第四章格林函数法1
注1：当M 0取在区域之外或边界上，可用同样的方法导出公式
4 u ( M 0 ), 1 1 u [u ( ) ]dS 2 u ( M 0 ), n r r n 0,
M 0在内； M 0在上； M 0在外。
注2：若u不是调和函数,即2u F，只要u C 2 () C1 ()， 我们可以得到类似公式
u u ds ds n n r R D
sin Rd 4 R 0 0 4
2
由牛曼内问题有解的必要条件知该问题无解。
3）平均值公式
定理3：设函数u(M )在区域内调和，M 0 ( x0 , y0 , z0 )为其中 任一点，a是以M 0为中心，以a为半径且完全落在内部 的球面，则下面平均值公式成立 1 u(M 0 ) udS 2 4 a a
P Q R ( ) dV Pdydz Qdzdx Rdxdy (1) x y z 其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式：
P Q R ( ) dv x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
取u为调和函数，并假定且在上有一阶连续偏导数，v 1/ r则有
1 1 u r (u )dS 0 n r n
1 1 1 r r 注意到：在球面 上， 2 n r
1 1 r 因此可得 u dS 2 n 其中u
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1). 调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其 在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在 内任一点的值。
定理1：设曲面是区域的边界，如果u在 上有一阶 连续偏导数，在内调和，则在内任一点M 0 ( x0 , y0 , z0 )
1 u(M 0 ) 4 1 1 u [u ( M ) ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
其中
rMM 0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2
设u( x, y, z ), v( x, y, z ) C 2 () C1 (), 在Guass公式中令 v v v P u ,Q u , R u x y z P u v 2v Q u v 2v R u v 2v 则 u 2 , u 2 , u 2 , x x x x y y y y z z z z
2）第二边值问题：
u f . (n是的外法向量,f 是连续函数)。 n 要求的解u C 2 () C1 (), 即u在内有二阶连续偏导数， 边界条件为 :
在上有一阶连续偏导数，满足Laplace方程,且在边界上满足 边界条件。
第 二 边 值 问 题 也 称 为 牛 曼 （ Neumann ） 问 题 。
3） Dirichlet 外问题
边界条件为: u f ，f 是连续函数.
要求的解u ( x, y, z ), 在外部区域内调和，在 上连续， 并且满足边界条件。
4） Neumann外问题
u ' 边界条件为 : ' f , ( f 是连续函数,n 是的内部区域内调和，在 上有一阶
要求的解u C 2 () C 0 (),即u在内有二阶连续偏导数，在( ) 上连续，满足Laplace方程,且在边界上与f 吻合。
第一边值问题也称为狄利克莱 (Dirchlet) 问题，简称狄氏问题。
具有二阶连续偏导数且满足Laplace方程的连续函数称为调和函数。
狄利克莱问题换一种说法：在区域内找一个调和函数，它在 边界上的值为已知函数f .
v u vdV u vdV u dS n
2
v u vdV u dS u vdV n
2
第一格林公式
若令上公式中u, v对换，可得 u 2 v udV v dS u vdV n
1 1 u [u(M )( 2 ) ]dS r r n a
1 4 a 2
u(M )dS
a
4）Laplace方程解的唯一性问题
定理4：狄氏问题在C 2 () C1 ( （为了利用格林函数）内解唯一， ) 实际上在C 2 () C 0 ()内解是唯一的；牛曼问题除相差一常数外 解也是唯一的。
2 2
中取u为所给的调和函数,v 1, 则
u dS 0 n
即
f dS 0
事实上，这个条件也是牛曼内问题有解的充分条件.
2 2 2 u u u x 2 y 2 0, r R; 例： 是否有解？ u sin , 0 2 , 4 n r R
/ K
1 1 FdV FdV r r
2）牛曼内问题有解的必要条件
定理2：设u是以为边界的区域内的调和函数，在 上有 u 一阶连续偏导数，则牛曼内问题 （ f ）有解的必要条件是 n
f dS 0
v u 证明：在第二格林公式 (u v v u )dV (u v )dS n n
证明：将调和函数的积分表达式应用到a可得
1 u(M 0 ) 4 1 1 u [u( M ) ( ) ]dS n r r n a
1 4
1 4 a 2
1 1 1 u [u(M ) ( ) ]dS 4 r r r n a
u u(M )dS dS 4 a a n a 1
1
1 因 有奇异点M 0，故以M 0 ( x0 , y0 , z0 )为中心，以一充分小的正数 r 1 为半径作一球面 ,在中挖去 包含的区域K，则知函数 在 r \ K 任意次可微。
v u 在第二格林公式 (u v v u )dV (u v )dS， n n K
代入Guass公式可得 2v 2v 2v u v u v u v [u( 2 2 2 ) ( )]dV x y z x x y y z z v v v u[ cos(n, x) cos(n, y) cos(n, z )]dS x y z v 2 即 u vdV u vdV u dS n
连续偏导数，且满足边界条件.
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上， 这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
u 0, r 1, r x 2 y 2 z 2 u r 1 1
易知u 1, u 1/ x 2 y 2 z 2 1/ r都是上定解问题的解，这就出现了 解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件.
udS 4 u
udS
4
2
是函数u在球面 上的平均值.
1 u 1 u u u u 同理可得 dS dS 4 .此处 是 在 上的平均值. r n n n n n
____
____
1 ____ 1 u u r 将两式带入可得 (u )dS 4 u 4 0 n r n n
lim u ( x, y, z ) 0
r
三维问题
r 时， u ( x, y） 有界 二维问题
§2 格林公式
高斯定理 : 设空间有界闭区域, 其边界曲面为光 滑或者分片光滑闭曲面, P( x, y, z ), Q( x, y, z), R( x, y, z) P Q R 及其一阶偏导数 , , 在上连续, 则 x y z
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，令w u1 u2 .则对于狄氏问题， 牛曼问题,w分别满足
证明： 设M 0 ( x0 , y0 , z0 )为内任意一点，我们要求调和函数
在该点的值，为此构造一个函数
1 v ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 r
1 函数 除点M 0 ( x0 , y0 , z0 )外处处满足拉氏方程，它在研究三维Laplace r 方程起重要作用，通常称为三维Laplace方程的基本解。
当 0时，有 lim u u ( M 0 ), (u连续)
1 1 1 u r u(M 0 ) (u )dS 4 n r n 1 4
u u lim 4 0(u是一阶连续可微，则 有界） 0 n n
____
0
1 1 u (u ( M ) ( ) )dS n rMM 0 rMM 0 n
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的
场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
格林函数法求解场方程得到是积分形式的解
§1拉普拉斯方程边值问题的提法
三维拉普拉斯方程
2u 2u 2u u 2 2 2 0, ( x, y, z) x y z
2
边界条件有三种类型，应用较多的是第一、第二类边界条件。 1）第一边值问题：
边界条件 u f ， (是的边界,f 是上的连续函数)
牛曼（Neumann）问题换一种说法：在区域内找一个调和函数， 在 上有一阶连续偏导数，且满足边界条件。
前面两种边值问题都是在内求解拉氏方程，故称此类 方程为内问题。
有这样一类问题，归结为在区域外部求调和函数，满足边界条件。 像这样的问题称为Laplace方程外问题。
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格林函数法
（14.2.12）
考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r )
T
G (r , r0 ) n
dS
（14.2.13）
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f ( r0 )dV0 ( r0 )
T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A S d
AdV =
T
divAdV (14.1.1)
T
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面 的积分化为体积分
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
T0
(14.3.1)
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
(14.3.2) (14.3.3)
14.3.1 三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对（14.3.3）式两边在球内积分
r0 0
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
数理方程：第10讲格林函数法
的解如果存在, 必可以表示为
uM0
f
u
v
1
n 4
1 n rM0M
dS
u
n
4
1 rM 0M
v dS
令 GM , M0 4
1 v, 则
rM0M
uM 0
u
GdS n
GM , M 0 称为拉普拉斯方程的格林函数.
如果能找到格林函数中的 v , 并且它在
上有一阶连续偏导数，
则狄利克雷问题 2u 0, u
u | f
格林公式中取 u 为上述调和函数, v 1 , 则
有解的必un要dS条件0.为所函以数紐曼满f内足问题(
u n
|)有f
fdS 0
事实上, 这也是紐曼内问题有解的充分条件.
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题
设 u1 , u2 是定解问题的两个解，则它们的
差 v u1 u2 必是原问题满足零边界条件的
(u2v v2u)dV
(u
v n
v
u n
)dS
可得
v u
(u
n
v
n
)dS
0
与
u
M
0
1
4
u
M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n
dS
相加得
u M0
u
v
n
1
4
1 n rM0M
1
4
rM
0M
v
u n
dS
如果能找到调和函数 那么上式意味着
v
,
使得
v
|
4
1
rM0M
,
uM0
拉普拉斯方程的格林函数法-4(定稿)教材
u v u v u v x x y y z z
dx dy dz
v dS n
上式移项后，称
2
其中 u ( i j k ) u grad u 为 u 的梯度。 x y z
( 4 .7 )
v dS u v dV u v d V u n
u ( x, y, z ) ,它在闭区域 （或记作 ）上连续，在 内有连续偏导数，且满足拉普
拉斯方程，在 上与已知函数 f 相重合，即
u
f
第一边值问题也称为迪利克莱（Dirichlet)） 问题，或简称为迪氏问题。
§2.3中所讨论过的问题，就是圆域内的狄氏问题。
调和函数——谈到拉普拉斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的 连续函数，称为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法：在区域 内 寻找一个调和函数，使它在边界 上的值为已知！
u nΒιβλιοθήκη f（4） 牛曼外问题 在光滑的闭曲面的边界 上给出连续函数 f ，要求寻找这样一个函数 u ( x , y, z ) ，它在
外部的区域 内是调和函数，在 上连续，在 无穷远处满足条件（4.3），而且它在 上任意一点处的法向导数
u 存在，并满足 n
同理，对第二项有
1 u 1 u u dS dS 4 ( ) r n n n
0
y
其中(
u u ) 是函数 在小球面 上的平均值。 n n
x
( 1 rMM 0 n )
将上面两项结果代入 (4.11) 式，可得
u
dS
数-第四章 拉普拉斯方程的格林函数法作业题
式中, γ是向量OM0与OM的夹角. M是圆内任一点,rOM=ρ,以及 2 2 1/ 2 rMM 0 = [ ρ 0 + ρ 2 ρ 0 ρ cos γ ]
rMM1 = [ ρ + ρ 2 ρ1 ρ cos γ ]
2 1 2
1/ 2
所以狄氏问题的解为:
G u(M 0 ) = ∫ f (M ) dS n Γ
y
M 0 ( x0 , y0 )
M ( x, y )
x
o
n
M1(x0,-y0)
在上半平面:y>0外找出点M0 关于边界x轴:y=0的像 点(对称点) M1,然后在M1 上放置适当的负电荷,由 它所产生的负电位-v(是所求的调和函数v)与点M0 处单位电荷产生的电位在边界x轴:y=0上相互抵消. 此时,放置在M0 , M1处的电荷所形成的电场在上半 平面内M点的电位就是所要求的格林函数G(M,M0): 1 1 1 1 1 1 G(M , M 0 ) = ln v = ln ln 2π rMM 0 2π rMM 0 2π rMM1 式中 rMM = [( x x0 ) 2 + ( y y0 ) 2 ]1/ 2 0
rMM1 = [( x x0 ) + ( y + y0 ) ]
2
2 1/ 2
为求得拉普拉斯方程在上半平面y > 0内的 狄利克莱问题的解: G G u(M 0 ) = ∫ u(M ) dS = ∫ f ( x) dx n n y =0 x轴 y =0 须计算G对n在边界y=0处的偏导.由于在平面 y = 0上的外法线方向是Oy 轴的负向,所以
G n
y =0
G =x0 ) + y0 1
求得拉普拉斯方程在上半空间z > 0内的狄 利克莱问题的解:
4格林函数法
u( r ) f ( r0 ) dr0 4 | r r0 |
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
数学物理方法格林函数
演化问题的格林函数
演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到 问题 等价问题
Gt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G | t 0 ( x )
Gtt a 2 G 0 G |x 0 G |x L 0 G |t 0 0 G | t t 0 ( x )
演化问题的基本解
无界输运问题的求解
2 ut a u xx f ( x, t ) u |t 0 0
f ( x, t ) d d f ( , ) ( x ) (t )
0
t
2 Gt a G ( x ) (t ) G |t 0 0
2 ( x ) t exp 2 4a (t ) u d d f ( , ) 2a ( t ) 0
u( x, t ) d d f ( , )G( x, ; t, )
0
t
( x ) 2 exp 2 4 a ( t ) G 2a ( t )
应用（求解数学物理方程的格林函数法）
稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到 原问题 方程
u f ( r )
点源问题
G ( r r ' )
点电荷电场
V q (r r ' ) / 0
解
u
f (r ' )d ' 1 q G V 4 | r r ' | 4 | r r ' | 4 0 | r r ' |
第四章 Green函数法(all)
u(r0 ) G( r ,r0 ) f (r)dV G( r ,r0 )(r)dS
T
意义：Poisson方程边值问题的解在 T 内任一 点的值可由Green函数 G(r,r0 ) 和问题的已知函数 f 和 φ 的积分表示.
由以上讨论知, 要求解Poisson方程边值问题, 就要首先求出相应的Green函数。要知区域 T上 的Green函数, 还必须解一个特殊的定解问题。以 第一边值问题为例, 须求解
减T 去①式得:
u[vx cos( n, x) v y
(vu uv)dV
T
co(sv(nun,
y)uvvz
cos(
)dS
n
n, z)]dS
……②
即
第二Green公式
uvdV
T
u
v dS n
(uxvx
T
uyv y
uzvz )dV……①
第一Green公式
2.基本解
定义：设 M ( r ), M0(r0 ) 为n维空间中的点，
ln[1
02
20
cos(
)]
k 1
k 0
cos k(
k
)
有
G1
|
1
4
k 1
0k
k
(cos k
cos k
sin k
sin k
)
通过比较系数可得
a0 0,
ak
k 0
4 k
cos k ,
bk
0k 4 k
sin k
从而得:
G1( , ;0 ,
)
1
4
(0 )k
k1 k
cos k(
)
1
格林函数法
M2 K1 M 1 K2 M 3 S2 S1
Kn N Mn Sn
l
图4.1
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2 格林函数
由于调和函数有积分表示:
1 u(M 0 ) 4
u 0, x , 又因为Dirichlet边值问题 的解唯一,故希望 u f
u ( M ) u ( M 1 ) 。设 M 2 是 K 1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
1 u(M 0 ) 4
及由性质1，有
1 1 u a u n ( r ) r n dS
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
又因为，在
a
a
上式称为调和函数的球面平均值公式。 性质3 (极值原理)
1 1 1 ，所以 上有 ( ) 2 2 n r r a 1 u(M 0 ) udS. 2 a 4a
1 u 1 u dS dS 0 a n r n a
设函数 u( x, y, z ) 在区域 内调和，
它在 上连续且不为常数，则它的最大值与最小值
只能在边界上达到。 推论1 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在
上连续且在边界 上有 u v，则在 内有 u v.
u u 0, | f . n
性质2 (平均值定理)
u ndS f dS 0.
格林函数法(课堂PPT)
林函数
25.06.2020
.
12
计算电磁学基础
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
VPgQPgQdV Ñ SPQgdS
• 若将第一格林定理相减，即得矢量第二格林定理
VQgPPgQdV Ñ SPQQPgdS
25.06.2020
.
27
计算电磁学基础
• 格林定理说明区域中的场与边界上的场之间的关系。因 此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边 界上场的求解问题。
• 此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满 足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即 可利用格林定理求解另一种场的分布特性。
(x)Q (xx) Q (xx )0 , (x≠x’点)
Q (xx)dVQ ,(积分区域V包含x=x’点)
V
25.06.2020
.
6
计算电磁学基础
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
(x)VG (x,x)(x)dV 0S [G (x ,x ) n (x ) n G (x ,x )d S ]
这就是用Green函数求解静电问题的一种形式解。
25.06.2020
.
30
计算电磁学基础
在第一类边值问题中，格林函数满足边界条件
格林函数方法
第四章 格林函数方法自强●弘毅●求是●拓新4.3.1 格林函数方法的基本思想【例4-4】设在线性、各向同性、均匀无界空间有一密度为 r的点电荷分布，电荷体的体积为V，求电荷体的电位分布。
解：区域V上体电荷在无界空间产生的电位：场点r 2r r rlimrr0r rr' dV 源点r'4.3.1 格林函数方法的基本思想在 ri ' 处电荷量为 r' dV 的点电荷在空间产生的电位为：dr r' dV 4π r r' 引入格林函数：G r,ri'1 4π r r'根据叠加原理，电位函数表示为： r 由体积分定义，得：i r4π' dV r r' G r,ri' r' dV i r V r4π' dV r r' G r,ri' r' dV V4.3.1 格林函数方法的基本思想格林函数方法的基本思想： 将任意激励表示为许多单位激励的叠加组成，任意激励通过线性系统的响应表示为许多单位激励响应的叠加。
通过求解单位激励的响应达到求解任意激励源的响应，从 而使问题的求解得到简化。
4.3.2 静态电磁场的格林函数方法静态电磁场满足Poisson方程，其形式为：2r r M MnShM其中M表示边界S上的变量，α，β是不同时为零的常数 0：第一类边界条件 0 ：第二类边界条件4.3.2 静态电磁场的格林函数方法 引入格林函数 G r,r' ，将其代入Poisson方程，得： 2G r,r'1 r r' G r,r'G r,r' n S0进一步处理，得：2rGr,r' 2G r,r' rdV V1 VrGr,r'dV1 r V r' rdV4.3.2 静态电磁场的格林函数方法对方程左边应用格林公式：( 2)dV dS ，右边求体积分得：VS r V r G r, r 'dVS r G r,r'nG r,r' rndS 1如果 0 ，对（1）式进一步化简得： r' rGr,r' VdV Shr Gr,r' ndS2存在矛盾：我们引入中格林函数Gr,r' 表示的是点 r' 的源在 r产生的场，（2）式中格林函数Gr,r' 表示的是 r 点的源在 r' 产生的场。