2018图论试卷及答案
《图论》课程考试试卷（B）
适用专业：信计本科生
考试时间：120分钟； 考试方式：闭卷； 总分100分
一、填空题. （6小题，每小题4分，共24分）
1 n阶完全图有
条边。
2
M增广道路指的是 。
3 若G是连通的,pq图，则它的一棵生成树有 条边。
4 求一个连通图的生成树的两种方法： 和 。
5 图G是2-色的当且仅当G是 。
6 1964年Demoueron,Malgrange和Pertuiset提出了研究图的平面性算法，即
。
二 解答题 （8小题，共66分）
1 画一个图，使得顶点的度是 2，2，2，2，2，2。（6分）
2 试作出下列二图作的并，交与环和。（6分）
3 写出下图的关联集，并由此求出图的全部断集。（10分）
4 写出题3中的图的完全关联矩阵。（8分）
5 求下图所示的二部图的完美匹配(给定初始匹配M0={（u1,v1）,(u3,v5),(u5,v3)})。（10分）
6 画出下图的对偶图。（6分）
7 求下图中顶点u和v之间的最短道路。（10分）
8 求下述网络的最大流。（10分）
三 证明题 （1小题，每小题10分，共10分）
证明：若G是k边连通的，则12qkp
图论
课程考试试卷答案B
一
填空题
（共6小题，每小题4分，共24分）
1 21(1)2nCnn。 2 起点和终点都是M不饱和的M交错道路。
3 p-1 ; 4 破圈法和 避圈法。
5 二部图 ； 6 D.M.P算法 。
二 解答题 （共8小题，共66分）
（题1图） （题6图）
（题2图）
3 解：S(1)={a,d,f},S(2)={a,b,e},S(3)={b,c,d}
然后作出它们所有的环和 S(1) S(2)={b,d,e,f}, S(1) S(3)={a,b,c,f}
S(2) S(3)={a,c,e,d},
S(1) S(2) S(3)={e,c,f}
4 解： 10010110010111000101
5 解：（1）对于初始匹配 M0，以不饱和顶点u2出发，找到一条可增广道路P0=u2v3u5v5u3v2,令M0E(P0)得新匹配
M1={(u1,v1),(u2,v3),(u3,v2),(u5,v5)}
(2)以不饱和顶点u4出发，找到一条可增广道路
P1=u4v3u2v2u3v5u5v4,令M1E(P1),得到一新的匹配M2即为所求。
7 解：最短路线的长为11。
8 解：网络的最大流为11。
(1)找增广链xaeby,这时y=1，把此增广链每条弧的流量同时加上1。
(2)找增广链xedy,这时y=1，同时把每条弧流量同时加上1。
三 证明题
证明：对G中任意顶点v有 deg()2q=deg(v)kp
1qkp2vGGk于是得到
2018NOIP普及组初赛试题答案解析
第二十四届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛
普及组C++语言试题
竞赛时间：2018年10月13日14:30~16:30
选手注意：试题纸共有7页，答题纸共有2页，满分100分。请在答题纸上作答，写在试题纸上的一律无效。不得使用任何电子设备（如计算器、手机、电子词典等）或查阅任何书籍资料。一、单项选择题（共15题，每题2分，共计30分；每题有且仅有一个正确选项）1.以下哪一种设备属于输出设备：（）
A.扫描仪B.键盘C.鼠标D.打印机
解析：这是一道送分题，会就会，不会就不会。所以选D。
2.下列四个不同进制的数中，与其它三项数值上不相等的是（）。A.(269)16B.(617)10C.(1151)8D．(1001101011)2
解析：这题考核的是进制转换。（269）16=2*16^2+6*16^1+9*16^0=617，(1151)8=1*8^3+1*8^2+5*8^1+1*8^0=617，而(1001101011)2=619。所以选D。
3.1MB等于（）。
A.1000字节B.1024字节C.1000X1000字节D.1024X1024字节1KB=1024B1MB=1024KB解析：这题考核的是字节之间的转换。1MB=1024KB=1024*1024B。所以选D。
4.广域网的英文缩写是（）。NB．WAN
C．MAN
D．LNA
解析：这题是送命题，，会就会，不会就不会。WAN全称为WideAreaNetwork。所以选B。
5.中国计算机学会于（）年创办全国青少年计算机程序设计竞赛。A.1983B.1984C.1985D.1986解析：这题是送命题，会就会，不会就不会。NOI是全国青少年信息学奥林匹克竞赛(NationalOlympiadinInformatics)的简称。NOI是国内包括港澳在内的省级代表队最高水平的大赛，自1984年至今，在国内包括香港、澳门组织竞赛活动。所以选B。
6.如果开始时计算机处于小写输入状态，现在有一只小老鼠反复按照CapsLock、字母
应用离散数学图论图的连通性题库试卷习题及答案
应用离散数学 图论
§5.2 图的连通性
习题5.2
1．证明或否定：
（1）简单图G
中有从点u
到点v
的两条不同的通路，则G
中有基本回路。
（2）简单图G
中有从点u
到点v
的两条不同的基本通路，则G
中有基本回路。
解：（1）简单图G
中有从点u
到点v
的两条不同的通道，则G
中有回路。
（2）简单图G
中有从点u
到点v
的两条不同的路，则G
中有回路。
解 （1）不一定：如下图，点1与点3之间有两条通道：（1、2、3）和（1、2、1、2、3），
但图中没有回路。
（2）一定：设两条路分别为),,,,,(
211vxxxuL
m
和),,,,,(
212vyyyuL
n
。若对
mi1
，nj1
有
jiyx
，则),,,,,,,,,,(
12121uyyyyvxxxu
nnm
是一条回路。否
则假设
lkyx
且是离u
最近的一对（即对ki1
，lj1
，不存在
jiyx
），则
),,,,,,,,,(
12121vyyyxxxu
lk
是一条回路。
2．设G
是简单图，)(G
≥2
，证明G
中存在长度大于或等于1)(G
的基本回路。
证：以图G中一点v
1出发，与之相邻的点设为v
2，由于)(G
≥2
，则v
2至少还有一个邻
接点，设为v
3，若v
3与v
1邻接，则形成长度为1)(G
的基本回路，则若v
3不与v
1邻接，
则至少还有一个邻接点，设为v
4，若v
4与v
1或v
2邻接，则形成长度为大于或等于1)(G
的
基本回路，若v
4与v
1和v
2都不邻接，至少还有一个邻接点，设为v
5，…，依次类推，一定可
以到达最后一个顶点v
i，由于)(G
≥2
，则除了v
i-1外，一定会与前面的某个顶点邻接，就
会形成长度为大于或等于1)(G
的基本回路。
3．证明：若连通图G
不是完全图，则G
中存在三个点wvu，，
，使Evu)(，
，Ewv)(，
，
Ewu)(，
。
证明：用反证法，假设图G中任意的三个点都有Evu)(，
，Ewv)(，
，(u，w)∈E
, 应用离散数学 图论
离散数学图论部分经典试题及答案
1 离散数学图论部分综合练习
一、单项选择题
1．设图G的邻接矩阵为
0101010010000011100100110
则G的边数为( )．
A．6 B．5 C．4 D．3
2．已知图G的邻接矩阵为
，
则G有（ ）．
A．5点，8边 B．6点，7边
C．6点，8边 D．5点，7边
3．设图G＝，则下列结论成立的是 ( )．
A．deg(V)=2E B．deg(V)=E
C．EvVv2)deg( D．EvVv)deg(
4．图G如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．
A．{(a, d)}是割边
B．{(a, d)}是边割集
C．{(d, e)}是边割集
D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )．
A．e是割点 B．{a, e}是点割集
C．{b, e}是点割集 D．{d}是点割集
6．如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ．
A．{(a, e)}是割边 B．{(a, e)}是边割集
C．{(a, e) ,(b, c)}是边割集 D．{(d, e)}是边割集
c a b
e d
f
图一
图二 2
图三
7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是 ( )．
图四
图论复习
图论复习题
第一章 图
主要内容：
1．图的基本概念和基本定理（重点是完全图、二部图、图的同构、握手定理等）
2．轨道和圈（最长轨理论）
练习题目：
1．5阶无向完全图的边数为__10_____。
2．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件______。
3．图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的_充分必要条件______。
4．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有_n(n-1)/2_ 条边。
5．一个有n个结点的图，最少有___1____个连通分支。
6．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有___4____个。
7．单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．
解：设G中有x各结点，则3度的结点有x-7
根据握手定理有，1x2+2x2+4x3+3x(x-7)=2x12
解得x=9,故G中有9个结点。
满足条件的图如下：
8．单连通无向图G有9条边，G中有4个3度结点，2个1度结点，其余结点度数为2．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．
9．面上有n个点S＝{x1,x2,……,xn}，其中任两个点之间的距离至少是1，证明在这n个点中距离为1的点对数不超过3n。（38题）
10．若图G是简单图， 且(1)(2)2ppq，则G连通。（42题）
11．如果G是具有m条边的n阶简单图，证明：若G的直径为2且△= n-2，则m≥2n-4。（50题）
12．证明：在任何图中，奇度点个数为偶数。（推论1.1）
13．证明：图G是二部图当且仅当G无奇圈。（定理1.2）
14．证明：每个顶点度数都大于等于2的简单图必有圈。（例1.9）
15．证明：每个顶点度数都大于等于3的简单图必有偶圈。（例1.11）
哈工大图论习题
第一章 习 题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否
有回路？
7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。试证：有不少于m+1
个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联
结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。证明：若 δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：
(a)q≥p，则G中有回路；
(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则Gc
是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：
(a)δ(G)·δ(GC
)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)
(b) δ(G)·δ(GC
)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)
16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有
degu+degv≥9
19．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？
图论习题及答案
图论习题及答案(总24页)
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--内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 作业解答
练习题2 利用matlab编程FFD算法完成下题：
设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。
解答一：
function [num,s] = BinPackingFFD(w,capacity)
%一维装箱问题的FFD（降序首次适应）算法求解:先将物体按长度从大到小排序,
%然后按FF算法对物体装箱
%输入参数w为物品体积，capacity为箱子容量
%输出参数num为所用箱子个数，s为元胞数组，表示装箱方案，s{i}为第i个箱子所装
%物品体积数组
%例w = [60,45,35,20,20,20]; capacity = 100;
% num=3,s={[1,3],[2,4,5],6};
w = sort(w,'descend');
n = length(w);
s = cell(1,n);
bin = capacity * ones(1,n);
num = 1;
for i = 1:n
for j = 1:num + 1
if w(i) < bin(j)
bin(j) = bin(j) - w(i);
s{j} = [s{j},i];
if j == num + 1
num = num + 1;
end
break;
end
end
end
s = s(1:num);
解答二：
clear;
clc;
V=100;
v=[60 45 35 20 20 20];
n=length(v);
v=fliplr(sort(v));
(完整版)图论及其应用1-3章习题答案(电子科大)
习题一
1. （题14）：证明图1-28中的两图是同构的
证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图
作映射f : f(vi)ui (1 i 10)
容易证明，对vivjE((a)),有f(vivj)uiujE((b)) (1 i 10, 1j 10 )
由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
2. （题6）设G是具有m条边的n阶简单图。证明：m =2n当且仅当G是完全图。
证明 必要性 若G为非完全图，则 vV(G),有d(v) n-1 d(v) n(n-1)
2mn(n-1)
m n(n-1)/2=2n, 与已知矛盾！
充分性 若G为完全图，则 2m= d(v) =n(n-1) m= 2n。
3. （题9）证明：若k正则偶图具有二分类V= V1∪V2，则 | V1| = |V2|。 图1-28
(a) v1
v2
v3 v4 v5 v6
v7 v8 v9 v10 u1
u2
u3
u4 u5 u6
u7 u8
u9 u10
(b) 证明 由于G为k正则偶图，所以，k V1 =m = k V2 V1= V2 。
4. （题12）证明：若δ≥2，则G包含圈。
证明 只就连通图证明即可。设V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,对于G中的路v1v2…vk,若vk与v1邻接，则构成一个圈。若vi1vi2…vin是一条路，由于 2，因此，对vin，存在点vik与之邻接，则vikvinvik构成一个圈 。
5. （题17）证明：若G不连通，则G连通。
证明 对)(,_GVvu,若u与v属于G的不同连通分支，显然u与v在_G中连通；若u与v属于g的同一连通分支，设w为G的另一个连通分支中的一个顶点，则u与w，v与w分别在_G中连通，因此，u与v在_G中连通。
张清华 图论课后题答案
第1章 图论预备知识
1.1 解：(1) p={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
(2) p={,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}}
(3) p={,{}}
(4) p={,{},{{}},{,{}}}
(5)p={,{{a,b}},{{a,a,b}},{{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b}},{{a,b},{a,b,a,b}},{{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}}}
1.2 解：(1) 真 (2) 假 (3)假 (4)假
1.3 解：(1) 不成立，A={1} B={1,2} C={2}
(2) 不成立，A={1} B={1,2} C={1,3}
1.4 证明：设(x,y)∈(A∩B)X(C∩D) 说明x∈A∩B,y∈C∩D
由于 x∈A,y∈C 所以 (x,y) ∈A X C
由于x∈B,y∈D 所以 (x,y) ∈B X D
所以 (x,y) ∈（A X C）∩（B X D）
反过来，如果（x,y）∈(A X C) ∩（B X D）
由于 (x,y) ∈（A X C）所以 x∈A,y∈C
由于 (x,y) ∈（B X D）所以x∈B,y∈D
所以x∈(A∩B) y∈(C∩D)
所以 (x,y) ∈(A∩B)X(C∩D)
所以(A∩B)X(C∩D)= (A X C) ∩（B X D）
1.5 解：Hasse图
24
12
4 10
5 2 3 9
极大元{9,24,10,7}
极小元{3,2,5,7}
最大元{24}
最小元{2}
1.6 解 (1)R={|x整除y}