一元二次方程求解(公式法求解)
一元二次方程求解（公式法求解） 一．选择题（共2小题） 1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（ ） A．0＜a＜1 B．1＜a＜ C．＜a＜2 D．2＜a＜3 2．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（ ） A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3
二．填空题（共19小题） 3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是 ． 4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为 ． 5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ． 6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么= ． 7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ，条件是 ． 8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ． 9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 ． 10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的： 小明的解法从第 步开始出现错误；这一步的运算依据应是 ． 11．（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0； （2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 ．
12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为 ． 13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为 ． 14．方程x2﹣3x+1=0的解是 ． 15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac= ． 16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是 ． 17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是 ． 18．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为 ．
19．已知a＜b＜0，且，则= ． 20．方程x2﹣5x+3=0的解是 ． 21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．
三．解答题（共19小题） 22．解方程：x2﹣3x+1=0．
23．解方程：x2﹣5x+2=0． 24．解方程：x2﹣3x﹣7=0． 25．2x2+3x﹣1=0． 26．解下列方程 （1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；
（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12． 27．解下列方程： （1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法） 28．解方程：2x2﹣5x+1=0． 29．解方程： （1）x2﹣6x﹣6=0
（2）2x2﹣7x+6=0． 30．解方程：2x2+3x﹣1=0． 31．解方程：x2+3x+1=0． 32．（1）解方程：x2=3（x+1）． （2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0． 33．用公式法解下列方程 2x2+6=7x．
34．解方程：x2+3x﹣2=0． 35．解方程：2x2﹣3x﹣1=0． 36．解方程：3x2﹣6x﹣2=0． 37．用公式法解方程：x2+x﹣1=0． 38．解方程 （l）2x2﹣3x+1=0（公式法）
（2）3x2﹣6x+4=0（配方法） 39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．
40．解方程：3x2﹣4x﹣1=0． 一元二次方程求解（公式法求解） 参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题） 1．（2014•荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（ ） A．0＜a＜1 B．1＜a＜ C．＜a＜2 D．2＜a＜3 【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案． 【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=， ∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根， ∴a=， ∵2＜＜3， ∴3＜1+＜4， ∴＜＜2， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
2．（2014•淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（ ） A．x1=x2= B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=3 【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据
x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解． 【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6 ∴x====﹣±2， ∴x1=，x2=﹣3； 故选：C． 【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
二．填空题（共19小题） 3．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是 或 ．
【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可． 【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0； ∴x=； 当x＜0时，方程x2+x﹣1=0； ∴x=，
∴x=； 故答案为或． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．
4．（2014•下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为 6 ． 【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解． 【解答】解：方程x2﹣12x+31=0， 变形得：x2﹣12x=﹣31， 配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5， 开方得：x﹣6=±， 解得：x=6+或x=6﹣， 当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去， 则方程x2﹣12x+31=0的根为6+． 故答案为：6+ 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
5．（2015秋•彭阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0， 整理得：7x2+44x+1=0， 这里a=7，b=44，c=1， ∵△=442﹣28=1908， ∴x==．
故答案为：． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
6．（2012•呼和浩特模拟）若x2+3xy﹣2y2=0，那么= ． 【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可． 【解答】解：由原方程，得 两边同时乘以得：
（）2+3﹣2=0 设=t，则上式方程即为： t2+3t﹣2=0， 解得，t=， 所以=； 故答案是：． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．
7．（2016秋•新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ，条件是 b2﹣4ac≥0 ． 【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0． 【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0， 移项，得ax2+bx=﹣c 化系数为1，得x2+x=﹣
配方，得x2+x+=﹣+
即：（x+）2= 当b2﹣4ac≥0时， 开方，得x+=
解得：x=． 故答案为：，b2﹣4ac≥0． 【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．
8．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= 41 ，x1= ，x2= ． 【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x=求出即可． 【解答】解：2x2﹣7x+1=0， a=2，b=﹣7，c=1， ∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41， ∴x==，
∴x1=，x2=， 故答案为：41，，． 【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．
9．（2011•齐齐哈尔）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 a1=2+，a2=2﹣ ． 【分析】用公式法直接求解即可．
【解答】解：a= = =2±， ∴a1=2+，a2=2﹣， 故答案为：a1=2+，a2=2﹣． 【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：
解一元二次方程的方法公式法
解一元二次方程的方法公式法
一元二次方程是一种比较常见的方程类型，它对应一元二次函数。
用方程法求解一元二次方程需要满足四个步骤：
首先，将所给的一元二次方程化为ax²+bx+c=0的标准型，例如
3x²+6x-18=0，化成标准型后可得3x²+6x=-18；
其次，将方程的系数代入到二次公式中，即用a、b、c代替x²、x和常数，可得x=[-b±√（b²-4ac）]÷2a；
接下来，根据二次公式求出x，例如将上面的a=3、b=6、c=-18代入到二次公式中，可得x=[6±√（36-4×3×-18）]÷6=12±√288÷6；
最后，将求出的x代入到原方程中验证是否满足原方程，例如求出的x为12±√48，则将x=12±√48代入原方程3x²+6x-18=0中，验算它们的值是否相当，如果相等，则方程有解。
因此，求解一元二次方程的方程法公式满足四个步骤：将方程化为标准型ax²+bx+c=0 ；代入系数到二次公式中求出x；将求出的x代入到原方程中验证；验证结果是否相等。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
用公式法求解一元二次方程
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
作业
1、课本47页1,2题. 2、已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么, 门的高和宽各是多少?
3、一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子 上时,各边下垂的长度相同,求台布的长和宽
2 2 m ＋ 1 ＝ 1 m ＋1＝0 m＋1＝0 ① 或② 或③ （m＋1）＋（m－2）≠0 m－2≠0 m－2≠0
解：存在．根据题意，得：m2＋1＝2 m2＝1 m＝±1 当m＝1时，m＋1＝1＋1＝2≠0 当 m ＝－ 1 时， m ＋ 1 ＝－ 1 ＋ 1 ＝ 0( 不合题意，舍 去) ∴当m＝1时，方程为2x2－1－x＝0 a＝2，b＝－1，c＝－1 b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝1＋8＝9
2
b b c b 配方得：x2＋ x＋( )2＝－ ＋( )2 a 2a a 2a
2 b 2 b －4ac 即(x＋ ) ＝ 2a 4a2 ∵a≠0 ∴4a2>0
b c x ＋ x＝－ a a
2
2 b －4ac 2 当 b －4ac≥0 时， ≥0 4a2
b2－4ac b ∴x＋ ＝± 2a 2a －b± b2－4ac 即 x＝ 2a
（2）9x2+6x+1=0
（4） 2x2-9x+8=0
例2：某数学兴趣小组对关于 x的方程 2 (m 1) x m 1 (m 2) x 1 0 提出了下列问题．若使方程为一元二次方程，m是否存在？ 若存在，求出m并解此方程． 你能解决这个问题吗？ 解析：能．
(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2， 同时还要满足(m＋1)≠0. (2)要使它为一元一次方程，必须满足：
一元二次方程公式法求解教案使用
x2
5
x
1
•
5
2
2
5
2
配方得：__________________3_____2__3_____3___ _6____
（在二次项系数为1的前提下，配 一次项系数一半的平方）
x
5
2
49
整理得：_________________________6_____3__6__________
（方程整理为
因为 所以
即
b2 4ac 132 45 6 49
x b b2 4ac 2a
13 49
25
13 7
10
x1 -2
, x2
3 5
探究：用公式法解一元二次方程一般有哪几个步骤？
1．把方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ，进而确定a、b，c的值．
2．求出 b2 4ac 的值(先判别方程是否有实数根).
一元二次方程公式法求解教案
教学目标 1．掌握一元二次方程求根公式的推导过程，加强推理技能训练， 进一步发展逻辑思维能力． 2．要求学生熟练掌握用公式法解一元二次方程，培养计算能力． 3．渗透“特殊与一般”的观点，体会从特殊到一般的思维方式， 养成严谨、认真的态度和学风．
教学重点和难点 重点：一元二次方程求根公式的推导和应用． 难点：用配方法推导求根公式．
1
（3）方程两边都加上一次项系数____2__的平方；
（4）原方程变形为__x___m___2___n__ 的形式；
（5）如果等号右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如 果右边是负数，则一元二次方程_____实__数__解______．
问题： 用因式分解或者直接开平方法只能解决一些小儿科的一元二次 方程． 难度比较大的一元二次方程就得用配方法来求解，但是配方比 较麻烦，而且总在重复相同的解题过程． 因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程，得到根的一般 表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．
解一元二次方程的方法公式法
解一元二次方程的方法公式法要解一元二次方程，我们可以使用求根公式法，也叫做二次公式法。
该方法利用了二次方程的性质，通过求解方程中的系数来求得方程的根。
一元二次方程可以表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知系数，x是未知数。
我们首先来推导二次公式的具体形式。
设方程的两个根分别为x1和x2，那么根据二次方程的性质，我们有以下两个关系式：x1+x2=-b/a，(1)x1*x2=c/a。
(2)我们要将x1和x2表示为a、b、c的函数，可以将(1)式两边同时乘以x2，将(2)式两边同时除以x2，得到：x2*(x1+x2)=-b/a*x2，(3)x1*x2/x2=c/a。
(4)根据(4)式，我们得到了一个等式x1=c/a，接下来我们将(1)式和(3)式代入求得的x1中，可以得到：x2*(x1+x2)=-b/a*x2化简得到：x2^2+(x1*x2)=-b/a*x2由于x1*x2=c/a，我们可以写成：x2^2+c/a=-b/a*x2移项得到：x2^2+(b/a)*x2+c/a=0然后将方程两边同时乘以a，得到：a*x2^2+b*x2+c=0。
经过推导，我们得到了一个等价的二次方程a*x2^2+b*x2+c=0，其中x2是方程的根。
类似的，我们可以得到一个与x1有关的等价的二次方程。
综上所述，我们可以得到一元二次方程求根的公式：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a。
这个公式就叫做一元二次方程的求根公式或二次公式。
我们只需将方程的系数a、b、c代入公式中，就能求得方程的根。
需要注意的是，当方程无实根时，也就是判别式(b^2 - 4ac)小于零时，公式中的√(b^2 - 4ac)将导致虚数根的出现。
下面我们通过几个例子来演示一元二次方程的求根过程。
例1：解方程x^2-4x+3=0。
根据二次公式x1=(-(-4)+√((-4)^2-4*1*3))/(2*1)=(4+√(16-12))/2=(4+2)/2=3x2=(-(-4)-√((-4)^2-4*1*3))/(2*1)=(4-√(16-12))/2=(4-2)/2=1所以方程的根是x1=3和x2=1例2：解方程2x^2+5x-3=0。
一元二次方程公式法求根公式
一元二次方程公式法求根公式二次方程在整个数学学习中非常重要，尤其是在初中阶段。
它不仅在中考数学中占有很大的比重，而且在实践中也有广泛的应用。
其中方程根的求解是一元二次方程的重中之重。
下面分析一下初中一元二次方程的常见解法:[1]求解一元二次方程求解一元二次方程方程常见的有三种方法：（1）公式法：将一元二次方程化为一般形式 ax^2+bx+c=0 ,然后利用求根公式 ,x=\frac{-b\pm\sqrt{△}}{2a},(△=b^2-4ac)当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根；例1用公式法求解方程 x^2+4x+8=2x+11 的根。
解：化简得 x^2+2x-3=0△=2^2-4*1*(-3)=16 >0∴方程有两个不相等的实数根，利用公式得x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2*1} = \frac{-2\pm4}{2}∴ x=1 或者 x=-3该公式对任何一元二次方程都有效，更常用于求解一元二次方程的解。
（2）配方法：将一元二次方程化为 a^2=p 的形式当p>0时，方程有两个不相等的实数根；当p<0时，方程没有实数根；当p=0时，方程有两个相等的实数根。
（利用0划分是因为 \sqrt{p} 中， p\geq0 时, \sqrt{p} 才有意义，P<0时， \sqrt{p}没有意义）例2.用配方法求解方程 x^2+10x+16=0 的解解：化简得（x+5）^2-9=0进一步化简得（x+5）^2=9∴两边同时开方得 x+5=\pm3∴ x=-2 或者是 x=-8注意：在配方时我们常将二次项得系数化为1，然后加上一次项系数得一半的平方，再减去一次项系数得一半的平方，将常数项合并，然后将常数项移到等式右边，等式左边即为完全平方式，最后等式两边同时开方就可得到方程的根。
一元二次方程的解法(公式法)
你来总结：
通过今天的学习你有什么收获和困惑？
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac≥0时，它的根是：
x
b b 2 4 ac 2a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时， 方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根；
根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。
牛刀小试：
不解方程，判断下列方程的根的情况：
( 1)2x2+5=7x ;
( 2)4x(x-1)+3=0 ; (3)4(y2+0.09)=2.4y
牛刀小试：
用公式法解下列方程：
( 1) 2x2-9x+8=0 ;
( 2) 9x2+6x+1=0 ; ( 3) x(x-3)+5=0 .
即 x1 9,x2 2.
即 x1 x2
1 2
归纳总结
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时， 方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；
Hale Waihona Puke 把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
作业：
P43习题2.5第1、2题 。
谢谢各位老师！ 欢迎批评指导！！
2.3 一元二次方程的解法 ——公式法
温故知新
解一元二次方程的一般步骤：
化1 配方 移项 求解
温故知新
问题： 这就是说，对于一元二次方程
你会用配方法解下列一元二次方程吗？ ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它 2 的根是： ax +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程求解(公式法求解)
一元二次方程求解（公式法求解）一．选择题（共2小题）1．已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜32．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3二．填空题（共19小题）3．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．4．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为．5．已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．6．若x2+3xy﹣2y2=0，那么= ．7．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是．8．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ．9．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为．10．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是．11．（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．13．方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为．14．方程x2﹣3x+1=0的解是．15．已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac= ．16．方程x2﹣4x﹣7=0的根是．17．一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．18．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为．19．已知a＜b＜0，且，则= ．20．方程x2﹣5x+3=0的解是．21．若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则= ．三．解答题（共19小题）22．解方程：x2﹣3x+1=0．23．解方程：x2﹣5x+2=0．24．解方程：x2﹣3x﹣7=0．25．2x2+3x﹣1=0．26．解下列方程（1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12．27．解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）28．解方程：2x2﹣5x+1=0．29．解方程：（1）x2﹣6x﹣6=0（2）2x2﹣7x+6=0．30．解方程：2x2+3x﹣1=0．32．（1）解方程：x2=3（x+1）．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．33．用公式法解下列方程2x2+6=7x．34．解方程：x2+3x﹣2=0．35．解方程：2x2﹣3x﹣1=0．36．解方程：3x2﹣6x﹣2=0．37．用公式法解方程：x2+x﹣1=0．38．解方程（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．一元二次方程求解（公式法求解）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•荆州）已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜1.5 C．1.5＜a＜2 D．2＜a＜3【分析】先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．【解答】解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．2．（2014•淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（）A．x1=x2=B．x1=0，x2=﹣2 C．x1=，x2=﹣3D．x1=﹣，x2=3【分析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．【解答】解：∵a=1，b=2，c=﹣6∴x====﹣±2，∴x1=，x2=﹣3；故选：C．【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．二．填空题（共19小题）3．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当x ＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；∴x=；当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；∴x=，∴x=；故答案为或．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的运用．4．（2014•下城区一模）已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为6．【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【解答】解：方程x2﹣12x+31=0，变形得：x2﹣12x=﹣31，配方得：x2﹣12x+36=5，即（x﹣6）2=5，开方得：x﹣6=±，解得：x=6+或x=6﹣，当x=6﹣时，2x=12﹣2＜20﹣12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2﹣12x+31=0的根为6+．故答案为：6+【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．5．（2015秋•彭阳县月考）已知代数式7x（x+5）+10与代数式9x﹣9的值互为相反数，则x= ．【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：7x（x+5）+10+9x﹣9=0，整理得：7x2+44x+1=0，这里a=7，b=44，c=1，∵△=442﹣28=1908，∴x==．故答案为：．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．6．（2012•呼和浩特模拟）若x2+3xy﹣2y2=0，那么= ．【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．【解答】解：由原方程，得两边同时乘以得：（）2+3﹣2=0设=t，则上式方程即为：t2+3t﹣2=0，解得，t=，所以=；故答案是：．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．7．（2016秋•新沂市校级月考）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是，条件是b2﹣4ac≥0 ．【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程ax2+bx+c=0．【解答】解：由一元二次方程ax2+bx+c=0，移项，得ax2+bx=﹣c化系数为1，得x2+x=﹣配方，得x2+x+=﹣+即：（x+）2=当b2﹣4ac≥0时，开方，得x+=解得：x=．故答案为：，b2﹣4ac≥0．【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．8．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= 41 ，x1= ，x2= ．【分析】根据已知得出a=2，b=﹣7，c=1，代入b2﹣4ac求出即可，再代入公式x=求出即可．【解答】解：2x2﹣7x+1=0，a=2，b=﹣7，c=1，∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，∴x==，∴x1=，x2=，故答案为：41，，．【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用，关键是检查学生能否能运用公式求方程的解，本题主要培养了学生的计算能力．9．（2011•齐齐哈尔）一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为a 1=2+，a2=2﹣．【分析】用公式法直接求解即可．【解答】解：a===2±，∴a1=2+，a2=2﹣，故答案为：a1=2+，a2=2﹣．【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．10．（2016•丰台区一模）小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义．【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；故答案为四；平方根的定义．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．11．（2000•朝阳区）（1）解下列方程：①x2﹣2x﹣2=0；②2x2+3x﹣1=0；③2x2﹣4x+1=0；④x2+6x+3=0；（2）上面的四个方程中，有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示这个特点，并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式．【分析】（1）直接代入公式计算即可．（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．然后再利用求根公式代入计算即可．【解答】解：（1）①解方程x2﹣2x﹣2=0①，∵a=1，b=﹣2，c=﹣2，∴x===1，∴x 1=1+，x2=1．②解方程2x2+3x﹣l=0，∵a=2，b=3，c=﹣1，∴x==，∴x1=，x2=．（2分）③解方程2x2﹣4x+1=0，∵a=2，b=﹣4，c=1，∴x===，x1=，x2=．（3分）④解方程x2+6x+3=0，∵a=1，b=6，c=3，∴x===﹣3，∴x1=，x2=．（4分）（2）其中方程①③④的一次项系数为偶数2n（n是整数）．（8分）一元二次方程ax2+bx+c=0，其中b2﹣4ac≥0，b=2n，n为整数．∵b2﹣4ac≥0，即（2n）2﹣4ac≥0，∴n2﹣ac≥0，∴x====（11分）∴一元二次方程ax2+2nx+c=0（n2﹣ac≥0）的求根公式为．（12分）【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法．关键是正确理解求根公式，正确对二次根式进行化简．12．（2016秋•安陆市期中）已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为0 ．【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．【解答】解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程，实数的运算法则，求代数式的值的应用，能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．13．（2015秋•天津校级月考）方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为x=．【分析】先计算判别式的值，再利用求根公式法解方程，然后找出负数根即可．【解答】解：△=（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）=44，x==，所以x1=＞0，x2=＜0．即方程的负数根为x=．故答案为x=．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．14．（2010•无锡）方程x2﹣3x+1=0的解是x1=，x2=．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．【解答】解：a=1，b=﹣3，c=1，b2﹣4ac=9﹣4=5＞0，x=；∴x1=，x2=．故答案为：x1=，x2=．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．（2011秋•浠水县校级月考）已知一元二次方程2x2﹣3x=1，则b2﹣4ac= 17 ．【分析】先将已知方程转化为一般式方程，然后将a、b、c的数值代入所求的代数式，并求值即可．【解答】解：由原方程，得2x2﹣3x﹣1=0，∴二次项系数a=2，一次项系数b=﹣3，常数项c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）=9+8=17；故答案是：17．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在求b2﹣4ac的值时，需要熟悉该代数式中的a、b、c所表示的意义．16．（2013秋•邹平县校级期末）方程x2﹣4x﹣7=0的根是x1=2+，x2=2﹣．【分析】先求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出即可．【解答】解：x2﹣4x﹣7=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）=44，x=，x1=2+，x2=2﹣，故答案为：；【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式解一元二次方程．17．（2012秋•开县校级月考）一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是．【分析】利用公式法解此一元二次方程的知识，即可求得答案．【解答】解：∵a=3，b=﹣4，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）=40，∴x===．故答案为：．【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意熟记公式是关键．18．（2012秋•周宁县期中）有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为无解．【分析】将a=﹣6代入方程x2﹣3x﹣a=0中，利用公式法求出方程的解即可．【解答】解：输入的数a=﹣6＜0，代入得：x2﹣3x+6=0，这里a=1，b=﹣3，c=6，∵△=9﹣24=﹣15＜0，则此方程无解．故答案为：无解【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，找出a，b及c的值，代入求根公式即可求出解．19．（2012•张家港市模拟）已知a＜b＜0，且，则= ．【分析】根据题意得到a2﹣6ab+b2=0，把它看作为a的一元二次方程，利用求根公式得到a==（3±2）b，由于a＜b＜0，则a=（3﹣2）b，然后把a=（3﹣2）b代入所求的代数式中进行化简即可．【解答】解：法①∵+=6，∴a2﹣6ab+b2=0，∴a==（3±2）b，∵a＜b＜0，∴a=（3﹣2）b，∴====．法②：原式通分得：a2+b2=6ab；则（a+b）2=8ab，（a﹣b）2=4ab又a＜b＜0；故a+b=﹣，a﹣b=所以故答案为．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式为：x=（b2﹣4ac≥0）．也考查了二次根式的混合运算．20．（2002•达州）方程x2﹣5x+3=0的解是．【分析】观察方程，此题用公式法解答比较简单，首先确定a，b，c的值，判断方程是否有解，若有解直接代入公式求解即可．【解答】解：根据求根公式可知：x==．【点评】公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0的解为x=，需要熟练掌握．21．（2010秋•仪征市校级月考）若实数a，b满足a2+ab﹣b2=0，则=．【分析】把b看成常数，解关于a的一元二次方程，然后求出的值．【解答】解：a2+ab﹣b2=0△=b2+4b2=5b2．a==b∴=．故答案是：【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程，把b看成是常数，用求根公式解关于a的一元二次方程，然后求出的值．三．解答题（共19小题）22．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣3x+1=0．【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可．【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=1∴b2﹣4ac=5∴x=．故，．【点评】此题比较简单，考查了一元二次方程的解法，解题时注意选择适宜的解题方法．23．（2015•武汉模拟）解方程：x2﹣5x+2=0．【分析】找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=1，b=﹣5，c=2，∵△=25﹣8=17＞0，∴x=，则x1=，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．24．（2015•黄陂区校级模拟）解方程：x2﹣3x﹣7=0．【分析】利用求根公式x=来解方程．【解答】解：在方程x2﹣3x﹣7=0中，a=1，b=﹣3，c=﹣7．则x===，解得x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．熟记公式是解题的关键．25．（2008•北海）2x2+3x﹣1=0．【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．【解答】解：∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1=，x2=．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．26．（2016春•泰山区期中）解下列方程（1）用配方法解方程：2x2+5x+3=0；（2）用公式法解方程：（x﹣2）（x﹣4）=12．【分析】（1）根据配方法的步骤先两边都除以2，移项，配方，开方即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）把a=1，b=﹣6，c=﹣4代入求根公式x=计算即可．【解答】解：（1）方程两边同除以2，得：x2+x+=0，移项，得x2+=，配方，得x2+x+（）2=+（）2，（x+）2=，x+=或x+=，x1=﹣l；x2=；（2）原方程可化为：x2﹣6x﹣4=0，∵a=1，b=﹣6，c=﹣4；∴x===，∴x=3±，x1=3+，x2=3﹣；【点评】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是能正确配方，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．27．（2015春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，∵△=8+40=48，∴x==．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．28．（2015秋•渝北区期末）解方程：2x2﹣5x+1=0．【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法比较简单．【解答】解：∵a=2，b=﹣5，c=1，∴b2﹣4ac=17，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，采用公式法解一元二次方程时，要注意公式的熟练应用．29．（2015秋•大石桥市期末）解方程：（1）x2﹣6x﹣6=0（2）2x2﹣7x+6=0．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣6=0，b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）=60，x=，x 1=3+，x2=3﹣；（2）2x2﹣7x+6=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，2x﹣3=0，x﹣2=0，x1=，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程，难度适中．30．（2015秋•南京期末）解方程：2x2+3x﹣1=0．【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，∵△=9+8=17，∴x=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．31．（2011•武汉）解方程：x2+3x+1=0．【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．【解答】解：a=1，b=3，c=1∴x==．∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，此法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a，b，c都是常数），若b2﹣4ac≥0，则方程的解为x=．32．（2016春•绍兴期末）（1）解方程：x2=3（x+1）．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【分析】（1）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）整理得：x2﹣3x﹣3=0，∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）=21，x=，∴x1=，x2=；（2）x2﹣2x﹣24=0，x2﹣2x=24x2﹣2x+1=24+1，（x﹣1）2=25，x﹣1=±5，x1=6，x2=﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．33．（2015秋•深圳校级期末）用公式法解下列方程2x2+6=7x．【分析】方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：方程整理得：2x2﹣7x+6=0，这里a=2，b=﹣7，c=6，∵△=49﹣48=1，∴x=，解得：x1=2，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．34．（2014•集美区一模）解方程：x2+3x﹣2=0．【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可．【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题考查解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．35．（2012•宁波模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1=0．【分析】利用公式法解方程即可求解．【解答】解：2x2﹣3x﹣1=0，a=2，b=﹣3，c=﹣1，∴△=9+8=17，∴x=，x1=，x2=．【点评】此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式即可解决问题．36．（2014秋•开县期末）解方程：3x2﹣6x﹣2=0．【分析】先根确定a=3，b=﹣6，c=﹣2，算出b2﹣4ac=36+24=60＞0，确定有解，最后代入求根公式计算就可以了．【解答】解：∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=，∴x1=，x2=【点评】本题考查了运用求根公式法解一元二次方程，解答过程中先要把方程化为一般形式，再确定a、b、c的值，求出△的值判断有无解是关键．37．（2015秋•潮州期末）用公式法解方程：x2+x﹣1=0．【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里a=1，b=1，c=﹣1，∵△=1+4=5，∴x=，则x1=，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．38．（2015秋•陇县期末）解方程（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）【分析】（1）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；（2）方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）这里a=2，b=﹣3，c=1，∵△=9﹣8=1，∴x=，解得：x1=1，x2=；（2）方程整理得：x2﹣2x=﹣，配方得：x2﹣2x+1=﹣，即（x﹣1）2=﹣，则此方程无解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．39．设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【分析】求出二根x1=，x2=，从中消去k得x1x2+3x1+2=0，分解得x1。
公式法解一元二次方程及答案详细解析
21.2.2公式法一．选择题（共5小题）1．用公式法解一元二次方程x2﹣5x=6，解是（）A．x1=3，x2=2 B．x1=﹣6，x2=﹣1 C．x1=6，x2=﹣1 D．x1=﹣3，x2=﹣22．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3=5x，下列叙述正确的是（）A．a=﹣4，b=5，c=3 B．a=﹣4，b=﹣5，c=3C．a=4，b=5，c=3 D．a=4，b=﹣5，c=﹣33．（2011春•招远市期中）一元二次方程x2+c=0实数解的条件是（）A．c≤0 B．c＜0 C．c＞0 D．c≥04．（2012秋•建平县期中）若x=1是一元二次方程x2+x+c=0的一个解，则c2+c=（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2013•下城区二模）一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的解是（）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．0或2二．填空题（共3小题）6．（2013秋•兴庆区校级期中）用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=；b=；c=．7．用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1=0时，先找出对应的a、b、c，可求得△，此方程式的根为．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m=0，用配方法解此方程，配方后的方程是．三．解答题（共12小题）9．（2010秋•泉州校级月考）某液晶显示屏的对角线长30cm，其长与宽之比为4：3，列出一元二次方程，求该液晶显示屏的面积．10．（2009秋•五莲县期中）已知一元二次方程x2+mx+3=0的一根是1，求该方程的另一根与m的值．11．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．12．（2012•西城区模拟）用公式法解一元二次方程：x2﹣4x+2=0．13．（2013秋•海淀区期中）用公式法解一元二次方程：x2+4x=1．14．（2011秋•江门期中）用公式法解一元二次方程：5x2﹣3x=x+1．15．（2014秋•藁城市校级月考）（1）用公式法解方程：x2﹣6x+1=0；（2）用配方法解一元二次方程：x2+1=3x．16．（2013秋•大理市校级月考）解一元二次方程：（1）4x2﹣1=12x（用配方法解）；（2）2x2﹣2=3x（用公式法解）．17．（2013•自贡）用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．18．（2014•泗县校级模拟）用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．19．（2011秋•南开区校级月考）（1）用公式法解方程：2x2+x=5（2）解关于x的一元二次方程：．20．（2011•西城区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数值时，用公式法求该方程的解．21．2.2公式法答案一．选择题（共5小题）1．C考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：运用公式法，首先确定a，b，c的值，然后判断方程是否有解，如有解代入公式即可求解．解答：解：∵x2﹣5x=6∴x2﹣5x﹣6=0∵a=1，b=﹣5，c=﹣6∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）=49 ∴x=∴x1=6，x2=﹣1．故选C．点评：解一元二次方程时要注意解题方法的选择，配方法和求根公式法适用于任何一元二次方程，不过麻烦．还要注意题目有无解题要求，要按要求解题．2．B考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．解答：解：∵﹣4x2+3=5x∴﹣4x2﹣5x+3=0，或4x2+5x﹣3=0∴a=﹣4，b=﹣5，c=3或a=4，b=5，c=﹣3．故选B．点评：此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．3．A考点：根的判别式．专题：计算题．分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．解答：解：∵一元二次方程x2+c=0有实数解，∴△=b2﹣4ac=﹣4c≥0，解得：c≤0．故选A点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．4．B考点：一元二次方程的解．分析：根据方程的解的定义，把x=1代入已知方程可以求得c的值，然后把c的值代入所求的代数式进行求值．解答：解：依题意，得12+1+c=0，解得，c=﹣2，则c2+c=（﹣2）2﹣2=2．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．5．C考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：先移项得到x（x﹣2）+x﹣2=0，再把方程左边方程得到（x﹣2）（x+1）=0，元方程转化为x﹣2=0或x+1=0，然后解一次方程即可．解答：解：∵x（x﹣2）+x﹣2=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选C．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．二．填空题（共3小题）6．a=﹣1；b=3；c=﹣1．考点：解一元二次方程-公式法．分先移项，找出各项系数即可．解答：解：﹣x2+3x=1，﹣x2+3x﹣1=0，a=﹣1，b=3，c=﹣1，故答案为：﹣1，3，﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号．7．△=13，x1=，x2=．考点：解一元二次方程-公式法．分析：找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为13大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．解答：解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x=，∴原方程的解为x1=，x2=．故答案为：13，x1=，x2=．点评：此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．8．（x﹣1）2=m+1．考点：解一元二次方程-配方法．分析：把常数项﹣m移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解答：解：把方程x2﹣2x﹣m=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=m，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=m+1，配方得（x﹣1）2=m+1．故答案为（x﹣1）2=m+1．点评：本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．三．解答题（共12小题）9．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：由长与宽之比为4：3，可设长为4x，则宽为3x，根据勾股定理可得：（4x）2+（3x）2=302；得出x后，即可求出显示屏的面积．解答：解：由题意可设长为4x，则宽为3x，根据三角形性质，得：（4x）2+（3x）2=302解得：x=6，x=﹣6（舍去）所以长为24cm，宽为18cm该液晶显示屏的面积为24×18=432cm2．即该液晶显示屏的面积为432cm2．点评：本题主要考查一元二次方程的应用，根据三角形性质，列出方程即可．面积=长×宽．10．．考点：一元二次方程的解；根与系数的关系．专题：计算题．分析：一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；亦可利用根与系数的关系去做．解答：（解法一）解：当x=1时，代入原方程得：12+m+3=0，解得m=﹣4；当m=﹣4时，原方程可化为：x2﹣4x+3=0，上式可化简为（x﹣1）（x﹣3）=0，∴方程的另一个根为x=3．（解法二）解：假设方程的另一个根为x0，∵x=1由根与系数关系可知：x0×1=3，∴x0=3；又由根与系数关系可知：x0+1=﹣m，即3+1=﹣m；∴m=﹣4．点此题解法灵活，选择自己喜欢的一种解法即可．11．考点：一元二次方程的定义．分析：本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．解答：解：∵x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，∴①，解得；②，解得；③，解得；④，解得；⑤，解得．综上所述，，，，．点评：本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数．12．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式的值为8大于0，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．解答：解：∵a=1，b=﹣4，c=2，…（1分）∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×2=8，…（3分）∴x==2±，…（4分）∴原方程的解为x1=2+，x2=2﹣．…（6分）点评：此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．13．考点：解一元二次方程-公式法．分移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．解答：解：原方程可化为x2+4x﹣1=0，a=1，b=4，c=﹣1，b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣1）=20＞0，x=，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．14．考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．解答：解：方程化简为：5x2﹣4x﹣1=0，这里a=5，b=﹣4，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴x==，∴x1=1，x2=﹣．点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．15．考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）利用求根公式x=解方程；（2）将常数项移到等式的右边，含有未知数的项移到等式的左边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，构成完全平方公式形式；最后直接开平方即可．解答：解：（1）∵方程x2﹣6x+1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣6，常数项c=1，∴x===3±2，∴x1=3+2，x2=3﹣2；（2）由原方程，得x2﹣3x=﹣1，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣3x+=﹣1+，∴（x﹣）2=，∴x=±，∴x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法、配方法．利用公式法解方程时，需熟记求根公式．16考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．分析：（1）根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，一次项移到等号的右边，再在两边同时加上一次项系数的一半，配成完全平方的形式，然后开方即可；（2）首先找出公式中的a，b，c的值，再代入求根公式x=求解即可．解答：解：（1）4x2﹣1=12x，4x2﹣12x=1，x2﹣3x=，x2﹣3x+=+，（x﹣）2=，x﹣=±，x1=+=，x2=﹣=；（2）2x2﹣2=3x，2x2﹣3x﹣2=0，∵a=2，b=﹣3，c=﹣2，∴x===，x1=2，x2=﹣．点评：此题考查了配方法和公式法解一元二次方程，关键是熟练掌握配方法的步骤和公式法的步骤，公式法解题时要注意将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．17．考点：解一元二次方程-配方法．分析：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+=±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．点评：本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18．考点：解一元二次方程-公式法；配方法的应用．专题：计算题．分析：由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右边，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．解答：解：ax2+bx+c=0（a≠0），方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+=±=±，∴x=．点评：此题考查了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用．19．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．分析：（1）先把方程化为一般形式：2x2+x﹣5=0，则a=2，b=1，c=﹣5，△=12﹣4×2×（﹣5）=41，再代入求根公式计算即可；（2）先把方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，再利用因式分解法求解即可．解答：解：（1）方程化为一般形式为：2x2+x﹣5=0，∴a=2，b=1，c=﹣5，∴△=12﹣4×2×（﹣5）=41＞0，∴x=，∴x1=，x2=；（2）方程化为一般形式：x2﹣4bx﹣（a+2b）（a﹣2b）=0，左边分解因式，得[x﹣（a+2b）][x+（a﹣2b）]=0，∴x1=a+2b，x2=﹣a+2b．点评：本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求和结构特点，选择适当的方法解方程．20．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．分析：（1）根据一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，即可得出k的取值范围；（2）根据k的取值范围，得出符合条件的最大整数k=1，代入方程求出即可．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个不相等的实数根，∴△=16﹣4×2k＞0．解得k＜2．（2）∵k＜2，∴符合条件的最大整数k=1，此时方程为x2+4x+2=0．∴a=1，b=4，c=2．∴b2﹣4ac=42﹣4×1×2=8．代入求根公式，得．∴．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，此题比较典型同学们应熟练掌握．。
一元二次方程解法公式法
一元二次方程解法公式法一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是解法公式法。
一元二次方程解法公式法是通过使用一元二次方程的解法公式来求解方程的根。
解法公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以分别计算出方程的两个根。
我们需要确定一元二次方程的系数a、b、c的值。
然后，代入解法公式中进行计算。
在计算过程中，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
根据判别式的值，我们可以得出方程的根的情况。
如果判别式大于0，则可以直接使用解法公式计算出两个实根。
如果判别式等于0，则可以得到一个实根，另一个实根与之相等。
如果判别式小于0，则可以得到两个虚根，它们是共轭复数。
解法公式法是一种简便而且通用的方法，适用于解任何一元二次方程。
通过解法公式法，我们可以快速求解一元二次方程的根，并得出方程的解的情况。
下面我们通过一个例子来演示一元二次方程解法公式法的具体步骤。
例题：解方程x^2 + 4x + 4 = 0。
根据解法公式法，我们可以得到a=1，b=4，c=4。
计算判别式的值：判别式 = 4^2 - 4*1*4 = 0。
由于判别式等于0，说明方程有两个相等的实根。
然后，代入解法公式计算根的值：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*4)) / 2*1。
化简得：x = (-4 ± √(0)) / 2。
由于根号内的值为0，因此方程的根为x = -2。
经过计算，我们得到方程x^2 + 4x + 4 = 0的解为x = -2。
通过这个例子，我们可以清楚地看到一元二次方程解法公式法的应用过程。
根据方程的系数，确定a、b、c的值，计算判别式，然后代入解法公式进行计算，最后得出方程的根的值。