广义高斯求积公式的渐进计算与数表
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
计算方法-4.6-4.7龙贝格、高斯求积公式
4 1 T1 ( k 1) T0 ( k ) T0 ( k 1) 3 3 16 1 T2 ( k 1) T1 ( k ) T1 ( k 1) 15 15 64 1 T3 ( k 1) T2 ( k ) T2 ( k 1) 63 63
k 1, 2 ,
引入 T1 (k 1),令
S n S 2 k 1
即
Sn S2 k 1 T1 ( k 1)
S 2 n T1 ( k )
--------(6)
当然
2016/8/14
10
因此由复合Simpson公式的余项
I S2 n 1 ( S2 n Sn ) 15
Cn
可得 令 即
1次,3次和5次
复合梯形、复合Simpson、复合Cotes公式的收敛阶分别为
2阶、4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度,复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢?
2016/8/14
2
一、复合梯形公式的递推化
将定积分I f ( x)dx 的积分区间 [a , b]分割为n等份 a ba x a jh , j 0 , 1 , , n 各节点为 h j n 复合梯形(Trapz)公式为
n 1 ba Tn [ f ( a) 2 f ( x j ) f (b)] 2n j 1
b
--------(1)
如果将 [a, b]分割为2n等份，而h (b a) /n不变, 则
n 1 n 1 ba T2 n [ f ( a ) 2 f ( x j ) 2 f ( x 1 ) f (b)] j 4n j 1 j 0 2 --------(2)
外推 加速 公式
4.3 高斯积分
节点xk 及求积系数 Ak 的选取方法
由特殊函数理论知，勒让德（Legendre）多项式
1 dn p n ( x) = n ⋅ n [( x 2 − 1) n ] 2 n! dx
在[-1，1]上是正交的，即 1 ∫Байду номын сангаас1 pn ( x) pn+1 ( x)dx = 0
[2(n + 1)]! p n+1 ( x )的首项系数为： n+1 ，故常取 2 [(n + 1)!]2
三点(n=2)高斯法计算子程序 subroutine Gauss(a,b,G) dimension t(3),w(3) data t/0.,0.774597,-0.774597/ data w/0.888889,0.555556,0.555556/ G=0.0 1 1 x = (b + a) + (b − a)t do 10 i=1,3 2 2 x=0.5*[(b+a)+(b-a)*t(i)] n 1 10 G=G+w(i)*f(x) ∫−1 f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 G=0.5*(b-a)*G return b−a f ( x)dx = ∫ ∫ ϕ (t )dt end 2
以上讨论中，积分区间为[-1,1]。 当实际计算区间为 [a, b] ,可采用如下变量替换：
1 1 x = (b + a) + (b − a)t 2 2
则积分区间 [a, b] 变为[-1,1]，且积分变为：
∫
b
a
b−a 1 f ( x)dx = ∫−1ϕ (t )dt 2
a+b b−a + t) 其中 ϕ (t ) = f ( 2 2
高斯求积获奖课件
高斯求积定理
f ( x) q( x)n ( x) r( x)
其中q( x), r( x)均为至多n 1次多项式，且r( xk ) f ( xk )
b
b
b
b
f ( x)dx q( x)ωn ( x)dx r( x)dx r( x)dx
a
a
a
a
b
r( x)dx
a
n
Ak r( xk )
k1
n
Ak f ( xk ) 代数精度至少
0.946083
0.7745907 1
多种措施旳比较
• 此例题旳精确值为0.9460831... • 由例题旳多种算法可知： • 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效
数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7 位有效数字。 • 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化 Simpson公式有6位有效数字。 • 用复化梯形公式，对积分区间[0，1]二分了11 次用2049个函数值，才可得到7位精确数字。 • 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数 值，得到一样旳成果。 • 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到成果。
3b at 2b来自f ( x)dxb a 1 f (a
b
b a t)dt
2
2
2
a
1
例：利用两点Guass公式计算 1 sin xdx 0x
解：a 0, b 1,因此x 1 1 t 22
I
1 sin xdx
1
1
sin( 1 2
1 t) 2 dt
0x
2 1 1 1t
22
sin( 1 1 1 ) sin( 1 1 1 )
1v( x)du(n 1)( x)
高斯求积公式及常微分方程初值问题
式
1
f ( x) 1 x
2
1
dx
f (x n 1
k 0
n
k
)
称为 Gauss-Chebyshev 求积公式. 求积余项为
2 R 2 n 2 f 2 (2n 2)!
( 2 n 2)
( )
1 1
例 9.9 计算 1
1
x6 1 x
2
dx
(7) 6 f ( x) 0 , 故 取 四 点 f ( x ) x 解:此处 ,由于
ex
5 3.97746263
准确值
1
ex 1 x2
1
dx 3.97746326 1
3.Gauss-Laguerre(拉盖尔)求积公式
x [ a , b ] [ 0 , ) ( x ) e 设 ， ，对应正交多项式
n d x n x L ( x ) e ( x e ) .由此构造的求积公式 n n 族为 dx
Gauss-Chebyshev 求积公式可计算出此积分准 确值.
2k 1 xk cos( ) 8
1
1
6 6 6 3 5 7 dx cos cos cos cos 2 4 8 8 8 8 1 x
由对称性不妨设 x1 x2 ，解得
A1 A2 11 1 935 1 935 x x 2 24 , 1 2 110 , 2 110
此时所给求积公式为 Gauss 型，其代数精度达到了 3 次.
Gauss 型求积公式 定理 9.3 对插值型求积公式(*)， 结点 x0 ,, xn 是 Gauss 点的充分必要条件为：
高斯积分的求解方法
高斯积分的求解方法高斯积分是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。
因此，掌握高斯积分的求解方法显得尤为重要。
本文将从基础概念入手，逐步介绍高斯积分的求解方法。
1. 高斯积分的基础概念高斯积分又称为普通高斯积分，是一种重要的定积分类型。
其表达式为：∫e^(-x^2) dx其中e表示自然常数，x为自变量。
高斯积分在物理学和工程学中经常出现，例如在求解等离子体（plasma）中的含量分布、计算图像处理算法中的模糊因素以及发电机中的电磁场等方面。
因此，我们需要掌握高斯积分的求解方法。
2. 求解高斯积分的方法2.1 用幂级数求解首先，我们可以采用幂级数的方法求解高斯积分。
在求解过程中，我们设定一个幂级数：e^(-x^2) = ∑a_n x^n对于任意正整数n，可以得到如下的递推公式：a_n = -a_(n-2)/n当n为奇数时，a_n = 0；当n为偶数时，a_n = (-1)^n/[(n/2)!]。
通过递推公式，我们可以逐步求得幂级数中的系数。
这样一来，我们就可以得到高斯积分的表达式：∫e^(-x^2) dx = ∑a_n x^n其中，系数a_n的求解过程已在上一步骤中介绍，这里不再赘述。
2.2 用换元法求解除了用幂级数求解高斯积分之外，我们也可以采用换元法求解。
将高斯积分中的x代入sinh(t)中，即：x = sqrt(2)sinh(t)此时，可得dx / dt = sqrt(2)cosh(t)。
将x代入高斯积分中，可以得到：∫e^(-x^2) dx = ∫e^(-2sinh^2(t)) sqrt(2)cosh(t) dt再对右式的函数做一个缩放变换：t' = sqrt(2)t即可得：∫e^(-x^2) dx = (1/sqrt(2)) ∫e^(-2sinh^2(t')) dt'最后，可以用数值积分的方法求解∫e^(-2sinh^2(t')) dt'，从而求得高斯积分的近似解。
gauss-legendre求积公式
gauss-legendre求积公式高斯-勒让德求积公式是一种用于数值积分的方法，采用多个节点和权重来近似计算积分的值。
该方法是由德国数学家高斯和法国数学家勒让德分别在18世纪和19世纪提出的。
在本文中，我们将介绍高斯-勒让德求积公式的原理和应用。
高斯-勒让德求积公式的原理很简单，即将被积函数在特定的节点上用多项式逼近，然后根据多项式的系数计算积分的值。
具体而言，该方法通过以下步骤进行计算：1.选取节点和权重：首先，需要选择一组节点和对应的权重。
节点是定义在区间[-1,1]上的值，而权重是与每个节点相关联的系数。
2.构造勒让德多项式：利用勒让德多项式的递推公式，可以将节点关联到多项式的系数上。
勒让德多项式是一个正交多项式系列，具有很多良好的性质。
3.计算多项式的系数：将被积函数在节点上进行插值，得到一系列的多项式系数。
这可以通过求解线性方程组来实现，其中方程的个数等于节点的个数。
4.计算积分：通过与权重的乘积求和，可以得到积分的近似值。
权重是与每个节点相关联的系数，通过选择合适的节点和权重，可以获得更高的数值精度。
高斯-勒让德求积公式的优点是可以在任意区间上进行积分，而不仅仅局限在[-1,1]。
此外，由于选择了合适的节点和权重，该方法通常具有高精度和快速的计算速度。
高斯-勒让德求积公式在科学计算领域有广泛的应用。
例如，在数值微分方程的求解中，可以通过将微分方程离散化为一组代数方程，并利用高斯-勒让德求积公式在时间和空间上进行积分来求解方程。
此外，该方法还可以用于计算复杂函数的积分，例如在统计学中用于计算概率密度函数的积分。
然而，高斯-勒让德求积公式也存在一些局限性。
首先，选择合适的节点和权重是一个难题，特别是对于高维积分。
其次，在一些情况下，由于函数的特性或节点选择的不当，该方法可能产生积分误差。
为了解决这些问题，人们发展了许多其他的数值积分方法，如高斯-库塔求积公式和自适应积分算法等。
这些方法与高斯-勒让德求积公式相比具有更高的数值精度和更广泛的适用性。
Gauss型积分公式
1
3
3
定理 n个积分点的数值积分公式，最高2n－1阶
证明：
I ( f ) f ( x)dx
a
b
I n ( f ) ai f ( xi ), ai li ( x)dx
b
n
取
i 0
a
p( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn ) ( x)
3
4
±1.2247448713 0
±0.5246476232 ±1.6506801238 ±0.9585724646 ±2.0201828704 0
0.2954089751 1.8163590006
0.8049140900 0.0813128354 0.3936193231 0.0199532421 0.9453087204
0 f ( x)dx Ai e f ( xi )
xi i 1
n
n
2
xk
0.5858864376 3.4142135623
Ak
0.8535533905 0.1464466094
n
5
xk
0.2635603197 1.4134030591 3.5964257710 7.0858100058 12.6408008442
R[ f ] [ f ( x) H ( x )]dx
b a
f ( x ) 2 w ( x )dx ( 2n 2)!
( 2 n 1 )
f ( 2 n1) ( ) ( 2n 2)!
b
a
w ( x )dx,
2
(a , b)
第四章-4-Gauss公式
f (x ) n1
i 0 i
n
R[ f ]
( 2 n 2) 2 f ( ) 2 n 2 2 (2n 2)!
(-1, 1)
简单 G-C 公式
n=0
1
1
(1 x 2 )1/ 2 f ( x ) dx f (0)
n=1
n=2
1
2 1/ 2 f 2 2 f (1 x ) f ( x ) d x 1 2 1
关键点！
与 1, x, x2, ..., xn 带权正交
设 p0(x), p1(x), , pn(x) , 是 [a, b] 上带权 (x) 正交 的多项式族，则 Gauss 点即为 pn+1(x) 的零点 Gauss 系数的计算
将 f (x) = 1, x, x2, …, xn 代入，解线性方程组 或利用 Lagrange 基函数
G-L 公式
一般区间上的 G-L 求积公式
I [ f ] f ( x)dx
a b
ab ba t 令 x 2 2 ab ba t) 则 g (t ) f ( 2 2 从而 b ba 1 ba n I [ f ] f ( x)dx g (t )dt Ai g (ti ) a 2 1 2 i 0 在标准区间上采用G-L求积公式！
I [ f ] f ( x)dx
b a i 0
m 1
xi1
xi
f ( x)dx
xi xi 1 hi t , hi xi 1 xi 在每个区间上令 x 2 2 m 1 hi 1 hi I [ f ] f ( xi 1/ 2 t )dt 1 2 i 0 2
Gauss型求积公式
故 q( x )dx Ak q( xk )
b a n 0
n
所以求积公式至少具有2n＋1次代数精确度。对 于2n+2次多项式 有 f ( x ) 2 n1 ( x )
b
a
f ( x )dx 0
而
2 A k n1 ( x k ) 0 k 0
n
故求积公式的代数精确度是2n+1。
三次Legendre多项式及其零点为：
1 P3 ( x ) (5 x 3 3x ), x0 0.6 , x1 0, x2 0.6 2
三、Gauss-Legendre求积公式
1 d n 1 2 n 1 xk (k 0,1,, n)为Pn 1 ( x ) ( x 1 ) n 1 n 1 ( n 1 )! 2 dx 的零点 。
2 2
4 x 1 dx
1
5 x 1 dx
1
P2(x)的两个零点为 积分系数为
, 1 1 1 2 2 x x2 A1 1 x l1 ( x)dx 1 x dx x1 x 2 3 1 1 1 2 2 x x1 A2 x l2 ( x)dx x dx 1 1 x2 x1 3
问题： 若求积公式
I f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0 n
中含有2n+2个待定参数 xk , Ak (k 0,1, 2,, n) 我们能否通过节点的选择将求积公式的 代数精度从n 或者n+1提高到2n+1？
一、Gauss型求积公式 定义：把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代 数精确度的插值型求积公式
三点Gauss-Legendre求积公式为：
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广义高斯求积公式的渐进计算与数表
广义高斯求积公式是一种用于数值积分的方法，可以在给定有限个节
点上对任意函数进行近似积分。
该公式适用于广泛的函数类，例如多项式、指数和三角函数等。
在计算机科学和工程领域，广义高斯求积公式常被用
于求解复杂的数值积分问题。
∫(a到b)w(x)f(x)dx ≈ ∑(i=0到n)wi*f(xi)
其中，a和b是积分区间的端点，w(x)是权重函数，f(x)是待求函数。
n是节点的数量，wi和xi分别是第i个节点的权重和位置。
广义高斯求积公式的核心思想是通过合适的节点和权重来近似代替被
积函数，使得积分结果尽可能接近准确值。
节点的选择通常采用在积分区
间上具有优良性质的多项式。
权重的选择则需要满足一定的条件，以确保
公式的稳定性和准确性。
广义高斯求积公式的渐进计算方法通常基于节点的递推关系。
对于给
定的节点和权重，可以通过递推公式快速计算出更多节点和权重的数值。
递推公式的具体形式取决于所使用的多项式族，例如勒让德多项式、拉盖
尔多项式或切比雪夫多项式等。
广义高斯求积公式的渐进计算和数表对于数值积分的高效求解非常重要。
通过递推计算和直接查表，可以避免重复的节点和权重计算，提高计
算效率。
数表则为用户提供了灵活、方便的方法，使得人们能够更快速地
进行数值积分计算，加快科学研究与工程实践的进程。
总之，广义高斯求积公式的渐进计算和数表为数值积分问题的求解提
供了有效的方法和工具。
这些方法和资源可以帮助人们更高效地求解复杂
的数值积分问题，促进科学研究和工程实践的发展。