2017年海边迎春杯复赛高年级模考解析

7
由题意得：⎨ 力 + 可 +
⎩ ⎪ +
⎧ ⎪
尽 + 心 + 尽 + 力 = 19 ⋯ (1)
+ = 19 ⋯ (2)
穷 + 水 + 尽 = 19 ⋯ (3)
+ 2 +
可得3尽 + 心 + 2力 + 可 +
穷 + 水 = 19 × 3 = 57
， ，与（1）比较得山−心= 2．

而1～8的和是36，则有 2 × 尽 + 1 × 力 + 1 × 连续自然数，
=
3 98
1 +
③ 32 +
1 1 1 x
= 32 +
2 3
1 + 1 1 + 1 +
1 x
=
2 3 3 2
1 x
= 1 2
1 x
=
x = 2 ． 考 点 计算 方程基础 一元一次方程
2. （8分）某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价每个减价25元出售12件所获的利润 一样多，那么这种商品每件定价 元． 答 案 解 析 考 点
考 点
计算 数字谜 横式谜
7. （10分）有n个数组，满足如下条件：（1）每个数组中都有1008个互不相同的整数；（2）对于任意两个1~ 2016中的整数 （包括1和2016），都能在某个数组当中同时找到，那么，满足要求的n最小是 ． 答 案 解 析
6
论证至少6：从“一个数会在多少组中出现”这个角度思考，如果有一个数a只在两个数组中 出现， 根据容斥原理，这两个数组中的不同的数的个数至多是1008 + 1008 − 1 = 2015 个， 这说明总有一个数b不在这两组中，那么a与b将不会在同一组中出现，这违背了题干中的第 （2）个要求． 故知每个数都至少在3个组中出现过，那么计数所有组中的元素个数， 至少会是2016 × 3 = 6048 个，而每个组中最多1008个元素， 故至少有6048 ÷ 1008 = 6 个组． 构造一种满足条件的6个数组的情况： （1~ 1008），（1~ 504，1009~ 1512），（1~ 504，1513~ 2016），（505~ 1512），（505~ 1008，
70
设每件定价x元，列方程为10 × [70%x − (x − 45)] = 12 × [x − 25 − (x − 45)] ，解得x = 70 ． 应用题 分数、百分数应用题 经济问题
3.
（8分）超市原有果糖、巧克力糖、奶糖的数量比是1 : 2 : 3，然后新购进一批糖果，里面达三种糖的数量比是3 : 2 : 4．如果 每天卖出三种糖的数量相同，果糖卖完后，将剩下巧克力糖10千克，奶糖170千克，那么超市原有 千克奶糖． 答 案 解 析
2017年迎春杯高年级复赛海边模拟考试
填空题Ⅰ（每小题8分，共40分）
1. （8分）已知
1 + 32 + 1 1 1 1 x 98 101
=
，是x = ．
1 +
答 案 解 析
2
同时取倒数 ① 1 +
32 + 1 1 1 x = 101 98
1 +
②
32 +
1 1 1 x
1 1 + 2 S△EN M = 1 3 × 1 6 × 90 = 5
；
，所以S = 30 − 5 − 5 = 20 ．
几何 三角形 等高模型
12. （12分）将正方体的各面用1，2， ⋯ ，6编号，使相对面上的两数之和等于7．今有一个含有30 × 30个方格的国际象棋棋 盘，每个方格的大小恰与正方体的面相同．现将正方体自棋盘的西南角的方格向东北角的方格滚动过去，每次滚动时，都以 正方体的一条棱为轴，将正方体翻入东面或北面的方格中（不许向南或向西翻动）．在正方体翻动过程中经过的每一个方格 里，都印上与它重合的正方体的面上所编号码的那个数字．那么所有印出的数之和的最小值是 ． 答 案
46
2640 = 2
4
× 3 × 5 × 11 = 1 × 8 × 15 × 22
，所以这4个数的和是1 + 8 + 15 + 22 = 46 ．
数论 质数与合数 分解质因数
5. （8分）在空格内填入数字1~ 6，使得每行、每列和每个宫内数字都是1~ 6．每条斜线上的数字不重复．问：第五行前五个数 字组成的五位数是 ．
× G × H
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 为3倍，由于1011也是3倍，则¯ BC D也是3
× G × H
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 为3倍，由于1011也是3倍，则¯ BC D也是 3
倍；
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 符合（2）（3）的¯ BC D只有（5、3、4）；（5、3、7）；（5、6、4）；（5、6、7），经验
12 × 6 ÷ 2 = 36 1 2 = 6
，面积为
∴每一个部分面积为72 + 36 = 108 ，阴影部分面积为108 × 3 = 324 ． 考 点 几何 四边形 平移旋转割补
9. （10分）有三个词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的 数字，不同的汉字代表不同的数字．如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19，且“尽”＞“山”＞“力”则“水”最 大等于 ． 答 案 解 析
⎧ ⎪ + 5 = 19
，而现在只剩下2和8了，满足条件．此时水最大为7．
(7) + (4) = 19
尽 (6) + 心 (2) + 尽 (6) + 力 (5) = 19
若水最大取8时，有⎨ 力 (5) + 可 (3) +
⎩ ⎪ (4) +
，但此时尽(6)、山(4)、力(5)，
穷 (1) + 水 (8) + 尽 (6) = 19
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 表不同的数字）．那么四位数¯ ABC D = ．
答 案 解 析
1563
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 显然A = 1 ，则简化为¯ BC D + E × F
× G × H = 1011
；
显然E、F 、G、H 中必存在偶数，则一定不含5（否则乘积个位为0，导致D为1）；则5一定在
1513~ 2016
），（1009~ 2016）．
考 点
杂题 抽屉原理 构造抽屉
8. （10分）如右图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12，图中阴影部分的面积是 ．
答 案
324
解 析
如图所示，
阴影部分被分为3个相同的部分，每一个部分由两个三角形构成；其中一个三角形为腰为12的 等腰直角三角形，面积为12 × 12 ÷ 2 = 72 ，另一个三角形底为12，高为12 ×
证无成立；
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ （4）无3无6：则¯ BC D含5，3，6，对应E × F ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
× G × H = 2 × 4 × 7 × 8 = 448
，
BC D = 1011 − 448 = 563
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ；综上，¯ ABC D = 1563 ．
B
、C 、D中；
× G × H
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 为9倍，而1011余3，则¯ BC D也余3，构造失败；
根据弃9弃3法判断E、F 、G、H 中是否含3、6： （1）有3有6：则E × F 倍；
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ （3）有6无3：则¯ BC D中含3，且E × F ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ （2）有3无6：则¯ BC D中含6，且E × F
考 点
杂题 逻辑推理 体育比赛问题
填空题Ⅲ（每小题12分，共60分）
11. （12分）如图，已知三角形ABC 的面积是90，D是AB中点，E、F 是BC 边上三等分点，K 、M 、N 是C A 边四等分点．图 中阴影部分的面积是 ．
答 案 解 析
20
整体减空白的思想，需要求出EQ : QK （求S△M QK ），连接F K．
= 57 − 36 = 21
“尽”>“山”>“力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是 有2(力 + 2) + 力 + 1 + 力 = 21 ，“力”为4，此时山= 5，心= 3，尽= 6； （1）式满足：6 + 3 + 6 + 4 = 19 ； （3）式：5 + 穷 + 水 + 6 = 19 ，水此时最大为7，穷为1，来推倒2式： （2）式：4 + 可 +
EQ : QK = S△M EF: S△M F K
，而等高模型，S△M EF= S△M F C= 2S△M F K，
1 1 + 2 S△EM K = 1 3 × 1 6 × 90 = 5
所以EQ : QK = S△M EF: S△M F K= 2 : 1 ，S△M QK= 同样S△M P N= 考 点
比赛结束之后，当对比预测和实际结果时，发现乙和丁预测对了两个人的名次，而甲和丙只预测对了一个人的名次．如果
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 甲、乙、丙、丁分别获得第A 、B、C 、D名，那么四位数¯ ABC D = ．
答 案 解 析
1423
对于第4名的预测各不相同，可知必有1个人预测对过，对第3名的预测要么对2个，要么没人 对，但若没人对，全部预测正确的次数最大为2 + 2 + 0 + 1 = 5 ，与共预测对了6次的事实相 矛盾，可见第3名要么是甲，要么是丁． 若第3名是甲，则甲的预测已有一个正确，故知甲的其它3个预测都是错误的，其中第1名不是 乙，进而丁的4个预测中第1、3名都预测错了，故第2、4名预测对了，所以甲是第4名，这与假 设矛盾，故假设错误，若有正确答案，第3名应该是丁． 若第3名是丁，则甲对第3、4名的预测就都错了，故知甲对第1、2名的预测中有1个事正确预 测；但同时丁对第1、2名的预测与甲完全相同，故知丁在第1、2、3名的预测中已经对了2个， 可见丁对第4名的预测是错误的，即甲不是第4名；若甲是第2名，则四人对第2名的预测全错， 进而无法满足共预测对了6次这个条件，可见甲不是第2名，故甲为第1名；进而由甲的预测可 知丙第2名，进而乙第4名，完全符合条件． 综上可知本题有唯一答案1423．