河北省承德市围场卉原中学2020届高三下学期第七次周测数学(理)试卷(PDF版,含解析)
理科数学第1页共4页 高三数学（理科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分，,时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合2lg34AxZyxx
,24xBx则AB( )
A.2,4 B.2,4 C.3 D.2,3 2.已知5tan12,且3,22,则sin2( )
A.513 B.513 C.1213 D.1213 3.下列四个命题中,正确的有( ) ①随机变量服从正态分布1,9N,则1023PP
②000
3,sincos2xRxx
③命题2",20"xRxx的否定是2",20"xRxx ④复数123,,zzzC,若2212230zzzz则13
zz
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知在等比数列na中,0na,222415539002,9aaaaaa,则2020a( )
A.10103 B.10093 C.20193 D.20203 5.如下图所示，是一个几何体的三视图,则此三视图所描述几何体的表面积为( )
A.1243 B.20 C.2043 D.28
6.2020年,一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学, 不得不在家“停课不停学”. 为了解高三学生居家学习时长,从某校的调查问卷中,随机抽取n个学生的调查问卷进行分析,得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示）,已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n的值为（ ）
A.40 B.50 C.60 D.70 理科数学第2页共4页
7.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒 头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”. 如右图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行如图的程序框图， 则输出的n＝（ ）
A.25 B.45 C.60 D.75
8.已知实数,xy满足,20,5,yxxyxy则22zxy的最大值为( ) A.252 B.254 C.258 D.1259 9.已知两个夹角为3
的单位向量,ab.若向量m满足1mab,则m的最大值是( )
A.31 B.31 C.2 D.621 10.已知抛物线22yx的焦点为F,其准线与x轴的交点为Q,过点F作直线与此抛物线交于,AB两点,若0FAQB,则AFBF( ) A.3 B.2 C.4 D.6
11.将函数xy2sin的图像向右平移02个单位长度得到)(xf的图像，若函数)(xf在区间
0,3上单调递增，且)(xf的最大负零点在区间5,1212
上，则的取值范围是( )
A.]4,6( B.)4,6( C.]4,12( D.[,]124 12.已知函数32ln1xfxxeaxx在1,上有两个极值点,且fx在1,2上单调递增,
则实数a的取值范围是( ) A.,e B.2,2ee C.22e D.22,22eee
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分(共90分).第13 ～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23
为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上） 13.二项式833
xx
的展开式中的常数项为 .
14.已知双曲线222210,0xyabab的左顶点为A,右焦点为F,点0,Bb,双曲线的渐近线上存在 一点P,使得,,,ABFP顺次连接构成平行四边形,则双曲线C的离心率e . 理科数学第3页共4页
15.定义在R上的函数fx对任意xR，都有112,214fxfxffx，则2020f . 16.如图，矩形ABCD中，23,AB2,ADQ为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其 中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ， 则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为 ；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的半径R ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分12分) 如图,,CMCN为某公园景观湖畔的两条木栈道,120oMCN,现拟在两条木栈道的,AB处设置观景
台,记,,.BCaACbABc （Ⅰ）若,,abc成等差数列，且公差为4，求b的值； （Ⅱ）已知12,AB记,ABC试用表示观景路线ACCB的长，并求观景路线长ACCB的最大值.
18.(本小题满分12分) 为迎接“五一国际劳动节”，某商场规定购买超过6000元商品的顾客可以参与抽奖活动.现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品,从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台,检测它们充满电后的工作时长,相关数据见下表(工作时长单位:分) 机器序号 1 2 345 6甲品牌工作时长∕分 220 180 210220200 230
乙品牌工作时长∕分 200 190 240230220 210
（Ⅰ）根据所提供的数据,计算抽取的甲品牌的扫地机器人充满电后工作时长的平均数与方差; （Ⅱ）从乙品牌被抽取的6台扫地机器人中随机抽出3台扫地机器人,记抽出的扫地机器人充满电后工作时长不低于220分钟的台数为X,求X的分布列与数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图，三棱柱111ABCABC中，AB侧面11BBCC，已知13BCC，1BC，1
2ABCC，
点E是棱1CC的中点. （Ⅰ）求证:1
CB平面ABC；
（Ⅱ）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面11ABE所成角的 正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由. 理科数学第4页共4页
20.(本小题满分12分) 已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为e,点(1,)e在椭圆E上，点(,),(,),AaBbAOB
的面积为32,O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程; （Ⅱ）若直线l交椭圆E于,MN两点,直线OM的斜率为1k,直线ON的斜率为2k,且1219kk,
证明:OMN的面积是定值,并求此定值.
21. (本小题满分12分) 设函数2lnfxxaxx
.
（Ⅰ）若当1x时，fx取得极值，求a的值，并求fx的单调区间.
（Ⅱ）若fx存在两个极值点12,xx，求a的取值范围，并证明:212142fxfxaxxa.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是cos,()2sinxy为参数.以坐标原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，,AB为曲线C上两点,且OAOB,设射线:0.2OA
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）求OAOB的最小值.
23.(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 已知函数()121fxxx,若()fx的最大值为k；
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）设函数()gxxk,若2b,且()bgabaga,求证:1a.. 1
数学模拟考试（七）答案 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.D【解析】由2340xx得2340xx，则14x，又由xZ得0,1,2,3x.所以 0,1,2,3A,而[2,)B.从而{2,3}AB.故选D.
2.D【解析】因为5tan()tan12,所以12sin()cos213.故选D. 3.B【解析】①正确；②由于sincos2sin()24xxx，则错误；③正确；④当1223131,,zzzzizz时，所以错误；故选B.
4.C【解析】设公比为q，由2224152900aaaa得2224242900aaaa,则2430aa,所以22(1)30aq,又539aa，从而2339aqa
得29q，则23a，所以
20182100910092019202022()393,aaqaq故选C.
5.B【解析】从三视图中可判断出几何体为一个圆锥和圆柱拼接而成，所围成的表面积为圆锥的侧面，圆柱的侧面和圆柱的一个底面。圆锥的底面半径为2，高为23，可由轴截面求出母线的长度为4，所以圆锥侧面18Srl，圆柱的高2h，底面半径2r，所以圆柱的侧面面积228Srh，圆柱底面面积234Sr，所以几何体的表面积为12320SSSS.故选B.
6.B【解析】依题意，得[12(0.050.050.15)]25n，解得50n.故选B.
7.D【解析】由于nn时100mn，3(100)3nSn，则令3(100)1003nn得75n， 故选D. 8.D【解析】根据不等式组画出可行域为AOB(内部及其边界),其中55510(,),(,),0,0,2233ABO
22zxy表示坐标原点与可行域内点距离的平方,所以点510(,)33BO与点距离最大,所以
22max510125
339z
,故选D.
9.B【解析】设31,22a,31,22b为符合题意的两个向量,则(3,0)ab,即(3,0)C,而 1mab,则m的终点在以C为圆心,1为半径的圆上,从而当m的终点在点(31,0)D处时,m最大,
且max31m,故选B.
河北省承德市(新版)2024高考数学部编版模拟(综合卷)完整试卷
河北省承德市（新版）2024高考数学部编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(2)题以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（）A．B．C．D．第(3)题点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则该球的表面积为A．B．C．D．第(4)题已知一个三棱锥的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体外接球的表面积是（）A．B．C．D．第(5)题已知随机变量，若，则（）A．0.36B．0.18C．0.64D．0.82第(6)题21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（）A．19B．38C．51D．57第(7)题在中，，，，设点为的中点，在上，且，则（）A．16B．12C．8D．第(8)题复数z满足：（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．2C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（）A．事件、、两两互斥B．事件与事件对立C．D．事件、、两两独立第(2)题设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（）A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定D．若确定，则不唯一确定第(3)题在某节体育课上，体育老师对某班学生进行了立定跳远测试，其中有一组学生的成绩数据如下（单位：m）：1.74，1.87，1.81，1.81，1.88，1.99，那么（）A．这组学生成绩的平均数是1.85B．这组学生成绩的中位数是1.84C．这组学生成绩的众数是1.87D．这组学生成绩的方差是0.036 2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）第(2)题已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．第(3)题已知实数，满足：，，且，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加（，且）次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；方案①：若中奖则得30分，否则得0分；方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．(1)如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；(2)记顾客甲第i次获得的分数为，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．（精确到0.1，参考数据：．）第(2)题如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角，，．(1)求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别和曲线和交于、、、四点，若为的中点，为的中点，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．第(3)题某公司生产、两种产品，且产品的质量用质量指标来衡量，质量指标越大表明产品质量越好．现按质量指标划分：质量指标大于或等于82为一等品，质量指标小于82为二等品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标产品81240328产品71840296（Ⅰ）请估计产品的一等奖；（Ⅱ）已知每件产品的利润（单位：元）与质量指标值的关系式为：已知每件产品的利润（单位：元）与质量指标值的关系式为：（i）分别估计生产一件产品，一件产品的利润大于0的概率；（ii）请问生产产品，产品各100件，哪一种产品的平均利润比较高．第(4)题为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：(1)计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；(2)用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.第(5)题在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点为直线：与椭圆：的一个交点，且，.（1）证明：直线与椭圆相切；（2）已知直线与椭圆：交于，两点，且点为的中点.（i）证明：椭圆的离心率为定值；（ii）记的面积为，若，证明：.。
河北省衡水中学2020届高三下学期七调试题理(数学解析)
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1答案：C 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 解：∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选C ．点评：本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为（ ） A. 110 B. 110-C.310D. 310-答案：A 【分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 解：由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A.点评：本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱答案：A 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.点评：该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.已知双曲线22:1124x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8答案：C 【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可.解：不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C点评：本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ< D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>答案：B 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 解：1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.点评：离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和答案：A【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选A．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52答案：C 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．解：由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 点评：本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题. 8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足3AOBS=，则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513答案：C 【分析】 由AOBS，可得()3sin αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sin3cos sin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解.解：由()13sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()3sin 2αβ-=. 根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.131112sin3cos sin sin sin sin cos 222222636213cos sin ααααππππααβββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选C.点评：本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.9.已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦答案：D 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 解：f （x ）=2sin （ωx﹣3π）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx﹣3π）=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx﹣3π=76π+2kπ，∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．点评：本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．10.已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ） A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D. 14,127⎛⎫⎪⎝⎭答案：C 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.解：设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 点评：本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③若1A DM 的面积为S ，则23,233S ⎛∈ ⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：C 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④. 解：连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确；连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的判定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确； 连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OA C D AC =,即1113OA C D OM AC ⋅===, 所以1A DM的最小面积为111122A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=所以若1A DM 的面积为S ,则S ∈⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 故选:C点评：本题考查面面垂直的判断,考查线面垂直的判断,考查空间中线面关系的判断,考查空间想象能力.12.已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定 答案：A 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.解：由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得001xe x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==，设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e-=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e ---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A.点评：本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题（共4题，每题5分）13.已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为__________. 答案：240 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.解：二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn r r n T C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选C.点评：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞， 上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 答案：乙 【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想.解：如果甲、乙两个同学回答正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾， 所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误， 此时丙正确，则乙就是错误的. 故答案为乙.点评：本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用. 15.已知ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，则3m n +的值为__________.答案：45【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．解：因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 点评：本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题． 16.已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 答案：()2,4由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，则22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B B B B B B ===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B +=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，则1cos 12B <<，换元可令cos t B =，则2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本题应填()2,4．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由.答案：（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【分析】（Ⅰ）由已知求得a 2，a 4，再由-a 1，21a2，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．解：（Ⅰ）由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 点评：本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的判定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的判定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；（2）根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 则(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以OB OA AB OA DC =+=+=， 由已知1(3,,0)2G，所以(3,2,BE =-，10,,2BG ⎛= ⎝， 设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则32012m BE x y m BG y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取3x =，6y =，z =m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以31cos ,||||4936m n m n m n ⋅<>===⋅+，即二面角B EG D --的余弦值为14.点评：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=.（1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.答案：（1）22142x y +=；（2）存在满足条件的直线，斜率12k =-±. 【分析】（1）由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的标准方程;（2）由（1）可得22b c =．222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y则()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-=，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出．解：（1）易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b 2=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（2）由已知得22b c =,222a c =设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c +=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-= 圆的半径r 3c ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-r =,3c =即2202010k k +-=，解得12k =- 故存在满足条件的直线．点评：本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立.①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小.②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.答案：（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法.②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.解：（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.点评：本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.21.已知函数()()ln ,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1讨论()f x 的单调性；()2当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.答案：(1) 当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x在10,2a ⎛ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增.；(2) 104a << 【分析】（1）根据()40f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得4b a =，得到()4ln 2x a f x ax x =-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定14a ≥的情况；在104a <<时，首先求得2x =为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中存在一个零点0x ；根据()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可确定另一个零点04x ，从而可知104a <<满足题意.解：（1）由()424ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+= ⎪⎝⎭，得4b a = 则()4ln 2x a f x ax x =-+，()222144(0)a ax x af x a x x x x-+-'=--=> 若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，()24h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x =>又()24h x ax x a =-+-开口向下 当10x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在10,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在⎝⎭上单调递增 （2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点； 当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增 ()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x << ()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=()4ln 2x a f x ax x=-+ 23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a -+=-++= 令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增 由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭ ()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()20f x >，221x a > 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点 故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x 点评：本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值；（2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.答案：（1）（2）(0,.【分析】（1）将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的距离的最大值；（2）由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>4<，即可求得a 的取值范围.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(cos sin )2ρθρθ-=-)x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ，则P 到直线l的距离d ==)6t π=++， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,. 点评：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=答案：证明过程详见解析【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立123222a a +++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果解：证明：(1)要证()()24a b ab c abc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220a c ac a c b bc +-++-≥，即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab c abc ++≥成立．(2)因,,a b c均为正实数，123222a a+++≤=，当且仅当12a+=时，取等号，123222b b+++≤=当且仅当12b+=时123222c c+++≤=当且仅当12c+=时，取等号，62a b c d+++≤=1a b c===时，取等号．点评：本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．。
河北省承德市高中2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
承德市高中2023—2024学年第二学期期末考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章5.4至5.7，必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向左平移个单位长度3．某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，，，…，，后来复查数据时，又将，重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．众数4．在中，角的对边分别是，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量满足，且，则向量的夹角是（ ）A ．B ．C ．D ．6．在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）ABC ．D7．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差12iz i+=z sin 2y x =πsin(26y x =+π12π6π12π61x 2x 3x 9x 3x 9x ABC ∆,,A B C ,,a b c 13,6,sin 4a b A ===B =π5π66或π2π33或π6π3a b ，22a b == 22a b -=,a b π6π32π35π6P ABCD -4,2,PA AB E ==PD AE PC 38一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑。
2023-2024学年河北省承德市高一下册期中联考数学试题(含解析)
2023-2024学年河北省承德市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．2i-D ．2【正确答案】A【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由()1i 3i z +=-，则3i12i 1iz -==-+，所以z 的虚部为2-．故选：A ．2．下列说法中不正确的是（）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．单位向量是模为1的向量D ．方向相反的两个非零向量必不相等【正确答案】B【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A 正确；方向相反的两个非零向量一定共线，B 错误；单位向量是模为1的向量，C 正确；根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确；故选:B.3．在ABC 中，若3,4,5AB BC AC ===，则BC AC ⋅=（）A ．16-B ．16C ．9D ．0【正确答案】B【分析】根据题意得到AB BC ⊥，再根据数量积和向量的加法法则即可求解．【详解】由3,4,5AB BC AC ===，则222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以()2216BC AC BC AB BC BC AB BC BC ⋅=⋅+=⋅+==．故选：B ．4．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3π3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（）A ．16B ．16C ．6+D ．6【正确答案】D【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6π3π3πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323=-⨯故选：D.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30a =，25b =，42A = ，则此三角形解的情况为（）A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．有无数解【正确答案】C【分析】利用正弦定理可得5sin 6B A =，由sin A 的取值范围可求得sin B 的范围，结合大边对大角可知B 为锐角的一个，由此可得结果.【详解】由正弦定理sin sin a bA B =得：sin 5sin sin 6b A B A a ==，sin 30sin sin 45A << ，1sin 22A ∴<<，则55sin 12612<<A ，5sin 11212B ∴<<<，a b > ，A B ∴>，B ∴只能为锐角的一个值，ABC ∴ 只有一个解.故选：C.6．已知ABC 的三边长分别为a ，3a +，6a +，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A ．23B ．34C ．45D ．38【正确答案】B【分析】设ABC 的最小内角为α，利用正弦定理得到6cos 2a aα+=，再利用余弦定理得到()15cos 26a a α+=+，进而即可求解．【详解】设ABC 的最小内角为α，由正弦定理得6sin sin2a a αα+=，整理得6cos 2a aα+=，又余弦定理得()()()222(3)(6)15cos 23626a a a a a a a α+++-+==+++，所以()615226a a a a ++=+，解得12a =，则3cos 4α=．故选：B ．7．已知点O 是ABC 所在平面内一点，若非零向量AO 与向量cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭共线，则（）A ．OAB OAC ∠=∠B ．0OA OB OC ++= C ．OB OC=D ．0AO BC ⋅= 【正确答案】D【分析】计算得出0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ ，可得出0AO BC ⋅= ，即可得出结论.【详解】因为0cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+=-+= ⎪⎝⎭，所以BC 与cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭垂直，因为AO 与cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭共线，所以AO BC ⊥ ，则0AO BC ⋅= .故ABC 均无法判断，D 对.故选：D.8．将函数sin2y x x =+的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围为（）A ．3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,42π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到()π2sin 223f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的单调性求出函数()f x 的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．【详解】由πsin22sin 23y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象，则()()ππ2sin 22sin 2233f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由πππ2π222π232k x k ϕ-+≤-+≤+，k ∈Z ，得5ππππ,1212k x k k ϕϕ-+≤≤++∈Z ，又()f x 在4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则π4ππ1235πππ12k k ϕϕ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩，k ∈Z ，解得17ππ125ππ4k k ϕϕ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，即5π17πππ,412k k k ϕ-≤≤-∈Z ，又π02ϕ<<，则当1k =时，π5π412ϕ≤≤，即ϕ的取值范围是π5π,412⎡⎤⎢⎣⎦．故选：C ．二、多选题9．若复数z 为纯虚数，则（）A ．z z +为实数B ．z z -为实数C ．2z 为实数D ．i z ⋅为实数【正确答案】ACD【分析】根据题意，设i(R z m m =∈且0)m ≠，得到i z m =-，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为z 为纯虚数，设i(R z m m =∈且0)m ≠，则i z m =-，由0z z +=，所以A 正确；由2i z z m -=，所以B 错误；由22z m =-为实数，所以C 正确；由i i i z m m =⋅=-⨯=为实数，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数()tan f x x =，则下列关于函数()f x 的图象与性质的叙述中，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．π4π55f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】ABC【分析】根据正切函数的性质画出()tan f x x =图象，即可判断A 、B 、C 的正误，由正切函数及诱导公式求π4π,55f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断D.【详解】函数()tan f x x =的大致图象，如下图示，由上图象，易知：()f x 最小正周期为π、()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增、图象关于直线π2x =对称，故A ，B ，C 正确，又ππ4π4π4πππtan ,tan tan πtan tan 5555555f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π4π55f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选：ABC.11．已知非零向量a ，b满足42a b -= ，则下列结论正确的是（）A ．若a ，b 共线，则||4||2a b +=B ．若a b ⊥ ，则22164a b +=C ．若22166a b += ，则44a b += D ．14a b ⋅≥-【正确答案】BD【分析】当a ，b 同向时即可判断A ；根据a b ⊥ ，有0a b ⋅= ，再对42a b -= 两边平方即可判断B ；根据()22224421612a b a b a b -++=+=，求解即可判断C ；对42a b -= 两边平方，再结合基本不等式，绝对值不等式即可判断D ．【详解】对于A ，由22244816a b a a b b =-=-⋅+ ，()22244816a ba ab b =+=+⋅+，所以当a ，b同向时，88a b a b -⋅=-⋅ ，此时42a b +≠ ，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅= ，42a b -= ，两边平方得22164a b += ，故B 正确；对于C ，由()22224421612a b a b a b -++=+= ，所以2|4|8a b +=，即4a b += C错误；对于D ，由222448168816a b a a b b a b a b a b =-=-⋅+≥⋅-⋅≥-⋅，得14a b ⋅≥- ，故D 正确．故选：BD ．12．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2(sin sin )(2sin sin )sin A B B C C +=+，且sin A >）A ．cos c a a C -=B ．a >cC ．c >aD ．π3C >【正确答案】ACD【分析】利用正弦边角关系可得2222()a b c b c a +-=-，结合余弦定理及锐角三角形知cos c a a C -=、0c aa->判断A 、B 、C 正误；再由正弦边角关系得sin sin 1cos C A C =+，应用倍角公式得tan23C >，注意π02C <<，即可得范围判断D 正误.【详解】由正弦边角关系知：2()(2)a b b c c +=+，则22222a ab b bc c ++=+，所以2222()a b c b c a +-=-，而222cos 02a b c C ab+-=>，则cos c a a C -=，A 正确；由上知：0c aa->，即c a >，B 错误，C 正确；由cos c a a C -=知：sin sin sin cos C A A C -=，则22sincos sin 22sin tan 1cos 22cos 2C C CC A C C===+，又π02C <<，故π024C <<，则ππ624C <<，即ππ32<<C ，D 正确.故选：ACD三、填空题13．计算：3i1i+=-___________.【分析】由复数的除法化简复数，进而求模即可.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2++++===+-+-14．已知3a = ，向量b 在a 上的投影向量为23a - ，则⋅=a b __________.【正确答案】6-【分析】设向量,a b的夹角为θ，根据投影向量的概念，再结合数量积的概念即可求解．【详解】设向量,a b的夹角为θ，由b 在a方向上的投影向量为23a - ，则2cos 3a b a a θ⋅⋅=- ，即cos 23b a θ⋅=- ，所以()cos 326a b a b θ⋅=⋅=⨯-=-．故6-．15．已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【正确答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径r ，设割出的圆半径为a ，圆心为C ，由r CO a =+求得a ，从而求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为r ，∴21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为a ，圆心为C ，∴2πsin 6aCO a==,33r CO DC a ==+=，故1a =，所以最大的圆周长为2π.故2π16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若O 为ABC 的重心，OB OC ⊥，34b c =，则cos A =__________．【正确答案】56【分析】根据πADB ADC ∠+∠=及余弦定理建立方程得出2225b c a +=，再由余弦定理求解即可．【详解】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，由题意得D 为BC 的中点，OB OC ⊥，所以12OD BD CD a ===，32AD a =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以22222291914444cos cos 0313*******a a c a ab ADB ADC a a a a +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，得2225b c a +=，又34b c =，则43b c =，故2222222112243555cos2255346b c b cb c a b cAbc bc c b+--+-⎛⎫⎛⎫===+=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故56．四、解答题17．已知虚数z满足z=(1)求证：5izz+在复平面内对应的点在直线y x=上；(2)若z是方程2240(R)x x k k++=∈的一个根，求k与z.【正确答案】(1)证明见解析(2)10k=，12iz=-±【分析】（1）由题设可得5i iz z zz+=+，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；（2）将复数iz a b=+代入方程求参数即可.【详解】（1）设iz a b=+(,R,0)a b b∈≠，由z=，则5zz=，所以5i i i(i)i()()iz z z a b a b a b a bz+=+=++-=+++，所以5izz+在复平面内对应的点为(,)a b a b++，在直线y x=上.（2）同（1）设复数i(,R,0)z a b a b b∈≠=+，因为z是方程2240(R)x x k k++=∈的一个根，所以22(i)4(i)0a b a b k++++=，即22224(44)i0a b a k ab b-++++=，所以222240a b a k-++=且440ab b+=，得1a=-，因为225a b+=，所以2b=±，把1,2a b =-=±代入222240a b a k -++=得：10k =，所以10k =，12i z =-±.18．已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当4,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()(2)y f x f x =++的最值.【正确答案】（1）π3π()2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最小值-【分析】（1）由函数()f x 的图象，求得2A =，24T =，得到π()2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由()12f -=，求得3π4ϕ=，即可得到函数()f x 的解析式；（2）化简得到函数()(2)y f x f x =++π4x =-，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象，可得2A =，24T =，即2π8T ω==，所以π4ω=，可得π()2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()12f -=，即ππ(1)2π,42k k ϕ⨯-+=+∈Z ，可得3π2π,4k k ϕ=+∈Z ，又由0πϕ<<，所以3π4ϕ=，所以函数()f x 的解析式为π3π()2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意，函数()(2)y f x f x =++π3ππ3π2sin 2sin (2)4444x x ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3ππ3π2sin 2cos 4444x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ44x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.因为4,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π,434x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ42x =，即2x =时，y 取最小值-；当ππ43x =-，即43x =-时，y本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()2,,cos ,cos m b c a n A B =-= ，且m n ⊥ .(1)求角A ；(2)若ABC 的周长为ABC 外接圆的半径为1，判断ABC 的形状，并求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3(2)等边三角形，4【分析】（1）由m n ⊥ ，可得2cos cos cos c A a B b A =+，后由正弦定理结合()sin sin A B C +=即可得答案；（2）由（1），ABC 的周长为ABC 外接圆的半径为1，可得b c +=后由余弦定理可得3bc =，解出b,c 即可得答案.【详解】（1）因为m n ⊥ ，所以()2cos cos 0b c A a B -+=，即2cos cos cos c A a B b A =+.由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，所以2sin cos sin C A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =.因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，则1R =.由正弦定理，得2sin a R A =.因为ABC 的周长为b c +=由余弦定理，得22222cos ()33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，所以3bc =.则3b c b c bc ⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩所以ABC 为等边三角形，ABC的面积11sin 322S bc A ==⨯.20．已知向量a ，b 满足||2a = ，(2)(2)12a b a b -⋅+=-，a b ⋅= ．(1)求向量a 与b 的夹角θ；(2)求||a ．【正确答案】(1)6π(2)2【分析】（1）由(2)(2)12a b a b -⋅+=- ，||2a = ，解得||2b = ，再由向量的数量积，即可得出答案．（2）22||()a a = ，由向量的数量积，即可得出答案．【详解】（1）解：因为(2)(2)12a b a b -⋅+=- ，所以22||4||12a b -=- ，因为||2a = ，所以244||12b -=- ，解得||2b = ．而a b ⋅=，所以cos ||||a b a b θ⋅== 又[0,]θπ∈，所以6πθ=．（2）解：因为||2a = ，||2b =，a b ⋅=所以()2222||||3||422344a a a b b -=-⨯=⋅+=-= ，所以||2a = ．21．2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲､乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130m /min ，索道AB 长为1040m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==.(1)求山路AC 的长；(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【正确答案】(1)1260m(2)当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短【分析】（1）利用123cos ,cos 135A C ==，可得sin ,sin CB ，后由正弦定理可得答案；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.由图，题意，余弦定理可得()22200377050DE t t =-+，即可得答案.【详解】（1）在ABC 中，因为123cos ,cos 135A C ==，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()5312463sin sin πsin sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+=⨯+⨯=⎣⎦.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得()104063sin 1260m 4sin 655AB AC B C =⨯=⨯=.所以山路AC 的长为1260m ；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.此时，()10050m AD t =+，130m AE t =，所以由余弦定理得()()222212(10050)(130)21301005020037705013DE t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+23512500074003737t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短.22．已知圆O 的半径为2，圆O 与正ABC 的各边相切，动点Q 在圆O 上，点P 满足2AO AQ AP += .(1)求222PA PB PC ++ 的值；(2)若存在(),0,x y ∈+∞，使得CP xPA yPB =+ ，求x y +的最大值.【正确答案】(1)51(2)5【分析】（1）方法1，由题可得O 为正三角形ABC 中心，则0OA OB OC ++= ，||||||4OA OB OC === ，又由2AO AQ AP += ，可得||1OP = ，后注意到222222()()()PA PB PC PO OA PO OB PO OC ++=+++++ 即可得答案；方法2，以点O 为坐标原点，直线OA 为y 轴，过点O 与直线OA 垂直的直线为x 轴建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则可得22222cos (4sin )PA PB PC ⎡⎤++=+-⎣⎦θθ 22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ22cos )(2sin )⎡⎤+-++⎣⎦θθ，化简后可得答案；（2）方法1，由CP xPA yPB =+ ，可得()()()111x y PO x OA y OB ++=-+- ，平方后结合（1）可得()215()1848150x y x y xy +-+-+=，后由基本不等式可将其化为()2()650x y x y +-++≤，即可得答案；方法2，由（1）结合CP xPA yPB =+ ，可得)1422cos ,sin 11y x y x y x y θθ---==++++，则()22221661055cos sin x y xy x y θθ++--++⇒==.后由基本不等式可将其化为()2()650x y x y +-++≤，即可得答案.【详解】（1）方法1，由题意知120,0AOB BOC AOC OA OB OC ===++=∠∠∠，且||||||4OA OB OC === ，44cos1208OA OB OA OC OB OC ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯=- ，2,AO AQ AP AO AP AP AQ +=∴-=- ，PO QP P ∴=⇒ 为OQ 的中点.||2,||1OQ OP =∴= ，222222()()()PA PB PC PO OA PO OB PO OC ∴++=+++++ ()222232PO PO OA PO OB PO OC OA OB OC =+⋅+⋅+⋅+++ ()222232PO OA OB OC PO OA OB OC =++++⋅++ 31616162051PO =++++⋅= ；方法2，如图，以点O 为坐标原点，直线OA 为y 轴，过点O 与直线OA 垂直的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()()0,4,2,2A B C ---.由2AO AQ AP += 得()2AO AO OQ AO OP ++=+ ，所以2OQ OP = .||2,||1OQ OP =∴= ，设()cos ,sin P θθ，则()cos ,4sin ,PA =--θθ ()()cos ,2sin ,2cos ,2sin PB PC =---=--θθθθ.则22222cos (4sin )PA PB PC ⎡⎤++=+-⎣⎦θθ 22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ()223cos sin 4851θθ=++=；（2）方法1，,CP xPA yPB =+ ()()CO OP x PO OA y PO OB ∴+=+++ .0∵++=OA OB OC ，OP PO =- ，()()()111x y PO x OA y OB ∴++=-+- .两边平方得：()()222222(1)(1)(1)211x y x OA y OB x y OA OB OP ++=-+-+--⋅ ，由（1）得8OA OB ⋅=- ，则()215()1848150x y x y xy +-+-+=.()22215()1815484812()2x y x y x y xy x y +⎛⎫∴+-++=≤⨯=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取“=”号），整理得()2()65015x y x y x y +-++≤⇒≤+≤，即x y +的最大值为5；方法2，由（1）()()cos ,4sin ,cos ,2sin ,PA PB =--=----θθθθ ()cos ,2sin PC =--θθ，又CP xPA yPB =+ ，则()()()cos cos cos cos x y x y θθθθ-=-+-=--+，()()()2sin 4sin 2sin 42sin x y x y x y θθθθ+=-+--=--+.可得)1422cos ,sin 11y x y x y x y θθ---==++++.则()22221661055cos sin x y xy x y θθ++--++⇒==，整理得()222616164()1()55525x y x y x y xy x y +⎛⎫+-++=≤=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时等号成立），整理得()2()650x y x y +-++≤，解得15x y ≤+≤.所以x y +的最大值为5.。
2023年河北省承德市承德县中考二模数学试题(含解析)
2023年河北省承德市承德县中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．2条2．下列算式中，与有理数A．360dm7．在解答一道习题时，嘉嘉先作出了分线AE，发现作的是同一条线段，则A．等腰直角三角形A．130°9．已知正整数ab=A．3a=，2A．72包11．如图，一艘快艇从续航行到达C地，若A．5海里12．某款钟表的分针长度为πA．5cm13．厨师将一定质量的面团做成拉面时，A．y与S之间满足的函数关系式为2,60B．点B的坐标为()C．若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为D．若面条的横截面面积不超过0.8mm14．如图，在边长为2的正六边形纸片A．6B15．A，B两个容器分别盛有部分液体，升倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，中液体全部倒入B容器，并打开嘉嘉：当点D，E分别在AC，AB上移动时，点О到点A的距离为定值；淇淇：当PQ为圆О的直径时，线段PQ的长最大．关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（）A．两人的说法都正确，线段PQ的最大值为52B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段PQ长度的最大值为48∥时，线段PQ的长度最大C．淇淇的说法有问题，当DE BCD．这道题目有问题，PQ的长度只有最小值，没有最大值二、填空题三、解答题-，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形ABCD 19．如图，数轴上点M对应的数为10的边AD在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线→→→→绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知A B C D A10AB=，30BC=，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为的代数式表示，不必写范围）．t≤≤，即点Р在BC边上时，点Р对应数轴上的数为(2)若60a=，当520(1)若得到6m=，求输入的x(2)若得到的m值比n值大，那么输入的21．我们把满足222a b c的三个正整数+=(1)抛掷一次硬币，甲移动到圈C 的概率为__________；(2)抛掷两次硬币，用画树状图的方法求甲移动到圈D 的概率；(3)抛掷三次硬币，甲移动到圈B 与回到圈A 的可能性一样吗？请说明理由．23．如图1，公园的一组同步喷泉由间隔2米的6个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高为1m 的喷嘴中向同一侧喷出，其最高点随时间匀速变化，发现由最高变为最低用时5s ，然后从最低变为最高，又用时5s ，重复循环．建立如图2所示的平面直角坐标系，变化的抛物线的对称轴始终为直线1x =，水流最高时距地面2m ，水流在地面的落点距喷嘴最远水平距离为3m ．(1)求水流最高时所对应的抛物线解析式；(2)水流最低时，对应抛物线的顶点坐标为_________，在喷泉水流高低变化过程中，水流始终经过对称轴右侧一点，该点的坐标为____________．(3)当水流最高时，淇淇以2m/s 的速度从喷泉最高处的正下方跑过，若淇淇的身高为1.6m ，请通过计算说明，他是否会被淋湿?24．如图1， BAC经过Rt ABC △的三个顶点，圆心O 在斜边AB 上，4AC =，直径AB 所对的弧长为AC长的3倍；将等腰Rt ADE △的直角顶点D 放置在边BC 上，EF BC ⊥于点F ．(1)ABC ∠=_________︒；(2)求证：ACD DFE △△≌；(3)如图2，当点E 落在AB 上时，求EF 的长．25．如图，在平面直角坐标系中有()4,1M -，()1,6N 两点，从点照向线段MN 上的动点P ．(1)求直线MN 的解析式；(2)若光线AP 的解析式为y mx n =+，请写出范围；(3)若光线AP 经过MN 的反射后落在的值．26．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AH BC ⊥于点H ．在EFG 中，FG(1)当点E在DA上运动时，∥时，求AE的长；如图1，连接AF，当EG AF如图2，设FG与BC的交点为M，当顶点G落在CD上时，求CM的长；，请用d表示PH的长，(2)如图3，点E在AB上运动时，EG交AH于点P，设AE d并求出PH长度的最小值．参考答案：故选：A．【点睛】此题考查了直线的条数，熟练掌握直线的特征是解题的关键．2．D【分析】根据有理数的加减，乘除法法则逐项判断即可．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形线合一”的性质是解题的关键．8．D则BCA MBC∠=∠∴BAC BCA∠=∠∴5BC BA==海里．过点B作BD⊥∴1BD AB==此时，OF 垂直平分GJ ，正方形的中心也是∴60GFO ∠=︒，GOF ∠=设FM x =，则MO MG =∴32x x +=，解得x =此时点О距离边BC 最近由勾股定理可得BC =∴36AB AC AF BC⋅==故10OF AF AO =-=在Rt OFQ △中，QF =由树状图可知：抛掷两次硬币，移动后所有等可能的结果共种，∴抛掷两次硬币，甲移动到圈由树状图可知，抛掷三次硬币，移动后所有等可能的结果共种，回到圈A的结果有3种，∴38 P B P A==（移到圈）（回到圈）∴抛掷三次硬币，甲移动到圈B与回到圈∵直径AB所对的弧长为 AC长的∴1180603AOC∠=⨯︒=︒，∴1302ABC AOC∠=∠=︒．故答案为：30；【点睛】本题考查平行线的判定与性质、锐角三角函数、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．。
河北省承德市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
河北省承德市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若点P在曲线上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）函数在区间内单调递增，那么m的范围为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·汉中模拟) 已知复数z满足z（ +3i）=16i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A .B . 2C . 4D . 84. （2分） (2016高二下·马山期末) 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（）A . 4个B . 2个C . 3个D . 1个5. （2分） (2019高三上·海淀月考) 某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得分,负者得分,平局两人各得分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为（）A .B .C .D .6. （2分）若对于任意的实数 x ，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3 ，则 a2 的值为（）A . 3B . 6C . 9D . 127. （2分）复数，在复平面上对应的点位于（）C . 第三象限D . 第四象限8. （2分）所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电. 属于哪种推理？（）A . 演绎推理B . 类比推理C . 合情推理D . 归纳推理9. （2分） (2018高二上·淮北月考) 将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……………则在表中数字2017出现在（）A . 第44行第80列B . 第45行第80列C . 第44行第81列D . 第45行第81列10. （2分）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）C . 12万件D . 13万件11. （2分）(2017·漳州模拟) 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2 ，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A .B . 2C . 3D .12. （2分）(2017·邹平模拟) 在[﹣2，2]上随机地取两个实数a，b，则事件“直线x+y=1与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相交”发生的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二上·林芝期末) 已知函数，则函数的图像在点处的切线方程为________.14. （1分）集合A={x|x2+2x﹣3=0}，集合B={x|ax=3}，若A∩B=B，则实数a的值组成的集合为________．15. （1分）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.02，则抽查一件产品是正品的概率为________．16. （1分） (2018高二下·乌兰月考) 计算： ________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （15分）某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全程赛程共需比赛多少场？18. （10分）(2019·菏泽模拟) 已知函数 .（1）求的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.19. （5分）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？20. （5分）用反证法证明：关于x的方程x2＋4ax-4a＋3＝0，x2＋(a-1)x＋a2=0，x2＋2ax-2a＝0，当或a≥ - 1时，至少有一个方程有实数根.21. （10分） (2016高一上·南充期中) 目前，成都市B档出租车的计价标准是：路程2km以内（含2km）按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费（即单价为1.9×（1+50%）=2.85元/km）．（现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑）（1）将乘客搭乘一次B档出租车的费用f（x）（元）表示为行程x（0＜x≤60，单位：km）的分段函数；（2）某乘客行程为16km，他准备先乘一辆B档出租车行驶8km，然后再换乘另一辆B档出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆B档出租车完成全部行程更省钱？22. （5分） (2016高三上·呼和浩特期中) 已知函数．（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、。
河北省承德市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
河北省承德市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·德州期中) 已知f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜f'（x），则不等式 f（2）的解集是（）A . （﹣∞，2）∪（1，+∞）B . （﹣2，1）C . （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D . （﹣1，2）2. （2分）(2017·武汉模拟) 若（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 ，则a1+2a2x+3a3x+4a4+5a5=（）A . 80B . 120C . 180D . 2403. （2分） (2017高二下·芮城期末) 已知随机变量满足，， .若，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分）(2017·石嘴山模拟) 上饶高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有（）种．A . 24B . 36C . 42D . 605. （2分） (2019高一上·应县期中) 已知幂函数y＝f(x)的图象过点(9，3)，则log4f(2)的值为（）A .B . －C . 2D . －26. （2分）(2020·许昌模拟) 我国著名数学家华罗庚先生曾说图像数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图像的特征，已知函数的图像如图所示，则函数的解析式可能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二下·吉林期中) 甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为和，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是（）A .B .C .D . 18. （2分）安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为（）A . 72B . 96C . 120D . 1569. （2分）(2017·嘉兴模拟) 随机变量X的分布列如下表，且E（X）=2，则D（2X﹣3）=（）X02aP pA . 2B . 3C . 4D . 510. （2分） (2019高二下·南充月考) 若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x-y+1=0，则（）A . ，B . ，C . ，D . ，11. （2分） (2016高二下·肇庆期末) 定积分（2x+ex）dx的值为（）A . e+2B . e+1C . eD . e﹣112. （2分）(2019·黄山模拟) 已知a= ，则（x- ）5展开式中x-1项的系数为（）A . 10B . -10C . 80D . -80二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·龙岩期中) 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程为:914-1184830不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知 ________．14. （1分） (2016高二下·海南期中) 将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种（用数字作答）．15. （1分）已知m∈[0，4]，则曲线（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在于y轴上的椭圆的概率为________．16. （1分）将正整数排成如图所示：其中第i行，第j列的那个数记为aij ，则数表中的2015应记为________ ．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2018高三上·邵东月考) 己知函数， +1.（1）若，曲线y＝f（x）与在x＝0处有相同的切线，求b；（2）若，求函数的单调递增区间；18. （15分） (2019高二上·奉新月考) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：）得频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于，新养殖法的箱产量不低于”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量旧养殖法新养殖法附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）19. （10分） (2019高一上·莆田月考) 已知函数 .（1）当函数的值域为，求的定义域；（2）计算和，猜想值并加以证明.20. （5分）(2017·湖南模拟) 某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100）、第二组[100，110）…第六组[140，150]．图（1）为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；（Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面2×2列联表（即填写空格处的数据），并判断是否有99%的把握认为“进入决赛的同学成为种子选手与专家培训有关”．[140，150]合计参加培训58未参加培训合计4附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. （10分） (2017高二下·芮城期末) 已知函数在处有极值 .（1）求，的值；（2）判断函数的单调性并求出单调区间.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
2020届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学理科试题(解析word版)
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知全集U =R ，集合{}2|2A y y x x R ==+∈，，集合(){}lg 1B x y x ==-，则阴影部分所示集合为A. []12，B. ()12，C. (12]，D. [12)，【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由函数,得到,由函数,得到,即,；全集,则.所以B 选项是正确的．考点：集合的运算.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2. 复数3a iz a i+=+-(其中a R ∈，i 为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12-，则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】先化简复数z ，再求得其共轭复数，令其虚部为12-，解得2a =，代入求解即可. 【详解】由题意得()()()()()331313331010a i i a i a ia z a a i i i ++++-=+=+=+--+， ∴()31311010a ia z +-=-，又复数z 的共轭复数的虚部为12-， ∴31102a +=，解得2a =. ∴5122z i =+，∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念及复数的几何意义，属于基础题. 3. 若2,,aa a ab ac a π-===，则,,a b c 的大小关系为A. c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】B 【解析】【详解】分析：首先确定a 的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()2210,1a ππ-==∈，即1a <函数()xf x a =单调递减，则1a a a >，即a a a >，由于a a a >，结合函数的单调性可得：aa a a a <，即bc >，由于01a <<，故1a a <，结合函数的单调性可得：1aa a a >，即c a >，综上可得：,,a b c 的大小关系为b c a >> . 本题选择B 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 4. 函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性可排除A 、C ；再由(1)f 的正负可排除D.【详解】()21e 1cos cos 1e 1e x x x f x x x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，()1e cos()1e x xf x x ----=-=+e 1cos e 1x x x -+ ()f x =-，故()f x 为奇函数，排除选项A 、C ；又1e(1)cos101ef -=<+，排除D ，选B. 故选：B.【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.5. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ） A. 15B. 815C.35D.320【答案】D 【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物， 基本事件总数：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况： 烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种 糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种 糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种 包含的基本事件个数为：54， 所以，其概率为54336020= 故选：D【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.6. 已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC ⋅的值是（ ） A. 2 B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 相连，O 和AB 的中点E 相连，从而得到,ODAC OE AB ，根据数量积的计算公式及条件可得出259·,?22AO AC AO AB ==，而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，即可得出AO BC ⋅的值．【详解】如图，取AC 中点D,AB 中点E,并连接OD,OE, 则,ODAC OE AB ；∴ 2212519·,?2222AO AC AC AO AB AB ==== ∴ ()259822AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= 故选C.【点睛】解题的关键是要熟练的运用数量积的公式cos a b a b θ⋅=以及三角形法则．7. 给出下列五个命题：①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；②命题“0x ∀＞，有1x e ≥”的否定为“00x ∃≤，有01x e ＜”； ③“平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“•0a b <”； ④在锐角三角形ABC 中，必有sin sin cos cos A B A B +>+；⑤{}n a 为等差数列，若()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，则m n p q +=+其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据或命题与且命题的性质判断①；根据全称命题否定的定义判断②；根据“ •0a b <，夹角有可能为π判断③；由2A B π+>，利用正弦函数的单调性判断④；根据特例法判断⑤.【详解】对于①，若p q ∨为真命题，则p 与 q 中至少有一个为真命题， p q ∧ 不一定为真命题，故错误.对于②，命题“:0p x ∀＞，有1x e ≥”,则p ⌝为00x ∃>，有01x e ＜ ,故错误. 对于③， 若 •0a b < 平面向量a ，b 的夹角为可能为π，故错误. 对于④，在锐角三角形ABC 中，必有02A B π<+<,即,22A B B A ππ>->-，所以sin cos sin cos A B B A ，>>，所以sin sin cos cos A B A B +>+，故正确；对于⑤，在等差数列{}n a 中，若,n a t t =为常数，则1234a a a a +=+满足，()*,,,m n p q a a a a m n p q N +=+∈，但是1234+=+不成立，即m n p q +=+ 不成立，故错误，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逻辑联接词的应用、全称命题的否定、向量的数量积、正弦函数的单调性以及等差数列的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 8. 已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()()'2f x f x f x <<，则()()1:2f f 的取值范围为 A. (),2e e B. 11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C. ()3,e eD. 211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【详解】令()()()()2,xxf x f xg xh x ee==，则()()()2'2'0xf x f x h x e-=<，()()()''0xf x f xg x e-=>，()()()()12,12g g h h ∴，()()()()()()22421212111,,2f f f f f e e e e e f e∴∴<<，选D ． 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.9. 已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A. 2B. 1:2C. D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C 的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0）， ∴直线FA 为：x +2y-2=0， 当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN ∴==， :FM MN=1:10. 定义12nn p p p +++为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A.111 B.112C.1011D.1112【答案】C 【解析】【分析】由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和. 【详解】由已知得12121nn a a n a =++++， ∴()1221n n a a a n n S +++=+=，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==， 11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴故选：C【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 11. 对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0yy xeax x ---=成立，则实数a 的取值范围是 A. 24251(,]e e e- B. 4253[,)e eC. 425(0,]eD. 24253[,)e e e- 【答案】B 【解析】【分析】原方程化为21ln yx y e a x -=+，令()[]ln ,1,xf x a x e x=+∈，令()[]21,1,5y g y y e y -=∈-，可得()1,f x a a e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，利用导数研究函数()g y 的单调性，利用数形结合可得41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，得到关于a 不等式组，解出即可.【详解】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+， 令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,xf x f x x -=≥递增， 故()1,f x a a e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====， 要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B.【点睛】本题考查了函数单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想,是一道综合题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将问题转化为41254,,a a e e e⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.12. 如图，在正方体1111ABCDA B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论： ①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A. ①③B. ②④C. ①②④D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ， 连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1， 直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为arctan2，故②正确； 过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确； 垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体， 所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误． 故选D ．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点12,O O 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点12,O O 的距离都大于1的概率为___． 【答案】13【解析】【详解】到点12,O O 距离为1的点是半径为1的球面，所以所求概率为431=1-23=1V P V ππ=-球柱14. 在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n +1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____． 【答案】a n ＝2n 2+n 【解析】【分析】()sin 23sin(2)f x x x x ϕ=+=+，可得13a =．由已知条件推出121n na a n n+-=+，然后求解数列的通项公式．【详解】解：()sin 23sin(2)f x x x x ϕ=+=+， 当222x k πϕπ+=+，k Z ∈，()f x 取得最大值3，13a ∴=．21(2)2n n n a a a n n +=---，21(1)22n n na n a n n +∴=+++，121n na a n n+-=+， n a n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以131a =为首项，2为公差的等差数列，()321na n n∴=+- 2[32(1)]2n a n n n n ∴=+-=+， 故答案为：22n n +．【点睛】本题考查了数列递推关系、三角函数求值、法则求积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15. 秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边．若sin 2sin cos C A B =，且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC 面积S 的最大值为____【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理可得a b =，再由等差数列中项性质可得2224a b c ==-，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．【详解】sin 2sin cos C A B =，∴2cos c a B =，因此2222,2a c b c a a b ac+-=⨯=∵2b ，2，2c 成等差数列，∴224b c +=，因此S ===，当285c =，即c =时，S 取得最大值12=，即ABC 面积S . 【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．16. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中1,C 3C 有一个共同的焦点，若10MF MN +=，则曲线1C 的离心率为________．【答案】51+ 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为2F ，根据曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，得到抛物线方程， 再根据O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，利用中位线定理，可得，2//OM NF ，22NF a =，21NF NF ⊥， 12NF b =.设(),N x y ，根据抛物线的定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的距离为2a ，然后在1ANF ∆中，利用勾股定理求解. 【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ， 因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点， 所以24y cx =，因为O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点， 所以OM 为12NF F ∆的中位线， 所以2//OM NF ， 因OM a =，所以22NF a =又21NF NF ⊥，22,FF c = 所以12NF b =.设(),N x y ，则由抛物线定义可得2,2x c a x a c +=∴=-，过1F 点作x 轴的垂线，点(),N x y 到该垂线的距离为2NA a =，在1ANF ∆中，由勾股定理即得22244y a b +=， 即()()2224244c a c a c a-+=-，即210e e --=， 解得51e +=. 故答案为：51+ 【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4c =，2b =，2cos c C b =，D ，E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．（1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积． 【答案】（1）6AD =215【解析】【详解】试题分析：（I ）在△ABC 中，利用余弦定理计算BC ，再在△ACD 中利用余弦定理计算AD ； （II ）根据角平分线性质得到2ABE ACE S AB S AC ∆∆==，又ABE ACE S BE S EC ∆∆=，所以2BE EC =，所以1433CE BC ==，42233DE =-=，再利用正弦形式的面积公式即可得到结果. 试题解析：（1）因为4c =，2b =，所以1cos 24b Cc ==．由余弦定理得22224161 cos244a b c aCab a+-+-===，所以4a=，即4BC=，在ACD∆中，2CD=，2AC=，所以2222cos6AD AC CD AC CD ACD=+-⋅⋅∠=，所以6AD=．（2）因为AE是BAC∠的平分线，所以1sin221sin2ABEACEAB AE BAES ABS ACAC AE CAE∆∆⋅⋅∠===⋅⋅∠，又ABEACES BES EC∆∆=，所以2BEEC=，所以1433CE BC==，42233DE=-=，又因为1cos4C=，所以215sin1cosC C=-=，所以115sin2ADES DE AC C∆=⨯⨯⨯=．18. 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为2的菱形，60,90DAB ADP∠=︒∠=︒，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF平面PCE，并说明理由；（Ⅱ）当二面角D FC B--的余弦值为24时，求直线PB与平面ABCD所成的角．【答案】（1）见解析（2）60︒【解析】【分析】（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为m ，和平面DFC 的法向量n ，利用向量的夹角公式，求得3a=，进而得到PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解.【详解】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD =， //AE CD 且12AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =， 所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)3,1,0B，()0,2,FC a =-，()3,1,0CB =-，设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y az x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，则3y =23z =所以取231,3,m ⎛= ⎝⎭，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =，由题意：22cos ,41213m n a ==++，所以3a =. 由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ，所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中，tan 3PDPBD a BD∠===，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.19. 如图，A 为椭圆22142x y +=的左顶点，过A 的直线l 交抛物线()220y px p =>于B 、C 两点，C 是AB 的中点.（1）求证：点C 的横坐标是定值，并求出该定值；（2）若直线m 过C 点，且倾斜角和直线l 的倾斜角互补，交椭圆于M 、N 两点，求p 的值，使得BMN ∆的面积最大.【答案】(1)证明见解析，定值1. (2) 928p = 【解析】【分析】（1）由题意可求()2,0A -，设()11,B x y 、()22,C x y ，l ：2x my =-，联立直线与抛物线，利用C 是AB 的中点得122y y =，计算可得点C 的横坐标是定值；（2）由题意设直线m 的方程为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，联立方程，利用C 是AB 的中点，可得BMN AMN S S ∆∆=，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求BMN ∆的面积最大值，由取等条件解得p 的值.【详解】（1）()2,0A -，过A 的直线l 和抛物线交于两点，所以l 的斜率存在且不为0，设l ：2x my =-，其中m 是斜率的倒数，设()11,B x y 、()22,C x y ，满足222x my y px=-⎧⎨=⎩，即2240y pmy p -+=，0∆>且121224y y pm y y p+=⎧⎨=⎩，因为C 是AB 中点，所以122y y =，所以223pm y =，292m p =，所以222222133pm p x m m =⋅-=-=，即C 点的横坐标为定值1. （2）直线m 的倾斜角和直线l 的倾斜角互补，所以m 的斜率和l 的斜率互为相反数.设直线m 为213pm x m y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即4x my =-+，联列方程224240x my x y =-+⎧⎨+-=⎩得()2228120m y my +-+=， ()()222848216960m m m ∆=-+=->，所以26m >；且12212282122m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵点C 是AB 中点，∴BMN AMN S S ∆∆=， 设()2,0A -到MN的距离d =12MN y =-，12132AMNS MN d y y ∆=⋅⋅=-=26t m =-，AMN S ∆==≤=当且仅当8t =，214m =时取到， 所以9142p =，928p =. 法二：因为B 点在抛物线()220y px p =>上，不妨设2,2t B t p ⎛⎫⎪⎝⎭，又C 是AB 中点，则24,42t p t C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入抛物线方程得：224224t t p p p -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，得：28t p =，∴8414C p p x p -==为定值. （2）∵直线l 的斜率()02126tt k -==--，直线m 斜率'6t k =-， ∴直线m 的方程：()126t t y x -=--，即64x y t =-+，令6m t=代入椭圆方程整理得： ()2228120my my +-+=，设()11,B x y 、()22,C x y ，下同法一.【点睛】本题考查直线的方程和抛物线方程联立，注意运用椭圆的顶点坐标，运用韦达定理以及点到直线的距离公式，考查三角形的面积的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．20. 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查.调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段.在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人员召开座谈会.会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）.已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论.在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较2K的观测值的大小加以说明.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】(1) ①9人②见解析；(2) 25m=【解析】【分析】（1）①根据分层抽样要求，先求从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的人数60 100300⋅，再求“年龄达到35岁” 中偶尔使用单车的人数45 20100⋅；②确定随机变量X的取值，计算X各个取值的概率，得分布列及数学期望.(2)对年龄m 是否达到35,m 是否达到25对数据重新整理（2⨯2联表），根据公式计算相应的2K ，比较大小确定.【详解】（1）①从300人中抽取60人，其中“年龄达到35岁”的有6010020300⨯=人，再将这20人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数为45209100⨯=. ②A 组这4人中得到礼品的人数X 的可能取值为0，1，2，3，相应概率为：()35395042C P X C ===，()12453910121C C P X C ===， ()2145395214C C P X C ===，()34391321C P X C ===. 故其分布列为∴()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）按“年龄是否达到35岁”对数据进行整理，得到如下列联表：35m =时，由（1）中的列联表，可求得2K 的观测值()22130012545755530015002520010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯.25m =时，按“年龄是否达到25岁”对数据进行整理，得到如下列联表：可求得2K 的观测值()22230067871133330021004920010018012020010018012016k ⨯⨯-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯. ∴21k k >，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m =.【点睛】本题考查分层抽样和独立性检验，随机变量的分布列及数学期望，考查统计知识理解掌握水平、对数据的处理能力及分析推理解决实际问题的能力.21. 已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围【答案】（Ⅰ）当12a ≤时， ()(0)1g x g b ≥=-；当 122e a <≤时， ()22ln(2)g x a a a b ≥--； 当2ea >时， ()2g x e a b ≥--.（Ⅱ） a 的范围为()2,1e -. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--，再对分a 情况确定()g x 的单调区间，根据()g x 在[0,1]上的单调性即可得()g x 在[0,1]上的最小值.（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，注意到(0)0,(1)0f f ==.联系到函数的图象可知，导函数()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ，()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x ，即()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当12a ≤及2ea ≥时，()g x 在(0,1)内都不可能有两个零点.所以122ea <<.此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，且必有(0)10,(1)20gb g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：1b e a =--，代入这两个不等式即可得a 的取值范围.试题解答：（Ⅰ）()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--①当0a ≤时，()20xg x e a -'=>，所以()(0)1g x g b ≥=-. ②当0a >时，由()20x g x e a -'=>得2,ln(2)x e a x a >>. 若12a >，则ln(2)0a >；若2e a >，则ln(2)1a >. 所以当102a <≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)1g x gb ≥=-. 当122e a <≤时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，所以()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--. 当2e a >时，()g x 在[0,1]上单调递减，所以()(1)2g x g e a b ≥=--. （Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由0(0)()0f f x ==可知，()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减.则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负.故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x .同理()g x 在区间0(),1x 内存在零点2x .所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 当2e a ≥时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点. 所以122e a <<. 此时，()g x 在[0,ln 2]a 上单调递减，在[ln 2,1]a 上单调递增，因此12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈，必有(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->.由(1)10f e a b =---=得：12a b e +=-<，有(0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->.解得21e a -<<.当21e a -<<时，()g x 在区间[0,1]内有最小值(ln(2))g a .若(ln(2))0g a ≥，则()0([0,1])g x x ≥∈，从而()f x 在区间[0,1]上单调递增，这与(0)(1)0f f ==矛盾，所以(ln(2))0g a <.又(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->，故此时()g x 在(0,ln(2))a 和(ln(2),1)a 内各只有一个零点1x 和2x .由此可知()f x 在1[0,]x 上单调递增，在1(,x 2)x 上单调递减，在2[,1]x 上单调递增.所以1()(0)0f x f >=，2()(1)0f x f <=，故()f x 在1(,x 2)x 内有零点.综上可知，a 的取值范围是(2,1)e -.【考点定位】导数的应用及函数的零点.（二）选考题，满分共10分，请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 过原点且倾斜角为02παα⎛⎫< ⎪⎝⎭.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.在平面直角坐标系xOy 中，曲线2C 与曲线1C 关于直线y x =对称.（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2l 过原点且倾斜角为3πα+，设直线1l 与曲线1C 相交于O ，A 两点，直线2l 与曲线2C 相交于O ，B 两点，当α变化时，求AOB 面积的最大值.【答案】(Ⅰ) 2sin ρθ= 34【解析】【分析】(Ⅰ)法一：将1C 化为直角坐标方程，根据对称关系用2C 上的点表示出1C 上点的坐标，代入1C 方程得到2C 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；法二：将y x =化为极坐标方程，根据对称关系将1C 上的点用2C 上的点坐标表示出来，代入1C 极坐标方程即可得到结果；(Ⅱ)利用1l 和2l 的极坐标方程与12,C C 的极坐标方程经,A B 坐标用α表示，将所求面积表示为与α有关的三角函数解析式，通过三角函数值域求解方法求出所求最值.【详解】(Ⅰ)法一：由题可知，1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=，设曲线2C 上任意一点(),x y 关于直线y x =对称点为()00,x y ，所以00x y y x =⎧⎨=⎩ 又因为2200020x y x +-=，即2220x y y +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=法二：由题可知，y x =的极坐标方程为：4πθ=()R ρ∈， 设曲线2C 上一点(),ρθ关于4πθ= ()R ρ∈的对称点为()00,ρθ， 所以0024ρρθθπ=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 又因为002cos ρθ=，即2cos 2sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的极坐标方程为：2sin ρθ=(Ⅱ)直线1l 的极坐标方程为：θα=，直线2l 的极坐标方程为：3πθα=+设()11,A ρθ，(),B ρθ22 所以2cos θαρθ=⎧⎨=⎩解得12cos ρα=，32sin πθαρθ⎧=+⎪⎨⎪=⎩解得22sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα∆⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223πααα⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为：02πα≤<，所以42333πππα≤+< 当232ππα+=即12πα=时，sin 213πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，AOB S ∆+34【点睛】本题考查轨迹方程的求解、三角形面积最值问题的求解，涉及到三角函数的化简、求值问题.求解面积的关键是能够明确极坐标中ρ的几何意义，从而将问题转化为三角函数最值的求解.23. 已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a ≥恒成立，求a 的最小值． 【答案】（1）(,1)(1,)-∞-+∞；（2）1．【解析】 【分析】(1) 当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组；(2)当02a <<时，化简分段函数得()()()()12,,11 12122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可以得到函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得：1x <-或无解或1x >，所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<． 则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩ 所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭． 因为对x R ∀∈，()32f x a ≥恒成立，所以()min 3122a f x a=+≥． 又因为0a >， 所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）．所以a 的最小值为1．【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.。
【精准解析】河北省衡水中学2020届高三上学期七调考试数学(理)试题+Word版含解析
B.
y
2
sin
7 10
x
6
C.
y
2 sin
7 10
x
5 6
D.
y
2 sin
7 5
x
5 6
【答案】D 【解析】
【分析】
由图可得
f f
0 1 0 0
即可求出
，图像过点
5 6
,
0
即可求出
，即可得解.
【详解】由图像可知
f f
0 1 2sin 1 0 0 即 2 cos 0
6 3 2 6 3 3
【答案】A 【解析】 【分析】
B. 6 3 6 3 3
C. 2 3 2 3
D.
-3-
由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解.
【详解】不妨设六边形的边长为
1，由题意得
S总
=
1+2 2
3 2
+3
1 2
1 2
2
=
6
3+3 ， 8
S阴影 =S总 S半圆= 6
3+3 6 82
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线与 y 轴所形成的锐角为 30 ，则双
利用等差数列的性质可求出 a6 ，再利用 S11 11a6 即可得解.
河北省承德市围场卉原中学2020届高三模拟自测联考试卷理综化学试卷(word无答案)
河北省承德市围场卉原中学2020届高三模拟自测联考试卷理综化学试卷一、单选题(★) 1 . 化学与生活密切相关。
下列说法错误的是A．硫酸铜可用作消毒剂B．二氧化硅用作半导体材料C．用灼烧的方法可以区分蚕丝和人造纤维D．海轮船体镶嵌锌块是牺牲阳极的阴极保护法，防止船体被腐蚀(★★) 2 . N A为阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是A．1 mol新戊烷中所含共价键数目为16N AB．标准状况下，1.12 L SO3的分子数目为0.05N AC．1 mol Na2O2与足量CO2充分反应，转移电子数目为2N AD．密闭容器中，2 mol SO2和1 mol O2催化反应后分子总数为2N A(★★) 3 . 实验室模拟从海带提取碘单质的流程，下列有关说法正确的是A．实验室在蒸发皿中灼烧干海带B．操作1为过滤，操作3为蒸馏H2SO4(aq)C．含I-的滤液中加入稀硫酸和H2O2后，碘元素发生还原反应D．含I-和IO3-的混合溶液中加入稀硫酸发生反应的离子方程式为：5I-+IO3-+6H+=3I2+3H2O(★★) 4 . 短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，X原子核外最外层电子数是其电子层数的2倍，X、Y的核电荷数之比为3∶4。
金属单质Z在空气中燃烧生成的化合物可与水发生氧化还原反应。
W -的最外层为8电子结构。
下列说法正确的是A．X、Y最简单氢化物的沸点X的强于Y的B．原子半径大小：X<Y<Z<WC．Z2Y和Z2Y2阴阳离子个数比不同D．Y、W的某些单质或两元素之间形成的某些化合物可作水的消毒剂(★★) 5 . 企鹅酮的化学式C 10H 14O，因为结构类似企鹅，因此命名为企鹅酮(见图)。
下列有关企鹅酮的说法正确的是A．分子式为C10H16OB．1 mol企鹅酮分子最多可以和2 mol氢气加成C．可使溴水和酸性高锰酸钾溶液褪色，且褪色原理相同D．企鹅酮的同分异构体众多，其中遇Fe3+显色且苯环上有两个支链的结构共有12种(★) 6 . 电解Na 2CO 3溶液的工作原理如图所示。