离散数学知识点笔记
02324离散数学知识点
02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。
以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。
2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。
3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。
在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。
4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。
5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。
6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。
7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。
8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。
9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。
这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
mit离散数学笔记
以下是MIT离散数学的一些主要内容和笔记要点：
集合论：
集合论是离散数学的基础，它研究集合及其性质和运算。
集合是由元素组成的，元素之间通过集合运算进行组合。
常见的集合运算包括并集、交集、差集等。
命题逻辑：
命题逻辑是研究命题及其推理的逻辑系统。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题逻辑中的基本概念包括原子命题、合取、析取、否定等。
图论：
图论是研究图的结构和性质的数学分支。
图是由顶点和边组成的，顶点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学：
组合数学是研究计数问题的数学分支。
计数问题包括排列、组合、分割等问题。
组合数学中的基本概念包括加法原理、乘法原理等。
离散概率论：
离散概率论是研究离散随机事件的概率的数学分支。
离散随机事件是指可以列举出来的事件，如掷骰子、抽扑克牌等。
离散概率论中的基本概念包括概率空间、随机变量、期望等。
抽象代数：
抽象代数是研究代数结构的数学分支。
代数结构包括群、环、域等。
抽象代数中的基本概念包括群的定义、群的性质、环的运算等。
离散数学的其他分支：
离散数学还包括其他分支，如数理逻辑、集合论与泛函分析的交叉学科等。
数理逻辑是研究推理规则和推理系统的数学分支。
集合论与泛函分析的交叉学科是研究集合论和泛函分析之间的联系和应用的数学分支。
以上是MIT离散数学的主要内容和笔记要点，希望能对你有所帮助。
离散数学必备知识点总结汇总
离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。
2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。
3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。
4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。
5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。
6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。
7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。
8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。
9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。
10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。
11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。
12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。
《离散数学》讲义笔记
《离散数学》课时一 命题逻辑的基本概念1. 命题判定给定句子是否为命题，应该分两步：① 首先判定它是否为陈述句. ② 其次判断它是否有唯一真值.题1.下列语句中，下面哪一个选项是命题？（ ）你今天有空吗？ 请勿随地吐痰！ 我正在说谎.是偶数.答案：考点重要程度 分值题型 1.命题 ★★★ 选择、填空2.命题联结词 ★★★★★ 填空3.命题公式及其赋值★★★★解答1) 命题：能判断其真值的陈述句. 2) 真值：真、假. （1、0） 3) 真命题：真值为真的命题. 4) 假命题：真值为假的命题.5) 原子命题（简单命题）：不能再被分解成更简单的命题. 6) 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题.2.命题联结词联结词符号化真值表否定0 11 0合取0 0 00 1 01 0 01 1 1析取0 0 00 1 11 0 11 1 1蕴涵0 0 10 1 11 0 01 1 1等价0 0 10 1 01 0 01 1 1 优先顺序：题1.将下列命题符号化. 1.4不是素数. 2.小智和小红是学生. 3.小智和小红是同学. 4.小智是江苏人或者江西人. 5.小红喜欢唱歌或跳舞.6.①只要能被4整除，则一定能被2整除. ②只有能被4整除，则才能被2整除. ③能被4整除，仅当能被2整除.7.的充要条件是是无理数.答案：1.是素数.符号化为2.小智是学生.小红是学生.符号化为3.小智和小红是同学.符号化为4.小智是江苏人. 小智是江西人.符号化为5.小红喜欢唱歌. 小红喜欢跳舞.符号化为6.能被整除. 能被整除. 符号化为符号化为7.是无理数. 符号化为：自然语言中的“既……，又……”“不但……，而且……”“虽然……，但是……” “一面……，一面……”等.：“只要，就”，“因为，所以”，“仅当”，“只有才”，“除非才”，“除非，否则非”等等，符号化为.：“当且仅当”，“……充要条件”等.3. 命题公式及其赋值题1.写出下列公式的真值表，并求它们的成真赋值和成假赋值.的真值表1) 命题变元：取值1（真）或0（假）的变元.2) 合式公式：将命题变元用联结词或圆括号按一定逻辑关系联结起来的符号串. 3) 设是出现在公式中的全部命题变元，给各指定一个真值，称为对的一个赋值，若指定的一组值使为1，则称这组值为的成真赋值；若使为0，则称这组值的成假赋值.设为任一命题公式1) 若在它的各种赋值下取值均为真，则称为重言式或永真式. 2) 若在它的各种赋值下取值均为假，则称为矛盾式或永假式. 3) 若不是矛盾式，则称为可满足式.课时一练习题1.指出下列语句哪些是命题，哪些不是.如果是命题，指出它的真值.(1)计算机有视觉吗？(2)明天我去看球赛.(3)请勿大声喧哗！(4)不存在最大的质数.2.下列语句是命题的有（）.明天下午开会吗？2014年元旦是星期六.. 请保持安静！3.下列句子中有（）个命题.(1)我是老师. (2)禁止吸烟！ (3)蚊子是鸟类动物.(4)我正在说谎. (5)月亮比地球大.4.将下列命题符号化.(1)王强身体很好，成绩也很好.(2)小静只能挑选或房间.(3)如果和是偶数，则是偶数.5.（判断题）记：小李今天18岁，：小李今年19岁，则“小李今年18岁或19岁”可以翻译成. （）6.设：我听课，：我做课堂笔记.命题“我一边听课，一边做课堂笔记”符号化为____.7.设表示“天下大雨”，表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（）.8.个命题变元组成的命题公式共有__________种不同真值指派情况.9.命题公式中成真赋值的个数为（）.10.下列命题公式中，哪个是永真式（）.11.求命题公式的真值表.课时二命题逻辑等值演算考点重要程度分值常见题型1.等值式★★★★★证明、解答2.析取范式与合取范式★★★★解答3.主析取范式与主合取范式必考填空、解答4.联结词的完备集★★判断、选择1.等值式设是两个命题公式，若构成的等价式为重言式，则称与是等值的，记作.常见等值式：1)双重否定律2)幂等律3)交换律4)结合律5)分配律（对的分配律）（对的分配律）6)德摩根律7)吸收律8)零律9)同一律10)排中律题1.推断公式类型.因此，该公式是一个重言式或者永真式.题2.用等值演算法证明. 得证.11) 矛盾律12)蕴涵等值式13)等价等值式14)假言易位15)等价否定等值式16)归谬论证明：证明：2.析取范式与合取范式题1：用等值演算法求取求下列公式：的合取范式和析取范式.解：(1)先求合取范式(2)再求析取范式1)文字：命题变元及其否定.2)简单析取式：仅由有限个文字构成的析取式.3)简单合取式：仅由有限个文字构成的合取式.4)析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题式.，其中是简单合取式.5)合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的命题式.，其中是简单析取式.3.主析取范式与主合取范式设与是命题变元含的极小项和极大项，则所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式.所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式.在含有个命题变元的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变元和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变元或它的否定式按照下标从小到大顺序排列，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.表1 含的极小项与极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称表2 含的极小项与极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称题1.利用真值表法，按顺序求命题公式：的主析取范式. 解：因此，该命题公式的主析取范式是.题2.含个命题变项的命题公式的主合取范式为，则它的主析取范式为___________（表示成的形式）.答案：题3.求命题公式的主析取范式和主合取范式.因此，该命题公式的主析取范式是，解：主合取范式是.4. 联结词的完备集题1.(判断)命题联结词集是联结词完备集. （ ） 答案：正确.设是一个联结词集合，如果一个命题公式都可以由仅含中的联结词构成的公式表示，则称是一个联结词完备集. 设是两个命题，复合命题“与的否定式”称作的与非式，记作.即，“”称作与非联结词.复合命题“或的否定式”称作的或非式，记作.即，“”称作或非联结词.以下都是联结词完备集课时二练习题1.下列哪个公式是永假式（）.2.下列是重言式的为（）.3.求解的公式类型？（永真、永假、可满足）4.给定命题公式：，与之逻辑等价的是（）.5.用等值演算法证明等值式.6.任意两个不同大项的析取为________式，全体大项的合取式为________式.7.合式公式的主合取范式为（）.8.含个命题变项的命题公式的主析取范式为，则它的主合取范式________.9.构造命题公式的真值表，并由此写出它的主析取范式和主合取范式.10.已知命题公式，求主析取范式（要求通过等值演算推出）.11.某电路中有个灯泡和个开关、、.已知在且仅在下述种情况下灯亮：1)的扳键向上，、的扳键向下；2)的扳键向上，、的扳键向下；3)、的扳键向上，的扳键向下；4)、的扳键向上，的扳键向下.设表示灯亮，分别表示、、扳键向上，求的主析取和主合取范式.12.下面的联结词集合不是完备集的是________.（表示与非）13.联结词组中，下面哪一个选项是命题公式的最小联结词组（）.课时三 命题逻辑的推理理论考点重要程度 分值常见题型 1.推理的相关公式 ★★★★★选择、填空2.自然推理系统必考证明1. 推理的相关公式1) 设和是两个命题公式，当且仅当是重言式时，称从可推出或是前提的有效结论，记为.2) 命题公式推出的推理正确当且仅当为重言式.3) 推理的形式结构：前提： 结论：① 附加律②化简律③ 假言推理④拒取式 ⑤ 析取三段论⑥ 假言三段论 ⑦等价三段论⑧ 构造性二难构造性二难（特殊形式）⑨破坏性二难题1.求函数命题公式推的推理正确当且仅当__________为重言式. 答案：题2.下面不正确的是________.答案：2.自然推理系统题1：构造下面推理的证明.前提：结论：证明：①前提引入②前提引入③①②拒取式④前提引入⑤③④假言推理⑥前提引入⑦⑤⑥拒取式⑧前提引入⑨⑦⑧析取三段论得证是有效结论.题2.在自然推理系统中，构造并证明下列推理.（命题逻辑推理证明）如果小王是理科生，则他的数学成绩一定很好.如果小王不是文科生，则他一定是理科生.小王的数学成绩不好.所以，小王是文科生.解：设简单命题：小王是理科生.：小王的数学成绩很好.：小王是文科生.前提：结论：证明：①前提引入②前提引入③①②拒取式④前提引入⑤③④拒取式得证是有效结论.题3.用推理的形式结构证明：前提：结论：证明：①附加前提引入②①附加律③前提引入④②③假言推理⑤④化简律⑥⑤附加律⑦前提引入⑧⑥⑦假言推理得证是有效结论.题4.在自然推理系统中构造下面推理的证明.如果小张守第一垒并且小李向队投球，则队取胜；或者队未取胜，或者队成为联赛第一名；队没有成为联赛的第一名；小张守第一垒.因此，小李没向队投球.解：设简单命题：小张守第一垒.：小李向队投球.：队取胜.：队成为联赛第一名.前提：结论：证明：用归谬法①结论的否定引入②前提引入③前提引入④前提引入⑤④⑤拒取式⑥⑥置换⑦前提引入⑧⑦⑧析取三段论⑨①⑨合取由于最后一步，即，所以推理正确.课时三练习题1.若推理正确，则推理的结论一定是正确的.（）判断2.判断以下结论是否有效：前提是：：，结论是：.________（填“是”或“否”）3.下列个推理中，不正确的是（）.4.在自然推理系统中，用构造法证明下面推理.前提：结论：5.如果小张去看电影，则当小王去看电影时，小李也去.小赵不去看电影或小张去看电影.小王去看电影.所以当小赵去看电影时，小李也去.6.使用命题逻辑中的推理理论构造下面推理的证明：前提：结论：7.构造下面推理的证明：前提：，结论：.8.公安机关正在调查一宗盗窃案，现获得事实如下：(1)或盗窃了文物；(2)若盗窃了文物，则作案时间不可能在午夜前；(3)若证词正确，则在午夜前屋里灯光未灭；(4)若证词不正确，则作案时间发生在午夜前；(5)午夜时屋里灯光灭了.试问谁是盗窃犯？试写出推导过程.设:“盗窃了文物”，：“盗窃了文物”，：“作案时间发生在午夜前”，：“午夜前屋里灯光灭了”，：“证词正确”.课时四 谓词逻辑基本概念考点重要程度 分值常见题型 1.谓词逻辑命题符号化 ★★★★ 选择、填空2.谓词逻辑公式及其解释 ★★★选择1. 谓词逻辑命题符号化题1.将下列命题在谓词逻辑中用谓词符号化，并讨论它们的真值. (1) 只有是素数，才是素数. (2) 如果大于，则大于. 解：(1)设元谓词：是素数，命题可符号化为由于此蕴涵式的前件为假，所以命题为真. (2)设元谓词：，命题可符号化为由于为真，而为假，所以命题为假.个体词、谓词和量词是谓词逻辑命题符号化的个基本要素. 1) 个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体.将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项.而将表示抽象或泛指的个体词称作个体变项.并称个体变项的取值范围为个体域（或称作论域）.全总个体域：由宇宙间一切事物组成的个体域. 2) 谓词：刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词.题2：命题“所有的人都长着黑头发”，令：是人；：长着黑头发.则该命题符号化为（）.答案：.题3.令：是人；：登上过月球.则命题“有的人登上过月球.”符号化（）.答案：题4.设有命题：是火车，：是汽车，：跑得比快，那么命题“有的汽车比一些火车跑得快”的逻辑表达式是__________.答案：.题5.设：是运动员，：是大学生，命题“不是所有的运动员都是大学生.”谓词符号化为__________.答案：或注：当多个量词出现时，它们的顺序一般不能随意调换.3)量词：表示个体之间数量关系的词全称量词：符号，表示个体域中“所有的”.“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡”“都”等.存在量词：符号，表示个体域中有一个个体.“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”等.2.谓词逻辑公式及其解释题 1.指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项.解：是指导变元，量词的辖域.在中，是约束出现，而且约束出现两次，和均为自由出现，各自由出现一次.公式中含个量词，前件上的量词的指导变元为，的辖域，其中是约束出现，是自由出现.后件中的量词的指导变元为，的辖域为，其中是约束出现，均为自由出现.在整个公式中，约束出现一次，自由出现两次，自由出现一次，约束出现一次，自由出现一次.题2.设论域，与公式等价的命题公式是（）.答案：在公式和中，称为指导变元，为量词的辖域.在和的辖域中，的所有出现都称作约束出现，中不是约束出现的其他变项均称作自由出现.设为一公式，若在任何情况下的任何赋值下均为真，则称为永真式或逻辑有效式；若在任何情况下的任何赋值下均为假，则称为矛盾式或永假式.若至少存在一个情况下的一个赋值使为真，则称是可满足式.课时四练习题1.命题的意义是（）.对任何均存在使得；对任何均存在使得；存在对任何均使得；存在对任何均使得；2.设：是学生；：喜欢英语.则命题“有些学生喜欢英语”的符号化为_____.3.设：是人，：犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）.4.令：是人，：是花，：喜欢，则命题“有些人喜欢所有的花”可符号化为_________.5.令：是火车，：是汽车，：比快，则命题“每列火车都比某些汽车快”在谓词逻辑中命题符号化为_________.6.试把下列语句翻译为谓词演算公式.(1)某些人喜欢所有明星； (2)并非“所有人均喜欢某些某些电脑游戏”.7.设个体域，消去公式中的量词为：___________.8.谓词公式中量词的辖域为（），量词的辖域为（）.课时五 谓词逻辑等值演算与推理考点重要程度 分值常见题型 1.谓词逻辑等值式与置换规则 ★★★选择、填空 2.谓词逻辑前束范式 ★★★★ 选择、解答3.谓词逻辑推理理论 必考证明1. 谓词逻辑等值式与置换规则设是谓词逻辑中任意两个公式，若是永真式，则称与等值，记作，称是等值式.下面给出谓词逻辑中的基本等值式. 1) 量词否定等值式 设公式含自由出现的个体变项，则2) 量词辖域收缩与扩张等值式 设公式含自由出现的个体变项，不含的自由出现，则题1.设个体域，将下列公式的量词消去.解：消去量词，得先缩小量词辖域，再消去量词，得3)量词分配等值式设公式含自由出现的个体变项，则4)命题逻辑中的重言式的代换实例都是谓词逻辑中的永真式.例如：先消去，得再消去，得题2.设是不含变元的公式，谓词公式等价于（）.答案：.题3.谓词公式的真值为，其中，：，定义域：. 答案：先消去，得再消去，得因此，的真值为1.2.谓词逻辑前束范式（前束范式存在定理）谓词逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式.具有如下形式的谓词逻辑公式称作前束范式，其中为或，为不含量词的公式. 例，是前束范式不是前束范式题1：下列哪项为前束范式（）.答案：题2.求下列各式的前束范式.解：转化方法：1)把条件或双条件联结词转化；2)利用量词否定公式，把否定深入到命题变元和谓词公式的前面；3)换名；4)利用量词作用域的扩张和收缩等价式，把量词提到前面.3.谓词逻辑的推理理论在谓词逻辑中，从前提出发推出结论的推理的形式结构，依然采用如下的蕴涵式形式若上式为永真式，则推理正确，否则称推理不正确.①命题逻辑推理定律的代换实例.例如：②由基本等值式生成的推理实例.例如：由双重否定律可生成由量词否定等值式可以生成③一些常用的重要推理定律.④4条消去量词和引入量词的规则.全称量词消去规则：，不在中约束出现或，为任意个体常量.存在量词消去规则：，为使得为真的特定的个体常量.全称量词引入规则：，中无变元.前提：结论：证明：①前提引入②①③②化简律④②化简律⑤前提引入⑥⑤⑦③⑥假言推理⑧④⑦合取⑨⑧得证是有效结论.前提：结论：证明：①附加前提引入②置换③②④前提引入⑤④⑥③⑤析取三段论⑦⑥得证是有效结论.题3.证明下列各式.（简明注明使用等值式名称或推理定理名称）所有北极熊都是白色的，没有棕熊是白色的，所以北极熊不是棕熊.解：命题符号化：是北极熊. ：是白色的. ：是棕熊.前提：结论：证明：用归谬法①结论的否定引入②①置换③②④③化简律⑤③化简律⑥前提引入⑦⑥⑧④⑦假言推理⑨⑤⑧合取⑩⑨由于最后一步与前提中矛盾，所以推理正确.课时五练习题1.下列四个公式正确的有（）.2.在个体域中，若，，谓词有，，，，求的真值.3.下列等价关系正确的是（）.4.设个体域，消去公式中的量词.①②5.下列谓词公式中是前束范式的是（）.6.的前束范式为_________.7.求合式公式的前束范式____________.8.求谓词公式的前束范式.9.设个体域为，并对设定为，，，，其真值为的公式为__________.10.证明题前提：；结论：11.在自然推理系统中构造下面推理再证明.前提：，结论：12.先将下列推理符号化，再利用推理规则证明推理的正确性.所有的大一学生都要学习英语；并非所有的大一学生都要学习离散数学；故有些学习英语的不学习离散数学.假设谓词如下：：是大一学生；：要学习英语；：要学习离散数学.课时六 集合代数考点重要程度 分值常见题型 1.集合的基本概念 ★★ 选择、填空2.集合的运算 ★★★ 选择、填空3.有穷集的计数 ★★★ 解答4.集合恒等式 ★★★证明1. 集合的基本概念题1.，将的子集分类.元子集，也就是空集：； 元子集：； 元子集：； 元子集：；1) 把一些事物汇集到一起组成一个整体就称作集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员.元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作，不属于记作.例：，2) 设为集合，如果中的每个元素都是中的元素，则称是的子集，记作,如果不被包含，记作.3) 设为集合，如果且，则称与相等，记作.4) 设为集合，如果且,则称是的真子集，记作.5) 不含任何元素的集合称作空集，记作.空集是一切集合的子集.6) 含有个元素的集合简称为元集，它的含有个元素的子集称作它的元子集.题2.设，则下列正确的是（）.答案：.题3.已知集合，则的幂集合___________.元子集：元子集：元子集：元子集：答案：.2.集合的运算8)若是元集，则有个元素.9)在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作.7)设为集合，把的全体子集构成的集合称作的幂集，记作.1)并运算：2)交运算：3)差运算：4)对称差：5)的绝对补集定义如下：题1：设，，则差集 ，而对称差.答案：.题2.设全集的子集为，，，. 答案：,.3. 有穷集的计数题1.对名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查.其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别是和人，其中同时会英语和日语的有人，会英、德、和法语中任两种语言的都是人.已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言（英、德、法、日）的人数和会种语言的人数. 解：令分别表示会英、法、德、日语的人的集合，根据题意画出文氏图如下图所示.设同时会种语言的有人，只会英、法或德语一种语言的分别为和人.将和填入图中相应的区域，然后依次填入其他区域的人数.根据已知条件列出方程组解，得.因此，只会英语、德语、法语、日语的人数 为，会种语言的人数为.包含排斥原理：题2.请用集合计数的包含排斥原理，计算之间既不能被和，也不能被整除的数的个数.解：设可被整除可被整除可被整除用表示有穷集的元素数，表示小于等于的最大整数，则有4. 集合恒等式下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中代表任意的集合.幂等律结合律交换律分配律同一律零律排中律矛盾律吸收律德摩根律题1.证明.证：除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果.例如：课时六练习题1.下面是真命题的是（）.2.若集合的元素个数，则其幂集的元素个数___________.3.设集合，则__________.4.设是集合，若，则（）.5.设集合被整除，,被整除，，则__________，___________.6.，求__________.7.计算机班的名学生中，有人在第一次考试中得，人在第次考试中得，已知有人两次考试均未得，则两次考试都得的学生人数为__________人.8.某班有个学生，会语言的人，会语言的人，会语言的人，以上三门都会的人，都不会的没有，请问仅会两门的有几人？（要求写出求解过程）9.某大学计算机专业名学生中，语言课有人优秀，数据结构课有人优秀，离散数学课有人优秀.并且语言和数据结构两门课都优秀的有人；语言和离散数学两门课都优秀的有人；数据结构和离散数学两门课都优秀的有人.此外，还有人一门优秀都没得到.如果获得门优秀者可得奖学金元，获得门优秀者可得奖学金元，仅获得一门优秀者可得奖学金元，问为该专业学生发奖学金需多少元？10.设是三集合，已知，则一定有.（）11.集合的运算满足结合律，吸收律.（）12.证明.13.设是任意集合，证明等式.课时七 二元关系（1）考点重要程度 分值常见题型 1.有序对与笛卡尔积 ★★★ 填空、解答2.二元关系 ★★★★★ 选择、填空3.关系的运算 ★★★★填空、解答1. 有序对与笛卡尔积题1.设，求.若，则.由两个元素和按照一定顺序排列而成的二元组称作一个有序对或序偶，记作，其中是它的第一元素，是它的第二元素.设为集合，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称作和的笛卡尔积，记作，符号化表示为笛卡尔积运算具有以下性质：1) 对任意集合，根据定义有.2) 一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即（当时）3) 笛卡尔积运算不满足结合律，即 （当时）4)笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即2.二元关系1)如果一个集合满足以下条件之一：a)集合非空，且它的元素都是有序对；b)集合是空集.则称该集合为一个二元关系，记作，二元关系也可简称为关系.对于二元关系，如果，则记作.2)设为集合，的任何子集所定义的二元关系称作从到的二元关系，特别当时称作上的二元关系.3)若，那么，的子集就有个，每一个子集代表一个上的二元关系，因此上有个不同的二元关系.题1.设集合，设关系为上的小于关系，则 .答案：.题2.设为集合，且，则上最多可定义个不同的二元关系.答案：.题1.，则的关系矩阵是 .答案：.题5.已知集合上的二元关系的关系矩阵，那么 .答案：.上的特殊关系：空关系，全域关系，恒等关系.空关系：空集全域关系：恒等关系：给出一个关系的方法有种：集合表达式、关系矩阵和关系图.设，是上的关系，的关系图记作，有个顶点，若，在中就有一条从到的有向边.3.关系的运算设是二元关系1)中所有有序对的第一元素构成的集合称作的定义域，记作，形式化表示为2)中所有有序对的第二元素构成的集合称作的值域，记作，形式化表示为3)的定义域和值域的并集称作的域，记作，形式化表示为题1.，求.4)设是二元关系，的逆关系，简称为的逆，记作，其中5)设为二元关系，对的右复合记作，其中题2.设，，求.。
离散数学笔记
离散数学笔记目录1.1 什么是集合 (2)1.2 集合内部 (2)1.3 集合运算 (3)1.3 运算定律及证明 (4)1.5 可数集合与不可数集合 (5)2.1 什么是命题 (5)2.2 命题联结词 (6)2.3 命题符号化及应用 (7)2.4 命题公式和真值表 (7)2.5 公式的分类和逻辑等价 (8)2.6 基本等价关系及其应用 (8)集合论1.1 什么是集合一、什么是集合1.定义：集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成，每一个对象称为这个集合的元素。
二、集合的符号表示1.表示字母：用大写英文字母表示集合: A, B, C, · · · , A1, B2, C3, · · ·用小写英文字母表示元素: a, b, c, · · · , a1, b2, c3, · · ·2.表示方法：（1）枚举法：列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号(· · · ) 表示。
B = {2, 4, 6, 8, 10, · · · }（2）叙述法：通过刻画集合中元素所具备的某2.种性质或特性来表示一个集合。
P = {x|P(x)}（3）文氏图：一般使用平面上的方形或圆形表示一个集合，而使用平面上的一个小圆点来表示集合的元素。
3.关系：（1）属于关系若 a 是集合 A 中的元素，则称a属于A，记为a∈A若 a 不是集合 A 中的元素，则称a不属于A，记为a∉A4.基数（1）集合A 中的元素个数称为集合的基数，记为|A|（2）集合的基数有限，称为有限集（3）集合的基数无限，称为无限集1.2 集合内部一、空集1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅. 空集可以符号化为∅= {x|x ≠ x}.【NB】空集是绝对唯一的。
大一离散数学知识点总结笔记
大一离散数学知识点总结笔记离散数学是计算机科学和信息技术等领域的基础学科，它主要研究离散对象以及离散结构及其关系。
以下是本文对大一离散数学的知识点总结。
1. 集合论（Set Theory）- 集合的定义和表示方法- 集合间的运算：并、交、差、对称差- 集合的基本性质：幂集、空集、全集- 集合的相等和包含关系- 集合的基数和无穷集合2. 命题逻辑（Propositional Logic）- 命题的定义和符号表示- 命题的逻辑运算：非、合取、析取、条件、双条件- 命题之间的等价和蕴含关系3. 谓词逻辑（Predicate Logic）- 一阶逻辑的基本概念：谓词、量词、项、公式 - 一阶逻辑的语义：解释、真值- 一阶逻辑的语法：公式的语法规则- 命题逻辑与谓词逻辑的比较4. 证明方法与技巧（Proof Methods and Techniques） - 直接证明与间接证明- 分情况讨论和归纳法- 反证法和递归法- 等价变换和代入法5. 计数原理（Counting Principles）- 乘法原理和加法原理- 排列和组合：全排列、循环排列、组合数- 二项式系数和三角形数- 鸽笼原理和抽屉原理6. 图论（Graph Theory）- 图的基本概念：顶点、边、路径、环- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接链表- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法7. 关系代数与关系数据库（Relational Algebra and Relational Databases）- 关系代数的基本运算：选择、投影、并、差、笛卡尔积- 关系数据库的基本概念：关系模型、关系实例、关系模式 - 关系数据库查询语言：结构化查询语言（SQL）- 范式理论和函数依赖8. 有限状态自动机（Finite State Automata）- 自动机的定义和表示：状态、转移函数、初始状态、接受状态- 有限状态自动机的类型：确定性有限状态自动机（DFA）、非确定性有限状态自动机（NFA）- 正则表达式与有限状态自动机的等价性- 有限状态自动机的应用：词法分析、编译原理以上是大一离散数学的主要知识点总结，希望对你的学习有所帮助。
离散数学笔记(最新)
第一章命题逻辑内容：命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。
2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。
3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。
4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。
5．熟练掌握形式演绎的方法。
教学重点：1．命题的概念及判断2．联结词，命题的翻译3．主析（合）取范式的求法4．逻辑推理教学难点：1．主析（合）取范式的求法2．逻辑推理1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁P1.2.2 合取联结词∧1.2.3 析取联结词∨1.2.4 条件联结词→1.2.5 双条件联结词↔1.2.6 与非联结词↑性质：（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓性质：（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
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离散数学知识点笔记
离散数学是对数学理论与应用的整合，这里涉及到的知识点很多。
几乎涉及到数学中的涉及的任何一部分，每个知识点都有其特点，在此我们将介绍一些离散数学中常用的知识点。
一、定义、实例和性质
定义、实例和性质是离散数学知识点的基本内容，也是学习离散数学的必备基础知识。
它们综合涵盖了数学中的定义、性质和实例的基本知识。
这些知识点是数学的基础，运用了数学中定义、证明和实例的相关方法，通过它们可以了解数学中丰富的定义、性质和实例。
二、集合基础
集合基础是理解离散数学关系和操作的基本工具。
它涉及到集合的性质、运算、概念等，是离散数学中最基础的概念，并且可以用来解决很多实际问题。
因此，掌握和深入学习离散数学中的集合基础非常重要。
三、函数、逻辑和图论
函数、逻辑和图论在离散数学中占据重要的地位，函数是表达数学关系的基本方式，逻辑是分析离散数学关系的基本方法，图论是表示离散数学关系的基本工具。
熟悉函数、逻辑和图论知识可以帮助我们更好地理解数学中的关系并解决相关问题。
四、数学归纳法
数学归纳法是离散数学的经典方法，它包括逐步归纳和变量归纳，是归纳和证明离散数学性质的基本方法。
它可以用来解决复杂的离散
数学问题，是离散数学的重要工具。
五、数据结构和算法
数据结构和算法是离散数学的重要组成部分，是运用离散数学解决实际问题的基本方法。
它们可以帮助我们更好地理解离散数学中的概念，并且可以用来设计出有效的数据结构和算法，解决复杂的离散数学问题。
六、数学建模
数学建模是运用离散数学解决问题的重要方法，它可以帮助我们更好地理解实际问题，并通过建模、分析和推理形成有效的解决方案。
它是一种基于离散数学方法的复杂思维，也是理解和应用离散数学概念的基础要求。
综上所述，离散数学涉及到了定义、实例和性质、集合基础、函数、逻辑和图论、数学归纳法、数据结构和算法以及数学建模等知识点。
这些知识点是离散数学的基础，掌握了这些知识点，我们就可以更好地理解和运用离散数学解决实际问题。