三年级数学奥数拓展难题《还原问题》(倒推法解题)
还原问题
还原问题，指的是给出一个数的运算过程及结果，再求这个数的问题。
例一、按要求填数。
例二、
练习
1.
2.
例二、某数加上5, 乘以5, 减去5, 除以5, 其结果等于5。求这个数。
练习
1、某数加上6, 乘以6, 减去6, 除以6, 最后结果等于6。问这个数是几？
2、一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分。于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56。”小朋友，你知道于昆得多少分吗？
例三、贝贝、欢欢和迎迎三人各有一些连环画，贝贝给欢欢3本，欢欢给迎迎5本后，三人的本数都是10本。那么贝贝、欢欢和迎迎原来各有多少本？
例四、
例五、
练习
1、小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数都是25个，三人原来各有玻璃球多少个？
432 －24 ＋15 ×8
88 ＋6
－10 ×2 ×4
40 －6 ÷2 ＋7 ÷6
2、甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6本，这时三个组的图书本数同样多，都是45本。原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？
例四、 甲乙丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历卡多少张？
例五、
练习
1、甲、乙、丙三人各有一些连环画，如果甲给乙9本，乙给丙11本，丙给甲16本，那么这时三人各有连环画25本。他们原来各有连环画多少本？
2、甲、乙、丙三辆载重量不同的货车拉运一批货物，如果甲车拉的货物给乙车6吨，乙车拉的货物给丙车11吨，丙车拉的货物给甲车7吨，则三辆车所拉的货物都是20吨。问：甲、乙、丙三辆货车的载重量分别是多少吨？
例六、 小红、小青、小宁都喜爱画片。如果小红给小青11张西片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张？
例七、
练习
1、三年级三个班共有学生156人，若从一班调5人到二班，从二班调8人到三班，从三班调4人到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人？
2、三筐苹果共放90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重。甲、乙、丙筐原来各有苹果多少千克？
小结：
还原问题
★计算问题中：加变减，减变加，从后往前不奇怪；
乘变除，除变乘。分布书写更简便。
★可以借助流程图（火车图）来写题。
★还原问题解题方法：倒推法。
★应用题中，需要画图表示，一定要“有借有还”。
奥数知识点：还原问题
奥数知识点：还原问题
奥数知识点：还原问题
在小学数学应用题中,还有这么一类问题:依照题意叙述由后往前推算而求出原来的数.这类应用题,我们称之为还原问题.下面小编给大家精心搜集整理的奥数知识点：还原问题，欢迎阅读!
奥数知识点：还原问题
已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。
例1：
小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁?
分析与解答：从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是100÷10=10岁;加上2之后是10岁，没有加2之前应是10-2=8岁;没有缩小9倍之前应是8×9=72岁;减去7之后是72岁，没有减去7前应是72+7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。
例2：
某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台?
分析与解答：从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台和下午多卖的'20台合起来，即95+20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230+10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。
【15】三年级奥数-还原问题
雅思博教育三年级奥数学案
1还原问题
编号：15【学习提示】
“一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样
已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。
解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。
例1：一个减24加上15，再乘8得432，求这个数。
练习一
1，一个数加上3，乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3。这个数是几？
2，一个数的4倍加上6减去10，再乘2得88，求这个数。
3，一个数缩小2倍，再缩小2倍得80，求这个数。
例2：一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩8米。这段布原来
长多少米？
思路导航：根据题意，画出线段图。
？米8米余下的一半全长的一半
雅思博教育三年级奥数学案
2练习二
1，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这时还剩10
只西瓜。原有西瓜多少只？
2，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现船又行了睡
前剩下的一半，这时离乙地还有40千米。甲、乙两地相距多少千米？
3，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多1个，第二次取出余下的一半多1个，箱里
还剩下10个。箱里原有多少个苹果？
例3：甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三人的本数同
样多。乙原来比丙多多少本？
练习三
1，小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人的个数同样多。
2，甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6
本，这时三个组的图书本数同样多。原来乙组和丙组哪组的图书多，多几本？
雅思博教育三年级奥数学案
33，甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给
甲3张，那么他们每人各有30张。原来3人各有年历卡多少张？
例4：李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10
个，最后还剩65个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？
还原问题
还 原 问 题
一道题通常由条件和结论两部分组成，正常的一般是需要我们从已知条件出发，求出结论。但有时题目条件复杂、残缺、隐藏时，或结论是已知的，这时往往需要我们采取逆向思维，即从结论倒推到条件，从而可以更容易解决问题。这种解题方法叫做倒推法或还原法，我们把这类应用题叫还原问题。
例1．一个数的7倍加上3减去12乘以3得57，求这个数
解析：从最后的结果入手倒推
倒推过程：57÷3=19 19+12=31 31-3=28 28÷7=4
即这个数是4
例2．小马虎在计算两个数相减时，一粗心竟把被减数个位的6看成了9，减数十位的1看成了7，结果得88，问正确的结果应是多少？
解析：把被减数个位6看成了9，被减数增大了3，差也增大3，如果没看错，原来的差应是88-3=85
把减数十位的1看成了7，减数增大了60，但差会减小60，如果没看错，原来的差应是85+60=145 所以，正确的结果应是145
例3．百货商店出售彩色电视机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半多15台，还剩下75台。店里原有彩色电视机多少台？解析：倒推法分析
下午售出剩下的一半多15台，还有75台，说明剩下的一半正好是75+15=90台，那么上午卖完后，还有90×2=180台
上午售出总数的一半多20台，还有180台，说明总数的一半正好是180+20=200台，那么，总数就有200×2=400台
即原来有400台彩色电视机。
例4．学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵？
解析：题目告诉了我们抢完后的结果：乐乐的棵数是欢欢的2倍，求原来乐乐的棵数。可用倒推法。抢来抢去，总棵数不会变，由“现在乐乐的棵数是欢欢的2倍”，我们可以求出现在 欢欢拿了：36÷（2+1）=12棵，乐乐拿了：12×2=24棵。
簟十一讲 还原问题-小学奥数
初中数学题典网 / 1
第十一讲 还原问题
告诉你本讲的重点、难点
还原问题是给出了一个事物或一个数经过某些变化后的结果，要求原来的事物或数的问题．解答这一类的问题时，要根据题意，从所给的结果出发，抓住逆运算关系，由后向前一步步逆推做相反的运算，求得结果，这种方法叫做倒推法或还原法．
看老师画龙点晴，教给你解题诀窍
【例1】 -(1)班小图书箱第一天借出了存书的一半，第二天又借出43本，还剩32本．小图书箱原有图书多少本？
分析与解 小图书箱最后还剩32本书．由此可以往前推算：第二天没借出43本前（也就是第一天借出图书后），应有(32+43)本书，再根据“第1天借出了存书的一半”，可推算出这75本书也就是
第一天借出后的另一半，即相当于第一天借出的本数．这样，小图书箱原有的图书本数可求得．
第一天借书后还剩的本数：32+43=75(本)
原有图书的本数：75×2=150(本)
综合算式：(32+43)×2 =150(本)
答：小图书箱原有图书150本．
【例2】3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了31，第二只猴子吃了剩下的,31第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的41最后篮子里还剩下6个桃子，篮子里原有多少个桃子？
分析与解 从最后剩下的6个桃子，进行逐步倒推：6个桃子占第二只猴子吃剩下桃子的
8436,43411（个），就是第二只猴子吃剩下的桃子数；
8个桃子占第一只猴子吃剩下桃子的32311，可以求出第一只猴子吃剩的桃子数：12)311(（个）
12个桃子占篮里桃子数的32311，可以求出原来桃子的个数：18)311(12（个）．6
18)311(12)311()311()411(（个）
答：篮子里原有桃子18个．
【例3】有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克，先把甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的1倍，再把乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们现有的油增加1倍，最后同样把丙桶的油倒人甲、乙两桶，使甲、乙两桶的油各自增加1倍．这样各桶的油都是16千克，三桶原来各盛油多少千克？
小学思维数学讲义：还原问题(一)-含答案解析
1 还原问题（一）
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用倒推法解决问题．
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2. 了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3. 培养学生“倒推”的思想．
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。
口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
模块一、计算中的还原问题
【例 1】 一个数的四分之一减去5，结果等于5，则这个数等于_____。
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第3题
【解析】 方法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是10，所以这个数是104=40。
方法二：令这个数为x,则1554x，所以40x。
【答案】40
【例 2】 某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？
【考点】计算中的还原问题 【难度】1星 【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】 分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减例题精讲 知识点拨 教学目标
奥数 还原问题
第1页共1页 还原问题
有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。
1. 从最后得数出发，采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。
2. 原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。
3. 根据原题的叙述顺序，在下面列出数量关系式，再用逆运算的方法得出原数。
二.经典例题
例1.有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23 去除，商是16，余数是11．这个数是多少？
分析：我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算出哪个数呢？
加上37 乘以18 减去323 除以23
？？？？商16余11
解：我们采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。
从后面数第一个问号：16×23+11=368+11=379
从后面数第二个问号：379+323=702
从后面数第三个问号：702÷18=39
从后面数第四个问号即所求的数：39-37=2
答：这个数是2.
练一练：一个数扩大3倍，再增加70，然后减少50，得80.这个数是多少？
例2.四年级的四个班共有学生168人，到了第二学期，学校把班级学生作如下调整：把四班的3名学生调到三班，三班的6名学生调到二班，二班又调6名学生到一班，一班再调2名学生到四班，这时四个班的学生同样多，求四个班原来各有学生多少人？
第2页共2页 分析：知道四个班最后学生一样多，且四个班的总人数是168，则可求出四个班最后学生人数：168÷4=42
四班的人数 42名
小学奥数还原问题经典例题讲解
小学奥数还原问题经典例题讲解: 还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题， 它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或 还原法，这种问题就是还原问题.
还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道
理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推.
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反。
挑砖
【例】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥
哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。
问最初弟弟准备挑多少块？
【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题"就知
道：哥哥挑“（26+2）-2 = 14”块，弟弟挑"26-14=12"块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，
乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘
（除）以几，还原时应为除（乘）以几。 对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又 便于验算。
例】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100
元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？
【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过 来做（倒推）。由"第二次取余下的一半多100元"可知，"余下的一半少100元”是 1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350乂2=2700（元）
用同样道理可算出"存款的一半"和"原有存款"。综合算式是：
三年级还原问题
Page 1 of 12还原问题
知识结构
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是
以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：倒推法。口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，
变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
重难点
（1）还原法的知识点
（2）画图在解题过程中的应用
例题精讲
【例 1】某数先加上3，再乘以3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？
【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘以3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果
没减去2，此数是：，如果没除以2，此数是：，如果没乘以3，此数是：
，如果没加上3，此数是：，综合算式，原数是5.
【答案】5
【巩固】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数，如果用它加上6，然后乘以6，再减去6，
最后除以6，所得的商还是6，那么这个数是。1021212224
24388351022335
Page 2 of 12【考点】计算中的还原问题【难度】1星【题型】填空
【关键词】可逆思想方法【解析】将最终结果进行逆推，得：666661（）【答案】1
【例 2】学学做了这样一道题：某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，求这个数．小
小学举一反三-三年级-第30周--“还原”解题
第30周 “还原”解题
专题简析：
“一个数加上3,乘3，再减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。解答还原问题,一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想.
解答还原问题，我们可以根据题意,从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。
例1 小芳问爷爷现在多大年纪。爷爷说：“把我的年龄加上25再除以4,减去15后乘10,正好是100岁。”问爷爷现在多少岁？
练习一：
1.小明问爷爷今年多大年纪。爷爷说:“把我的年纪加上18，除以4，再减去20，然后用9乘，恰好是27岁。”问爷爷现在多少岁？
2.牧童正在草地上放羊，一位旅行者问牧童:“你这群羊有多少只？”牧童回答：“把我的羊的只数除以6，乘以3，加上2，再乘2,正好等于100.请你算算我有多少只羊？”
3.四年级的小红与小英正在玩扑克牌游戏。小红手中的牌“J”代表11、“Q"代表12、“K”代表13,小红叫小英任意抽一张牌，把代表这张牌的数字先减去6,再加上9，然后除以3，最后乘2，小英依次算好后告诉小红最后的得数是10，请问小英抽到的是哪张牌?
例2 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本连环画、乙给丙5本连环画后，三个人连环画的本数同样多.乙原来比丙多多少本连环画？
练习二：
1.小松、小明、小航各有玻璃球若干个.如果小松给小明10个玻璃球，小明给小航6个玻璃球后，三人玻璃球的个数同样多。小明原来比小航多几个玻璃球?
2.甲、乙、丙三个组各有一些图书。如果甲组借给乙组13本图书后，乙组又送给丙组6本图书，这时三个组图书的本数同样多.原来乙组和丙组哪个组的图书多？多几本?
3.甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张.如果甲给乙13张年历卡，乙给丙23张年历卡,丙给甲3张年历卡，那么他们每人各有30张年历卡。问原来三人各有年历卡多少张?
三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第10讲 用倒推法解题提高篇(解析版)全国通用
编写说明
例题精讲
第十讲 用倒推法解题
本节课教学目标：
1. 掌握用倒推法解单个变量的还原问题。
2. 理解用倒推法解多个变量的还原问题。
3. 培养学生“倒推”的思想。
【例1】 牛老师带着37名同学到野外春游。休息时，小强问：“牛老师您今年多少岁啦?”牛老师有趣地回答：“我的年龄乘以2，减去16后，再除以2，加上8，结果恰好是我们今天参加活动的总人数。”聪明的你知道牛老师今年多少岁吗?
分析：（倒推法）我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推。这个数没加上8时应是多少?没除以2时应是多少 ? 没减去16时应是多少?没乘以2时应是多少?这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数。没加上8时应是：38-8=30；没除以2时应是：30×2=60；没减去16时应是：60+16=76；没乘以2时应是：76÷2=38，即[(38-8)×2+16]÷ 2=38(岁).
说明：解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.
【例2】 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物。第一天运出总数的一半少12克。第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克。问蚂蚁家原有食物多少克?
分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生理解。如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重31×2=62(克)。那么，一半的重量是62—12=50(克)，原有食物50×2=100(克)。 即 [(43-12)×2-12]×2=100(克).
【例3】 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123。正确的答案是多少?
分析：（倒推法）把个位上的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上的8看作3，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去。所以正确的和是123+50- 4=169。即：123+(80-30)- (9-5)=169.