回归模型的参数估计与假设检验
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
回归模型的统计检验
分布。 F 统计量服从自由度为 ( k , n − k − 1) 的 F 分布。选定 分布表（见本书附录） 一个显著性水平 α ，查 F 分布表（见本书附录） ， 可以得到一个临界值 Fα ( k , n − k − 1) 。
F检验与R2的关系
根据二者关系，有需注意的几个问题： ⑴F检验实际上也是判定系数的显著性检验。 ⑵如果模型对样本有较高的拟合优度，F检 验一般都能通过。 ⑶实际应用中不必过分苛求R2值的大小， 重要的是考察模型的经济意义是否合理。
∑ x ∑ x − (∑ x x ) ∑ x σˆ ∑ x ∑ x − (∑ x x )
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 x2 σ 2 ∑ ˆ
2
2
然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量： 然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量：
ˆ βi − βi t= ˆ S βi
ˆ ˆ ∑(y − y) = ∑ (y − y) + ∑ (y − y )
2 2 i i i i 2
y
yi
ei
yi − y
ˆ ( yi − y )
SRF
y
xi
x
TSS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ ESS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ RSS = Σ ( y i − y i ) 2
拟合优度检验统计量：可决系数( 2、拟合优度检验统计量：可决系数(判
定系数) 定系数)R2和校正可决系数 R2
（1）可决系数 ）
R 2 进行拟合优度检验，可决系 用可决系数 进行拟合优度检验，
数的计算公式为： 数的计算公式为：
( yi − y )2 ∑ˆ 2 R = ( yi − y )2 ∑
第二章 简单线性回归模型-参考
33
2.3.1 回归线过样本均值
由 1 Y 2 X ，知：Y 1 2 X 即样本均值点( X , Y ) 满足回归线方程
Y 1 2 X
Y
SRF
( X ,Y )
X
34
2.3.2 残差和为零 ei 0 （Residuals Sum to Zero）
40
2.4.2 无偏性
由2.2.4，知：
2 2 ci u i ,
又 E( u i ) 0 易得： E( 2 ) 2 , E( 1 ) 1
X i 是非随机的，或者虽然 X i 是随机的，
ui 但是与 是不相关的； X i 无测量误差； 变量和函数形式设定正确。
24
假定的两个方面： （2）关于随机扰动项 u i
也称高斯假定、古典假定 假定1 零均值： E (u i / X i ) 0 2 假定2 同方差： Var(u i / X i ) 假定3 无自相关：Cov(ui , u j ) 0, i j 假定4 随机扰动项 u i与 X i 不相关。 即：Cov( X i , ui ) 0. u i 服从正态分布， 假定5 u i ~ N (0, 2 ) 即：
一定方法得出 近似看成是
SRF的参数
总体函数的参数
Yi 1 2 X i ei
SRF1：
PRF2： Yi
1 2 X i ui
（观察参数的对应估计关系）
21
第二节 简单线性回归模型的 最小二乘估计（OLS）
本节主要介绍： 2.1 简单线性回归模型的基本假定 2.2 普通最小二乘法（OLS） 2.3 OLS回归线的性质 2.4 最小二乘估计的统计性质
第二章简单线性回归模型
4000
2037 2210 2325 2419 2522 2665 2799 2887 2913 3038 3167 3310 3510
2754
4500
2277 2388 2526 2681 2887 3050 3189 3353 3534 3710 3834
3039
5000 5500
2469 2924 2889 3338 3090 3650 3156 3802 3300 4087 3321 4298 3654 4312 3842 4413 4074 4165
Yi 与 E(Yi Xi )不应有偏差。若偏
差u i 存在，说明还有其他影响因素。
Xi
X
u i实际代表了排除在模型以外的所有因素对 Y 的影
响。 u i
◆性质 是其期望为 0 有一定分布的随机变量
重要性：随机扰动项的性质决定着计量经济分析结19
果的性质和计量经济方法的选择
引入随机扰动项 u i 的原因
特点：
●总体相关系数只反映总体两个变量 X 和 Y 的线性相关程度 ●对于特定的总体来说，X 和 Y 的数值是既定的，总体相关系
数 是客观存在的特定数值。
●总体的两个变量 X 和 Y的全部数值通常不可能直接观测，所
以总体相关系数一般是未知的。
7
X和Y的样本线性相关系数：
如果只知道 X 和 Y 的样本观测值，则X和Y的样本线性
计量经济学
第二章 一元线性回归模型
1
未来我国旅游需求将快速增长，根据中国政府所制定的 远景目标，到2020年，中国入境旅游人数将达到2.1亿人 次；国际旅游外汇收入580亿美元，国内旅游收入2500亿 美元。到2020年，中国旅游业总收入将超过3000亿美元， 相当于国内生产总值的8%至11%。
多元线性回归模型拟合优度假设检验
− nY 2 = Y′ − nY 2 Y
将上述结果代入R2的公式，得到：
′ − nY 2 − (Y′ −Y′ β ) Y′ β − nY 2 Xˆ Σe2 YY Y Xˆ 2 = R =1− 2 = 2 Y′ − nY 2 Y Σ(Y −Y ) Y′ − nY Y
这就是决定系数R2 的矩阵形式。
判定系数
1、t统计量 、 统计量
由于
ˆ) Cov(β = σ 2 ( X′X) −1
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素， 于是参数估计量的方差为： ˆ Var ( β ) = σ 2 c
i ii
其中σ2为随机误差项的方差，在实际计算 时，用它的估计量代替:
ˆ σ2 =
∑e
2 i
n − k −1
注意：一元线性回归中， 检验与F 注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 一方面 H0：β1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系： 另一方面
F= ˆ ∑y
2 i 2 i
∑ e ( n − 2)
ei2 ∑
=
ˆ β12 ∑ xi2
∑ e ( n − 2)
1、方程显著性的 检验 、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ … +βkXki+µi i=1,2, …,n
中的参数βj是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： β0=β1=β2= … =βk=0 H1： βj不全为0
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： 检验的思想 TSS=ESS+RSS
t 1 = 7.378, t 2 = 2.201
第二章 经典线性回归模型
它表明，对于n个时期t =1,2,…,n，该模型成立。
6
更一般的形式为：
Yi xi ui
i 1,2,...,n
(2.4)
即模型对X和Y的n对观测值（i=1,2,…,n）成立。 (2.3)式一般用于观测值为时间序列的情形，在横 截面数据的情形，通常采用(2.4) 式。
7
例2.1 城镇居民家庭人均消费方程 根据凯恩斯的绝对收入消费理论，在其它 条件不变的情况下，消费与可支配收入同方向变 动，即消费曲线的斜率为正。根据中国2006年31 个省市的城镇居民家庭平均每人全年可支配收入 income(单位：元)和城镇居民家庭平均每人全年 消费性支出consume的数据(单位：元)，画出散 点图如下：
（6）各解释变量之间不存在严格的线性关系。
上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件：
18
A1. E(u)=0 A2. E (uu) 2 I n
由于
u1 u2 uu u1 u2 ... u n
2
u12 u1u2 ...... u1un 2 u2u1 u2 ...... u2un ... un ................................. 2 unu1 unu2 ...... un
8
15,000 14,000 13,000 12,000
CONSUME
11,000 10,000 9,000 8,000 7,000 6,000 8,000
12,000
16,000 INCOME
20,000
24,000
从图中看出，两变量之间呈线性关系，可建立城镇居 民家庭人均消费方程如下：
C o n su m e * In c o m e u
如何进行回归分析：步骤详解(六)
回归分析是一种常用的统计方法，用来探讨自变量和因变量之间的关系。
它可以帮助我们了解变量之间的影响程度和方向，从而做出预测和决策。
在实际应用中，回归分析可以用来解决各种问题，比如市场营销、经济预测、医学研究等。
下面将详细介绍如何进行回归分析的步骤。
数据收集和准备进行回归分析的第一步是收集和准备数据。
首先需要确定研究的问题和变量，然后收集相关的数据。
在数据收集过程中，要确保数据的准确性和完整性。
一些常用的数据来源包括调查、实验、观测等。
在收集到数据后，还需要进行数据清洗和转换，以确保数据的质量和适用性。
变量选择在进行回归分析之前，需要对自变量和因变量进行选择。
自变量是用来解释因变量变化的变量，而因变量是需要预测或解释的变量。
在选择变量时，需要考虑变量之间的相关性和适用性。
通常情况下，选择的自变量应该具有理论基础或经验依据，以及与因变量之间的相关性。
模型建立在选择好自变量和因变量后，接下来就是建立回归模型。
回归模型是用来描述自变量和因变量之间关系的数学表达式。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
在建立模型时，需要确定模型的函数形式和参数估计方法。
模型拟合建立回归模型后，需要对模型进行拟合。
模型拟合是通过最小化残差平方和来确定模型参数的过程。
通常使用最小二乘法来进行模型拟合。
在拟合模型时，需要对模型的质量进行评估，比如残差分析、方差分析等。
模型诊断在拟合模型后，还需要对模型进行诊断。
模型诊断是用来检验模型的适用性和准确性的过程。
常用的模型诊断方法包括检验模型的假设条件、检验模型的预测能力、检验模型的稳健性等。
模型解释最后，需要对建立的回归模型进行解释。
模型解释是用来解释自变量和因变量之间关系的过程。
通常使用模型的参数估计和假设检验来进行模型解释。
模型解释可以帮助我们了解变量之间的影响程度和方向，从而做出决策和预测。
总结回归分析是一种常用的统计方法，用来探讨自变量和因变量之间的关系。
进行回归分析的步骤包括数据收集和准备、变量选择、模型建立、模型拟合、模型诊断和模型解释。
概率论与数理统计实验实验3参数估计假设检验
概率论与数理统计实验实验3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。
2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2,…, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计的某个已知函数.现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为F(x, )，其中为未知参数( 可以是参数估计点估计区间估计点估计——估计未知参数的值区间估计——根据样本构造出适当的区间，使他以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真?（一）、点估计的求法1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩.令设总体分布含有个m未知参数??1 ，…，??m解此方程组得其根为分别估计参数??i ，i=1,...,m，并称其为??i 的矩估计。
2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数的真值,也可能不包含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本来自正态母体X(1) 方差?? 2已知, ?? 的置信区间(2) 方差?? 2 未知, ?? 的置信区间2、方差的区间估计未知时, 方差?? 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)此命令以alpha 为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。
（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.例1、给出两列参数?? =10, ??=2正态分布随机数，并以此为样本值，给出?? 和?? 的点估计和区间估计命令:r=normrnd(10,2,100,2);[mu,sigm,muci,sigmci]=normfit(r);[mu1,sigm1,muci1,si gmci1]=normfit(r,0.01);mu=9.8437 9.9803sigm=1.91381.9955muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762sigmci=1.68031.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803sigm1=1.91381.9955muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。
1 多元线性回归分析
1、自变量筛选的标准与原则
① 残差平方和SSE缩小与确定系数增大 ② 残差均方缩小与调整确定系数增大 ③ Cp统计量
2、自变量筛选的常用方法
① 所有可能自变量子集选择 ② Forward：前进法（向前选择法） ③ Backward：后退法（向后剔除法） ④ Stepwise：逐步回归法
♦ 是选择变量的有效方法。
前进法、后退法、逐步回归法的侧重点不
同。
当自变量之间不存在简单线性相关关系时，三种方法计算结果 是一致的。 当自变量之间存在简单线性相关关系时，前进法侧重于向模型 中引入单独作用较强的变量，后退法侧重于引入联合作用较强 的变量，逐步回归法则介于两者之间。
注意：剔除变量的标准（0.1）应 大于或等于引入变量的标准 （0.05）。
ANOVA b
Model
Sum of Squares
1
Regression 133.711
Residual Total
88.841 222.552
df Mean Square
4
33.428
22
4.038
26
F 8.278
Sig. .000a
a.Predictors: (Constant), 糖化血红蛋白, 甘油三酯, 胰岛素, 总胆固醇
总变异 23 0.08123
R2=0.06396/0.08123=0.7874
确定系数的取值范围为0≤R2≤1。直接反映了 回归方程中所有自变量解释了反应变量总变异 的百分比。其值越接近于1，表示回归模型的拟 合效果越好。
3、调整的确定系数
调整的R2：记为
R2 = R 2 k(1 R2 )
计量经济学 第二章 一元线性回归模型
计量经济学第二章一元线性回归模型第二章一元线性回归模型第一节一元线性回归模型及其古典假定第二节参数估计第三节最小二乘估计量的统计特性第四节统计显著性检验第五节预测与控制第一节回归模型的一般描述（1）确定性关系或函数关系：变量之间有唯一确定性的函数关系。
其一般表现形式为：一、回归模型的一般形式变量间的关系经济变量之间的关系，大体可分为两类：（2.1)（2）统计关系或相关关系：变量之间为非确定性依赖关系。
其一般表现形式为：(2.2)例如：函数关系：圆面积S =统计依赖关系/统计相关关系：若x和y之间确有因果关系，则称(2.2)为总体回归模型，x(一个或几个）为自变量（或解释变量或外生变量），y为因变量（或被解释变量或内生变量），u为随机项，是没有包含在模型中的自变量和其他一些随机因素对y的总影响。
一般说来，随机项来自以下几个方面：1、变量的省略。
由于人们认识的局限不能穷尽所有的影响因素或由于受时间、费用、数据质量等制约而没有引入模型之中的对被解释变量有一定影响的自变量。
2、统计误差。
数据搜集中由于计量、计算、记录等导致的登记误差；或由样本信息推断总体信息时产生的代表性误差。
3、模型的设定误差。
如在模型构造时，非线性关系用线性模型描述了；复杂关系用简单模型描述了；此非线性关系用彼非线性模型描述了等等。
4、随机误差。
被解释变量还受一些不可控制的众多的、细小的偶然因素的影响。
若相互依赖的变量间没有因果关系，则称其有相关关系。
对变量间统计关系的分析主要是通过相关分析、方差分析或回归分析(regression analysis)来完成的。
他们各有特点、职责和分析范围。
相关分析和方差分析本身虽然可以独立的进行某些方面的数量分析，但在大多数情况下，则是和回归分析结合在一起，进行综合分析，作为回归分析方法的补充。
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。