【详解】(1)因为＝＋＋＝(x ＋4，y －2)，所以＝－＝(－x －4，2－y )．又因为∥，＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0. (2)由于＝＋＝(x ＋6，y ＋1)，＝＋＝(x －2，y －3)．因为⊥，所以·＝0， 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1 当y ＝3时，x ＝－6，当y ＝－1时，x ＝2，综上可知或【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答. 18.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足*11()4n n S a n N =+∈.（1）若1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 满足21n n b a -=，求123lim(...)n n b b b b →∞++++. 【答案】(1)143a =，14133n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）32. 【解析】【分析】(1)由题意首先求得1a 的值，然后将递推关系式转化为关于1,n n a a +的关系式，进而可得数列的通项公式；(2)结合(1)的结论首先求得数列{}n b 的通项公式，然后求解其前n 项和的极限即可. 【详解】(1)递推关系式中，令1n =可得：111114S a a ==+，解得：143a =， 当2n ≥时，结合递推关系式：114n n S a =+，11114n n S a --=+， 两式作差可得：11144n n n a a a -=-，整理可得：113n n a a -=-， 据此可得数列{}n a 是首项为143a =，公比13q =-的等比数列，则：1114133n n n a a q --⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭；(2)结合(1)的结果可得：()21112141413339n n n n b a ----⎛⎫⎛⎫==⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则数列{}n b 是首项为43，公比为19的等比数列， 故123lim(...)n n b b b b →∞++++143311219b q ===--. 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .19.在平面直角坐标系中，已知点1(,2)A a ，*1(21,2)()n n n A A n n N +=+∈u u u u u u r .（1）若123OA A A u u u r u u u u r P ，求a 的值；（2）若1a =，求n OA u u u u r 的坐标.【答案】（1）52a =；（2）2(,2)n n ； 【解析】【分析】 (1)由题意首先求得23A A u u u u r 的值，然后利用向量平行的充分必要条件即可确定实数a 的值；(2)利用题意结合向量的坐标运算和等差数列的通项公式即求得n OA u u u u r的坐标. 【详解】(1)由题意可得：1(,2)OA a =u u u r ， 在*1(21,2)()n n n A A n n N +=+∈u u u u u u r 中令2n =可得：()235,4A A =u u u u r ，由向量平行的充分必要条件有：4250a -⨯=，解得：52a =； (2)设点n A 的坐标为(),n n n A x y ，由题意可得：111,2x y ==，且：()111,n n n n n n A A x x y y +++=--u u u u u u r ，即：11212n n n n nx x n y y ++-=+⎧⎨-=⎩， 据此可得：()()()121321n n n x x x x x x x x -=+-+-++-L ()213521n n =++++-=L ， ()()()121321n n n y y y y y y y y -=+-+-++-L 1212222n -=++++L()12122212n n -⨯-=+=-， 即()2,2n n A n ，则()2,2n n OA n =u u u u r .【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，等差数列的通项公式及其应用，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.设数列{}n a 前n 项和n S ，已知11a =，*3(1)()n n S na n n n N =--∈.（1）求证:数列{}n a 为等差数列，并求出其通项公式；（2）设12n n n b a a +=，又12...3n b b b m +++<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知k 为正整数且2k ≥，数列{}n c 共有2k 项，设121n n a c k =-，又122121111 (82222)k k c c c c --+-++-+-<，求k 的所有可能取值. 【答案】（1）证明见解析；65n a n =-；（2）1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）*215,k k N ≤≤∈；【解析】【分析】(1)当2n ≥时，由所给的递推关系式进行作差变形证明后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列，进一步可得数列的通项公式；(2)结合(1)中的通项公式裂项求和，然后结合题意可确定实数m 的取值范围；(3)首先确定数列{}n c 为等差数列，然后结合数列的单调性确定绝对值符号进行求和，得到关于k 的不等式，最后求解关于k 的不等式即可确定实数k 的所有可能取值.【详解】(1)当2n ≥时，11(1)3(2)(1)n n S n a n n --=----，3(1)n n S na n n =--， 两式作差得1(1)(1)6(1)n n n a n a n --=-+-，故16n n a a --=，所以数列{}n a 是公差为6的等差数列，又11a =，所以65n a n =-；(2)由于16n n a a +-=，故1121113n n n n n b a a a a ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 12111111113361n n b b b a a n +⎛⎫⎛⎫+++=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L ， 显然111361n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭单调递增，且11lim 136113n n →+∞⎛⎫-= ⎪+⎝⎭， 故133m ≥， 所以19m ≥. (3)65121121n n a n c k k -==--，则{}n c 是公差为60121d k =>-的等差数列， 故当1n k ≤≤时，12n c <;当12k n k +≤≤时，12n c >， 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，于是：()122121221211112222k k k k k k c c c c c c c c c c -++-+-++-+-=+++-+++L L L 22k k T T =-，注意到()32121n n n T k -=-，则2261212k k T k T k =-=-，题中的不等式即268121k k <-，所以00.088815.9216k <≈<<+≈<， 所以，k 的所有可取值为215,k k N ≤≤∈.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，裂项求和的方法，绝对值型等差数列前n 项和的求解，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。