2013届高考数学(理)一轮复习课件：第八篇 立体几何第2讲 空间几何体的表面积与体积)
难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解 空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决 这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计 算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几 个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何 体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方 程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点 的关键．
考向一
几何体的表面积
【例1】►(2011· 安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为( A．48 C．48＋8 17 )． B．32＋8 17 D．80
[审题视点]
由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何
体的尺寸计算表面积． 解析 换方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是 外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定 有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正 方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体 对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴 截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心或“切点”、“接点”作出截面图．
解析
该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的
直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求 4 33 9 体积为2×3 ＋ π2 ＝ π＋18. 3 2
2
答案
B
5．若一个球的体积为4 3π，则它的表面积为________． 解析 答案 4π 3 V＝ 3 R ＝4 3π，∴R＝ 3，S＝4πR2＝4π·3＝12π. 12π
面 积 圆柱 圆锥 S侧＝2πrh S侧＝πrl
体
积
V＝Sh＝πr2h 1 1 2 1 2 2 2 V＝3Sh＝3πr h＝3πr l －r 1 V＝3(S上＋S下＋ S上S下)h 1 2 2 ＝ π(r1＋r2＋r1r2)h 3
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
直棱 柱 正棱 锥 正棱 台 球
S侧＝Ch 1 S侧＝2Ch′
(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提 是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得 到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特 别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过 作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数 值．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开 图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( 2 3 A．4πS B．2πS C．πS D. 3 πS 解析 设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝ 又h＝2πr＝2 πS，∴S圆柱侧＝(2 πS)2＝4πS. 答案 A S π， )．
3．(2011· 北京)某四面体的三视图如 图所示，该四面体四个面的面积 中最大的是( A．8 C．10 )． B．6 2 D．8 2
解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面 积分别为6,6 2，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C
4．(2011· 湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为( 9 A. π＋12 2 9 B. π＋18 2 C．9π＋42 D．36π＋18 )．
2．(2012· 东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、 a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( A．3πa2 解析 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 )．
由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的
体对角线长为 2a2＋a2＋a2 ＝ 6 a.又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R＝ 6a.∴S球＝4πR2＝6πa2. 答案 B
形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4， 故腰长为 17，所以该几何体的表面积为48＋8 17. 答案 C
以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的 三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的 位置关系及数量关系．
【训练1】 若一个底面是正三角形的三 棱柱的正视图如图所示，则其侧面 积等于( A. 3 C．2 3 )． B．2 D．6
【训练 3】 已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面为直角三角 形，∠ACB＝90° ，AC＝6，BC＝CC1＝ 2，P 是 BC1 上一动点， 如图所示，则 CP＋PA1 的最小值为________．
解析 PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转 化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝ 40 ，BC1＝2，又
V＝Sh 1 V＝3Sh
1 1 S侧＝2(C＋C′)h′ V＝3(S上＋S下＋ S上S下)h S球面＝4πR2 4 3 V＝3πR
2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 各面面积之和 ． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环 形；它们的表面积等于
侧面积与底面面积之和
第2讲 空间几何体的表面积与体积
【2013年高考会这样考】 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用 渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所 增大． 【复习指导】 本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公 式，运用这些公式解决一些简单的问题．
基础梳理 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
(2)解
由(1)可知，BC 为三棱锥 B-ACD 的高，BC＝2 2，S△ACD
1 1 4 2 ＝2，∴VBACD＝3S△ACD· BC＝3×2×2 2＝ 3 ， 4 2 由等体积性可知，几何体 DABC 的体积为 3 .
(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图 形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些 变，哪些不变． (2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母 线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．
【示例1】► 的表面积为(
(2010· 安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体 )．
A．280 B．292 C．360 D．372
【示例 2】► (2011· 新课标全国)已知两个圆锥有公共底面，且 两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面 3 积是这个球面面积的16，则这两个圆锥中，体积较小者的高与 体积较大者的高的比值为________．
解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角 形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6. 答案 D
考向二 几何体的体积 【例 2】►(2011· 广东)如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视 图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形， 则该几何体体积为( )．
A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3
[审题视点]
根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据
和几何体的体积公式求解． 解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如
图所示，由题知该几何体的底面是边长为3 的正方形，高为 3，故V＝3×3× 3＝9 3. 答案 C
以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视 图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元 素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．
【训练2】 (2012· 东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积等于( )．
28 16 4 A. 3 π B. 3 π C.3π＋8 D．12 π
解析
由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱
2
4 和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×2 ×2＋ 3 π 28 ＝ 3 π. 答案 A
单击此处进入
活页限时训练
考向三 几何体的展开与折叠 【例 3】 ►(2012· 广州模拟)如图 1， 在直角梯形 ABCD 中， ∠ADC ＝90° ，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC 沿 AC 折起， 使平面 ADC⊥平面 ABC，得到几何体 DABC，如图 2 所示．
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D-ABC 的体积．
A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90° 的直角三角形．铺平平面 A1BC1、平面BCC1，如图所示． CP＋PA1≥A1C. 在△AC1C中，由余弦定理得 A1C＝ 62＋ 22－2· 2· 135°＝ 6· cos 50 ＝5 2 ，故(CP＋
PA1)min＝5 2. 答案 5 2
[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面 ACD内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证 明． (1)证明 在图中，可得AC＝BC＝2 2， 从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 取AC的中点O，连接DO， 则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝ AC，DO⊂平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC， 又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.
合集下载
届数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积教学案含解析
第2节空间几何体的表面积和体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
知识梳理1。
多面体的表(侧）面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π（r1＋r2）l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体S表面积＝S侧＋V＝S底h(棱柱和圆柱)2S底锥体（棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝错误!S底h台体（棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h球S＝4πR2V＝错误!πR3［常用结论与微点提醒］1。
正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。
2。
长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。
3。
正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
诊断自测1。
判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。
（)（2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。
（)(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（)(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。
(）解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案（1）×（2）×（3)√(4)√2。
(新教材必修第二册P120T5改编)一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为（)A。
33 B.错误! C.错误!D。
错误!解析由S＝4πR2＝4π，得R＝1，故2×1＝3a，得a＝错误!。
高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的结构特征、三视图、直观图课件文新人教A
考点 2 空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用_正__投__影___得到，这种投影下与投影 面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是 _完__全__相__同___的，三视图包括__正__视__图__、__侧_视 __图___、_俯__视__图___.
三视图：注意三个视图之间的长度关系． 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 ___4_8____．
[点石成金] 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几 何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，要说明一个命 题是错误的，只需举一个反例即可． (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时 要注意用好轴截面中各元素的关系． (3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的，所以在解决棱(圆)台问题 时，要注意“还台为锥”的解题策略．
(1)[教材习题改编]一个几何体由 5 个面围成，其中两个面是 互相平行且全等的三角形，其他面都是全等的矩形，则该几何体 是_三__棱__柱___；一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周 后形成的封闭曲面所围成的几何体是___两__个__同__底__的__圆__锥_____．
解析：根据多面体和旋转体的概念知，第一个几何体是三棱 柱，第二个几何体是两个同底的圆锥．
(2)[教材习题改编]如图所示，图①②③是图④表示的几何体 的 三 视 图 ， 若 图 ① 是 正 视 图 ， 则 图 ② 是 _侧__视__图___ ， 图 ③ 是 __俯_视__图___．
解析：根据三视图的概念知，图②是侧视图，图③是俯视图.
空间几何体的认识误区． 给出下面四种说法：①有两个面平行，其余各面都是四边形 的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的 几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几 何体叫棱锥；④棱台各侧棱的延长线交于一点．其中错误说法的 序号为_①__②__③___．
2013届高考理科数学一轮复习课件8.2空间几何体的表面积、体积
答案 3π
解析
已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母 线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全 面积公式可求．如图，设圆锥轴截面三角形的边长为 a， 则 43a2＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2，
∴圆锥的全面积：S＝π(a2)2＋π·a2·a＝3π.
2．正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形， 则此三棱锥的体积为________．
∵AB＝1，∴BD＝ 2，DD1＝ 2.
∴正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1 的体积 V＝1× 2＝ 2.
∴所求多面体的体积为
2 2.
【答案】 A
探究 3 (1)分割法：通过对不规则几何体进行分割， 化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体 体积．
(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后 进行计算．
2 A. 2
2 C. 4
3 B. 3 D. 2
【解析】 以正方形 ABCD 为底面，DD1 为棱将上 图补成一个正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1，如下图所示，
∵截面 A1BC1D1 与底面 ABCD 成 45°的二面角． ∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一 半． ∵AA1＝CC1，易知∠D1BD 为截面与底面 ABCD 所成 的二面角的平面角． ∴∠D1BD＝45°.
2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第八章 立体几何
第2课时 空间几何体的表面积、体积
2012·考纲下载
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能 正确描述现实生活中简单物体的结构．
2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式．(不要求记忆公式)
请注意！
柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，是立体几 何的基础，而它们的面积与体积(尤其是体积)是高考热点.
解析
已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母 线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全 面积公式可求．如图，设圆锥轴截面三角形的边长为 a， 则 43a2＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2，
∴圆锥的全面积：S＝π(a2)2＋π·a2·a＝3π.
2．正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形， 则此三棱锥的体积为________．
∵AB＝1，∴BD＝ 2，DD1＝ 2.
∴正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1 的体积 V＝1× 2＝ 2.
∴所求多面体的体积为
2 2.
【答案】 A
探究 3 (1)分割法：通过对不规则几何体进行分割， 化为规则几何体，分别求出体积后再相加即得所求几何体 体积．
(2)补体法：通过补体构造出一个规则几何体，然后 进行计算．
2 A. 2
2 C. 4
3 B. 3 D. 2
【解析】 以正方形 ABCD 为底面，DD1 为棱将上 图补成一个正四棱柱 ABCD－A2B1C2D1，如下图所示，
∵截面 A1BC1D1 与底面 ABCD 成 45°的二面角． ∴原多面体的体积恰好为补成的正四棱柱体积的一 半． ∵AA1＝CC1，易知∠D1BD 为截面与底面 ABCD 所成 的二面角的平面角． ∴∠D1BD＝45°.
2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第八章 立体几何
第2课时 空间几何体的表面积、体积
2012·考纲下载
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能 正确描述现实生活中简单物体的结构．
2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式．(不要求记忆公式)
请注意！
柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，是立体几 何的基础，而它们的面积与体积(尤其是体积)是高考热点.
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积和体积课件 理
第十八页，共三十三页。
考点(kǎo di立ǎn)体3几何中的折叠(zhédié)与展开
例 3：(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-2-4，圆形纸片的圆心为 O，
半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E， F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，
面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()
A.π
B.34π
C.π2
D.π4
解析：设圆柱底面的圆周的半径为 r，r＝
则圆柱的体积为
π
232×1＝34π.故选
B.
12－122＝ 23，
答案：B
第十三页，共三十三页。
(2)(2018 年天津(tiān jīn))如图 8-2-2，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱 A1-BB1D1D的体积为________.
第二十一页，共三十三页。
令 n′(x)＝0,4x3－ x43＝0，解得 x＝4 3. 当 n′(x)≥0 时，x≤4 3；当 n′(x)≤0 时，x≥4 3，则当 x＝4 3时，n(x)最大.故 Vmax＝ 1125×48× 5－4 cm 3＝4 15 cm 3. 答案：4 15 cm 3
第二十二页，共三十三页。
答案(dá àn)：8π
第十六页，共三十三页。
(4)(2018 年江苏)如图 8-2-3，正方体的棱长为 2，以其所有
面的中心(zhōngxīn)为顶点的多面体的体积为________.
图 8-2-3
解析：由图可知，该多面体为两个全等的正四棱锥的组合 体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于 2，所以该多 面体的体积为 2×13×( 2)2×1＝43.
考点(kǎo di立ǎn)体3几何中的折叠(zhédié)与展开
例 3：(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-2-4，圆形纸片的圆心为 O，
半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E， F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，
面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()
A.π
B.34π
C.π2
D.π4
解析：设圆柱底面的圆周的半径为 r，r＝
则圆柱的体积为
π
232×1＝34π.故选
B.
12－122＝ 23，
答案：B
第十三页，共三十三页。
(2)(2018 年天津(tiān jīn))如图 8-2-2，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱柱 A1-BB1D1D的体积为________.
第二十一页，共三十三页。
令 n′(x)＝0,4x3－ x43＝0，解得 x＝4 3. 当 n′(x)≥0 时，x≤4 3；当 n′(x)≤0 时，x≥4 3，则当 x＝4 3时，n(x)最大.故 Vmax＝ 1125×48× 5－4 cm 3＝4 15 cm 3. 答案：4 15 cm 3
第二十二页，共三十三页。
答案(dá àn)：8π
第十六页，共三十三页。
(4)(2018 年江苏)如图 8-2-3，正方体的棱长为 2，以其所有
面的中心(zhōngxīn)为顶点的多面体的体积为________.
图 8-2-3
解析：由图可知，该多面体为两个全等的正四棱锥的组合 体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于 2，所以该多 面体的体积为 2×13×( 2)2×1＝43.
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第一节 空间几何体
答案 B B不正确,反例见下图:
“等腰四棱锥”S-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=4,BC=2,O为S在平面 ABCD上的射影, OE⊥AB于E,OF⊥BC于F. ∵OE≠OF,
∴θ1≠θ2,又易知θ1与θ2不互补, ∴“等腰四棱锥”S-ABCD的侧面SAB与底面所成的二面角和侧面SBC 与底面所成的二面角既不相等,也不互补.
其中正确命题的个数为 ( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 命题①错,这条边若是直角三角形的斜边,则得不到圆锥;命题② 错,这条腰必须是垂直于两底边的腰;命题③对;命题④错,用平行于圆锥 底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台.
方法技巧 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全方面地去分析,多 观察实物,提高空间想象能力; (2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件 构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加 线、面等基本元素,然后依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举 出一个反例即可.
1-2 给出下列四个命题: ①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱; ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; ④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱. 其中不正确的命题为 ①②③ .
答案 ①②③ 解析 对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错;对于 ②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故②错;对于③,若底 面不是矩形,则③错;④由线面垂直的判定,可知侧棱垂直于底面,故④正 确. 综上,命题①②③不正确.
第一节 空间几何体及其三视图、直观 图、表面积与体积
2013年高考数学总复习课件(苏教版)第1章1.3.1《空间几何体的表面积》
2.几个特殊多面体的侧面积公式 S 直棱柱侧＝_c_h_，其中 c 为直棱柱的底面周长，h 为直棱柱的高．
S 正棱锥侧＝12_c_h_′__，其中 c 为正棱锥的底面周长， h′为斜高．
S 正棱台侧＝12_(_c_＋__c_′)_h_′，其中 c、c′分别为正棱台 的上、下底面的周长，h′为斜高．
(2)设高为 h，斜高为 h′. ∵S 侧＝12(a＋b)h′×4＝2(a＋b)h′， S 上＋S 下＝a2＋b2，又∵S 侧＝S 上＋S 下， ∴2(a＋b)h′＝a2＋b2，h′＝2（a2a＋＋bb2），
∴h＝ h′2－[12（b－a）]2＝aa＋bb.
【名师点评】 求多面体的表面积，可以先 求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清楚 各侧面的形状，并找出求面积的条件；求底 面积要清楚底面多边形的形状及求面积的条 件．
第1章 立体几何初步
1．3 空间几何体的表面积和体积 1．3.1 空间几何体的表面积
学习导航
学习目标 1.通过操作确认了解柱、锥、台的 侧面展开图及它们的内在联系，并能 运用侧面展开图解决相关问题． 2．通过侧面展开图推出侧面积公式，并能运 用公式求出柱、锥、台的侧面积． 3．能运用点、线、面的关系求出柱、锥、台 中有关角、线段长等几何量．
变式训练
3.如图，在长方体A，且a>b>c>0.求沿着长方体的 表面自A到C1的最短路径的长．
解：将长方体相邻两个面展开，问题化归为比 较三个展开图(1)、(2)、(3)中 AC1 的长：
（a＋b）2＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2ab， （b＋c）2＋a2＝ a2＋b2＋c2＋2bc， （a＋c）2＋b2＝ a2＋b2＋c2＋2ac， 由 a>b>c>0，得 ab>ac>bc>0.
高中数学一轮复习空间几何体：第8节空间几何体综合
台 底面和截面之间的部分 . 台 面的平面去截圆锥，底面和截
面之间的部分 . 圆台
棱台
图例
（ 1）球心到球面上各点的距离相等； （2）是以半圆的直径所在 球 直线为旋转轴，半
圆 面旋转一周形成的几何体 . 球 O.
拼搏的你，背影很美！
努力的你，未来可期 !
知识拓展
1.特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱； 侧棱 垂直 于底面的棱柱叫做 直棱柱 ；
）
A. ①②
B.①③
C.①④
D.②④
8．对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三
角形面积的（
）.
A. 2 倍
B. 2 倍 2
C. 2 倍 4
D. 1 倍
2
2
9．如图所示的直观图，其平面图形的面积为（
）.
A. 3 B. 6 C. 3 2
D. 3 2
45 0
2
10、已知正方形的直观图是有一条边长为
（ 2）平行不变：已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x’
或 y’轴的线段 .
（ 3）长度规则：已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于
y
轴的线段，长度为原来的一半 .
（三）空间几何体的表面积和体积
四：典型例题
考点一：简单几何体结构的理解与应用
1、下面几何体的轴截面一定是圆的是
A1B1 C1 D1 2 ， A1D1 O ' D1 1 .。 请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面 3
积.
考点三：会计算简单几何体的表面积与体积
1、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为４５
高考数学 一轮 第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积和体积 理
12＋ 32＝2，则该六棱锥的侧面积为12×2×2×6＝12.
答案：12
解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形， 高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰 长为 1，斜腰为 2.底面积为 2×12×3＝3，侧面积为 2＋2＋4＋ 2 2＝8＋2 2.所以该几何体的表面积为 11＋2 2.故选 B.
B.2π
C.4π
D.43π
4.(2012 年新课标)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，
球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( B )
A. 6π
B.4 3π
C.4 6π
D.6 3π
解析：设球的半径为 R，R＝ 12＋ 22＝ 3， 则此球的 体积为43πR3＝43π( 3)3＝4 3π.
以米
堆的体
积为
14×
1 3
×3×
16
3
2×5
＝3290.故
堆放的
米约为
320 9
÷1.62≈22.故选 B.
答案：B
【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则 的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几 何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直 观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计 算.另外不要忘了锥体体积公式中的13.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展 开图的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是
扇形，当底面半径为 r，母线长为 l 时，扇形的圆心角 θ＝rl×360°； 圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r′，r， 母线长为 l 时，扇环的圆心角 θ＝r－lr′×360°.
答案：12
解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形， 高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰 长为 1，斜腰为 2.底面积为 2×12×3＝3，侧面积为 2＋2＋4＋ 2 2＝8＋2 2.所以该几何体的表面积为 11＋2 2.故选 B.
B.2π
C.4π
D.43π
4.(2012 年新课标)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，
球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( B )
A. 6π
B.4 3π
C.4 6π
D.6 3π
解析：设球的半径为 R，R＝ 12＋ 22＝ 3， 则此球的 体积为43πR3＝43π( 3)3＝4 3π.
以米
堆的体
积为
14×
1 3
×3×
16
3
2×5
＝3290.故
堆放的
米约为
320 9
÷1.62≈22.故选 B.
答案：B
【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则 的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几 何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直 观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计 算.另外不要忘了锥体体积公式中的13.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展 开图的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是
扇形，当底面半径为 r，母线长为 l 时，扇形的圆心角 θ＝rl×360°； 圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r′，r， 母线长为 l 时，扇环的圆心角 θ＝r－lr′×360°.
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第1课时 空间几何体的结构、三视图、直观图
高三数学（新课标版· 理）
直角梯形 ABCD 中，AB＝2， BC＝ 2＋1，AD＝1， 1 ∴面积为2(2＋ 2)×2＝2＋ 2.
【答案】 2＋ 2
第八章
第1课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第八章
第1课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2 之间的关系是 S′＝ 4 S，本题中直观图的面积为 a2，所 a2 以原平面四边形的面积 S＝ ＝2 2a2. 2 4
【答案】 B
第八章
第1课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
探究 3 对于直观图，除了解斜二测画法的规则外， 还要了解原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系 2 S′＝ S，能进行相关问题的计算． 4
【解析】 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规 则可知，在 x 轴上(或与 x 轴平行)的线段，其长度保持不 变；在 y 轴上(或与 y 轴平行)的线段，其长度变为原来的 一半，且∠x′O′y′＝45° 135° (或 )，所以，若设原平面 1 2 2 图形的面积为 S， 则其直观图的面积为 S′＝ · · S＝ S. 2 2 4 可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′
第1课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
其中旋转轴叫做所围成的几何体的 轴 ；在轴上的这 条边叫做这个几何体的 高 ；垂直于轴的边旋转而成的圆 面叫做这个几何体的 底面 ；不垂直于轴的边旋转而成的 曲面叫做这个几何体的 侧面 ，无论旋转到什么位置，这 条边都叫做侧面的 母线．
第八章
第1课时
高考调研
第八章
第1课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
(3)正棱锥的性质： ①各侧棱相等，各侧面都是全等的 等腰三角形 ，各 等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的 斜高． ②棱锥的高、斜高和斜足与底面中心连线组成一个直 角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成 一个直角三角形．
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积课件 文
1
1
=1+2× ×1×1+2× ×1×
2
2
2=2+ 2,故选 C.
第十三页，共六十四页。
-13-
关键能力·学案突破
(kǎo
diǎn)1
考点
考点(kǎo
考点(kǎo
diǎn)2
diǎn)3
思考求几何体的表面积的关键是什么?
解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路是根据三
视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位
)
关键能力·学案突破
考点(kǎo
考点(kǎo
diǎn)1
diǎn)2
-21-
(kǎo
diǎn)3
考点
解析:由三视图知,剩余部分的几何体是四棱锥 P-ABCD 被平面
QBD 截去三棱锥 Q-BCD(Q 为 PC 中点)后的部分,连接 AC 交 BD 于
1
O,连接 OQ,则 OQ∥PA,且 OQ=2PA,
1
为2,底面积为 ×(1+2)×2=3,可得几何体的体积为V=3×2=6,故选C.
2
第十八页，共六十四页。
-18-
关键能力·学案突破
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
-19-
考点(kǎo
diǎn)3
思考由三视图求解几何体体积的解题策略是什么?
解题心得1.若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台
圆台)
球
体积
S 表面积=S 侧+2S 底
V=
1
Sh
3
S 表面积=S 侧+S 底
1
=1+2× ×1×1+2× ×1×
2
2
2=2+ 2,故选 C.
第十三页，共六十四页。
-13-
关键能力·学案突破
(kǎo
diǎn)1
考点
考点(kǎo
考点(kǎo
diǎn)2
diǎn)3
思考求几何体的表面积的关键是什么?
解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路是根据三
视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位
)
关键能力·学案突破
考点(kǎo
考点(kǎo
diǎn)1
diǎn)2
-21-
(kǎo
diǎn)3
考点
解析:由三视图知,剩余部分的几何体是四棱锥 P-ABCD 被平面
QBD 截去三棱锥 Q-BCD(Q 为 PC 中点)后的部分,连接 AC 交 BD 于
1
O,连接 OQ,则 OQ∥PA,且 OQ=2PA,
1
为2,底面积为 ×(1+2)×2=3,可得几何体的体积为V=3×2=6,故选C.
2
第十八页，共六十四页。
-18-
关键能力·学案突破
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
-19-
考点(kǎo
diǎn)3
思考由三视图求解几何体体积的解题策略是什么?
解题心得1.若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台
圆台)
球
体积
S 表面积=S 侧+2S 底
V=
1
Sh
3
S 表面积=S 侧+S 底