高等数学(一)18高本各专业复习资料

高等数学（一）18高本各专业复习资料
一、选择题
1、设平面1∏的方程为0122=++-z y x ，平面2∏的方程为05=+-y x ，求
两平面的夹角是（ ） A
4π B 3
π C 2π
D π
2、球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面方程是（ ）
A 1432=++z y x
B 1432=+-z y x
C 1432-=+-z y x
D 1432-=++z y x
3、若平面0=+++k z y kx 与0=+++k kz ky x 互相垂直，则k 等于（ ） A 、
0=k B 、1=k
C 、1-=k
D 、1±=k 4、若函数)ln(y x z --=的定义域是（ ）
A {}0,0|),(<<y x y x
B {}
0|),(≤+y x y x
C {}0|),(<+y x y x
D 在xOy 平面上处处无定义
5、若函数)ln(y x z +=的定义域是（ ）
A {}0,0|),(>>y x y x
B {}
0|),(≥+y x y x
C {}0|),(>+y x y x
D 在平面上处处无定义
6、设向量k j i b k j i a ++=+-=94,2，则（ ）
A b a //
B ||||b a =
C b a ⊥
D 无法判断
7、),(y x f z =在点),(y x 的偏导数
y
z
x z ∂∂∂∂,连续是其函数在该点可微的（ ）。

A 充分条件 B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分条件也非必要条件 8、若级数∑∞
=1
n n a 收敛，∑==n
i i n a S 1
，则下列命题正确的是（ ）
A 0lim =∞
→n n S B n n S ∞
→lim 存在 C n n S ∞
→lim 不存在 D {}n S 为单增数列
9、设平面1∏的方程为0122=++-z y x ，平面2∏的方程为05=+-y x ，求两平面的夹角是（ ） A
4
π
B
3
π C 2π
D π
10、球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面方程是（ ）
A 1432=++z y x
B 1432=+-z y x
C 932=-+z y x
D 932=++z y x
1、 A
2、 A
3、C
4、C
5、A
6、C
7、 B
8、 A
9、 A 10、 A
二、填空题
1、设)1ln(22y x z ++=，则偏导数=∂∂)
2,1(|x
z 。

2、函数xyz u =的全微分为 。

3、交换二次积分⎰⎰=2
01
0),(x dy y x f dx I 的积分次序，得=I 。

4、若级数∑∞=1
n n a 收敛，级数∑∞
=1
n n b 发散，则级数∑∞
=+1
)(n n n b a 必定 。

5、微分方程()0233='-''y y x 的阶数是 .
6、已知两个非零向量b a ,，则b a
⊥的充分必要条件是 .
7、与向量k j i a 22++=平行的单位向量是 . 8、=→→x xy y x )sin(lim 1。

9、微分方程()0233='-''y y x 的阶数是 .
10、已知两个非零向量b a r
r ,，则b a r r //的充分必要条件是 .
11、=→→x xy y x )sin(lim 10。

12、设)1ln(22y x z ++=，则偏导数=∂∂)
2,1(|y
z 。

13、函数xyz u =的全微分为 。

1、1
2、
3
2 3、xydz xzdy yzdx du ++= 4、发散 5、2
6、0=⨯b a
7、10
8、
3
1
9、2 10、0=⋅b a 11、)22(3
1k j i ++±
12、xydz xzdy yzdx du ++= 13、⎰⎰
1
01),(y
dx y x f dy
三、求解下列各题
1、写出直线⎩⎨
⎧=+-+=-+-0
5230
332:z y x z y x L 的点向式方程。

直线1L 的方向向量为}3,2,1{1=s ，直线2L 的方向向量
为}2,5,4{1--=s 而021=⋅s s 故两条直线是垂直的。

2、求由方程0=-xyz e z 所确定的隐函数),(y x z z =的两个偏导数y z x z ∂∂∂∂,。

方程两边对x 求导得到：
0=∂∂--∂∂x
z
xy yz x z e z。

所以 xy e yz
x z z
-=∂∂。

类似可得xy
e xz y z z -=
∂∂。

3、判别级数∑∞
=-1
11)1(n n n －的敛散性。

设,1
n u n =则n u 满足(1),1
11+>n n
(2),01
lim
lim ==∞→∞
→n
u n n n 由交错级数判别法知∑∞
=-1
1
)1(n n
n
是收敛的。

4、判断直线3
32211:1-=-=-z y x L 与直线225342:2--=-=--z y x L 的位置关系。

先在直线上任取一点，令z=0求出)0,2,1(--为直线L 上的一个点。

直线L 的方向向量是}7,11,1{}2,1,3{}3,2,1{=-⨯- 直线L 的点向式方程为7011211-=+=+z y x
5、计算二重积分⎰⎰+-D
y x
dxdy e )
(22
，其中积分区域D 是222a y x ≤+。

选用极坐标系计算，D 表示为πθ20,0≤≤≤≤a r 故rdr e d dxdy e
D
a
r y x ⎰⎰⎰⎰-+-=πθ200)
(2
22
)1(2
a e --=π。

四、求幂级数∑∞
=0!
n n n x 的和函数。

∑∞
=++-=0
121
21
)1()(n n n
x n x S 设 )1,1(,11
)(2
'-∈+=
x x
x S 则 )1,1(,arctan )(-∈=x x x S
又当1-=x 时，级数∑∞
=+--0
121)1(n n n 收敛。

当1=x 时，级数∑∞
=+-0
121)1(n n n 收敛
故]1,1[,arctan 121)1(0
12-∈=+-∑∞
=+x x x n n n n 设。

五、求函数xy y x z 333-+=的极值。

⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=-+=0
330
33,32
2
3
3
x y f y x f xy y x f y x ，1,1(),0,0(驻点为）
,6,3,6y f f x f yy xy xx =-==
对于驻点),1,1(有,027,6,3)1,1(,6)1,1(2<-=-=-==AC B f f f yy xy xx 所以),(y x f 在点)1,1(取得极小值1)1,1(-=f 。

对于驻点),0,0(有,09,0,3)1,1(,0)1,1(2>=-=-==AC B f f f yy xy xx 所以),(y x f 在点)0,0(不取得极值。