2019-2020学年四川省成都七中高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年四川省成都七中高二（下）期中数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数，则A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点关于yOz平面对称的点的坐标是A. 1，B.C. 1，D.3.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是A. B. C. D.4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是A. 在区间内是增函数B. 在内是减函数C. 在内是增函数D. 在时取到极小值5.函数在上取得最大值时，x的值为A. 0B.C.D.6.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得到的统计学结论是：有________7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. B. C. D.8.若在上存在单调递增区间，则a的取值范围是A. B. C. D.9.两动直线与的交点轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分10.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类似的不难得到A. B. C. D.11.已知函数的导数满足对恒成立，且实数x，y满足，则下列关系式恒成立的是A. B.C. D.12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为虚数单位的虚部是______．14.已知，则函数的值域是______．15.已知曲线C：为参数且若点P在曲线C上运动，点Q为直线l：上的动点，则的最小值为______．16.已知函数若方程恰有两个实根，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；Ⅱ求过点作曲线的切线方程．18.如图，五面体中，底面是正三角形ABC，四边形是矩形，二面角是直二面角．Ⅰ点D在AC上运动，当点D在何处时，有平面；Ⅱ求点B到平面的距离．19.已知直线l的参数方程为为参数，，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．求圆C的直角坐标方程；若直线l与圆C相交于A、B两点，且，求的值．20.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，如表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款年底余额，如表1：年份x20152016201720182019储蓄存款千亿元567810表1为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到如表2：时间代号t12345z01235Ⅰ求z关于t的线性回归方程；Ⅱ通过Ⅰ中的方程，求出y关于x的回归方程；Ⅲ用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：对于线性回归方程，其中，21.已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点，离心率为求椭圆P的方程；是否存在过点的直线l交椭圆P于点R，T，且满足若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．22.已知函数．求函数的单调区间；若函数有两个零点，，，证明．答案和解析1.【答案】B{解析}解：复数，则．故选：B．利用复数的共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B{解析}解：在空间直角坐标系中，点关于yOz平面对称的点的坐标是．故选：B．在空间直角坐标系中，点b，关于yOz平面对称的点的坐标是b，．本题考查点关于yOz平面对称的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D{解析}解：点在直角坐标系下的坐标为，即过点且与x轴平行的直线方程为．即为．故选：D．可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理，再将结果转化成极坐标方程．极坐标是高中选修的内容，站在高考的角度，对于这方面知识的考查并不难，大多比较基础，学生只要掌握课本中基本的转换，方程，习题等就可以解决绝不多数问题．4.【答案】C{解析}【分析】根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．【解答】解：由图象知当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，则当或函数取得极小值，在时函数取得极大值，故A，B，D错误，正确的是C，故选C．5.【答案】B{解析}解：解得：当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减，函数在上取得最大值时故选B．先求导函数，令导数等于0求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值．本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．6.【答案】C{解析}解：，有的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，故选：C．根据K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．7.【答案】D{解析}解：设一段长x，则另一段为，所以两个正三角形面积之和，则时，函数取得最小值，故选：D．设出两段铁丝的长度，由三角形面积公式建立函数关系，结合二次函数性质易求最小值本题考查二次函数应用题，属于基础题．8.【答案】D{解析}解：若在上存在单调递增区间，只需在上有解即可．由已知得，该函数开口向下，对称轴为，故在上递减，所以，解得．故选：D．在上存在单调递增区间，即在上有解，因为的对称轴为，所以在上递减，所以只需即可，由此求出a的范围．已知函数在某区间上存在单调增区间或减区间时，一般转化为导函数在该区间上大于零或小于零有解的问题．属于中档题．9.【答案】A{解析}解：由，得，由，得，则整理得：．两动直线与的交点轨迹是椭圆的一部分．故选：A．把两直线分离参数k，列等式求得关于x，y的函数关系式，则答案可求．本题考查轨迹方程的求法，训练了利用消参法求曲线的轨迹方程，是基础题．10.【答案】C{解析}解：可以令，由解的其值为，故选：C．由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解舍去负根，可得要求的式子本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题11.【答案】D{解析}解：令，则对恒成立，在时单调递增．又由实数x，y满足，即，，故A、B选项错误；令，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故C选项错误；令，则，此时单调递增，又，，，即，故D选项正确．故选：D．先构造函数，对其求导，利用题设条件判断其单调性，得出再逐个选项进行研究，选出正确答案即可．本题主要考查导数在抽象函数单调性中的应用，属于基础题．12.【答案】A{解析}解：，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．问题等价于在上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.【答案】{解析}解：，的虚部是．故答案为：．直接利用复数的基本概念得答案．本题考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】{解析}解：因为函数在R上为增函数，且，又，，所以值域为故填：判断出函数单调性，即可求解．本题主要考查了函数单调性和值域问题，考查了学生运算能力，属于基础题．15.【答案】{解析}解：曲线C：为参数且转换为直角坐标方程为：，设点，到直线的距离，由于，所以，故当时，．故答案为：首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】{解析}解：时，，易知，而，所以在上递减，故，故在上递增，且，当时，．时，，令，得；得；故在上递增，在递减，故时，；时，；时，．由题意，若方程恰有两个实根，只需与恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线在图示，位置时，与有两个交点，所以m的范围是：．故答案为：．研究与时，的单调性、极值情况，画出图象，然后研究与恰有两个交点时a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而结合图象研究函数的零点问题．属于中档题．17.【答案】解：Ⅰ函数的导数为，曲线在点处的切线的斜率为，则切线的方程为，即为，令，可得；，可得．则切线与坐标轴围成的三角形的面积为；Ⅱ由和，可得，即A不在的图象上，可设切点为，则切线的斜率为，切线的方程为，则，解得或，故切线的方程为或．{解析}Ⅰ求得的导数，可得曲线在处切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，分别令，，求得切线与坐标轴的交点，再由三角形的面积公式，计算可得所求值；Ⅱ判断A不在曲线上，设切点为，由切点既在曲线上，又在切线上，结合两点的斜率公式，可得m，n的方程组，解方程可得m，n的值，进而得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区分在某点处的切线和过某点的切线，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：Ⅰ当D为AC中点时，平面，证明如下：连结，交于点O，连结DO，四边形是矩形，为中点，又D为AC中点，，平面，平面，平面．Ⅱ解：设点B到平面的距离为d，，A到平面的距离为：，由，知：，解得点B到平面的距离．{解析}Ⅰ当D为AC中点时，连结，交于点O，连结DO，推导出，由此能证明平面．Ⅱ设点B到平面的距离为d，由，能求出点B到平面的距离．本题考查满足线线平行的点的位置的判断与求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：圆C的极坐标方程为．圆C的直角坐标方程为．将直线l的参数方程为为参数，代入到圆C的直角坐标方程中，得到：，直线l与圆C相交于A、B两点，且，，解得或．{解析}由圆C的极坐标方程能求出圆C的直角坐标方程．将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程，得到：，由此利用直线l与圆C相交于A、B两点，且，能求出的值．本题考查圆的直角坐标方程、角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：Ⅰ，，，，，，所以．Ⅱ将，，代入，得，即．Ⅲ因为，所以预测到2022年底，该地储蓄额可达千亿元．{解析}由表中数据计算平均数和回归系数，即可写出z关于t的线性回归方程；把，代入中得到y关于x的回归方程；由知计算时y的值即可．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算能力与分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：设椭圆P的方程为，由题意得，，，，，，椭圆P的方程为：．假设存在满足题意的直线易知当直线的斜率不存在时，，不满足题意．故设直线l的斜率为k，，，，由可得，由，解得．，，，，，由、解得，直线l的方程为，故存在直线l：，或，满足题意．{解析}设椭圆P的方程为，由椭圆经过点，离心率为，求得a和b的值，从而求得椭圆P的方程．由可得和的值，可得的值，根据，求出，从而得到直线l的方程．本题考查求椭圆的标准方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出和的值，是解题的关键．22.【答案】解：，当时，由于，故，，所以，的单调递减区间为，当时，由，得，在区间上，，在区间上，．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，综上，当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．函数有两个零点分别为，，不妨设，则，，，要证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得．{解析}求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；表示出a，要证：，只需证：，令，即证，设，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，是一道综合题．。
2019-2020年高二下学期期中数学试卷(文科)
2019-2020年高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）如果集合，那么等于（）A . {5}B . {1,3,4,5,6,7,8}C . {2,8}D . {1,3,7}2. （2分）下列各函数中为奇函数的是（）A .B .C .D .3. （2分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A . 假设至少有一个钝角B . 假设至少有两个钝角C . 假设没有一个钝角D . 假设没有一个钝角或至少有两个钝角4. （2分）若集合，，则“m=1”是“”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分） (2016高三上·莆田期中) 已知函数f（x）= ，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围是（）A . （8，24）B . （10，18）C . （12，18）D . （12，15）6. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知a=0.771.2 ， b=1.20.77 ，c=π0 ，则a，b，c的大小关系是（）A . a＜b＜cB . c＜b＜aC . a＜c＜bD . c＜a＜b7. （2分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0 ， y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是（）A . (－∞，)B . (－∞，)C . (－∞，－)D . (－∞，－)8. （2分） (2016高一上·东莞期末) 直线l过点A（﹣1，﹣2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为（）A . （0， ]B . [2，+∞）C . （0，2]D . （﹣∞，2]9. （2分）已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（）A .B .C .D .10. （2分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（b＞a），且f（x）≥0恒成立，则的最小值是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共6题；共11分)11. （1分）(2014·北京理) 复数（）2=________．12. （1分） (2017高二下·淄川期中) 若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．13. （1分） (2018高二下·河南月考) 对大于或等于2的自然数的次方幂由如下分解方式：根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是73，则的值为________14. （1分） (2018高一下·南平期末) 设实数满足约束条件，则的取值范围是________.15. （2分）(2017·朝阳模拟) 设函数则f（1）=________；若f（x）在其定义域内为单调递增函数，则实数a的取值范围是________．16. （5分）如图，已知 =（3，1）， =（﹣1，2），⊥ ，∥ ，求的坐标．三、解答题 (共4题；共40分)17. （10分） (2016高一下·武邑期中) 已知函数f（x）= 的定义域为A．（1）求A；（2）已知k＞0，集合B={x| }，且A∩B≠∅，求实数k的取值范围．18. （10分） (2019高一上·菏泽期中) 已知二次函数．（1）若，求a的值；（2）若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围．19. （10分）(2017·东莞模拟) 已知函数f（x）=xex﹣a（lnx+x）．（1）若函数f（x）恒有两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求实数a的值；②证明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．20. （10分） (2016高二下·安徽期中) 已知函数f（x）=x3﹣3x+1（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）求曲线在点（0，f（0））处的切线方程．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9、答案：略10-1、二、填空题 (共6题；共11分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共40分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
2019-2020学年四川省成都市成都市第七中学高二上学期期中数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年四川省成都市成都市第七中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 时只记得1x =，忘记了n 的值，但输出v 的值为56，则可推断出输入n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．无法推断出【答案】C【解析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i ，v 的值， 当1i =-时，不满足条件0i ≥时跳出循环，输出v 的值，由此列方程求出n 的值． 【详解】解：初始值为n ，1x =，模拟程序运行过程如下；1v =，1i n =-满足条件0i ≥，111v n n =⨯+-=，2i n =- 满足条件0i ≥，1222v n n n =⨯+-=-，3i n =- 满足条件0i ≥，()221335v n n n =-⨯+-=-，4i n =-⋯满足条件0i ≥，()()()()111232112n n v n n n -=+-+-+-+⋯++=+，0i =满足条件0i ≥，()()11110122n n n n v ⎛⎫--=+⨯+=+ ⎪⎝⎭，1i =- 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为()11562n n -+=，即()1110n n -=，解得11n =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i ，v 值是解题的关键，属于中档题．2．有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A ．3 B ．6C ．12D ．24【答案】B【解析】根据题意，分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲；②剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本， 分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲，有246C =种情况，②剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法； 故选：B ． 【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁【答案】C【解析】先根据频率分布直方图中频率之和为1计算出数据位于[)25,30的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数。
2019-2020学年四川省成都七中2018级高二下学期期中考试数学(理)试卷参考答案
又 D 为 AC 中点,从而 DO // AB1
………3 分
∵ AB1 平面 BDC1 , DO 平面 BDC1
∴ AB1 // 平面 BDC1
………5 分
（Ⅱ）建立空间直角坐标系 B xyz 如图所示,
zB 1
C1
O
B
x
D Cy
A
则 B(0, 0, 0) , A(
3,1, 0) , C(0, 2, 0) , D(
f
x0
m
3 cos x0 0 x0 k k Z
m
m
2
x0 m
k 1,kZ 2
x0 m
k1 2
1 2
x0
m 2
x02
f
x0
2
m2 4
3.
x02
f
x0 2
m2
m2
m2 4
3
3m2 4
3
m
2或m
2.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 50
14. , 4 说明：不写为集合的形式扣 2 分
15.
,
0
1
e
16．
3 4
，3 2
16．解：由
f
x
x2
2 3
ax3
a
0, x R.
f
0
f
3 2a
0
当 x
0，23a
时，
f
x
0;
当
x
3 2a
,
时，
f
x
0.
设集合 A
f
x
x 2,
,
B
f
2018-2019学年四川省成都市第七中学高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
x tan
24
，
2cos 2 x 24
f ( ) f ( ) 2 1 1 1 3 1.
故选： D .
【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算和三角函数求导运算，
是小综合题， 向量和三角函数的
综合是高考热点要给予重视，是中档题 .
12．已知 axex ln x x 1 0 对 x 0 恒成立，则 a 的范围是（
（
）
A ． 5%
【答案】 A
B． 10%
C． 15%
D ． 25%
【解析】 根据条件中所给的观测值 m 同所给的临界值进行比较 ,根据
5.024 4.844 3.841,即可求解 .
【详解】
根据表中的数据可知 , K 2 的观测值为 k
2
50 13 20 10 7 23 27 20 30
4.844 ,
）
A ． ,1
1 B． ,
e
C． 1,
1 D． ,
e
【答案】 C
ln x x 1
【解析】 根据 x 0 将不等式化为 a
x ，令 f x
xe
f x 在 0, 的最大值即可得出 a 的范围 .
ln x x 1
x ，求出函数
xe
【详解】
Q x > 0 ， axex ln x x 1 0 ，
a
ln x x xex
0 恒成立， f x 在
0,
单调递增， f x f 0 1 0 ，即 x ex ，因此 B 正确 .
对于 C ，令 f x ln x 1 ex ，令 x 1 ，则 f 1 1 e 0 ，不满足 ln x 1 ex ，
因此 C 不正确 .
2019-2020年高二下学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高二下学期期中数学试卷（文科）含解析一、选择题：（每小题3分，共36分）1．已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A．2+i B．2﹣i C．1﹣2i D．1+2i2．用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少两个偶数3．下面的几种推理过程是演绎推理的是（）A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（n=1，2，3，…），由此归纳出{a n}的通项公式+14．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．5．已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1或x＜0}6．设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算k2=8.01，附表如下：参照附表，得到的正确的结论是（）A．有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”B．有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”10．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b 时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）11．设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a ＞﹣112．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13．设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．14．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=．15．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．16．给出下列命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否命题是“∃x∈R，x2﹣x＞0”②命题：“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题③命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是真命题④命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件⑤若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的必要不充分条件．其中是真命题的有（把你认为正确的命题序号都填上）17．如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．18．已知数列{a n}中，a n=，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试计算f （1），f（2），f（3）的值，推测f（n）的表达式为f（n）=．三、解答题：（共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n ∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．20．函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）设g（x）=e x﹣x﹣1，当a＜0时，若对任意x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（其中a实数，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[e﹣1，e]（x1≠x2），使方程g（x）=2e x f（x）成立，求实数a的取值范围．xx天津市新华中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共36分）1．已知复数z=，则z的共轭复数等于（）A．2+i B．2﹣i C．1﹣2i D．1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z，则可求．【解答】解：z==，∴．故选：B．2．用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少两个偶数【考点】反证法．【分析】用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数．故选：D．3．下面的几种推理过程是演绎推理的是（）A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人=（n=1，2，3，…），由此归纳出{a n}的通项公式D．在数列{a n}中，a1=1，a n+1【考点】演绎推理的基本方法．【分析】演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．【解答】解：A选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”B选项“由平面三角形的性质，推测空间四面体性质”是类比推理；C选项：某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；=（n=1，2，3，…），由此归纳出{a n}的通项D选项中，在数列{a n}中，a1=1，a n+1公式，是归纳推理．综上得，A选项正确故选A．4．已知=b（1+i）（其中i为虚数单位，a，b∈R），则a等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．【考点】复数相等的充要条件．【分析】根据复数相等的条件进行化简即可．【解答】解：由=b（1+i）得a+i﹣（1+i）=b（1+i）（1+i）=2bi．即a﹣+i=2bi．则a﹣=0且=2b，解得a=，b=，故选：D．5．已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．{x|x≥1或x＜0}【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【分析】求出集合M，N的元素，利用集合的基本运算求交集．【解答】解：由得x＞1或x≤0，即M={x|x＞1或x≤0}，N={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}，∴M∩N={x|x＞1或x≤0}∩{y|y≥1}={x|x＞1}，故选：C．6．设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】不等式比较大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出．【解答】解：=，．∵，∴，∴b＜c．∵=4，∴．即c＜a．综上可得：b＜c＜a．故选：B．7．如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】选择结构．【分析】由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．【解答】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．9．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算k2=8.01，附表如下：参照附表，得到的正确的结论是（）A．有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”B．有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”【考点】独立性检验．【分析】由题目所给数据，结合独立检验的规律可作出判断．【解答】解：∵k2=8.01＞6.635，∴在犯错误概率不超过0.1的前提下认为“喜欢乡村音乐与性别有关”，即有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”．故选：A10．设函数f（x），g（x）在[a，b]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当a＜x＜b 时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）＜g（x）C．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】比较大小常用方法就是作差，构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），研究F （x）在给定的区间[a，b]上的单调性，F（x）在给定的区间[a，b]上是增函数从而F（x）＞F（a），整理后得到答案．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵在[a，b]上f'（x）＜g'（x），F′（x）=f′（x）﹣g′（x）＜0，∴F（x）在给定的区间[a，b]上是减函数．∴当x＞a时，F（x）＜F（a），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a）即f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）故选C．11．设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1 B．﹣3≤a≤﹣1 C．a≤﹣3或a≥﹣1 D．a＜﹣3或a ＞﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，可得不等式组，解可得答案．【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S∪T=R，所以，故选A．12．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若a＞b，①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．若a|a|＞b|b|，①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b ＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．②当a＞0，b＜0时，a＞b．③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b ＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13．设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．【考点】复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．14．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=41．【考点】类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．15．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．【解答】解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD 中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=故答案为：16．给出下列命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否命题是“∃x∈R，x2﹣x＞0”②命题：“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题③命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是真命题④命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件⑤若p是￢q的充分不必要条件，则￢p是q的必要不充分条件．其中是真命题的有②⑤（把你认为正确的命题序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据特称命题的否定是全称命题进行判断，②根据逆否命题的定义进行判断，③根据逆命题的定义结合函数零点的定义进行判断，④根据充分条件和必要条件的定义以及复合命题的关系进行判断，⑤根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断．【解答】解：①命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否命题是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故①错误，②命题：“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是若x=2且y=1时，x+y=3，为真命题，故②正确，③命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是若函数f （x）=ax2+2x﹣1只有一个零点，则a=﹣1，为假命题，当a=0时，由f（x）=2x﹣1=0，得x=，此时函数f（x）也是一个零点，故③错误，④命题“p∨q为真”是命题，则p，q至少有一个为真，若“p∧q为真”，则p，q 同时为真，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故④错误，⑤若p是￢q的充分不必要条件，q是￢p的充分不必要条件，即￢p是q的必要不充分条件．正确，故⑤正确，故真命题是②⑤，故答案为：②⑤17．如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．【考点】与圆有关的比例线段；余弦定理．【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EB•EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=．故答案为：．18．已知数列{a n}中，a n=，记f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试计算f （1），f（2），f（3）的值，推测f（n）的表达式为f（n）=．【考点】归纳推理．【分析】根据f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），依次求得f（1），f（2），f （3）的值，将结果转化为同一的结构形式，进而推广到一般得出f（n）的值．【解答】解：∵f（n）=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），a n=，∴f（1）=，f（2）==，f（3）==，…，根据其结构特点可得：f（n）=．故答案为：．三、解答题：（共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n ∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．20．函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）设g（x）=e x﹣x﹣1，当a＜0时，若对任意x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=．令f'（x）=0得：x1=，x2=1．列出表格即可得出函数的单调性极值；（2）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=．令f'（x）=0得：x1=，x2=1．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：因此，f（x）的单调递增区间为：（0，），（1，+∞）；单调递减区间为：（，1）当x=时，f（x）有极大值，且f（x）极大值=﹣﹣ln2；2．当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣（2）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，0）=0．即g（x）最小值=g（对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．f′（x）=①当a=0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，1）=﹣1＜0，∴f（x）最大值=f（∴a=0符合题意．②当a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，1）=﹣a﹣1≤0，∴f（x）最大值=f（得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．③当a＞0时，令f'（x）=0得：x1=，x2=1．a＞时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得0＜x＜或x＞1；令f'（x）＜0，解得＜x＜1．∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时也不成立．综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（其中a实数，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[e﹣1，e]（x1≠x2），使方程g（x）=2e x f（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）写出当a=5时g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，求出极值点，讨论①当t时，②当0＜t＜时，函数f （x）的单调性，即可得到最小值；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3，得到a=x+2lnx+，令h（x）═x+2lnx+，求出导数，列表求出极值，求出端点的函数值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e x，g′（x）=（﹣x2+3x+2）e x，故切线的斜率为g′（1）=4e，且g（1）=e，所以切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0．（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，①当t时，在区间（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（t）=tlnt，②当0＜t＜时，在区间（t，）上f′（x）＜0，f（x）为减函数，在区间（，e）上f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（）=﹣；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3 a=x+2lnx+，h（）=+3e﹣2，h（1）=4，h（e）=+e+2，h（e）﹣h（）=4﹣2e+＜0则实数a的取值范围为（4，e+2+]．xx1月15日。
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2019-2020年高二下学期期中考试数学文试题含答案(I)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，满分70分） 1. 已知34z i =+（i 是虚数单位），则||z = ▲ ； 2. 命题：“2,20x R x x ∃∈+≥”的否定命题是 ▲ ； 3. 数列1,1,2,3,5,8,的第八项为 ▲ ；4. 已知,10z C zi i ∈+-=（i 是虚数单位),则z = ▲ ；5. “直线(2)30m x my -++=与直线230x y --=互相平行”的充要条件是 ▲ ；6. 一元二次方程210x x ++=的根为 ▲ ；7. “0x ≥”是“20x x +≥”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择）；8. 三棱锥、四棱锥、五棱锥的面数F 、顶点数V 、棱数E 如下表所示：由上表猜想出n 棱锥)3(≥n 的面数F 、顶点数V 、棱数E 的一个等式为 ▲ ； 9. 已知集合22{(,)|()1}A x y x a y =-+≤，集合22{(,)|(3)(1)4}B x y x y =-++≤，若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ▲ ；10. 己知空间两条直线,m n ,两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n a α⊥⇒⊥ ； ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ； ③//,////m n m n a α⇒； ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ． 其中正确命题的序号是 ▲ ；11. 若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的 ▲ 条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择）；12. 在矩形ABCD 中，对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为α、β，则22cos cos 1αβ+=．在长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角分别为α、β、γ，类比矩形的上述性质的一个正确结论是 ▲ ； 13. 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列232,,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列．等比数列{}n b 的公比为q ，前n 项积为n T ，类比等差数列得到等比数列{}n b 的一个正确结论是 ▲ ； 14. 正奇数排成如下三角阵：1 3 5 7 9 11 13 15 17 19ij a 表示该数阵的第i 行第j 个数，若ij a =2015，则i +j = ▲ ；二、解答题：（本大题共6小题,满分90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分)（1）计算：3223ii+-； （2）已知(1)0zz i z ++=，求z ．16．（本题满分14分）已知圆222x y R +=与x 轴交于,A B 两点，点P 是圆O 上异于,A B的任意一点，PD AB ⊥，垂足为D ,则2PD AD DB 为定值．证明如下：)0,(),0,(R B R A -，设(,)Pxy，则)0,(x D ，||PD y =，,AD R x BD R x =+=-，222222222()()PD y y R x AD DB R x R x R x R x-===+---=1，即2PD AD DB 为定值． 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与x 轴交于,A B 两点，点P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，PD AB ⊥，垂足为D ．请由圆的上述结论类比出椭圆的一个结论，并给出证明．17．（本题满分14分)在三棱锥ABC P -中，PC PB PA 、、两两垂直，⊥PO 平面ABC ,O 为垂足，延长CO 交AB 于D ，连结PD OB OA 、、．(1) 求证：PD PC ⊥；PD AB ⊥； (2) 由（1），C P D∆为直角三角形，DC PO ⊥于O ，由初中平面几何知识我们有：2PD DO DC =．请在三棱锥ABC P -中，类比直角三角形CPD 的上述性质，给出ABC ABO PAB ∆∆∆,,面积的一个关系式，并给出证明．18.（本题满分16分)BCAPDO17题图已知p ：函数221y x mx =-+在区间(21,3)a a -+上是单调函数；q：方程01)2(442=+-+x m x无实数根．(1)当21=a 时，若p 且q 为假，q 为真，求实数m 的取值范围； (2)是否存在实数a ,使得q ⌝是p 的必要非充分条件，若存在,求实数a 的取值集合；若不存在,请说明理由．19．（本题满分16分)已知函数ln ()xf x x=． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）利用（1）的结论证明*∈∃N n 0,对*∈∀N n 且0n n ≥，都有1)1(+<+n n nn 成立，并求0n 的最小值．20．（本题满分16分)在各项都是正数的数列{}n a 中，已知11a =，对任意的*m ∈N ，21m a -、2m a 、21m a +成等比数列，公比为m q ；2m a 、21m a +、22m a +成等差数列，公差为m d ，且12d =． （1）写出数列{}n a 的前7项；（2）归纳出数列{}m q 、{}m d 、{}n a 的通项公式（不要求证明）．淮安市高中教学协作体2013－2014学年度第二学期期中考试高二（文科）数学试卷考试时间：120分钟 总分：160分 命题人：刘唐育二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）15. 已知34z i =+（i 是虚数单位），则||z =516. 命题2,20x R x x ∃∈+≥否定命题是2,20x R x x ∀∈+< 17. 数列1,1,2,3,5,8,的第八项为2118. 已知,10z C zi i ∈+-=,则z = 1i -19. “直线(2)30m x m y -++=与直线230x y --=互相平行”的充要条件是4=m ；20. 一元二次方程210x x ++=的根为 i 2321±-； 21. “0x ≥”是“20x x +≥”成立的 充分不必要条件 条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择）； 22.由上表猜想n 棱锥的面数F 、顶点数V 、棱数E 关系的一个等式为2F V E +-= 23. 已知集合22{(,)|()1}A x y x a y =-+≤，集合22{(,)|(3)(1)4}B x y x y =-++≤，若集合AB =∅，则实数a 的取值范围是33a a <->+或24. 己知空间两条直线,m n 两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n a α⊥⇒⊥ ； ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ； ③//,////m n m n a α⇒； ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ． 其中正确命题的序号是①④25. 若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择）； 26. 在矩形ABCD 中，对角线AC 与边AB 、AD 所成的角分别为α、β，则22cos cos 1αβ+=．在成长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1AC 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角分别为α、β、γ，相应于矩形的正确命题是222cos cos cos 1αβγ++=． 27. 等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则数列232,,,m m m m m S S S S S --是公差为2m d 的等差数列．在等比数列{}n b 的公差为q ，前n 项积为n T ，相应于等差数列的正确结论是232,,,m m m m mT TT T T 是公比为2m q的等比数列．28. 正整数排成如下三角阵：1 3 57 9 11 13 15 17 19ij a 表示该数阵的第i 行第j 个数，若ij a =2015，则i +j =63三、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分)（1）计算：3223ii+-；（2）已知(1)0zz i z ++=，求z ． 解:（1）i ； ………………………7分（2）由(1)0zz i z ++=得：((1))0z z i ++=，所以01z z i ==--或 所以，0,1z z i ==-+或． ………………………14分16．（（本题满分14分）已知圆222x y R +=与x 轴交于,A B ，点P 是圆O 上异于,A B 的任意一点，PD AB ⊥，垂足为D ,则2PD AD DB为定值．证明如下：)0,(),0,(R B R A -，设(,)P x y ，则)0,(x D ,||PD y =，,PA R x PB R x =+=-，222222222()()PD y y R x AD DB R x R x R x R x -===+---=1，即2PD AD DB为定值． 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与x 轴交于(,0),(,0)A a B a -，点是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，PD AB ⊥，垂足为D ．请由圆的上述性质类比出椭圆的一个结论，并给出证明．解：类比圆得到椭圆的一个结论为：2PD AD DB ＝22a b ………………………5分证明如下：(,0),(,0)A a B a -,设(,)P x y ，则)0,(x D ,||PD y =，,AD a x BD a x =+=-，2222222222222()()()b a x PD y y b a AD DB a x a x a x a x a-====+---=定值． (14)分17.（本题满分14分)在三棱锥ABC P -中，PC PB PA 、、两两垂直，O ABC PO ,平面⊥为垂足，延长CO 交AB 于D ，连结PD OB OA 、、.(3) 求证：PD PC ⊥;PD AB ⊥; (4) 由（1），P D C ∆为直角三角形，DC PO ⊥于O ，由初中平面几何知识我们有：2PD DO DC =．那么在三棱锥ABC P -中，请给出ABC ABO PAB ∆∆∆,,面积的一个类似的关系，并给出证明．证明：(1),PC PA PC PB PC PD PC PABPA PB P PC AB PD PAB AB PAB⊥⎫⎫⎪⊥⇒⊥⊥⎧⎬⎪⇒⎬⎨⎪=⊥⊂⊂⎩⎭⎪⎭平面平面平面………………………4分BCA PDO,PO PO AB AB PCO AB ABC PC AB AB PDPD PCO CD PCO PO PC P AB CD⊥⎫⎫⎪⎪⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪⊂⊥⊥⎫⎧⎭⎪⊂⊂⇒⎬⎨⎪=⊥⎭⎭⎩平面ABC 平面平面平面平面………………………8分(2)ABC ABO PAB ∆∆∆,,面积的一个关系2PAB AOB ABC S S S ∆∆∆=…………………10分证明如下：由2PD DO DC =，得:22111422AB PD ABDO ABCD =………………………13分即2PABAOB ABC SS S ∆∆∆=． …………………14分18.（本题满分16分)已知p ：函数221y x mx =-+在区间(21,3)a a -+上是单调函数；q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实数根． (3)当21=a 时，若p 且q 为假，q 真，求实数m 的取值范围； (4)是否存在实数a ,使得q ⌝是p 的必要非充分条件，若存在,求实数a 的取值集合；若不存在,请说明理由．解：（1）因为21=a ，所以p ：函数221y x mx =-+在区间7(0,)2上是单调函数； p 真：270≥≤m m 或，270<<m p 假：………………2分31<<m q 真：………………3分又因为p 且q 为假，q 真，则p 假q 真．………………5分即70213m m ⎧<<⎪⎨⎪<<⎩，此不等式的解集为31<<m ．………………7分所以，实数m 的范围是31<<m …………………8分(2)p :312+≥-≤a m a m 或(4<a )……………………9分31:≥≤⌝m m q 或. ………………10分由于q ⌝是p 的必要非充分条件，则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-<331124a a a ① 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-<331124a a a ②……………………14分由①得10≤<a ，由②得10<≤a所以a 的取值集合是[]1,0 ……………………16分19．（本题满分16分)已知函数ln ()xf x x=． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）利用（1）的结论证明*∈∃N n 0,对*∈∀N n 且0n n ≥，都有1)1(+<+n n nn 成立，并求0n 的最小值． 解：(1)'21ln ()x f x x -=……………2分.,0)('e x x f ==则令……………3分),),0)(0)(0)(0''+∞<>><<e e x f x f e x x f e x 单调减区间是（，的单调增区间是（所以，时，，当时，当; ……………6分（2）,ln 1)1ln(3),()(1nnn n n e x f <++≥+∞时，上是减函数，所以当在）得，由（ (8)分1ln )1ln(,ln )1()1ln(+<++<+n nnn n n n n 即……………10分1)1+<+n n n n 所以，（……………12分*∈∃N n 0所以,对*∈∀N n 且0n n ≥，都有1)1(+<+n n n n 成立，又因为1222122+>+=）时，（当n ，所以0n 的最小值是3 ……………16分20．（本题满分16分)在各项都是正数的数列{}n a 中，已知11a =，对任意的*m ∈N ，21m a -、2m a 、21m a +成等比数列，公比为m q ；2m a 、21m a +、22m a +成等差数列，公差为m d ，且12d =． （1）写出数列{}n a 的前7项；（2）归纳出数列{}m q 、{}m d 、{}n a 的通项公式（不要求证明）． （1）由题意得2213322a a a a a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，2222a a =+，22a =或21a =-(舍去 ) ………2分 故数列{}n a 的前六项为1,2,4,6,9,12,16 …………6分（2） 1m m q m+=;…………9分 1m d m =+…………12分由(1)得,221()242nnnan nn+⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩是奇数；是偶数.…………16分。
四川省成都外国语学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)答案
成外2018级下半期高二数学答案（文理科）一、选择题：二、填空题：13. 2 ; 14. (文)8; (理) 4315. ()().4,04--⋃∞，16.理科：min 12||5OQ ==；（文科：1）三、解答题：共70分。
解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（Ⅰ）2'()2f x x ax =-.Q 2x =是函数()f x 的一个极小值点，∴'(2)0f =.即440a -=，解得1a =.经检验，当1a =时，2x =是函数()f x 的一个极小值点.∴实数a 的值为1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，321()43f x x x =-+.2'()2(2)f x x x x x =-=-. 令'()0f x =，得0x =或2x =.当x 在[1,3]-上变化时，()'(),f x f x 的变化情况如下：当或2x =时，()f x 有最小值当0x =或()f x 时，()f x 有最大值.18． 解：（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为x ，中位数为y0.0510.130.2550.370.1590.1110.0513 6.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=设抽查人员利“学习强国”的中位数为y0.050.10.250.15(6)0.5y +++⨯-=，解得y=6.7即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为6.7． （2）[8,10]的人数为20000.15300⨯=人，设抽取的人数为a[10,12]组的人数为20000.1200⨯=人，设抽取的人数为b则50300200500a b ==，解得30a =，20b = 所以在[8,10]和[10,12]两组中分别抽取30人和20人．在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将[8,10]组中被抽取的工作人员标记为1A ，2A ，3A ．将[10,12]中的标记为1B ，2B ．设事件C 表示从[10,12]小组中至少抽取1人，则抽取的情况如下：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}13,A B ，{}32,A B ，{}12,B B 共10种情况．其中在[10,12]中至少抽取1人有7种，则7()10P C =． 19．（文）（本小题满分12分）．（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE 平面ABB 1A 1，故．又，所以BE ⊥平面．（2）由（1）知∠BEB 1=90°. 由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以，故AE =AB =3，.作，垂足为F ，则EF ⊥平面，且． 所以，四棱锥的体积．18.（本小题满分12分）理科：解析：（Ⅰ）取线段BD 的中点F ，连接EF 、CF .因为E 是线段AD 的中点，所以EF AB P .又AB BD ⊥，所以EF BD ⊥. 因为BC DC =，F 是BD 的中点，所以CF BD ⊥.因为EF ⊂平面ECF ，CF ⊂平面ECF ，EF CF F =I ，所以BD ⊥平面ECF ，CE ⊂平面ECF ，所以BD EC ⊥.…………………………5分（Ⅱ）令BC DC EC a ===，则AB BD ==，那么122EF AB a ==，122CF BD a ==，所以2222EF CF a EC +==，所以EF CF ⊥. 又EF BD ⊥，CF BD ⊥，故可以点F 为原点，射线FC 、FD 、FE 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则0,,02B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，,0,02C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02D a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以,0BC ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r，,,0DC ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r，,0,EC ⎫=⎪⎪⎝⎭u u u r .设平面BEC 、平面DEC 的法向量分别为()111,,m x y z =r ，()222,,n x y z =r，由00m BC m EC ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=u u u r r u u u r r，得1111022022ax ay ax az ⎪+=-=⎪⎪⎪⎩，取111111x y z ⎧==-=⎪⎨⎪⎩，则()1,1,1m =-r .由00n DC n EC ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=u u u r r u u u rr，得2222022022ax ay ax az -=-=⎪⎩，取111111x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩，则()1,1,1n =r . 所以2221111111cos ,1113m n m n m n ⋅⨯-⨯+⨯===++r rr rr r . 故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13.…………………………12分 解法二：令BC DC EC a ===，由已知及（Ⅰ）可得：BE ED a ==，所以BCE △，CDE △均为棱长为a 的正三角形.取CE 中点G ，则BG CE ⊥，DG CE ⊥，故BGD ∠为二面角B CE D --的平面角， 在BEG △中，BG DG ==，BD =， 由余弦定理可得：2221cos 23BG DG BD BGD BG DG +-∠==-⨯， 故平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值为13. 20. （1）134,314941,22222=+⇒=⇒=+=y x b b a （2）||||||||||B A E D CAB CDE y y y y CB CA CE CD S S ==∆∆，设2:2:+-=⇒+=ty x l ty x l CB AC 联立AC l 与圆得：14,0,04)1(222+-===++t ty y ty y t A C 联立AC l 与椭圆得：4312,0,012)43(222+-===++t ty y ty y t D C∴433322++=t t y y A D ，同理得34334133132222++=++=t t t t y y B E ，)34)(43()1(9||2222+++==∆∆t t t y y y y S S B A E D CAB CDE ，令)1(12>+=m t m )1,0(1,121191129)34)(43()1(92222222∈++-=-+=+++=∆∆m mm m m m t t t S S CAB CDE 所以当493621121=⇒=S S m ,430121=⇒=S S m ，∴)43,4936[21∈S S . 21．（理科）21. （文科）解：（1）若a =1，f (x )=e x −ln (x +1)(x >−1), 所以f′(x )=e x −1x+1=(x+1)e x −1x+1(x >−1),设g (x )=(x +1)e x −1，则g′(x )=e x +(x +1)e x =(x +2)e x >0 所以g (x )在(−1,+∞)上为增函数，又g (0)=0，所以当x ∈(−1,0)时，g (x )<0,f′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0,f′(x )>0，f (x )单调递增. 所以f (x )的最小值为f (0)=1. （2）由题意知f′(x )=e x −a x+1=(x+1)e x −ax+1(x >−1)当a =0时，f (x )=e x >0显然成立.当0<a ≤e 时，由（1）知ℎ(x )=(x +1)e x −a 在(−1,+∞)上为增函数， 因为ℎ(−1)=−a <0,ℎ(1)=2e −1>0,所以存在唯一的x 0∈(−1,1)使得ℎ(x 0)=0，即(x 0+1)e x 0=a , 所以当x ∈(−1,x 0)时，ℎ(x )<0,f′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x )>0,f′(x )>0，f (x )单调递增. 所以f (x )的最小值为f (x 0)=e x 0−aln (x 0+1)=ax 0+1−aln (ae x 0), =a (1x 0+1−lna +x 0)=a (1x 0+1+x 0+1−1−lna)≥a (2−1−lna ),=a (1−lna )≥0,当且仅当{1x 0+1=x 0+1lna =1，即{x 0=0a =e时取等号.代入(x 0+1)e x 0=a 得a =1，矛盾，所以等号不能成立.所以f (x 0)>0，所以f (x )>0.22．解：（1） 因为 ，，，所以的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ，因为 的普通方程为 ，即，对应极坐标方程为．……………………5分（2）因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，则αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM ＝414242+-)sin(πα又 ，),(43442πππα-∈-， 所以当 242ππα=-，即83πα=时，||||ON OM 取得最大值 412+……10分。
2019-2020学年四川省成都七中高二下学期期中理科数学试卷及答案(mathtype精编版)
2019~2020学年四川省成都七中高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．(2020 七中高二下半期 1)已知复数12z i =-，则z =( ) A ．5 B ．12i + C ．1255i + D ．1255i -(2020 七中高二下半期 2)在空间直角坐标系O xyz -中，点(2A ，1-，3)关于yOz 平面对称的点的坐标是( )A ．()2,1,3B ．()2,1,3--C ．()2,1,3-D ．()2,1,3--(2020 七中高二下半期 3)在极坐标系中，过点(2,)2π且与极轴平行的直线方程是( )A ．2ρ=B ．2πθ= C ．cos 2ρθ= D ．sin 2ρθ=(2020 七中高二下半期 4)如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(2,1)-内()f x 是增函数B ．在(1,3)内()f x 是减函数C ．在(4,5)内()f x 是增函数D ．在2x =时()f x 取到极小值(2020 七中高二下半期 5)函数2cos y x x =+在[0，]2π上取得最大值时，x 的值为( )A ．0B ．6πC ．3πD ．2π(2020 七中高二下半期 6)已知实数x 、y 、z 满足236x y z ++=，则222x y z ++的最小值是( )AB ．3C ．187D ．6(2020 七中高二下半期 7)成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A2B ．24cm C．2 D．2(2020 七中高二下半期 8)若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，0]B ．(,0)-∞C ．[0，)+∞D ．(0,)+∞(2020 七中高二下半期 9)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的“⋯”既代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可x 确定出来2x =，类似的不难得到11111+=++⋯( )ABCD(2020 七中高二下半期 10)二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB AC a ==，2BD a =，则CD 的长为( ) A ．2a BC ．a D(2020 七中高二下半期 11)已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()f x xf x f x ''+>-对x R ∈恒成立，且实数x ，y 满足()()()()xf x yf y f y f x ->-，则下列关系式恒成立的是( ) A ．331111x y <++ B ．22(1)(1)ln x ln y +>+ C ．x y x ye e< D ．sin sin x y x y ->-(2020 七中高二下半期 12)设函数()xf x mπ，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是( )A ．()(),66,-∞-+∞B ．()(),44,-∞-+∞C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． (2020 七中高二下半期 13)定积分504xdx =⎰ ．(2020 七中高二下半期 14)不等式|1||5|2x x ---<的解集是 ．(2020 七中高二下半期 15)已知函数211,0,2(),0x e x x x ef x lnx x x⎧--+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m的取值范围是．(2020 七中高二下半期 16)已知函数232()(0)3f x x ax a =->，x R ∈．若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x =，则a 的取值范围是 ．三、解析题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 (2020 七中高二下半期 17)已知函数311()32f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)求过点1(2,)2A 作曲线()y f x =的切线方程．(2020 七中高二下半期 18)如图，五面体11A BCC B -中，14AB =．底面ABC 是正三角形，2AB =．四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．(1)D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1//AB 平面1BDC ，并且说明理由； (2)当1//AB 平面1BDC 时，求二面角1C BC D --余弦值．(2020 七中高二下半期 19)已知直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数，0)απ<，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+．(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||AB =α的值．(2020 七中高二下半期 20)已知函数()(1)f x ln x =+，()()g x xf x '=，0x ，其中()f x '是()f x 的导函数．若1()()g x g x =，1()[()]n n g x g g x +=，*n N ∈． (1)求()n g x 的表达式；(2)求证：22222(11)(21)(31)(1)1n g g g g n n -+-+-+⋯+-<+，其中*n N ∈．(2020 七中高二下半期 21)已知函数21()(1)(0)2f x alnx a x x a =-++->．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求1[,1]2a ∈时，实数b 的最大值．(2020 七中高二下半期 22)已知函数()xe f x ax lnx x=-+．(1)1a =时，求函数()f x 的极值；(2)若21[1,]42e a ∈+，求()f x 的最小值()g a 的取值范围．2019-2020学年四川省成都七中高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数12z i =-，则(z = )AB ．12i +C ．1255i +D ．1255i -【解析】解：复数12z i =-， 则12z i =+． 故选：B ．【考点】本题考查了复数的共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．在空间直角坐标系O xyz -中，点(2A ，1-，3)关于yOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(2，1，3)B ．(2-，1-，3)C ．(2，1，3)-D ．(2，1-，3)-【解析】解：在空间直角坐标系O xyz -中，点(2A ，1-，3)关于yOz 平面对称的点的坐标是(2-，1-，3)． 故选：B ．【考点】本题考查点关于yOz 平面对称的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．在极坐标系中，过点(2,)2π且与极轴平行的直线方程是( )A ．2ρ=B ．2πθ=C ．cos 2ρθ=D ．sin 2ρθ=【解析】解：点(2,)2π在直角坐标系下的坐标为(2cos 2π，2sin )2π，即(0,2)∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为2y =．即为sin 2ρθ=． 故选：D ．【考点】极坐标是高中选修的内容，站在高考的角度，对于这方面知识的考查并不难，大多比较基础，学生只要掌握课本中基本的转换，方程，习题等就可以解决绝不多数问题． 4．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(2,1)-内()f x 是增函数B ．在(1,3)内()f x 是减函数C ．在(4,5)内()f x 是增函数D ．在2x =时()f x 取到极小值【解析】解：由图象知当322x -<<或4x >时，()0f x '>，函数为增函数，当332x -<<-或24x <<时，()0f x '<，函数为减函数，则当32x =-或4x =函数取得极小值，在2x =时函数取得极大值，故ABD 错误，正确的是C ， 故选：C ．【考点】本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．5．函数2cos y x x =+在[0，]2π上取得最大值时，x 的值为( )A ．0B ．6π C ．3π D ．2π 【解析】解：12sin 0y x '=-= [0x ∈，]2π解得：6x π=当(0,)6x π∈时，0y '>，∴函数在(0,)6π上单调递增当(6x π∈，)2π时，0y '<，∴函数在(6π，)2π上单调递减，∴函数2cos y x x =+在[0，]2π上取得最大值时6x π=故选：B ．【考点】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．6．已知实数x 、y 、z 满足236x y z ++=，则222x y z ++的最小值是( )A B ．3C ．187D ．6【解析】解：由柯西不等式有，2222222(123)()(23)x y z x y z ++++++，则2222(23)361814147x y z x y z ++++==，当且仅当“123x y z==”时取等号．故222x y z ++的最小值是187． 故选：C ．【考点】本题主要考查利用柯西不等式求最值，考查运算求解能力，属于基础题． 7．成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A2B ．24cmC ．2D ．2【解析】解：设一段长x ，则另一段为12x -，所以两个正三角形面积之和2221112()sin 60()sin 601272)2323x x S x x -=︒+︒=-+， 则6x =时，函数取得最小值故选：D ．【考点】本题考查二次函数应用题，属于基础题．8．若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，0]B ．(,0)-∞C ．[0，)+∞D ．(0,)+∞【解析】解：若3211()232f x x x ax =-++在(1,)+∞上存在单调递增区间，只需()0f x '>在(0,)+∞上有解即可．由已知得2()2f x x x a '=-++，该函数开口向下，对称轴为12x =， 故()f x 在(1,)+∞上递减，所以f '(1)20a =>，解得0a >． 故选：D ．【考点】已知函数在某区间上存在单调增区间或减区间时，一般转化为导函数在该区间上大于零或小于零有解的问题．属于中档题．9．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋯中“⋯”既代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似的不难得到11(111+=++⋯)A ．51-- B ．51- C ．51+ D ．51-+ 【解析】解：可以令11(0)111t t +=>++⋯，由11t t +=解的其值为51+，故选：C ．【考点】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题10．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB AC a ==，2BD a =，则CD 的长为( )A ．2aB 5aC ．aD 3a【解析】解：AC l ⊥，BD l ⊥，AC ∴<，60BD >=︒，且0AC BA =，0AB BD =，∴CD CA AB BD =++，2||()CD CA AB BD ∴=++222(2)22cos1202a a a a a a =+++︒=．故选：A ．【考点】本题主要考查了空间向量，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题． 11．已知函数()f x 的导数()f x '满足()()()f x xf x f x ''+>-对x R ∈恒成立，且实数x ，y 满足()()()()xf x yf y f y f x ->-，则下列关系式恒成立的是( ) A ．331111x y <++ B ．22(1)(1)ln x ln y +>+ C ．x y x y e e< D ．sin sin x y x y ->-【解析】解：原问题可转化为：已知函数()f x 的导数()f x '满足()(1)()0f x x f x '++>对x R ∈恒成立，且实数x ，y 满足(1)()(1)()0x f x y f y +-+>，则下列关系式恒成立的是( ) 令()(1)()g x x f x =+，则()()(1)()0g x f x x f x ''=++>对x R ∈恒成立，()g x ∴在x R ∈时单调递增．又由实数x ，y 满足(1)()(1)()0x f x y f y +-+>，即()()g x g y >， x y ∴>，取1x =，2y =-，则有331111x y >++成立，故A 选项错误； 又当1x =，1y =-时，有22(1)(1)ln x ln y +=+，故B 选项错误；令()x x h x e=，则1()x xh x e -'=，当1x <时，()0h x '>，此时()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，此时()h x 单调递减，当1y x <<时，有()()h x h y >成立，即有x yx ye e >成立，故C 选项错误；令()sin t x x x =-，则()1cos 0t x x '=-，此时()t x 单调递增，又x y >，()()t x t y ∴>， sin sin x x y y ∴->-，即sin sin x y x y ->-，故D 选项正确．故选：D ．【考点】本题主要考查导数在抽象函数单调性中的应用，属于基础题．12．设函数()xf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是( )A ．(-∞，6)(6-⋃，)+∞B ．(-∞，4)(4-⋃，)+∞C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞【解析】解：由题意可得，0()f x =02x k mπππ=+，k z ∈，即0212k x m +=． 再由22200[()]x f x m +<，即2203x m +<，可得当2m 最小时，0||x 最小，而0||x 最小为1||2m ，22134m m ∴>+，24m ∴>．求得2m >，或2m <-， 故选：C ．【考点】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．定积分54xdx =⎰ 50 ．【解析】解：52520042|2550xdx x ==⨯=⎰．故答案为：50．【考点】本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于积分中的基础题．14．不等式|1||5|2x x ---<的解集是 (,4)-∞ ．【解析】解：1x <时，原不等式可化为：152x x -+-<，恒成立，15x 时，原不等式可化为：152x x -+-<，解得：14x <，5x >时，原不等式可化为：152x x --+<，无解，综上：原不等式的解集是(,4)-∞．【考点】本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论，是一道基础题．15．已知函数211,0,2(),0x e x x x ef x lnx x x⎧--+⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若方程()0f x m -=恰有两个实根，则实数m 的取值范围是 1(,0){}e-∞ ．【解析】解：(1)0x 时，()1x f x e x '=--，易知(0)0f '=，而()10xf x e ''=-<，所以()f x '在(-∞，0]上递减，故()(0)0f x f ''=，故()f x 在(-∞，0]上递增， 且1()(0)1f x f e=+，当x →-∞时，()f x →-∞．(2)0x >时，21()lnxf x x-'=，令()0f x '>，得0x e <<；()0f x '<得x e >； 故()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞递减，故0x >时，1()()max f x f e e==；0x →时，()f x →-∞；x →+∞时，()0f x →．由题意，若方程()0f x m -=恰有两个实根，只需y m =与()y f x =恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y m =在图示①，②位置时，与()y f x =有两个交点，所以m 的范围是：1(,0){}e-∞．故答案为：1(,0){}e-∞．【考点】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而结合图象研究函数的零点问题．属于中档题．16．已知函数232()(0)3f x x ax a =->，x R ∈．若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x =，则a 的取值范围是 33[,]42 ．【解析】解：因为21()222()f x ax x ax x a'=-+=--，令()0f x '=得10x x a==或， ①：当11a，即1a 时，()0f x '<，[1x ∈，)+∞，此时()f x 在[1，)+∞递减， 2(1)13f a =-，16(2)43f a =-，x R ∈．若对任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x =，故1()f x 的值域为16(,4)3a -∞-，2()f x 的值域为2(,1)3a -∞-， 由12()()1f x f x =得：211()()f x f x =． 显然，当1()f x →-∞时，110()f x →(负数)，故要满足结论，首先需满足： 2103a -，解得32a ．同时须有16403a -，即34a ． 所以312a ． ②当112a <，即112a <时，1()f x 在(2,)+∞上递减，故此时116()43a f x <-， 2()f x 在1(1,)a递增，在1(,)a +∞递减，故2211()()03f x f a a =>．此时只需16403a -即可，解得314a <． ③当12a >，即102a <<时，1()f x ，2()f x 的最大值都是211()03f a a=>，所以11()f x 能取到所有正实数，而221()3f x a ，故此时不满足题意． 综上，a 的取值范围是33[,]42．【考点】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，同时考查了学生利用分类讨论、函数思想以及转化思想的应用，属于中档题．三、解析题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 17．已知函数311()32f x x =+．(Ⅰ)求曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(Ⅱ)求过点1(2,)2A 作曲线()y f x =的切线方程．【解析】解：(Ⅰ)函数311()32f x x =+的导数为2()f x x '=，曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线的斜率为1k =， 则切线的方程为516y x -=-，即为6610x y --=，令0x =，可得16y =-；0y =，可得16x =． 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为111126672S =⨯⨯=；(Ⅱ)由1(2,)2A 和311()32f x x =+，可得f (2)811322=+≠，即A 不在()f x 的图象上，可设切点为(,)m n ，则切线的斜率为2m ，切线的方程为2()y n m x m -=-，则231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩，解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故切线的方程为12y =或182350x y --=． 【考点】本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区分在某点处的切线和过某点的切线，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．18．如图，五面体11A BCC B -中，14AB =．底面ABC 是正三角形，2AB =．四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角．(Ⅰ)D 在AC 上运动，当D 在何处时，有1//AB 平面1BDC ，并且说明理由； (Ⅱ)当1//AB 平面1BDC 时，求二面角1C BC D --余弦值．【解析】解：(Ⅰ)当D 为AC 中点时，有1//AB 平面1BDC ， 证明：连接1B C 交1BC 于O ，连接DO 四边形11BCC B 是矩形 O ∴为1B C 中点又D 为AC 中点，从而1//DO AB ， 1AB ⊂/平面1BDC ，DO ⊂平面11//BDC AB ∴平面1BDC(Ⅱ)建立空间直角坐标系B xyz -如图所示，则(0B ，0，0)，(3A ，1，0)，(0C ，2，0)，3(D ，32，0)，1(0C ，2，3)， 所以3(BD =，32，0)，1(0BC =，2，23)．设1(n x =，y ，)z 为平面1BDC 的法向量，则有33022230y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩，即33x z y z=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 令1Z =，可得平面1BDC 的一个法向量为1(3n =，3-1)， 而平面1BCC 的一个法向量为2(1n =，0，0)， 所以1cos n <，1221231313n n n n n >===，故二面角1C BC D --313．【考点】()I 此问重点考查了线面平行的判定定理，还考查了中位线的平行的性质定理，及学生的空间想象能力()II 此问重点考查了利用空间向量的知识，及平面的法向量的夹角与二面角的大小联系；此外还考查了学生的计算能力．19．已知直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数，0)απ<，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||23AB =α的值．【解析】解：(1)圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+．∴圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=．(2)将直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数，0)απ< 代入到圆C 的直角坐标方程222410x y x y +--+=中，得到：24sin 0t t α-=，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||3AB =∴3sin α=3πα=或23πα=．【考点】本题考查圆的直角坐标方程、角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数()(1)f x ln x =+，()()g x xf x '=，0x ，其中()f x '是()f x 的导函数．若1()()g x g x =，1()[()]n n g x g g x +=，*n N ∈．(Ⅰ)求()n g x 的表达式；(Ⅱ)求证：22222(11)(21)(31)(1)1n g g g g n n -+-+-+⋯+-<+，其中*n N ∈．【解析】解：(Ⅰ)由题意可知，(),01xg x x x=+， 由已知121(),()[()]()11x x g x g x g g x g x x===++ 11211xx x x x x +==+++，3(),13xg x x =+，猜想*(),1n xg x n N nx=∈+，下面用数学归纳法证明： ()i 当1n = 时，1()1xg x x=+，结论成立： 假设*(1,)n k k k N =∈ 时结论成立，即()1k xg x kx=+， 那么，当*1(1,)n k k k N =+∈时，1()1()[()]1()1(1)11k k k k xg x xkx g x g g x x g x k xkx ++====+++++，即结论成立．由()()i ii 可知，结论对*n N ∈ 成立． (Ⅱ)(),01xg x x x=+， ∴2211()1(1)111x g x g n x x n==-⇒-=-++， 2222(11)(21)(31)(1)g g g g n ∴-+-+-+⋯+- 22221111(1)(1)(1)(1)123n =-+-+-+⋯+- 22221111()123n n =-+++⋯+1111[]122334(1)n n n <-+++⋯+⨯⨯⨯+111111[()()()]12231n n n =--+-+⋯+-+21(1)11n n n n =--=++，22222(11)(21)(31)(1)1n g g g g n n ∴-+-+-+⋯+-<+．【考点】本题考查了数学归纳法，放缩法在数列中的应用和利用裂项相消法求数列的前n 项和，考查了转化思想和推理能力，属难题． 21．已知函数21()(1)(0)2f x alnx a x x a =-++->．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若21()2f x x ax b -++恒成立，求1[,1]2a ∈时，实数b 的最大值．【解析】解：(1)21()(1)(0)2f x alnx a x x a =-++->，定义域为(0,)+∞⋯(1分)，∴()(1)()1a x a x f x a x x x---'=-++-=，0x >⋯(2分) 令()0f x '=，则1x a =，21x =①当01a <<时，令()0f x '>，则1a x <<； 令()0f x '<，则0x a <<，或1x >，()f x ∴在(0,)a ，(1,)+∞单调递减；(,1)a 单调递增； ⋯(3分)②当1a =时，()0f x '，且仅在1x =时，()0f x '=， ()f x ∴在(0,)+∞单调递减； ⋯(4分)③当1a >时，令()0f x '>，则1x a <<； 令()0f x '<，则 01x <<，或x a >，∴在(0，1 )，(,)a +∞单调递减；(1,)a 单调递增．⋯(5分)综上所述，当01a <<时，()f x 在(0,)a ，(1,)+∞单调递减；(,1)a 单调递增； 当1a =时，()f x 在(0,)+∞单调递减；当1a >时，()f x 在(0,1)，(,)a +∞单调递减；(1,)a 单调递增．⋯(6分) (2)21()(1)(0)2f x alnx a x x a =-++-> 若21()2f x x ax b -++恒成立， b alnx x ∴-+恒成立 ⋯(7分)令()g x alnx x =-+，0x >，即()min b g x ⋯(8分)，()1a x a g x x x-'=-=，(0)a >， ()g x ∴ 在(0,)a 单调递减，(,)a +∞ 单调递增；()min g x g =(a)alna a =-+⋯(10分)b alna a ∴-+，1[2a ∈，1]， 令h (a)alna a =-+h ∴'(a)0lna =->，h ∴(a)单调递增，h ∴(a)11()(12)22min h ln ==+， ∴1(12)2b ln + 即b 的最大值为1(12)2ln +⋯(12分) 【考点】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．22．已知函数()xe f x ax lnx x=-+． (Ⅰ)1a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若21[1,]42e a ∈+，求()f x 的最小值g (a)的取值范围． 【解析】解：(Ⅰ)当1a =时，()(0)x e f x x lnx x x =-+>，则22(1)11()1()x x e x x f x e x x x x--'=-+=-， 令()x h x e x =-，当(0,)x ∈+∞时，()10x h x e '=->，∴在(0,)+∞上，()(0)1h x h >=，即x e x >，令()0f x '=，则1x =，经检验，在(0,1)上，()0f x '<，()f x 单调递减，在(1,)+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时，函数()y f x =取得极小值1e -，无极大值；(Ⅱ)2(1)1()(0)x e x f x a x x x -'=-+>，令2(1)1()()(0)x e x p x f x a x x x-='=-+>，则22(22)()(0)x e x x x p x x x -+-'=>， 由(Ⅰ)知，当(0,)x ∈+∞时，x e x >，222(22)(22)(1)0x e x x x x x x x x x -+->-+-=-，()0p x ∴'>在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴'在定义域上单调递增，21[1,]42e a ∈+， ∴21(1)10,(2)042e f a f a '=-+'=-+， ∴方程()0f x '=在(0,)+∞上有唯一解，设方程()0f x '=的解为0x ，则在0(0,)x 上()0f x '<，在0(x ，)+∞上()0f x '>，且012x ，()f x ∴的最小值为00000()()x e g a f x ax lnx x ==-+， 由()0f x '=得，00200(1)1x e x a x x -=+代入g (a)得，00000(2)()1,[1,2]x e x g a lnx x x -=-+∈， 令(2)()1,[1,2]x e x x lnx x x ϕ-=-+∈，则22(22)()x e x x x x x ϕ--+'=， 2222(1)11x x x -+-=----，2(22)0x x e x x x x e ∴-+-+-<，()x ϕ∴在[1，2]上为减函数，()[[2]x ϕϕ∴∈，[1]]ϕ，g ∴(a)[21ln ∈-，1]e -．【考点】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想，消元思想，考查运算求解能力，属于较难题目．。
2019年四川省成都七中自主招生数学试卷（含答案解析）
2019年四川省成都七中⾃主招⽣数学试卷（含答案解析）2019年四川省成都七中⾃主招⽣数学试卷副标题⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 若M =5x 2?12xy +10y 2?6x ?4y +13(x 、y 为实数)，则M 的值⼀定是( )A. ⾮负数B. 负数C. 正数D. 零 2. 将⼀个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正⽅体⽊块的表⾯染上红⾊，然后切成m 3个棱长为1的⼩正⽅体，发现只有⼀个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量是恰有两个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量的12倍，则m 等于( ) A. 16 B. 18 C. 26 D. 32 3. 已知6a 2?100a +7=0以及7b 2?100b +6=0，且ab ≠1，则ab 的值为( )A. 503B. 67C.1007D. 764. 若a =√3√2+√3+√5，b=2+√6?√10，则ab 的值为( )A. 12B. 142+36+105. 满⾜|ab|+|a ?b|?1=0的整数对(a,b)共有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个6. 在凸四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与AE 相交于点O ，且BO =DO ，AO =2EO ，则S △ACD ：S △ABD 的值为( ) A. 2：5 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：27. 从1到2019连续⾃然数的平⽅和12+22+32+?+20192的个位数字是( )A. 0B. 1C. 5D. 9 8. 已知x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，则代数式(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为( ) A. 3 B. 14 C. 16 D. 369. 将⼀枚六个⾯编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正⽅体骰⼦先后投掷两次，记第⼀次掷出的点数为a ，第⼆次掷出的点数为b ，则使关于x 、y 的⽅程组{ax +by =22x +y =3，只有正数解的概率为( ) A. 112B. 16C. 518D. 133610. ⽅程3a 2?8a ?3b ?1=0，当a 取遍0到5的所有实数值时，则满⾜⽅程的整数b 的个数是( ) A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个11. 若⼀个三⾓形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三⾓形的个数为( ) A. 31个 B. 32个 C. 33个 D. 34个12. 若关于x 的⽅程x 2+ax +b ?3=0有实根，则a 2+(b ?4)2的最⼩值为( )A. 0B. 1C. 4D. 9⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，共52.0分）13.已知x=3+√132，则代数式x4?3x3?3x+1的值为______．14.在正⼗边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______个．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，D为AB中点，E为边BC上⼀点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的⾯积占△ABE⾯积的14，则BE的长为______．16.已知关于x的⽅程√x2?2x+1?√x2?4x+4+2√x2?6x+9=m恰好有两个实数解，则m的取值范围为______．17.如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO=23，PE=5DF，则PFPE=______．18.如图，四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=12，∠B=∠D=90°.M和N分别是线段AD和线段BC上的点，且满⾜BN=DM，则线段MN的最⼩值为______．19.若?121+x?2x2=a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n，则a2+a3=______．三、解答题（本⼤题共2⼩题，共38.0分）20.已知⼆次函数y=x2+(a?7)x+6，反⽐例函数y=ax(1)当a=2时，求这两个函数图象的交点坐标；(2)若这两个函数的图象的交点不⽌⼀个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；(3)若这两个函数的交点都在直线x=12的右侧，求a的取值范围．21.已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满⾜∠ADF=∠ABE(1)如图1，若DE=BG=n，cos∠AEB=23，GE=3，求AE的长(⽤含n的代数式表⽰)；(2)如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE=1，作点A关于BE，求DE的长．的对称点A′，A′到CG的距离为3√24答案和解析1.【答案】A【解析】解：M =5x 2?12xy +10y 2?6x ?4y +13=4x 2?12xy +9y 2+y 2?4y +4+x 2?6x +9=(2x ?3y)2+(y ?2)2+(x ?3)2≥0，故M ⼀定是⾮负数．故选：A ．通过配⽅法配出平⽅根，从⽽判断M 值的⼤⼩．本题考查了配⽅法的应⽤，熟练配⽅法的应⽤是解答此题的关键． 2.【答案】C【解析】解：将⼀个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正⽅体⽊块的表⾯染上红⾊，然后切成m 3个棱长为1的⼩正⽅体，则只有⼀个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量为6(m ?2)2，恰有两个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量12(m ?2)，∵只有⼀个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量是恰有两个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量的12倍，∴6(m ?2)2=12×12(m ?2)，解得m 1=26，m 2=2(舍去)，故选：C ．只有⼀个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量为6(m ?2)2，恰有两个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量12(m ?2)，根据只有⼀个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量是恰有两个表⾯染有红⾊的⼩正⽅体的数量的12倍，即可得到m 的值．本题主要考查了正⽅体，解决问题的关键是抓住表⾯涂⾊的正⽅体切割⼩正⽅体的特点：1⾯涂⾊的在⾯上，2⾯涂⾊的在棱长上，3⾯涂⾊的在顶点处，没有涂⾊的在内部，由此即可解决此类问题． 3.【答案】D【解析】解：∵7b 2?100b +6=0，∴6×1b 2100×1b+7=0，∵6a 2?100a +7=0，∴a 、1b 是⽅程6x 2?100x +7=0的两根，∴由根与系数的关系可知：ab =76，故选：D ．根据根与系数的关系即可求出答案．本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运⽤根与系数的关系，本题属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：a =√32+3+5√2+√3?√52+3?5=√3(√2+√3?√5)26=√2(√2+√3?√5)4=b4．∴ab =14．故选：B ．将a 乘以√2+√3?√5√2+√3?√5可化简为关于b 的式⼦，从⽽得到a 和b 的关系，继⽽能得出ab 的值．本题考查⼆次根式的乘除法，有⼀定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．5.【答案】C【解析】解：∵|ab|+|a?b|=1，∴0≤|ab|≤1，0≤|a?b|≤1，∵a，b是整数，∴|ab|=0，|a?b|=1或|a?b|=0，|ab|=1①当|ab|=0，|a?b|=1时，Ⅰ、当a=0时，b=±1，∴整数对(a,b)为(0,1)或(0,?1)，Ⅱ、当b=0时，a=±1，∴整数对(a,b)为(1,0)或(?1,0)，②当|a?b|=0，|ab|=1时，∴a=b，∴a2=b2=1，∴a=1，b=1或a=?1，b=?1，∴整数对(a,b)为(1,1)或(?1,?1)，即：满⾜|ab|+|a?b|=1的所有整数对(a,b)为(0,1)或(0,?1)或(1,0)或(?1,0)或(1,1)或(?1,?1)．∴满⾜|ab|+|a?b|?1=0的整数对(a,b)共有6个．故选：C．先判断出|ab|=0，|a?b|=1或|a?b|=0，|ab|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．此题考查了绝对值，以及数对，分类讨论的思想，确定出|ab|=0，|a?b|=1或|a?b|= 0，|ab|=1是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BF//AD交AE延长线于F，连接OC，∵BF//AD∴∠F=∠DAO∵BO=DO，∠BOF=∠DOA∴△FOB≌△AOD(AAS)∴FO=AO∵AO=2EO∴FO=2EO∴EO=EF，∵E为BC边的中点∴BE=CE∵∠BEF=∠CEO∴△BEF≌△CEO(SAS)∴∠BFE=∠COE∴BF//OCAD//OC∴S△ACD=S△AOD，∵BD=2OD∴S△ABD=2S△AOD，∴S△ABD=2S△ACD∴S△ACD：S△ABD=1：2；。
四川省成都市成都市第七中学2019-2020学年度高二数学第一学期期中试题 数学文【含解析】
四川省成都市成都市第七中学2019-2020学年度高二数学第一学期期中试题数学文【含解析】一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值x ，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为的一个实例，若输入n，x时只记得1（）A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出【答案】C【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当1i =-时，不满足条件0i ≥时跳出循环，输出v 的值，由此列方程求出n 的值． 【详解】解：初始值为n ，1x =，模拟程序运行过程如下；1v =，1i n =-满足条件0i ≥，111v n n =⨯+-=，2i n =- 满足条件0i ≥，1222v n n n =⨯+-=-，3i n =- 满足条件0i ≥，()221335v n n n =-⨯+-=-，4i n =-⋯满足条件0i ≥，()()()()111232112n n v n n n -=+-+-+-+⋯++=+，0i =满足条件0i ≥，()()11110122n n n n v ⎛⎫--=+⨯+=+ ⎪⎝⎭，1i =- 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为()11562n n -+=，即()1110n n -=，解得11n =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i ，v 值是解题的关键，属于中档题．2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A. 3 B. 6C. 12D. 24【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲；②剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本， 分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲，有246C =种情况， ②剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法； 故选：B ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁【答案】C 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图中频率之和为1计算出数据位于[)25,30的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以，数据位于[)25,30的频率为()10.010.070.060.0250.2-+++⨯=， 前两个矩形的面积之和为0.0150.20.25⨯+=， 前三个矩形的面积之和为0.050.20.0750.6++⨯=， 所以，中位数位于区间[)30,35，设中位数为a ，则有()0.050.2300.070.5a ++-⨯=，解得33.6a ≈（岁），故选C ．【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)如下表所示：时间x 2 3 5 8 9 12 工资y 30406090120140则小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为（ ） A. 5818377y x =+B.11.4 5.9y x =+C. 804077y x =+D.8.624.1y x =+【答案】B 【解析】 【分析】由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求． 【详解】解：()12358912 6.56x =+++++=，()130406090120140806y =+++++=． 616222222222162303405608909120121406 6.58011.423589126 6.56i i i i i x y xy b x x ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++++-⨯-∑∑，8011.4 6.5 5.9a y b x =-=-⨯=．∴小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为11.4 5.9y x =+．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 5.对具有线性相关关系的两个变量x ，y ，测得一组数据如表所示：x 2 4 5 6 8y20m 6070n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+，则m n += （ ）A. 119B. 120C. 129D. 130【答案】B 【解析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m n +的值． 【详解】解：()12456855x =++++=，()115020607055m ny m n ++=++++=， ∴样本点的中心的坐标为1505,5m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入线性回归方程，得15010.55 1.55m n++=⨯+，解得120m n +=．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A. e m =0m =xB. e m =0m <xC. e m <0m <xD. 0m <e m <x【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝ 5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有（ ） A. 27个 B. 28个C. 29个D. 30个【答案】B【分析】根据题意，按四位数的千位数字不同,分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况，①四位数的千位数字为3，其百位数字1时，有3152,3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，此时,有23620+⨯=个符合条件的四位数；②四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有628+=个符合条件的四位数；则有20828+=个符合条件的四位数；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．【详解】解：E ，F ，G 分别有4，3，2种方法，①当A 与F 相同时，A 有1种方法，此时B 有2种，()1C 若与F 相同有C 有1种方法，同时D 有3种方法， ()2若C 与F 不同，则此时D 有2种方法，故此时共有：()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；②当A 与G 相同时，A 有1种方法，此时B 有3种方法，()1若C 与F 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法，()2若C 与F 不同，则D 有1种方法，故此时共有：()432131211216⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；③当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种方法，()1若B 与F 相同，则C 必须与A 相同，同时D 有2种方法； ()2若B 不同于F ，则B 有1种方法，(Ⅰ)若C 与F 相同则C 有1种方法同时D 有2种方法；(Ⅱ)若C 与F 不同则必与A 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法；故此时共有：()432111*********⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦种方法； 综上共有240216144600++=种方法． 故选：C ．【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题． 二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数7n =，3m =，那么输出的p 等于______.【答案】210 【解析】 【分析】讨论k 从1开始取，分别求出p 的值，直到不满足3k <，退出循环，从而求出p 的值. 【详解】解：模拟程序的运行，可得7n =，3m =，1k =，1p = 5p =，满足条件3k <，执行循环体，2k =，30p = 满足条件3k <，执行循环体，3k =，210p = 不满足条件3k <，退出循环，输出p 的值为210． 故答案为：210．【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题． 10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．【答案】46 【解析】 【分析】由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数． 【详解】解：由茎叶图得： 该样本的中位数是：4547462+=． 故答案为：46．【点睛】本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11. 曲线214y x 与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ）A. 34k ≥B. 35412k -≤<- C. 512k >D.53124k <≤ 【答案】D 【解析】 【分析】由曲线方程可知曲线为以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分，又直线恒过()2,4A ，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时k 的取值，进而得到结果. 【详解】214y x 可化为()()22141x y y +-=≥∴曲线214y x 表示以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分又直线()24y k x =-+恒过定点()2,4A 可得图象如下图所示：当直线()24y k x =-+为圆的切线时，可得23221k d k -==+，解得：512k =当直线()24y k x =-+过点()2,1B -时，413224k -==+由图象可知，当()24y k x =-+与曲线有两个不同交点时，53124k <≤ 故选：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解.12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______ 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，②，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4名大学生中录用3人，有3443224A =⨯⨯=种录取情况； ②4名大学生全部录用，有23436636C A =⨯=种录取情况， 则有243660+=种录用种数； 故答案为：60．【点睛】本题考查分步计数原理应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 62638228（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.800.06900.261000.381100.221200.08100质量指标值的样本方差为22222s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析．下面是该生前5次考试的成绩． 数学 120 118 116 122 124 物理 7979778283附()121(),()nii i ni i x x y y b a y b x x x ==--==--∑∑．22121()1()ni i i ni i y y R y y ==-=--∑∑．()1已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程；()2我们常用2R 来刻画回归的效果，其中2R 越接近于1，表示回归效果越好．求2R ． ()3已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？【答案】（1）3104y x =-；（2）0.9375；（3）89分.【解析】 【分析】()1计算x 、y ，求出回归系数b 、a ，写出回归方程； ()2利用回归方程计算y 对应y 值，求出相关系数2R 的值；()3利用回归方程计算132x =时y 的值即可．【详解】解：()1计算()11201181161221241205x =⨯++++=， ()17979778283805y =⨯++++=；()()()()()()5152222221()01214322433(1)(1)(3)234()i i i i i x x y y b x x ==--⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯===-+-+-++-∑∑；380120104a yb x =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程是3104y x =-；()2由题意，填表得y79 7977 8283 y8078.5 7781.583计算相关系数2222212222221()(1)0.500.501151110.9375(1)(1)(3)231616()ni i i n ii y y Ry y ==--++++=-=-=-==-+-+-++-∑∑； 所以2R 接近于1，表示回归效果越好；()3第6次考试该生的数学成绩达到132，计算3310132108944y x =-=⨯-=，预测他的物理成绩为89分．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.如图，椭圆221132x y C +=：，抛物线222(0)C y px p =>：，过2C 上一点(P 异于原点)O 作2C 的切线l 交1C 于A ，B 两点，切线l 交x 轴于点Q ．()1若点P 的横坐标为1，且1112AQ BQ -=，求p 的值． ()2求OAB 的面积的最大值，并求证当OAB 面积取最大值时，对任意的0p >，直线l 均与一个定椭圆相切．【答案】（1）6；（26. 【解析】 【分析】()1不妨设(2.P p 计算出AQ ，BQ 的长度代入条件计算出p 值；()2设()00,P x y 则()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0.x ty x =-表示出OAB 的面积，求出其最大值，验证直线l 与椭圆221.322x y +=相切；【详解】解：()1点(1,2P p ，由对称性不妨设(2P p ． 于是2l py px p =+：，于是()1,0.Q -所以点Q 是1C 的左焦点． 设.AQO α∠=焦准距为2m =．类比抛物线的焦半径算法可得,11m mAQ BQ cos cos eeαα==-+． 于是11212cos cos AQ BQ m αα-===32p=6p =． ()2设()00,.P x y 于l ：00y y px px =+．于是()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0x ty x =-． 联立()22222000123426032x y t y x ty x x ty x⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩． 设()11,A x y ，()()22220,.2423B x y t x =-+．()()222002220122222323116266222323232OABx t x x t x SOQ y y x t t t +-+-+=-==≤=+++．当且仅当220232t x +=取等，且满足0.>所以OAB 6注意到220232t x +=即为2202320.t x +-=这个等式类似于()22012223t x =-+；于是猜想椭圆221.322x y +=联立2201322x y x ty x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22200234230t y tx y x +-+-=；()()()222222000164223122230t x t x t x =-+-=-+=；故当OAB 面积取最大值时，直线l 均与一个定椭圆221322x y +=相切．【点睛】本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。