2015希望杯数学竞赛高一、高二试题含答案

2015年希望杯全国数学邀请赛高中一年级获奖名单

金牌高一濠江中學談皓澳门金牌高一厦门大学附属实验中学柯志发福建金牌高一福清西山中学吴鸿鑫福建金牌高一福清西山中学柯杨斌福建金牌高一福建师范大学附属中学杨晨阳福建金牌高一开平市开侨中学侯健炫广东金牌高一深华教育吕润和广东金牌高一华南师范大学附属中学李昶晟广东金牌高一华南师范大学附属中学张睿达广东金牌高一华南师范大学附属中学刘超宇广东金牌高一信宜市信宜中学施杨广东金牌高一广西师范大学附属外国语学校赵奕铭广西金牌高一邢台市第一中学刘世康河北金牌高一邢台市第一中学路宗尚河北金牌高一邢台市第一中学魏正河北金牌高一石家庄第二中学于明鑫河北金牌高一石家庄鑫鹏学校高立明河北金牌高一郑州市外国语中学任和河南金牌高一冷水江市第一中学刘吉泉湖南金牌高一长沙市南雅中学黄一峰湖南金牌高一吉林市第一中学吕潇吉林金牌高一吉林市第一中学徐靖博吉林金牌高一四平市第一高级中学郑轶丹吉林金牌高一四平实验中学尚俊卓吉林金牌高一江苏省盐城中学杨翔宇江苏金牌高一江苏省亭湖高级中学张禹江苏金牌高一江苏书人教育汪正中江苏金牌高一吴江市青云实验中学潘伟杰江苏金牌高一浮梁县一中李智杰江西金牌高一营口市大石桥一高中李靖雯辽宁金牌高一包头市九中邹明哲内蒙古金牌高一山西大学附属中学田宇君山西金牌高一山西大学附属中学鲍家辉山西金牌高一山西大学附属中学张入文山西金牌高一上外附中陈彦达上海金牌高一大同中学段宇昕上海金牌高一天津市实验中学徐嘉宇天津金牌高一桐乡高级中学陈洋浙江金牌高一桐乡高级中学徐钟祺浙江金牌高一桐乡高级中学郑炜强浙江金牌高一海盐元济高级中学沈瑞恩浙江金牌高一海盐元济高级中学沈霁浙江金牌高一嘉善高级中学吴政科浙江金牌高一平湖中学梁嘉诚浙江金牌高一平湖中学王雪纯浙江金牌高一重庆市奉节中学张家洪重庆金牌高一重庆市九龙坡区教育培训学校康敏桐重庆银牌高一阜阳市第三中学陈前前安徽银牌高一阜阳市第三中学王海龙安徽银牌高一培正中學魏可盈澳门银牌高一华侨城黄冈中学胡舒予北京银牌高一厦门大学附属实验中学艾宇旸福建银牌高一福建师范大学附属中学孙泽宇福建银牌高一福州三中杨汉福建银牌高一安溪县蓝溪中学廖俊林福建银牌高一泉州市培元中学施凤铮福建银牌高一安溪县第一中学沈灿红福建银牌高一惠安荷山中学陈柏鸿福建银牌高一高台县第一中学李伟明甘肃银牌高一开平市开侨中学黄泽钦广东银牌高一开平市开侨中学方尧洋广东银牌高一开平市第一中学余振仕广东银牌高一深圳市实验学校高中部李睿杰广东银牌高一华南师范大学附属中学李卫雨广东银牌高一江门市第一中学余琛广东银牌高一台山一中梁仪恩广东银牌高一顺德德胜学校叶若松广东银牌高一信宜市信宜中学高铭骏广东银牌高一信宜市信宜中学梁恩广东银牌高一广西师范大学附属外国语学校将博文广西银牌高一桂林市十八中唐成龙广西银牌高一为明学校夏冰剑贵州银牌高一清华中学朱腾贵州银牌高一六枝特区二中刘嘉诚贵州银牌高一贵阳一中新世界国际学校贺思齐贵州银牌高一邢台市第一中学张新松河北银牌高一邢台市第一中学魏江涛河北银牌高一邢台市第一中学贺明康河北银牌高一邢台市第一中学高永程河北银牌高一邢台市第三中学刘佳乐河北银牌高一石家庄第二中学吴昊宁河北银牌高一石家庄正定中学于少东河北银牌高一郑州市外国语中学景飞龙河南银牌高一郑州市外国语中学沙廉栋河南银牌高一哈师大附中付警锋黑龙江银牌高一哈师大附中高哲黑龙江银牌高一凤凰县华鑫实验学校龙回湖南银牌高一冷水江市第一中学张贻琛湖南银牌高一新邵县一中彭璐璐湖南银牌高一长沙市南雅中学欧阳代为湖南银牌高一长沙市南雅中学李一格湖南银牌高一四平市第一高级中学郝建桥吉林银牌高一四平市第一高级中学冯科皓吉林银牌高一江苏省建湖高级中学仇晶江苏银牌高一江苏书人教育万劲东江苏银牌高一江苏书人教育吴宏伟江苏银牌高一吴江市青云实验中学陆星宇江苏银牌高一吴江市青云实验中学孙斐逸江苏银牌高一赣州市第一中学方承强江西银牌高一辽宁省实验中学营口分校徐德轩辽宁银牌高一营口开发区一高中王君宇辽宁银牌高一呼伦贝尔市满洲里七中宋琳琳内蒙古银牌高一呼伦贝尔市尼尔基一中肖安琦内蒙古银牌高一鄂尔多斯市第一中学田普阳内蒙古银牌高一包头市九中韩子雄内蒙古银牌高一包头市北重三中续亮内蒙古银牌高一利津县第一中学冉德智山东银牌高一泰安明湖中学陈千姿山东银牌高一忻州实验中学高天荣山西银牌高一山西大学附属中学杨昊桐山西银牌高一山西大学附属中学张子洲山西银牌高一太原五中连子涵山西银牌高一上海曹杨二中沈周上海银牌高一奉贤中学李臻祥上海银牌高一上外附中仇学成上海银牌高一上外附中蒋昱奇上海银牌高一天津市咸水沽中学曾淇天津银牌高一天津市静海一中柴苏瑜天津银牌高一新疆生产建设兵团第一师高级中学董皖新新疆银牌高一新疆生产建设兵团第一师高级中学王国鑫新疆银牌高一蒙自市一中梁睿云南银牌高一云南省云天化中学王冉云南银牌高一云南省云天化中学晁弋茹云南银牌高一桐乡高级中学李擎天浙江银牌高一桐乡高级中学张烨冰浙江银牌高一桐乡高级中学戴一新浙江银牌高一桐乡高级中学许鲍磊浙江银牌高一桐乡高级中学金志成浙江银牌高一平湖中学孙逸洲浙江银牌高一平湖中学陆诚迪浙江银牌高一海盐元济高级中学王嘉辉浙江银牌高一海盐元济高级中学周瀛浙江银牌高一海盐元济高级中学顾成宇浙江银牌高一海盐元济高级中学俞卓航浙江银牌高一海盐元济高级中学马鼎立浙江银牌高一海宁市高级中学沈炜浙江银牌高一海宁市高级中学孙哲渊浙江银牌高一嘉善高级中学朱嘉安浙江银牌高一重庆市奉节中学蔡兴灏重庆银牌高一重庆市九龙坡区教育培训学校李函阳重庆

希望杯竞赛数学试题详解(81-90题)

高中数学希望杯典型例题100道（81-90）

题81 过正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC的中点E、F作一个截面，使截面与底面ABCD所成的角为450，则此截面的形状为（）

A、三角形或五边形 B、三角形或六边形 C、六边形 D、三角形或四边形

（第六届高一第二试第5题）

解显然，必有一个截面与棱BB1相交，此截面是三角形.设过D1的截面与底面所成的角为，易求得tan

tan∠D1GD=1322，故<450，又设过A1、C1的截面与底面所成角为，则易求得tan=tan∠O1GO=22>1,故45,于是另一截面应与A1D1、D1C1相交（不过其端点），形状为六边形，故选B.

评析解决此题的关键是要求具有较强的空间想象力，能够理解确定截面形状的下列方法：若截面与棱DD1相交，则截面为五边形；若截面与棱A1D1、D1C1都相交（但不过其端点），则截面为六边形；若截面与棱A1B1、 B1C1都相交（但不过点B1），则截面为四边形.

原解答中说“为考察另一截面是否与DD1相交，只需考虑过点D1的截面与底面所成角θ的大小”，并在得到θ<450后，就说截面是六边形.这种理由并不充分.θ<450只能说明截面与DD1不相交，但不能说明截面一定是六边形.事实上，当截面过A1C1时，截面与DD1不相交，但截面却是四边形.

拓展根据上述解法及分析，并考虑到截面过点B1时，截面与底面所成角为arctan22，与截面过A1C1时截面与底面所成角相等，我们可得如下：

结论过正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC的中点E、F作一个截面，使截面与底面ABCD所成的角为θ（0

当220arctan3时，截面的形状为三角形或五边形；

当22arctanarctan223时，截面的形状为三角形或六边形；

希望杯竞赛数学试题详解(11-20题)

题11 使不等式xaxarccos2的解是121x的实数a的取值范围是（）

A、21 B、3222 C、6522 D、21

（第十一届高二第一试第6题）

解法1 由已知可知2arccosxxa的解集是121，.在此区间上函数xxfxarccos2是单调增的.因此a的值应当满足关系,21af

21arccos221a.3222选B.

解法2 原不等式同解于2arccosxax，因为121x，所以222,2x

23xarccos0，从而axx,2arccos232223222.故选B.

评析上述两种解法的实质是一回事.

关于此题，刊物上有数篇文章的观点值得商榷，现摘其部分加以分析.

一篇文章认为：“由已知不等式得2arccosxax，欲使其解为121x，实际上是对121，x的任何x，2arccosxax恒成立，而xyxarccos2在121，上是增函数，所以当21x时，21arccos221miny3222.故选B.”

另一篇文章在介绍了“设,nxfm则xfanxfaxfa;max

mxfamin”后分析道：“令xxfxarccos2，当121x时，xf3222

2，又xfa，故2223a，选B. ”

还有一篇文章干脆将题目改为：

使不等式xaxarccos2的解是121x的实数a的取值范围是（）

A、21， B、3222， C、6522， D、21，

2015年初一希望杯第二试试题及答案（WORD版）

2015 年初一希望杯第二试

1、请你想好一个数。将该数与2015之和乘以4，减去12，再将其差除以4，然后减去你想好的那个数，最后的结果等于（）

2、若a + 2015 = 0，则a ? 2015的值是（）

(A) ? 4030 (B) ? 2015 (C) 0 (D)2015

3、如图1，MA//BN//CP，若BA =BC，∠MAC = 50°，∠NBC

=

150°，则∠ABC =（）

(A) 60°(B) 150°(C) 140°(D) 130°

4、红光中学初一年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47。则三个班的总人数为（）

(A) 68 (B) 70 (C) 72 (D)74

5、As shown in the Fig.2，Points A，B and C on the number

axis represent nonzero rational number

a ，b，and c respectively . If |a| + |a + b| + |

b ? c| = ?c，then the point represent 0 is（）

(A) on the right side of A

(B) on the left side of C

(C) between B and C

(D) between B and A

(翻译)如图2，数轴上的点A，B，C代表非零数字a，b和c，如果|a| + |a +b| + |b ? c| =?c，则代表

0的点位于（）

(A) A点的右边(B) C点的左边

(C) B , C之间(D) B , A之间 6、如图3，正方形ABCD由四个相同的小长方形和一个小正方形

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛试题

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛

高一第1

试试题

一、选择题

(每小题4

分,共40

分.)

1.

计算1

log

2100+1

log

5100的值是()

(A)1.(B)12.(C)

-12.(D)

-2.

2.

下列函数中,既是偶函数,又是(0,

+∞)上的增函数的是()

(A)

y=|x-1|.(B)

y=-x2+1.(C)

y=2-|x|.(D)

y=log

2|x|.

3.

如图1

所示的几何体的俯视图是()

4.

把数列{2,

4,

6,…,

2n}依次按一项、二项、三项、四项地循环排列:(

2),(

4,

6),(

8,

10,

12),

(

14,

16,

18,

20);(

22),(

24,

26),(

28,

30,

32),(

34,

36,

38,

40);…,则第

104

个括号内的所有数之和

为()

5.

方程x2-y2+x+y=12

的整数解有()

(A)4

对.(B)6

对.(C)8

对.(D)12

对.

6.InrectangularcoordinatesystemxOy,

liney=-43x+4intersectswithx-axisand

y-axisatpointAandB,

respectively.Rotate△AOBonpointB90degreesclockwiseto

△A′O′B.ThenthecoordinateofthepointA′is()

(A)(

-3,1)

.(B)(

-2,5)

.(C)(

-4,1)

.(D)(

-4,3)

.

(英汉小词典:rotate

旋转;clockwise

顺时针方向地)

7.

函数f(

x)

=(

x2-2014x-2015)

ln(

x-2013)的零点的个数为()

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.

8.

当x∈(

2,

3)时,若不等式

log

a(

x-1)

-(

x-2)

2>0

恒成立,则实数a

的取值范围是

()

(A)(

0,12]

.(B)[

12,1)

.(C)(1,2]

.(D)[2,

+∞)

.

9.

已知函数f(

x)

={

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(1)

历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析（一）

题1 已知yxabbybbaxba,,,,0则的大小关系是 .

（第十一届高二第一试第11题）

解法1 bbaabbax，abbaabby.

yxabbbbaba,,0.

解法2 bbaabbabbbbayx，yxyxabba,1,.

解法3 aabbabbaabbbbayx1111

=yxyxaabba,011,0.

解法4 原问题等价于比较abba与b2的大小.由,2)(222yxyx得babbaabba4)(2)2（，babba2.

yxbabbaabba,2,.

解法5 如图1，在函数xy的图象上取三个不同的点A（ab，ab）、B（b，b）、C（ba，ba）.

由图象，显然有ABBCkk，即)()(abbabbbbabba，

即abbbba，亦即yx.

解法6 令()ftatt，ttaatf)(单调递减，而abb，)()(abfbf，即abbbba，yx. A B C

x y

O b-a b b+a

图1 解法7 考虑等轴双曲线)0(22xayx.

如图2，其渐近线为xy.在双曲线上取两点

A（b，ab）、B（ab，b）.

由图形，显然有1ABk，即1bbaabb，从而yx.

解法8 如图3.在Rt△ABC中，∠C为直角，BC=a，AC=b，BD=b，则AB=ba，DC=ab.

在△ABD中，AB-AD

从而baAD-DC<bDC，

即abbbba，故yx.

2015年第13届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(五年级第1试)

第1页（共11页）

2015年第13届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第1试）

一、以下每题6分，共120分

1．（6分）计算：= ．

2．（6分）9个13相乘，积的个位数字是．

3．（6分）如果自然数a、b、c除以14都余5，则a+b+c除以14，得到的余数是．

4．（6分）将1到25这25个数随意排成一行，然后将它们依次和1，2，3，…，25相减，并且都是大数减小数，则在这25个差中，偶数最多有个．

5．（6分）如图，有3个长方形，长方形①的长为16厘米，宽为8厘米；长方形②的长、宽分别是长方形 ①长、宽的一半；长方形 ③的长、宽分别是长方形

②长、宽的一半．则这个图形的周长是厘米．

6．（6分）字母a，b，c，d，e，f，g分别代表1至7中的一个数字，若a+b+c=c+d+e=c+f+g，则c可取的值有个．

7．（6分）用64个体积为1立方米的小正方体拼成一个大正方体，如果将大正方体8个顶点处的小正方体都去掉，则此时的几何体的表面积是

平方米．

8．（6分）有一个三位数，百位数字是最小的质数，十位数字是算式（0.3+π×13）的结果中小数点后第1位数字，个位数字是三位数中能被17整除的最小数的个位数字，则这个三位数是．（π取3.14）

9．（6分）循环小数0.04285．的小数部分的前2015位数字之和是．

10．（6分）如图，用若干个相同的小正方体摆成一个几何体，从上面、前面、左面看分别是图形①、②、③则至少需要个小正方体．

第2页（共11页）

11．（6分）已知a与b的最大公约数是4，a与c、b与c的最小公倍数都是100，而且a≤b．满足条件的自然数a、b、c共有多少组？

12．（6分）从写有1，2，3，4，5的5张卡片中任取3张组成一个三位数，其中不能被3整除的有个．

13．（6分）两位数和都是质数，则有个．

14．（6分），分别表示两位数和三位数，如果+=1079，则a+b+c+d+e= ．

高中数学希望杯竞赛高一(复试)(真题含详细答案)

高中数学希望杯竞赛高一（复试）真题及详细答案

选择题

1.选择A，因为只有一种可能。

2.选择C，需要注意集合A的元素是y。

3.选择A，因为等价于|2x-1|<1/3.

4.选择B，可以使用特殊值法，取等边三角形即可；事实上，在锐角三角形中，恒有sinA>cosB。这里A、B位置可交换。

5.选择B，因为a=1/(1-a)无实数解，故而不可能只有1个元素。设a是其元素，1/(1-a)也是其元素且不等于a，于是1/[1-1/(1-a)]也是其元素，令它等于a，此时有解于是A={2,1/2,-1}。

6.题目遗漏，无法回答。

7.选择D，需要注意旋转体的上下差异。可以取下面的一半来算：先将下面的一半分成两部分，然后相加即可。

8.选择D，需要设直线交y轴于D。∠BOA=120°，于是r=4/√3，然后解△BOD，正弦求出面积，余弦求BD，解得距离。

9.选择B，需要理解题意。先算得y=(x+2)(x+2)-7，作出两个函数的图像，简单看一下即可。

10.选择D，可以使用特殊值法，算出a1，a2即可。

填空题

11.填1/2012，因为令x=1，迭代前面几个，找出规律。

12.填-1，需要注意，360/(a-x)和-360/(a-x)都是A中元素，两者的x和为2a，而360的正因子共有4*3*2=24个，故而2a*24=336，解得a=7/13.简单，注意到a为负！令a=-1即可。

14.填-√3或√3，将集合A化简，可得x=sina。y=1+cosa，于是x^2+(y-1)^2=1，和直线相切。

15.填105，两小时中行驶的路程为210或110，除以2即可。

16.填35，需要变形，y=(2011x)/(x-2011)，先考虑正整数情况，由于2011为素数，故而x-2011=1或x-2011=2011或x-2011为正整数，而x/(x-2011)=1+2011/(x-2011)，所以x-2011=1或x-2011=2011.注意到x，y位置可互换。整数情形类似。此时要对称的考虑负数情况。

希望杯竞赛数学试题详解(41-50题)

1 题41 E、F是椭圆22xy142的左、右焦点，l是椭圆的准线，点Pl，则EPF的最大值是

（）

A、15° B、30° C、45°

D、60°

（第十三届高二培训题第21题）

解法1 不妨设l是右准线，点P在x轴上方（如图所示），则l的方程为2ax22c，故可设点P为22,0yy，记EPF，由PE到PF的角为，得tan1PFPEPFPEkkkk.又知,2222PFyyk22232PEyyk，代入上式并化简，得222tan6yy.由假设知0y，所以tan0,0,2.由基本不等式得223tan326yy，所以的最大值为30°，当6Py时取得最大值.故选B.

解法2 如上图，设,EPDFPD，则,tantan

222222tantan222222361tantan322222262612yyyyyyyy,因为0,,2

所以的最大值为30°.故选B.

解法3 由EPF面积的两种表示方法，即11sin22sEFyEPFP，得sin

224222222222236203622222220EFycyyEPFPyyyyyy

222222124236220yy，因为为锐角，所以的最大值为30°.故选B.

θ

x y

D P

F E O

l P y

x l

F o E C

A

图1

2 解法4 依题意，经过E、F且与椭圆的准线l相切于点P的圆，使EPF最大.如图1，不妨设l是右准线，点P在x轴上方，则准线方程为222axc，易得圆心C的坐标为0,6，因此点P22,6使EPF最大.又PE、PF的斜率分别为33、3，设准线lx轴于点A，则30,60PEAPFA，此时30EPF.故选B.

最全希望杯数学竞赛真题及答案

1

“希望杯”全国数学竞赛

（第1-23届）

第一/二试题

2

1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 ............................................. 003-005

2.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题 ............................................. 010-012

3.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题 ............................................. 018-020

4.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题 ............................................. 024-026

5.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题 ............................................. 032-032

6.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题 ............................................. 038-040

7.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题 ............................................. 048-050

8.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题 ............................................. 056-058

9.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题 ............................................. 064-066

10.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 071-073