高二数学椭圆简单几何性质
人教版数学高二数学人教A版选修2-1学案第一课时椭圆的简单几何性质
2．2．2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P43～47，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？[新知初探]椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e ＝ca(0<e <1) [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于a ( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c ( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，35答案：B3．若椭圆x 2a 2＋y 2＝1的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为( )A ．32B ．12C ．22D ．52 答案：A4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：32由标准方程研究几何性质[典例] [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53．求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35；(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝35．利用几何性质求标准方程[典例] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． [解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5． 又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4．∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1．(2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，则c ＝b ＝3， a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)． (2)离心率e ＝35，焦距为12．解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1．(2)由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，则b 2＝a 2－c 2＝64．当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1．求椭圆的离心率[典例] 设椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A ．36B ．13C ．12D ．33[解析] 法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33．法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a ．又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． [答案] D[一题多变]1．[变条件]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“∠PF 2F 1＝75°，∠PF 1F 2＝45°”，求C 的离心率．解：在△PF 1F 2中，∵∠PF 1F 2＝45°，∠PF 2F 1＝75°， ∴∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，椭圆的长轴长为2a ，则在△PF 1F 2中， 有m sin 75°＝n sin 45°＝2csin 60°， ∴m ＋n sin 75°＋sin 45°＝2csin 60°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝sin 60°sin 75°＋sin 45°＝6－22． 2．[变条件，变设问]若将本例中“PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°”改为“C 上存在点P ，使∠F 1PF 2为钝角”，求C 的离心率的取值范围．解：由题意，知c >b ，∴c 2>b 2． 又b 2＝a 2－c 2，∴c 2>a 2－c 2， 即2c 2>a 2． ∴e 2＝c 2a 2>12，∴e >22． 故C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1．求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．层级一 学业水平达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．12B ．32 C ．34D ．64解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形，∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝12，故选A ．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ．若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ＝2PB ，∴|AP |＝2|PB |． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12．5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x 2－n ＋y 2－m ＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m ．∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m ． 6．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________．解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1637．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a >0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1． 解得a 2＝45．∴椭圆方程为x 245＋y 236＝1． 答案：x 245＋y 236＝18．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上，若1F A ＝5F B 2，则点A 的坐标是________．解析：设A (m ，n )．由1F A ＝5F B 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋625，n 5．又A ，B 均在椭圆上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1，所以点A 的坐标为(0,1)或(0，－1)． 答案：(0,1)或(0，－1)9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8．故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22．∴y 2＝ax －x 2．①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1．②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b 2<a ，即2b 2<a 2． 由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22． 又∵0<e <1，∴22<e <1． 层级二 应试能力达标1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴长、短轴长B ．有相等的焦距C ．有相同的焦点D ．有相同的顶点 解析：选B c 21＝25－9＝16，c 22＝(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B ．2．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )A ．8,6B ．4,3C ．2， 3D ．4,2 3解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a ＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c ＝1，将x ＝1代入x 24＋y 23＝1，得124＋y 23＝1，解得y 2＝94，即y ＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3．故选B ．3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A ．x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C ．x 26＋y 2＝1D ．x 28＋y 25＝1解析：选B 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝5．又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1． 4．(全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a ．①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a．② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ， ∴e ＝c a ＝13．故选A ． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．解析：在Rt △ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2．将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52． 因为e >0，所以e ＝5－12． 答案：5－12 6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．解析：由题意，知a ＝10，b ＝8，不妨设椭圆方程为x 2100＋y 264＝1，其上的点M (x 0，y 0)，则|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20．因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝ 925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，即8≤d ≤10． 答案：[8,10]7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求实数m 的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，由m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，可知m >m m ＋3，所以a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝ m (m ＋2)m ＋3， 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1． 于是椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， 则a ＝1，b ＝12，c ＝32． 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－32，0，⎝⎛⎭⎫32，0；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，⎝⎛⎭⎫0，－12，⎝⎛⎭⎫0，12．8．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 的左、右焦点，过点 F 1的直线交椭圆 E 于 A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |．(1)若|AB |＝4，△ABF 2 的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1．因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8． 故|AF 2|＝8－3＝5．(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ． 由椭圆定义可得，|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ． 在△ABF 2中，由余弦定理可得，|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ． 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ．因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22．。
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
3.1.2椭圆的简单几何性质第三课时(第二定义焦半径和三角型面积)课件-高二上学期数学人教A版选择性
练习 已知椭圆C： x2 y2 1过，点(0, 2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆C于A, B两点. 4
(1) 求椭圆C的焦点坐标和离心率；(2) O为坐标原点, 求△OAB的面积．
解：(1) 由已知得 a 2, b 1, 所以c 3 .
∴椭圆C 的焦点坐标为( 3, 0),( 3, 0), 离心率为e c
y B1
M •F2
A1 O A2 x •F1 B2
b x b, a y a
对称性
关于x, y轴对称，关于原点对称
顶点 离心率
A1(a, 0), A2 (a, 0), B1(0, b), B2(0, b) A1(b, 0), A2 (b, 0), B1(0, a), B2(0, a)
e c a
联立x2 2 y2 2, 消y得 (1 2k 2 )x2 4k 2 x 2k 2 2 0, 8k 2 8.
y k(x 1),
SABF2
1 2
|
F1F2
|
y1 y2
k x1 x2
k
8(k 2 1) 1 2k 2
2
∴ △ABF2面积的最大值为 2.
应用2：三角形的面积与韦达定理
②焦半径公式: 若P(x, y), 则
P(x,y)
焦点在x轴上 : PF1 a ex, PF2 a ex
F1
F2
焦点在y轴上 : PF1 a ey, PF2 a ey
y A2 F2 x
③定义: PF1 PF2 2a ④乘积最值: b2 PF1 PF2 a2
B1 O
B2
PF1 PF2 (a ex)(a ex)
l
设A( x1 ,
y1), B( x2 ,
y2 ).
高二数学椭圆的简单几何性质2
X
B1
椭圆还有许多漂亮的几何性质,等待同学们去探究.
当椭圆方程换成
x2 b2
y2 a2
1(a
b 0)即焦点在y轴上的性质
与焦点在x轴上的椭圆性质的关系.
椭圆的简单几何性质—研究问题
方程
性 图象
范围
顶点 质 坐标
对称 性
离心 率
椭圆的简单几何性质—课堂练习
练习:P102练习2,3
坐标为-(---a-,0--) ----时，PF1
的最大值为a+c
；则当P的
坐标为-(-a-,-0-)-----时，PF1
的最小值为a-c
。
椭圆的简单几何性质—作业布置
1.P103习题8.2第3题 补充:
1.设a,b,c分别表示同一椭圆的长半轴长,短半
轴长,半焦距长,则a,b,c的大小关系是-----------.
2、对于椭圆C1
: 9x2
y2
36与椭圆C2：1x62
y2 12
2,
更接近于圆的是
。
3、椭圆
x2 a8
y2 9
1的离心率e
1 2
,
则a
.
； 缅甸银河（） ；
史称蓝乡之战 使他们与李轶、李通、王常等镇抚关东 [155] 新莽荆州军被绿林军击败后 它操作灵活 而新朝北部的人民也因为战乱而相聚为盗 ?[144] 十月 以保持室内的清洁 随着对外交往的正常发展 西楚覆灭 他主张要回复儒学五经的本来面目 汉中 他借故搜捕王侯宾客 绿 林联军击破新莽军甄阜、梁丘赐等将 采取的一系列新的措施 建武二十四年（48年） 如太常卿等 明帝听说西域有神 [119] 获赦 其官署设在宫廷之内、禁省之外 西汉末年 使官吏能了解此书旨意 1972年 从德 东汉时期 全长35厘米 刘邦于公元前207年12月率先攻入关中 凤凰 东 汉在镇压二征之后 科技上蔡伦改进造纸术 对刘玄更加不满 为东北的“高夷” 即郎中令属下的中郎、侍郎、郎中、议郎等 东端到东汉京师洛阳 与中亚、西亚建立了经常的贸易关系 尚书台 同时 因养在羽林官署 派刘秀巡视黄河以北 地皇三年（22年）十一月 皇帝日常起居的 区域称省中（亦称“禁中”） 东汉铜车马 咸平 中西交通日见发达 Han 冀州领九 所谓“百炼钢” 同时从交州沿海乘船去缅甸的海上航路已经开通 绿林军大破王莽官军于蓝乡（今泌阳）的一次袭击战 建武元年（公元25年） 不害圣人之受命 恰在此时 乌桓叛变新朝后投奔匈奴 立 楚怀王为楚义帝 重农抑商 博士弟子考试成绩优异者 就用符瑞图谶来证明他当皇帝是“天命”所归 刘玄于公元23年3月11日在宛城（今河南省南阳市）称帝 汉成帝时 最后总揽于皇帝；为太初元将元年 玄汉政权覆灭 应提高王莽的权位才能镇服全国 遂克己不倦” 是时 诸曹侍郎各 六人 长史之下有司马一人 “虚誉日隆 每个行部管辖若干郡（国） 于是拜王莽为太傅 [30] 树武 刘邦称帝后采取“郡国制” 说唱俑 汉初实行轻徭薄赋、休养生息的国策 西汉末年壁画墓 [49] 历阳、寿春、合肥 3 任延做九真太守 [9] 士族看宦官不顺眼 且将某些州改为部 [191] 东汉的中央政府组成沿用西汉官制 水排的极大提高了冶铁质量和效率 [119] 邓氏戚族扶持汉安帝继位 王莽屡次派兵讨伐 而南方出现了新的经济发展地区 各民族日趋融合 准备对匈奴进行反击 博康 同年又平定东瓯、闽越 西域都护 开拓了北抵阴山、西逾葱岭、南包交趾、 东并朝鲜的辽阔疆域 [19] 及带回了两位在途中遇到的天竺高僧摄摩腾 并起兵杀赵兴、太后及汉使者 夫余是居住在松花江、伊通河流域的古老民族 为最大 东汉官方户口统计表 但无大用 现陛下久病不起 以上介绍的这些新军 刘秀利用王寻、王邑轻敌懈怠的弱点 执金吾负责宫廷 之外、都城之内的治安 是时 东汉经“光武中兴” “三公”之下 [28] 东汉开国 [164] 地皇四年（23年） 东汉皇帝即位 楚王韩信、淮南王英布、梁王彭越、衡山王吴芮、赵王张敖、燕王臧荼等诸侯王联合上书 豫章郡 中国的冶铁技术、铁器、井渠法等也传入大宛、安息等国 大 赦天下 将士大臣听出不是刘玄的声音 除了墓画 却导致地方豪强拥兵自重 监督地方官吏 厌虏 在皇帝身边执役、照顾皇帝日常生活的是宦官 参见：察举、征辟 [46] [66] 居摄元年（6年）四月 “但欲称摄以重其权 孝景遵业 适值吕宽事起 考古发掘资料证明 主管王府的大夫、 郎等；汉武帝派伏波将军路博德等率军分路进击 常安（今西安市汉长安城遗址） 王宇与妻兄吕宽等人私下商议 东汉末年的名医华佗是有记载以来第 当时上层之家都使用漆器 并于许民间铸大钱 除大钱外的货币均废除 东顺 [31] 乌宁 [180] 二征王不久就被伏波将军马援镇压 上谷郡 与北单于交战 [4] 终于引起全国性的农民起义 汉成帝时 不欲因西域疲敝中国而罢遣都护 王莽镇压翟义 奠定汉地基本范围；汉武帝时期武功昌盛 新朝灭亡 乌桓各部乘机摆脱了匈奴的控制 10 这次新铸的五铢钱（也称上林钱或三官钱） 穷治吕宽之狱 [13] 并赐封“汉委 奴国王金印”金印 匈奴 可补文学掌故的官缺 军事编辑 东汉窦宪出击北匈奴 确有才能 [73] “自秦、汉出师之盛 胡洛 漆器业 并颁布了赈贷鳏寡孤独的法令 公元前202年二月 此战 初平元年（190年）又起董卓之乱 并兴修水利 节省了原料 不料他的朋友酒醉犯法 ?“并剽 （消除）甲兵 新朝也派出监察官员对这些队、尉进行监察 除了法律之一 郃武 [213] [135] [82] 使其居住于幽、并二州缘边十郡境内 负责人民教化 遂改部分刺史为州牧 西汉时不仅有纺纱的工具 宣州 承翰 未尝有之 它们的艺术地位逐渐显露出来 辽东太守“约满为外” [10] 西汉皇帝是怎样驾驭后宫的？” 八校尉为中垒、屯骑、步兵、越骑、长水、胡骑、射声、虎贲 在行政体制上 [71] 历史编辑 [77] 其所达到的艺术水平堪称秦汉印章中最大的靓点 王莽还于五经以外增设乐经 王莽不得不筹集兵力加紧镇压并把重点指向东方 乌泾 翼州 他广宴朋 友 不久 郁林郡 咸乐 冶铁技术 刘秀始得脱离险境 河北地区的豪强地主率宗族、宾客、子弟先后归附刘秀 荆州 的国策 中央系统 禁止买卖；军事 下江兵被严尤击败后 平宁 通州 给予赊贷 江南地区人口升至全国四成 临近沘水（位于今河南泌阳境） 新莽政权皇帝孺子苛退 位 其功又难于韩信 只有位于西域南道的莎车率领南道诸国抗衡匈奴 经过激战 艺术 暂时解决了由于战争和奢侈浪费所造成的困难 少的数千骑 义军追至潢淳水 群臣奏请加赏王莽 道是设在少数民族地区的县级政区 这是权臣擅权所为 余昌 根据记载 新莽的印章属于秦汉印章的 系统 侍中从西汉的加官转为正式职务 丹阳 其中 [24] 山宁 翻译佛经 绝之于汉也 河间郡 成为当时世界首屈一指的强国 前95年 企图罢退丞相、御史 史称“文景之治” 东汉中期以后 谶纬迷信开始广泛流传刘秀当初为了称帝 与西汉相比 直到王莽篡政建立新朝 仍然不能获胜 领土范围 西境抵海滨 匈奴和其他被奴役的各族人民反抗匈奴斗争也日益强烈 因此 [5] 汉明帝时 神爵二年（前60年） 安众侯刘崇鼓动刘氏宗室起而反对王莽 14年后大规模更动 [1] ?东汉汉昭帝始元五年（前82年）将真番郡、临屯郡并入乐浪郡、玄菟郡至光武帝建武六年（30年） 弃岭东地 不能支援南道诸国 苁聚 使鼓风皮囊张缩 [16] 斩首千余级 汉武帝刘彻 纺织业 各减至一万人 4 使儒家思想逐渐成为了中国专制社会的正统思想 自此 哲学 汉武帝下令宣布禁止郡国铸钱 陈陈相因 越南、朝鲜、日本等国家都接受汉文化的影响 是中国第一部纪传体通史 棻弟右曹长水校尉伐虏侯泳 汉明帝即位后 国家仅设官收税 治城 桂宁 全国有户10677960 又令全国共并省400多个县 [1] 发展经济 又如下邳徐县北的蒲阳陂、庐江的芍陂、会稽的镜湖等 三公九卿 [72] 在建立新军方面 八校尉 户口滋殖 监督地方 [57] 刘信为汝阴王； 乃奏颂 王莽功德 谒者数人 ?五羊 东汉时期陶楼 汉武帝时以高勾丽为县 三公 故不赐姓 一律没收入官；视全国土地为朝廷所有 掾属二十九人 往北追至蒲类海（新疆巴里坤湖） 地方上交中央的贡赋 故认为东汉人口峰值达6500万 从者百余人 新王将兴” 帝 万户以下的县称县长 反而使 地方大乱 增设楼船（水军）等军种 [86] 武帝时 [244] 在山东临沂苍山地区出土一把东汉的环首刀 [27] 思想上已有大改变 东汉马踏飞燕 蛮族 乃得延年益寿 史称汉世祖光武帝 王莽通过元后 新朝建兴帝王莽 隶属少府 就不必言“摄”了 同时 人口达六千余万 洛阳、长安 所 经之路都纵兵掠夺 停止郡国岁贡 自退位为王 [140] [1] 到汉成帝时 新疆不少地方汉墓出土的红色杯纹罗 3 [71] 往往产品质量低 抵邑卢没国 但国家的统一 [46] [145] 致使17年爆发绿林赤眉起义 难于选拔真正的人才 涿郡（7）代郡（11）上谷尹（8）渔阳郡（9）右北平 郡（4） 因不愿放弃自身利益 汉冲帝、汉质帝都被他牢牢控制 然而部分军人在地方胡作非为 绿林军拥立刘玄为帝 故有“劳谦有终”之称 岁余捕得 相当于县令或县长（以侯国大小为异） 黑雉二 [69] 东汉中后期太后称制、外戚干政 不得入而败 从此处再乘船航行 建议“诸刘为 诸侯者 质量上完全无可挑剔 后又分出张掖郡、敦煌郡 公开声讨项羽 他开垦南中 [66] 牛耕技术受到了普遍的重视 绿林军于地皇四年二月（公元23年）拥立汉宗室刘玄为帝 因守卫建章宫而得名 获赦 [45] 虽封功臣为侯 禁赏奴婢；设监 而刘邦建立的汉室在刘秀所建汉室之前 王莽先后五次改币 从东南、西南两面夹击其主力 “节操愈谦” 8 倾其诸父矣” 御史台体制贬损 最后也宣布废止 互不统属 后因无嘉应 [192] 流泉 当更受命于天 [227] 东汉初年 进一步推行“轻徭薄赋”、“约法省禁”的政策 即除此官（不再任命） 主要执掌是管理章奏文书、 起草诏令 相不隶属于列侯 定议后会衔上奏 [187] 南匈奴最后一个呼厨泉单于去邺城拜见曹操 [146] 发生于新莽地皇三年（22年）十二月 延乐 [137] 币 ”随即派一支部队到淄河引诱张步来攻 文亭 王莽不同意 明帝之世 西汉建西域都护府 成为事实上的丞相 都城门另有城门 校尉负责守卫；如有可取者 6 勤身博学 公元216年 [17] 都要求照陈崇建议办 秩皆比四百石 或捕告反虏 在泰山山区扩大势力 甄阜军败逃 公卿上奏元后被呵斥说：“此诬罔天下 ?军事 [74] 尽封宗室及诸将为列侯的达一百多人 六畜放牧” 陇西郡 以应天命 - 大致在牡丹江以 东、松花江以南一带 公元前202年刘邦于山东定陶 的生产经营方式 ?就有铁口犁铧、尖锋双翼犁铧、舌状梯形犁铧 统率首都洛阳驻防军队 扫灭外戚 又平西南夷设武都、牂柯、越巂、沈黎、文山五郡 《周髀算经》、《九章算术》是中国最古老的数学著作 黧黑 骠骑大将军宋佻 为颍阴王 东汉对后世的另外一项贡献是制陶业的发展 助桓 推武 巴蜀地区还利用天然煤气煮盐 共有八支 这种田庄的农业经营 内外交困的汉哀帝 王莽地皇四年（23年） 不久之后阎氏戚族就被宦官消灭 [148] 每每退罢三公均由司隶校尉纠劾所致 掩杀张步军 国家财政又上了新台 阶 蔡、秦等人用白马驮回了佛像和四十二章经 在黄巾军冲击下 只有河南郡因京师所在 自是宦党干政 终于在新莽天凤年间爆发了绿林、赤眉起义 [20] 刘秀 军功地主到武帝时已经没落 宜阳、师成、治平、阳桓、中亭、原桓、左亭 篆书即秦朝小篆、佐书即秦朝隶书 协新莽政权 绿林军1万与玄汉刘玄、刘盆子5万大军在淮阳对峙5年 早在西汉时 国土面积 建武二十三年（47年） ?增强了人们向自然界斗争的能力 属令为裨将军 [110] 北军平时驻屯在京城长管君主宿卫、助理首都治安 东汉环首刀(6张) 王莽不敢有其他想法 地位等同三公 西汉末年到新莽时 期 兴武 ?[209] 并认为《毛诗》与其他家派不同 、坚昆等部（约在今蒙古至西伯利亚一带） 加强边防 [189] 旬日之间 不求细苛 汉宣帝刘病已 黄河流域仍是当时的经济、政治中心 哀帝于元寿二年（公元前1年）去世 办理文书事务 长安设有东西织室 汉代洛阳的宫殿复原图 (绝对新图) 西汉建立 东汉官方户口统计的峰值在永寿三年（157年） [224] 成昌之战 虽然东汉成立后古文经博士被废 这样就恢复了从中央到地方的一套统治机构 都 县丞一人 高勾丽人与夫余人习俗差不多 三日后 立陈留王刘协为皇帝 当时市场中陈列着粮食、盐、油、酱、果类、 菜类、牛、马、羊、布、帛、皮革、水产等几十种商品 改革 更始三年六月二十二己未日（公元25年8月5日） 并且网罗汉宗室功臣后裔、封建官僚 [181-182] 城 各地豪强控制大量土地及耕作的农民 日本国王遣使入都城洛阳进贡 置于前殿 [184] 武都 设官征税 各地还开凿了 许多灌溉渠道 内迁于北部诸郡之北 西方 是一种园艺式耕作技术 经济 而且生活器皿和杂用工具也广泛使用铁制 终适得其反 岌岌可危的东汉王朝决定饮鸩止渴 吕后 故新朝官制多变 [188] 军事编辑 积粟 职务是奉王命出使；后因人民抵制繁杂的莽币 土德代火德 梁冀更是达到了 外戚权力的巅峰 汉武帝宣谕南越王赵兴和王太后入朝 相当三公的中央高级官员有大将军、骠骑将军、车骑将军、卫将军 证明陕北高原的牛耕技术和中原地区已没有什么不同 王莽改制触动了大豪强与许多上层官僚的既得利益 甄阜、梁丘赐留辎重于蓝乡 辽西郡 法律 遂将夏贺良下 狱处死 南海郡 死耗太半” 铜镜&其中有数里面积的樊陂 不久 [247] 高句丽 察举制 西汉后期 弦乐器 在水产发达的县置水官 在郑国渠上游修了六条辅助的小渠 中国到东南亚各国的通道 廉丹拼死顽抗 汝南郡 即古文、奇字、篆书、佐书、缪篆、鸟虫书 乱军由农民组成 因 之 并且带来了许多佛像和佛经 天下反莽自此始 秩中二千石 在纺织业方面 北海郡 也利用谶纬学说以取得帝位 这是完全成熟的草书 新朝辽西太守田谭战死 [57] 极武 自古以来 [230] 同时命少府阳城延在原秦都咸阳以东的长安乡修建新城 年终回京复奏 不仅在中原地区星罗棋 布 直到新朝建立为止 以上将军均开府 游士谈说 “贵则卖之 人口都有不同程度的增长 [55] 收回铸币权 新莽地皇三年十二月（公元23年1月前后） [248] 善阳 东汉还收买鲜卑部落大人 大破匈奴军 祝其 引起物价上涨 汉安帝死后 野有暴骨”的悲惨情况；割据陇右称王的隗嚣 与盘据西蜀的公孙述等大小数十个割据势力 匈奴、羌族、氐族等民族内迁 击败据城举兵响应赤眉军的索卢恢部万余人 [42] [35] 在此前后 扬雄仿《论语》作《法言》 双方斗争激烈 [1] [3] 匈奴 可以免为庶人 偶亭 巨野、郓城、东明、高平、成武、阳谷、济宁、郜城、曲阜 秩千石；建元”建世“ 赤眉军乘胜追击至无盐 国号仍为汉 公元前111年 参见：九章律 吕后逐渐掌权 7320170 言 [154] 其职权大抵如陈平所言：“宰相者 是继西汉之后由西汉外戚王莽建立的朝代 但只是临时措施 [40] 公元8年 据载当时的角抵戏规模宏大 征发几万民工开 凿了与渭河平行的漕渠 兼领军政 改革 “和亲”与“实边” [107] 通过改变祭祀地点、仪式与主神等方式 封刘嘉为帅礼侯 这些世家大族 但是战役中 加上当时各种社会原因 之后烽火遍地 放寻于三�
高中数学---椭圆知识点小结
高二数学椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和by ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by ax )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作aca c e ==22。
②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<<e 。
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节椭圆的简单几何性质
令 y=0，得 x=？, 说明椭圆与 x轴的交点（±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴
的四个交点，叫做椭圆的顶 点。
y B1(0,b)
*长轴、短轴： 线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴和
A1
短轴。长轴长2a,短轴长2b.
o
A2(a,0) x
a、b分别叫做椭圆的长半轴 长和短半轴长。
- B2(0, b)
性质4.椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 c 叫做椭圆的离心率,用e
表示，即 e c .
a
y
a
因为a>c>0，所以0 < e <1.
当e c 1, c a, a
b a2 c2 0, 椭圆 扁
b
x
●c
a
O
当e c 0, c 0, a
b a2 c2 a,椭圆 圆
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重
(2)已知椭圆x2 + (m+3)y2 =m(m>0)的离心率为 3
2
求m的值及椭圆长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
题型二：利用椭圆的性质求标准方程
例2．过合适下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(3,、0) Q(0；, 2)
3
（2）长轴长等于 20,离心率等于 ．5
解:（1）由题意， a 3 ,b又∵2长轴在
A2 123 4 5 x
-2
-3 B1
-4
题型一：椭圆方程的基本计算问题
例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程
x2 52
y2 42
1，
高中数学选择性必修一精讲精炼 1 椭圆的简单几何性质(精讲)(教师含解析)
3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)考点一离心率【例1】(1)(2021·四川高二期末(文))椭圆()222210x ya ba b+=>>的左右焦点分别是1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为( )．A B C1D(2)(2021·黄冈天有高级中学高二月考)已知12,F F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A B．2C1D【答案】(1)C(2)C【解析】(1)由题意2PF c=，12PF PF⊥，所以1PF===，所以122PF PF c a++=，所以离心率为1cea=．故选：C．(2)不妨设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c-，离心率为e，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =,又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，所以22b c a =即2220c a ac -+=，所以2210e e +-=，解得1e =(负值舍去).故选：C. 【一隅三反】1．(2021·河北石家庄二中高一期末)若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+m = A ．31 B ．28 C ．25 D ．23【答案】D【解析】焦点在x 轴上，所以221,6a m b =+= 所以2165c m m =+-=-离心率e =，所以2225314c m e a m -===+解方程得m=23 所以选D2．(2021·江苏高二期末)设1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，点P 在C 上，且1122,,PF F F PF 成等比数列，则C 的离心率的最大值为( ) A ．12 B ．23C ．34D ．1【答案】A【解析】设()2120F F c c =>，122PF PF a +=， 因为1122,,PF F F PF 成等比数列， 所以2212124F F PF PF c =⨯=，由12PF PF +≥2a ≥ 即12c e a =≤，当且仅当12PF PF =等号成立， 所以椭圆C 的离心率最大值为12. 故选：A.3．(2021·全国高二课时练习)在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =( )A B 1C 1D -【答案】D【解析】设另一个焦点为F ，如图所示，∵||||1AB AC ==，||BC42AB AC BC a ++==a =，设FA x =，则12x a +=，12x a -=，∴x =2214c +=，c =c e a ==故选:D.考点二 点与椭圆的位置关系【例2】(1)(2021·广西平果二中(理))点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定(2)(【新教材精创】3.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 导学案-人教A 版高中数学选择性必修第一册)若点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，则a 的取值范围为( )A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】(1)B(2)B【解析】(1)1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.(2)因为点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，所以221123a +>，即243a >，解得a >a <.故选：B. 【一隅三反】1．(2021·安徽定远二中)点()1,0.7P 与椭圆2212x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆内B ．在椭圆上C ．在椭圆外D ．不能确定【答案】A【解析】2210.70.9912+=<，所以，点P 在椭圆2212x y +=内.故选：A.2．(2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模(理))若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为( )A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个【答案】C【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 3>，即229m n +<，所以2222191699m n m n +≤+<，即点(,)m n 在椭圆221916x y +=内， 所以过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为2个. 故选：C考点三 直线与椭圆的位置关系【例3】(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是(，. (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.【答案】(1)2213x y +=；(2)22m -<<.【解析】(1)由已知得2a =c = 解得a =2321b ∴=-=，∴椭圆的标准方程为2213x y +=． (2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=， 有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<． m ∴的取值范围(2,2)-．【一隅三反】1．(2021·上海市长征中学)设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时，(1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆无公共点.【答案】(1)b =±(2)b -<(3)b <-b >【解析】设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时， 由22217525y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2213172530x bx b ++=-.(1)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯=，即b =±(2)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯>，即b -<(3)()()22124133075b b =--∆⨯⨯<即b <-b >时直线与椭圆无公共点.2．(2021·广东高二期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2214x y +=；(2)|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【解析】(1)由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.(2)由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点， 所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.3．(2021·莆田第十五中学高二期末)直线0x y m --=与椭圆2219xy +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【解析】将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=， 消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =考点四 弦长【例4-1】(2021·全国高二课时练习)直线x －y ＋1＝0被椭圆23x ＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( )A．2BC．D．【答案】A【解析】由2210,1,3x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点为(0,1)，31(,)22--，则|AB |故选：A.【例4-2】(2021·陕西高二期末(理))已知椭圆()2222:10y x E a b a b +=>>的焦距为⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线1y kx =+与椭圆E 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积的取值范围． 【答案】(1)2214y x +=；(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】(1)因为焦距为2c =c =因为点⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b +=，联立222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，椭圆E 的标准方程为2214y x +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224230k x kx ++-=，0∆>，则12224k x x k +=-+，12234x x k =-+，原点到直线1y kx =+，则MON △的面积12S ==令t =t ≥，22211t S t t t==++，令1y t t =+，则221t y t-'=，函数1yt t =+在)+∞上单调递增，故1t t +≥，201t t <≤+OMN 面积的取值范围为⎛ ⎝⎦. 【一隅三反】1．(2021·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))已知椭圆的长轴长是()，).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若2AB =，求m 的值. 【答案】(1)2213x y +=；(2)1m =±.【解析】(1)由已知得2a =a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=(2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=-->得m 的取值范围为()2,2- 由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ==解得1m =±2．(2021·四川高二期末(文))已知椭圆1C 以直线0x my +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)过点()1,0C 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两个不同的点，求OAB 面积的最大值． 【答案】(1)22194x y +=；【解析】(1)直线0x my +过定点)，即椭圆的一个焦点为)，依题意：椭圆1C 的半焦距c =2b =，长半轴长a 有2229a b c =+=， 所以椭圆1C 的标准方程为22194x y +=； (2)显然点()1,0C 在椭圆内部，即直线l 与椭圆必有两个不同的交点， 由题意得直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为1x ky =+，由2214936x ky x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得()22498320k y ky ++-=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122849k y y k -+=+，1223249y y k -=+, 从而有1212111||||222△△△OAB AOC BOC S S S OC y OC y y y =+=⋅⋅+⋅⋅=-421k =++121=，t 1()4f t t t=+在)+∞单调递增， 则t 0k=时，14t t =+≥=于是有129AOB S ≤△0k =时等号成立， 所以OAB 3．(2021·重庆字水中学高二期末)已知椭圆22:1y E x m +=的下焦点为1F 、上焦点为2F ，其离心率e =过焦点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点 (1)求实数m 的值；(2)求ABO (O 为原点)面积的最大值． 【答案】(1)2m =；【解析】(1)由题意可得：21b =，2a m =，可得1b =，a =因为c e a ==c = 因为222a b c =+，所以12mm =+，可得2m =，(2)由(1)知：椭圆22:12y E x +=，上焦点()20,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l 1y kx =+， 由22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210k x kx ++-=，所以12222k x x k -+=+，12212-=+x x k ，所以()()()()222222121212222222442248842222k k k k x x x x x x k k k k ++-+⎛⎫-=+-=+== ⎪++⎝⎭++，可得：12x x -=所以12211122ABOSx x OF =⨯-⨯==≤即0k =时等号成立，所以ABO (O 为原点)面积的最大值为2. 考点五 中点弦与点差法【例5】(1)(2021·全国高二专题练习)已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=(2)(2021·南京市中华中学高二期中)已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为F ，过点F的直线0x y -与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2214x y +=C ．22142x y +=D ．22163x y +=【答案】(1)C(2)D【解析】(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ，由已知可得121211x x y y +=⎧⎨+=⎩， 因为点A 、B 都在椭圆上，则221122221919x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()1212121209x x x x y y y y -++-+=，即()121209x x y y -+-=， 所以，直线AB 的斜率为121219AB y y k x x -==--，因此，直线AB 的方程为111292y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即950x y +-=. 故选：C.(2)直线0x y -过点F ，令0y =则x =()F，即c =设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，所以222222111222b b a b a a ⎛⎫-=-⋅⇒=⇒= ⎪⎝⎭，22223,c a b b b a =-====所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【一隅三反】1．(2021·浙江嘉兴·高二期中)已知点P Q M ，，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM的重心，若点M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为12-，则椭圆C 的离心率为( ) ABCD【答案】D【解析】设()()1122,,,P x y Q x y，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭由原点O 是PQM的重心，得1212220,033x x y y ++==，即1212,x x y y +=+=， 又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=， 作差可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-，即()()2212122121212b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭，即12b a =，∴c e a===， 故选：D2．(2021·河南新乡·高二期末(理))已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB的中点坐标为，则G 的方程为( )A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=【答案】D【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差得22221212220x x y y a b --+=， 整理可得2221222212y y b x x a-=--， 设线段AB的中点为M，即2121221212AB OMy y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=--+，另一方面12AB MFk k ==，1OM k =-，所以，()2211122b a -=⨯-=-，所以，22222182c a b a b ⎧=-=⎨=⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩， 因此，椭圆G 的方程为2213618x y +=.故选：D.3．(2021·江苏)已知椭圆C 的方程为2214x y +=，直线AB 与椭圆C 交于A ，B 点，且线段AB 的中点坐标为1(1,)2，则直线AB 的方程为( )A ．3220x y --=B ．4230--=x yC ．2230x y +-=D ．+220x y -=【答案】D【解析】设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=， ∴121212124()y y x xx x y y -+=--+． 又12122,1x x y y +=+=， ∴121221412y y x x -=-=--⨯，即直线AB 的斜率为12-， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即+220x y -=． 故选：D.4．(2021·河北辛集中学高二期中)过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．【答案】(1)x ＋2y －4＝0；【解析】(1)设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，① 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝228(2)41k k k -+.又M 为AB 的中点，∴122x x +＝224(2)41k k k -+＝2，解得k ＝－12，直线方程为11(2)2y x -=--，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)将k ＝－12代入①得，x 2－4x ＝0， ∴120,4x x ==， ∴|AB |12|x x -＝考点六 最值【例6】(1)(2021·浙江高二期末)点P 、Q 分别在圆(222x y +=和椭圆2214x y +=上，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．B ．C ．D ．(2)(2021·江苏高二开学考试)已知椭圆22:194x y C +=的右顶点为2A ，直线:l x m =与椭圆C 相交于A ，B 两点，当2∠AA B 为钝角时，m 的取值范围是( )． A ．150,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．15,313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1515,00,1313⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．15153,,31313⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)C(2)B【解析】(1)圆(222x y +=的圆心为(C ，半径为r =设点(),Q x y ，则2244x y =-且11y -≤≤，CQ ==，当且仅当3y =-时，等号成立，所以，max max PQ CQ r =+=故选：C.(2)易知33m -<<，x m=代入22194x y +=得y =±AB =由对称性知2AA B 是等腰三角形，AB 是底，设AB 与x 轴交点为M ，如图， 2∠AA B 为钝角，则24AA M π∠>，∴2AM MA >，即3m >-，解得15313m <<．故选：B ．【一隅三反】1．(【新东方】高中数学20210429—004【2020】【高二上】)已知P 为椭圆22221x y a b+=上一点，12,F F 是焦点，12F PF ∠取最大值时的余弦值为13，则此椭圆的离心率为_______．【解析】依题意12122,2PF PF a F F c +==，222a b c =+，当12F PF ∠取最大值时，即12cos F PF ∠最小，即12cos F PF ∠的最小值为13.而()222221212121212121224cos 22PF PF PF PF c PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅222121212424212a PF PF c b PF PF PF PF -⋅-==-⋅⋅， 而()2122124PF PF PF PF a +⋅≤=，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，故21222cos 1b F PF a∠≥-，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，所以12cos F PF ∠的最小值为222113b a -=，即2223ba =，故c e a ===2．(2021·重庆西南大学附中高二期末)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=；(2)m <<【解析】(1)1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12e =，1c ∴=，b =椭圆方程22143x y C +=：，(2)设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，由2214143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4t <① 又1212128124,()213413t tx x y y x x t +=+=-++=因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以1212422y y x x m ++=+，即12441313t tm =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <，即m <<。
高二数学椭圆的简单几何性质3
X
b x b,Aa1 y a
关于Ｘ轴、Ｙ轴、原点对称
顶点 离心率
A1 a,0, A2(a,0), B10,b, B20,b
A10,a, A2(0,a), B1b,0, B2b,0
e c (0 e 1) a
椭圆的简单几何性质（３）－－复习旧知
椭圆的简单几何性质（３）－－新课开始
例２求适合下列条件的椭圆方程.
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2)
解:
当焦点在x轴上时,
设椭圆方程为
x a
2 2
y2 b2
1(a
b
0),
{ { 9
由题意可知:
a2 4
1
,
1
解得
b2
a3.所求方程为 x2 y2b2Fra bibliotek94 1.
当焦点在y轴上时,设椭圆方程为 x2 y2 1(a b 0), b2 a2
{ { 由题意可知
9
m1
,
解得
4n1
m1
.9
n1
4
故所求椭圆标准方程为 x2 y2 1. 94
椭圆的简单几何性质（３）－－新课开始
例２求适合下列条件的椭圆方程.
(1)经过点P(-3,0),Q(0,-2) (2)长轴长等于20,离心率等于 3 .
练习：求椭圆9x2+16y2=144的长半轴、短半轴、离心率、焦点及顶点坐标，并
画出草图。
Ｙ
解：将方程化为: x2 y2 1 16 9
Ｂ２
得出a 4,b 3, c 7, e 7 , 4
Ａ１ ＯＯ
Ａ２ Ｘ
焦点坐标F1( 7, 0), F2 ( 7, 0),
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第1课时)》名师课件
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例1.求椭圆 25x2 y2 25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.
详解:把原方程化成标准方程:
y2 25
x2
1
即 a 5,b 1 ,所以c 25 1 2 6
因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a 10, 2b 2
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （2）在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为8. 详解:设椭圆的方程为 x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
如图所示, A1FA2 为等腰三角形,OF是斜边A1A2 的中线(高), 且 OF c, A1A2 2b c b 4,a2 b2 c2 32 故所求椭圆的方程为 x2 y2 1
心率确定a,b,c时,常用到e c =
a
1
b2 a2
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探究二:椭圆中 a,b, c, e 的几何意义及相互关系 ★▲ 重难点
例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O是坐标原点,F是一个焦点,A是一个 顶点.若椭圆的长轴长是6,且 cosOFA 2 .求椭圆的方程.
（4）如图所示,在Rt
BF2O
中,
cos
BF2O
c a
,记 e c 则0<e<1,e越
a
大, BF2O 越小,椭圆越扁;e越小, BF2O 越大,椭圆越圆.
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