第四章 理想流体动力学
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理想流体动力学作业
（第3题图）
（第4题图）
二
°门
2
/a 二
1 f "
r
第四章理想流体动力学 1.如图所示的管道中连接一收缩段，用于测量流量。
已知管径d i =260mm.
3
d 2=180mm,活塞直径D=300mn 油液密度是850kg/m,如果固定活塞所需的力
2.如图所示的铅直放置的文丘利管，d i =0.3m, d 2=0.15m,水银压差计的高差 h=0.02m,密
度为p i =136000N/m 3
，设流动定常，2-2断面与水银液面高度差为 L ,不计损失。
求：流量Q
3. 如图所示的消防喷枪喷嘴，已知直径d i ,d 2，流量Q 出口为大气压力，若喷嘴 与出水管用4个螺钉连接，不计粘性和重力，流动定常，水的密度为 p 求：每个 螺钉的受力。
F=75N,设管道与活塞轴线的高度差为
求：油的流量Q 。
di
2
d ：
（第2题图）
J I
L
______] F
h
1
2
d
：
4.将一平板伸到水柱内，板面垂直于水柱的轴线，水柱被截后的流动如图所示。
已知水柱的流量Q=0.036m3/s，水柱的来流速度V=30m/s，若被截取的流量Q=0.012m3/s，试确定水柱作用在板上的合力R和水流的偏转角〉（略去水的重量及粘性）。
5.如图，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面积分别为A与A2,试问h i与h2成什么关系时流动处于恒定状态，这时需在左边水箱补充多大的流量。
流体力学4-理想流体动力学
下标1 下标1、2为同一流线 上的任意两点
理想流体动力 学
二、拉氏积分和伯氏积分不同点： 拉氏积分和伯氏积分不同点： (１) 应用条件不同。 １ 应用条件不同。 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 拉格朗日积分只能用于无旋流运动， 伯努利积分既可用于无旋运动， 伯努利积分既可用于无旋运动，又 可用于有旋运动。 可用于有旋运动。 （２）常数Ｃ性质不同。 常数Ｃ性质不同。 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 伯努利积分常数Ｃ 伯努利积分常数Ｃｌ只在同一根流线上不变
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、 定常流动过程中单位重量流体所具有的位能、动能和 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。 压强势能可互相转化，但总机械能保持不变。
理想流体动力 学
？讨论： 讨论：
实际流动中总水头线不是水平线， 实际流动中总水头线不是水平线，单位重量 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？ 流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？
流体的质量力只有重力， 流体的质量力只有重力， U＝－ｇｚ p v p V ∂Φ z + + = − 或为 + = − gz + γ 2g
2
2
ρ
2
∂t
1 ∂Φ g ∂t
2.定常运动 2.定常运动
p V2 −U + + =C ρ 2
(通用常数) 通用常数)
3.对于理想、不可压缩流体、 3.对于理想、不可压缩流体、在重力作用 对于理想 下的定常无旋运动
理想流体动力 学
伯努力积分式
p
在重力场中Ｕ＝－ｇｚ 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ
p V2 −U + + =C ρ 2
北航水力学 第四章理想流体动力学和恒定平面势流解读
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
4.2.2 由动能定理推导理想流体的伯努利方程
推导过程同学们自学
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的 物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。
第三节 元流伯努利方程的意义和应用
4.3.1 沿流线的伯努利方程的水力学意义
可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。
2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。
y ABdrBnA x
d r dxi dy j
n cos i sin j dy i dx j
dr dr V ui v j
dq V
ndr
u
dy dr
v
dx dr
等 线和等Ψ线，这两族曲线互相垂直，构
成流网。
两族曲线所构成的正交网络，称为流网
流网的特征：
流网
等 线和速度矢量垂直，或者说， 等 线与等Ψ线（流线）垂直，
【例题】
已知90度角域内无粘流动，速度分布
ux kx uy ky
(k 0, x 0, y 0)
求：（1）判断该流场是否存在速度势函数， 若存在请给出并画出等势线；
流动。但粘滞性对流动 的影响很微小时，影响可以忽略。 --机械能守恒
引入势流的意义：使问题简化。
波浪运动，无分离的边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流） 等等可以看为势流。
4.4.1 流速势函数
以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价
由 ux 0 无旋流的条件→涡量 z 0
第4章理想流体动力学
Q=0.036m3/s，水柱的来流速度V=30m/s，若被截取的流量
Q=0.012m3/s，试确定水柱作用在板上的合力R和水流的偏
转角
（略去水的重量及粘性）。 解：设水柱的周围均为大气压。由于不计重力，因此由伯努利方程可知
由连续方程
取封闭的控制面如图，并建立 坐标，设平板对射流柱的作用力为 （由于不考虑粘性，仅为压力）。由动量定理
<<
,
<<
以及与水箱A中流出的流量相比，从B中吸出的流量为小量。） 解：（1）在
及
的假定下，本题可看作小孔出流 由Torricelli定理
处为基准，对水箱 自由液面及最小截面
建立总流伯努利方程 其中
， 故 要使最小截面处压强
低于大气压即为负值必须使 由连续方程
得 故
得此时的条件应为 （2）若从水槽中吸出水时，需具备的条件为 或者 将 代入
时，
例如，当 则
【4.18】 如图,锅炉省煤气的进口处测得烟气负压 h1=10.5mmH2O，出口负压h2=20mmH2O。如炉外空气 ρ=1.2kg/m3，烟气的密度ρ'= 0.6 kg/m3，两测压断面高度 差H=5m，试求烟气通过省煤气的压强损失。 解：本题要应用非空气流以相对压强表示的伯努利方程形式。 由进口断面1至出口断面2列伯努利方程
即 或者 ，
由于 将上述不等式代入
得 【4.14】 如图，一消防水枪，向上倾角
水管直径D=150mm，压力表读数p=3m水柱高，喷嘴直径 d=75mm，求喷出流速，喷至最高点的高程及在最高点的 射流直径。 解：不计重力，对压力表截面1处至喷咀出口2处列伯努利方程
其中
得
式得
另外，由连续方程 得 上式代入
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
工程流体力学非恒定流伯努利方程
或
v2 z Cl 2g p
式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力 学中最常用的方程之一。 伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体； （2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力 仅为重力；（5）沿流线。 在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表 达成 ：
2 v12 p2 v2 z1 z2 2g 2g
工程流体力学
du p f x dt x dv p fy dt y dw p fz dt z
上式整理后便得到
du 1 p dt f x x dv 1 p fy y dt dw 1 p fz z dt
p1
工程流体力学
倘若在上述条件下，再加上流动是无旋运动（势 流）的条件，可得到 ：
v2 z C 2g p
上式称为拉格朗日方程，等号右边的常数C称为 通用常数，在整个流场中均相等。 倘若流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格 朗日积分式
v2 gz f (t ) 2 t p
f
1
p 0
,
。
（3）在方程中有8个物理量：u 、v 、 w、 f x 、f y 、
f y 、f z 是已 f z ， 和p。一般情况下，表示重力的 f x 、
知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程， 在一定条件下积分便可得到压强p的分布规律。
工程流体力学
4.2
4.2.1
伯努利方程
工程流体力学
第四章 理想流体动力学
本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原 因——力之间的关系。其中主要内容是流体的能量方 程——伯努利方程和理想流体的动量定理，以便研究 流体和物体之间的作用力问题。
流体力学第四章ppt课件
对于定常无旋运动，式（4－3）括弧内的函数
不随空间坐标ｘ，ｙ，ｚ和时间ｔ变化，因此
它在整个流场为常数。精选课件
10
U p V2 C
2
(通用常数)
对于理想、不可压缩流体、在重力作用下的 定常无、旋运动，因Ｕ＝－ｇｚ，上式可写成
p V2
z
C
(通用常数)
2g
上式为上述条件下的拉格朗日积分式，Ｃ在
整个流场都适用的通用常数，因此它在整个流场
建立了速度和压力之间精的选课件关系。
11
若能求出了流场的速度分布（理论或实验的 方法），就能用拉格朗日积分式求流场的压力分 布，再将压力分布沿固体表面积分，就可求出流 体与固体之间的相互作用力。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要的物
理现象：如机翼产生升力的原因；两艘并排行
U 2
2
g
近似代替 20
适用于有限大流束的伯努利方成为：
z p U2 const
2g
或
z1p1U 21g2 z2p2
U22 2g
方程适用条件：
（13） （14）
（１）理想流体，定常流动；
（２）只有重力的作用；
（３）流体是不可压缩的；
（4）１.２截面处流动须是渐变流。但1.2两断
面间不必要求为渐变流精动选课件。
驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引
的“船吸现象”；以及在浅水航道行驶的船舶为
什么会产生“吸底现象”等等。
精选课件
12
讨论： 1. 如果理想、不可压缩流体作定常、无旋流
动且只有重力作用时，同一水平面上的两 点，其速度和压力的关系如何？ 2. 两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产 生互相吸引的“船吸现象”。
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
清华大学流体力学课件-4-理想流体动力学.pdf
第四章 理想流体动力学
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
1
简介
理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性
0
Cv 0
m
Tij pij
理想流体（势流）
真实流体
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
2
基本内容
1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件 2. 理想流体在势力场中运动的主要性质 3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分 4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质 5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法 6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质 7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
pijeie j Vkek pViei pV
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
4
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
V V
t
V V V 1 p f
t
t
Vj
x j
V j x j
Vi t
Vj
Vi x j
理想流体动力学
11
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，
其物面方程为 R Rb (t)
无穷远处压力 p p ，不计质量力，
Rb (t)
求：球面上的压强分布。
R
V 0
V V V 1 p
t
t 0: V 0
R : V 0 p p R Rb (t) : VR Rb (t)
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
1
简介
理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性
0
Cv 0
m
Tij pij
理想流体（势流）
真实流体
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
2
基本内容
1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件 2. 理想流体在势力场中运动的主要性质 3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分 4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质 5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法 6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质 7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
pijeie j Vkek pViei pV
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
4
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
V V
t
V V V 1 p f
t
t
Vj
x j
V j x j
Vi t
Vj
Vi x j
理想流体动力学
11
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，
其物面方程为 R Rb (t)
无穷远处压力 p p ，不计质量力，
Rb (t)
求：球面上的压强分布。
R
V 0
V V V 1 p
t
t 0: V 0
R : V 0 p p R Rb (t) : VR Rb (t)
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
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第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
7
3. 推导运动微分方程 根据牛顿第二定律，作用在流体上的诸力 在任一轴投影的代数和应等于流体的质量与该 轴上加速度投影的乘积。 Fy may 故对y轴有： p Ydxdydz dxdydz dxdydzay y
又： 所以：
ay
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
11
推导过程主要分别将x、y、z方向的运动 微分方程变形为某函数(或表达式)关于x、y、z 的偏导数，三方程相加，在质量力为重力的情 况下，整理出要求的拉格朗日积分式。
以x方向为例：
v x v x v x v x 1 p vx vy vz X t x y z x
第四章 理想流体动力学
2
重点：伯努利积分式及其应 用、伯努利方程的几何意义和能 量意义、动量定理及动量矩定理 难点：动量定理及动量矩定 理
第四章 理想流体动力学
3
虽然实际流体都具有粘性，但是在很 多情况下粘性力影响很小，可以忽略，所 以讨论理想流体的运动规律不但具有指导 意义，而且具有实际意义。
本章先建立理想流体动力学的基本方 程——欧拉运动微分方程，然后在特定的 条件下积分可以得到拉格朗日积分式及伯 努利积分式，介绍两个积分的实际应用， 最后推导出动量及动量矩定理，并举例
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
4
§4-1 欧拉运动微分方程式
欧拉运动微分方程是理想流体的运动微分 方程，是牛顿第二定律在理想流体中的具体应 用。这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方 程。 如图，在流场中建立直角坐标系oxyz，任 取一微元六面体，其边长分别为dx、dy、dz。
等号右边：
第一项：
vx t t x x t
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
11
第二、三、四项：
v x v v v 1 p vx x v y x vz x X t x y z x
1 dv F p dt
即为理想流体运动微分方程，也称欧拉运动微 分方程。 此式对可压缩及不可压缩或定常流及非定 常流的理想流体均适用。
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
9
运动微分方程的三个分量式中有四个未知 vy、 vz 和 p ，再加上连续方程式共四个方 数 vx 、 程组，方程封闭，理论上可求解。当然还要满 足所提问题的边界条件、初始条件，这一问题 不是本课程的讨论范围。 但是对于复杂的流动很难得到问题的解析 解，只有在一些特殊条件下，才能求出解析解， 如拉格朗日积分式和伯努利积分式。
v y
v y t
v y y
vz
v y z
1 p vx vy vz Y t x y z y
v y
v y
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
8
同理可得：v x v v x v v x v v x X 1 p x y z
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
6
左面：px , y , z p px , y dy, z px , y , z dy 右面：
故沿ｘ方向表面力的合力是：
y
p p pdxdz ( p dy )dxdz dxdydz y y
2. y方向的质量力 设作用在六面体上沿y轴的单位质量力为Y， Ydxdydz 则流体质量力在y方向的分力为 。
v x v x v x v x vx vy vz vx vy vz x y z x y x z x v y v x v x v z vx vy vz vy vz vx x x y x z x x x 1 2 2 2 1 2 vx v y vz v x 2 x 2
t v y x v y y v y z v y
x 1 p vx vy vz Y t x y z y v z v z v z v z 1 p vx vy vz Z t x y z z
三式综合写成矢量形式：
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
10
§4-2 拉格朗日积分式
拉格朗日(Langrange)积分是欧拉方程在 非定常无旋运动条件下的积分解。 拉格朗日假设： ⑴ 理想不可压缩流体；
const
⑵ 质量力有势； U U U X Y Z 存在质量力势函数 U ，且： x y z ⑶ 无旋运动。 v v 存在速度势函数 ，且： x x y y vz z
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
5
平行六面体，顶点为 Ax , y , z 处的速度 是 vx , y , z ，压强为 px , y , z 。六面体平均密 度为 ，作用在六面体上的力有表面力和质量 力。 以y方向为例进行受力分析： 1. y方向的表面力 由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表 面上的力只有法向力,其方向为内法线方向。
等号左边： 第一项：
U X x
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
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第二项：
1 p p x x
v x v v v 1 p vx x v y x vz x X t x y z x