10第十章组合变形
三 组合变形时的应力叠加法
1 分解 3 叠加
a
2 计算
P
分解
=>
P
+
M=Pa
A
B
A
B
A
B
σA N
Mσ= σ‘+ σ
N ? '? N
A
叠加
σA′
M
?
?
Mzy
计算
σA
Iz
A
<=
A
+
A
σB
叠加
B
<=
σB′
σB
B
+
B
§10.2 斜弯曲
当外力作用面不通过主惯性平面时 ,则弯曲变形后 ,梁
的轴线不在外力作用面内 .
强度够了。
? '? P
A
?
Pey ?
Iz
x
b
δ
σtmax σtmin
例题2、铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材 料的许用拉应力[? t]＝30MPa，许用压应力[? c]＝120MPa。
试按立柱的强度计算许可载荷F。
F 350 F
F 350
y1 z0 y z1
150
50
150
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩 A ? 15000 mm2
22
N=P=80kN
P
M=Pe=400Nm
? '? P
A
?
My Pey ??
Iz
Iz
? t max
?
P? A
My ?
Iz
PM ?
A WZ
P
y r P
M
P
6Pe
? ? (b ? r ) ? ? (b ? r )2
? 163.3MPa ?[? ]
eP x
强度不够
讨论：若在对称位置开r =1cm缺口
+
=
? ? P ? P ? 133 .3MPa A1 ? (b ? 2r )
F
y
1( y1, z1)
? c ( y, z) ?
z sin ?
? Pl ( Iy
?
y cos ?
Iz
)
?
?? max
?
Pl (
z1 sin ?
Iy
?
y1 cos ? )
Iz
பைடு நூலகம்
中性轴 压
?
M max
(
z1
sin ?
Iy
?
y1 cos ? )
Iz
?
? max
?
? Pl (
z3
sin ?
Iy
?
y3 cos ? )
M ? 425? 10?3 F ?N.m?
I y ? 5.31? 107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
? t. max
第十章 组合变形
第十章 组合变形
§10.1 组合变形和叠加原理 一 组合变形
构件在载荷作用下所发生的变形，包括两种 以上的基本变形形式，有时几种基本变形形式对 应的应力（变形），属于同数量级而不能忽略其 中任何一种。称为组合变形。
二叠加原理的叠加条件 1 位移、应力、应变、内力与外力成齐
次线性关系。 2 材料服从胡克定律。 3 保证小变形条件。
} ? t ? ? Myz? Mzy
?c
Iy Iz
} { ? t max
? c min
? ? My ? Mz Wy Wz
? [? t ] ? [? c ]
例题1、已知：钢槽板b=8cm,δ=1cm,r=1cm,P=80kN,[σ]=140MPa.
求：校核钢板的强度。
解： e ? b ? b ? ? ? 0.5cm
——斜弯曲
z
F y
Fz
z
F
Fy
y
Fz
z
xz平面内的平面弯曲
y
z
Fy y
xy平面内的平面弯曲
已知：矩形截面梁截面宽度 b、高度h、长度l，外载荷
F，与主惯轴y成夹角? 。
求：根部截面上的最大正应力
y y
Fz z
x
z?
F F
Fz ? F sin ? ,
Fy ? F cos ?
?
Fy
y z
My
? x(M y)
Iy
Iz
Iy
Iz
中性轴的确定：
令? ? 0,
拉y
z?
z sin ? y cos ?
?
?0
Iy
Iz
则
tg? ? I z tg?
Iy
?
F
压 中性轴
（1）中性轴只与外力 F的倾角? 及截面的几何形状与 尺寸有关；
（2）一般情况下， I y ? Iz ? ? ? ?
即中性轴并不垂直于外力作用面。
拉y
z?
y
x
P z
My
Mz P1
RB
N
? ? Myz
Iy
A B
+
D
C
? '? Mzy
A
Iz
B
D
C
σ=σ‘+σ + σ‘“
A B
=D
C
σ‘A
+
σA
+
σ‘A “
=
σA=σ‘A +σ A + σ‘A “
组合应力
} ? t
?c
?
N ?
Myz ?
Mzy
A Iy Iz
} ? t max
? c max
? N ? My ? Mz A Wy Wz
强度条件:
? max ? [? ] 或者
? t max ? [? t ] ? c max ? [? c ]
注：1 对于只在一个平面内发生弯曲（如xy平面）
} ? t
?c
? N ? Mzy A Iz
} { ? t max
? c min
? N ? Mz A Wz
? [? t ] ? [? c ]
2 若无N,则成为斜弯曲
f
2 y
?
fz2
F
设总挠度与y轴夹角为? ：
一般情况下，Iy ? Iz
tg? ? fz ? FzIz ? Iz tg? ? tg ?
fy FyIy I y ? ? ??
即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲，
而不是平面弯曲。
§10.3 拉伸和压缩与弯曲的组合
六个内力分量N、My 、Mz、QY、 Qz、T 。当T＝0， QY、 Qz不属于同数量级时 成为N、My 、Mz的组合。
中性轴
y z
Mz
? x(M y) 中性轴
y
y
C(y,z) z
C(y,z) z
Mz
My
?
C1
?
?
M yz Iy
? C2
?
Mzy Iz
所以
?
C ( y, z) ? ?
C1 ? ?
C2
?
?
Myz ? Iy
Mzy Iz
? ? Fx sin ? z ? Fx cos ? y ? ? Fx ( z sin ? ? y cos ? )
M
FN
z0 ? 75mm z1 ? 125mm I y ? 5.31? 107 mm4 （2）立柱横截面的内力
50
FN ? F
M ? F ?350 ? 75?? 10?3
? 425F ? 10?3?N.m?
A ? 15000mm 2
（2）立柱横截面的内力
z0 ? 75mm
FN ? F
z1 ? 125mm
Iz
?
? M max (
z3
sin ?
Iy
?
y3 cos ? )
Iz
斜弯曲梁的位移——叠加法
中性轴 y
z ?fz ?
f
? fy
fz
?
Fz l 3 3EI y
?
F sin ? l3
3EI y
,
fy
?
Fyl3 3EI z
?
F cos? l3
3EI z
总挠度：
?? f ? fy j ? fzk
大小为：
f?
?
F
中性轴 压
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
Iy ? Iz,（所有通过形心的轴均为主惯轴）
? ? ??
所以中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪 个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。
拉y
z?
?
F
中性轴 压
对于圆形截面 y
z
?
?
F
中性轴
根部截面上的最大正应力:
拉
z?
3( y3 , z3 ) ?
组合变形
第十章 组 合 变 形第一节 组合变形的概念在前面各章中分别讨论了杆件在拉伸（或压缩）、剪切、扭转和弯曲（主要是平面弯曲）四种基本变形时的内力、应力及变形计算，并建立了相应的强度条件。
另外，也讨论了复杂应力状态下的应力分析及强度理论。
但在实际工程中杆件的受力有时是很复杂的，如图10-1所示的一端固定另一端自由的悬臂杆，若在其自由端截面上作用有一空间任意的力系，我们总可以把空间的任意力系沿截面形心主惯性轴xOyz 简化，得到向x ，y ，z 三坐标轴上投影x P ，y P ，z P 和对x ，y ，z 三坐标轴的力矩x M ，y M ，z M 。
当这六种力（或力矩）中只有某一个作用时，杆件产生基本变形，这在前面已经讨论过了。
图10-1 杆件的复杂受力杆件同时有二种或二种以上的基本变形的组合时，称为组合变形，例如：若六种力只有x P 和z M （或y M ）二个作用时，杆件既产生拉（或压）变形又产生纯弯曲，简称为拉（压）纯弯曲的组合，又可称它为偏心拉（压），如图10-2（a ）。
若六种力中只有z M 和y M 二个作用时，杆件产生两个互相垂直方向的平面弯曲（纯弯曲）的组合，如图10-2（b ）。
若六种力中只有z P 和y P 二个作用时，杆件也产生两个互相垂直方向的平面弯曲（横力弯曲）的组合，如图10-2（c ）。
若六种力中只有对y P 和x M 二个作用时，杆件产生弯曲和扭转的组合，如图10-2（d ）。
若六种力中有x P ，y P 和x M 三个作用时，杆件产生拉（压）与弯曲和扭转的组合，如图10-2（e ）。
组合变形的工程实例是很多的，例如，图10-3（a ）所示屋架上檩条的变形，是由檩条在y ，z 二方向的平面弯曲变形所组合的斜弯曲；图10-3（b ）表示一悬臂吊车，当在横梁AB 跨中的任一点处起吊重物时，梁AB 中不仅有弯矩作用，而且还有轴向压力作用，从而使梁处在压缩和弯曲的组合变形情况下；图10-3（c ）中所示的空心桥墩（或渡槽支墩），图10-3（d ）中所示的厂房支柱，在偏心力1P ，2P 作用下，也都会发生压缩和弯曲的组合变形；图10-3（e ）中所示的卷扬机机轴，在力P 作用下，则会发生弯曲和扭转的组合变形。
第 10 章 组合变形
论求轴的直径。
工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
解（一）外力分析
将各力向圆轴的截面 形心简化，画出受力 简图。
受力简图 工学院力学
第 10 章 组合变形
弯曲与扭转的组合
（二）内力分析 画出内力图如图
从内力图分析，B截面
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算
工学院力学
第 10 章 组合受力与变形杆件的强度计算 §10-1 斜弯曲 §10-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合 §10-3 弯曲与扭转的组合
工学院力学
第 10 章 组合变形
§10-1 斜弯曲
一、 产生斜弯曲的加载条件
斜弯曲
y
Fz
z α
F Fy
当杆件的两个相互垂直的对 称平面内都有载荷作用时， 梁将在两个方向同时发生平 面弯曲，这种弯曲斜弯曲。
一、荷载的分解
Fx F cos
Fy F sin
yx
z
Fx
x
二、任意横截面任意点的“σ”
Fy
F
y
1. 内力：
k z
FN ( x ) Fx F cos
M z ( x ) Fy x F sin x
工学院力学
第 10 章 组合变形
拉伸（压缩）与弯曲的组合
y 二、任意横截面任意点的“σ”
1. 内力：
FN ( x ) Fx F cos
z
M z ( x ) Fy x F sin x
x
Fx
x
Fy
F
y
2. 应力：
k z
材料力学第10章 组合变形
因此，截面O为危险截面。
危险截面上，由轴力引起的正应力均匀分布，其值
为
，由弯矩引起的正应力线性分布，其值为
。利用叠加原理，将拉伸及弯曲正应力叠加
后，危险截面上正应力沿截面高度的变化情况如图10.5
（e）所示，仍为线性分布。而且可以看出，最大拉应
力和最大压应力分别发生在O截面上、下边缘各点，其
值为
（10.4）
图10.5
依据上述分析，弯拉（压）组合变形时危险点处于单向应力状态，所以可将 截面上的σmax与材料的许用应力相比较建立其强度条件。对于拉压强度相等 的材料，强度条件为
对于抗拉与抗压性能不同的材料，强度条件为
下面举例说明弯拉（压）组合变形的强度计算。 例10.2如图10.6（a）所示的钢支架，已知载荷F=45 kN，尺寸如图。 （1）如材料为钢材，许用应力［σ］=160 MPa，试选择AC杆的工字钢型号。 （2）如材料为铸铁，许用拉应力［σt］=30 MPa，许用压应力［σc］=160 MPa，且AC杆截面形式和尺寸如图10.6（e）所示，A=15×10－3 m2，z0=75mm ，Iy=5.31×10－5 m4。试校核AC杆的强度。
其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向一致（见图10.2（b））。 为了确定横截面上最大正应力点的位置，先求截面中性轴位置。记中性轴上 任一点的坐标为(y0，z0)，由于中性轴上各点处的正应力均为零，所以由式 可得中性轴方程为
（10.2） 可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线（见图10.2（c）），其与y轴的 夹角θ为
图10.3 例10.1如图10.4（a）所示，20a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力
。已知钢的许用弯曲正应力［σ］=160 MPa，a=1 m。试求梁的许可 载荷集度［q］。 解由于梁所受到的横向力不在梁的两个纵向对称面内，此时可以将横向力向 两个纵向对称面分解（向y和z轴分解），从而将其看成是梁在其两个相互垂
材料力学10组合变形
10 组合变形110 组合变形10.1 斜弯曲10.2 拉伸（压缩）与弯曲组合变形10.3 弯曲与扭转组合变形10.4 偏心拉伸与压缩10.5 截面核心23轴向拉压M eM e扭转○○○F平面弯曲一、基本变形回顾FF4轴向拉压AF N=σFFFF NFσ5扭转PI M T ρτ=Pm axW M T =τM eM eM eM TM Tτmaxτmaxρτ6平面弯曲z z I y M =σ中性层xyz主轴平面xyσ(M z )中性轴zzW M ±=m in m ax σσF Qy M z7zx yσ(M y )中性轴平面弯曲yy I z M =σyy W M ±=m in m axσσ中性层xyz主轴平面xzF Qz M yyxz8事实上，基本变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。
FF q ＜＜FFF当几种基本变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。
二、组合变形结构上同时发生两种或两种以上的基本变形。
F檩条斜弯曲：两平面弯曲的组合910压弯组合变形ABF AxF AyPF F xF y压弯组合变形1112偏心压缩拉弯组合变形1314q弯扭组合变形15弯扭组合变形F双向弯曲与扭转组合变形16组合变形的形式有很多种，本章学习四种典型形式。
1. 斜弯曲；2. 拉伸（压缩）与弯曲组合；3. 弯曲与扭转组合；4. 偏心拉伸与压缩。
应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会一般组合变形的计算原理和方法。
1718三、组合变形下的计算⑤用强度理论进行强度计算。
基本解法：①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一种基本变形；②分别计算各基本变形下的内力及应力；④对危险点进行应力分析；分析方法：叠加法前提条件：小变形思考题1. 分析组合变形时，先分后合的依据是什么？2.叠加原理的适用条件是什么？能否应用于大变形情况？1920平面弯曲斜弯曲：两个相互垂直平面内平面弯曲的组合一、斜弯曲的特征10.1 斜弯曲21受力特征：外力作用线通过截面的弯曲中心，但不与任一形心主轴重合或平行；变形特征：变形后的挠曲线不与外力作用面相重合或平行。
建筑力学(10章) 组 合 变 形
第十章 组 合 变 形§10-1组合变形的概念前面已经知道，杆件在荷载作用下产生的变形，可分为轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转 和弯曲四种基本形式。
在工程实际中，有些秆件受力后产生的变形不是单一的基本变形，而 是同时产生两种或两种以上的基本变形，这类变形称为组合变形。
例如，图10-1（a)所示的设有吊车厂房的柱子，作用在柱子上的荷载P1和P2，它们 合力的作用线一般不与柱子的轴线重合，此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形，即 同时产生两种基本变形。
又如，图10-1 (b)所示的烟囱，除自重引起压缩变形外，水平风 力使其产生弯曲变形，也是同时产生两种基本变形。
再如，图10-1 (c)所示的曲拐轴，在 P 作用下，AB 段既受弯又受扭，即同时产生弯曲变形和扭转变形。
本章主要讨论杆件在组合变形下的应力和强度计算。
§10-2 斜 弯 曲前面第九章讨论了梁的平面弯曲，例如图10-2 (a)所示的矩形截面悬臂粱，外力P 作 用在粱的对称平面内，梁弯曲后，其挠曲线位于粱的纵向对称平面内，此类弯曲为平面弯曲。
本节讨论的斜弯曲与平面弯曲不同，例如，图l0-2（b ）所示的同样的矩形截面梁，外力的作用线通过截面的形心但不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于粱的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合变形，这里将讨论斜弯曲时的正应力和正应力强度计算。
一、正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上一般是同时存在正应力和剪应力，因剪应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a ）所示的矩形截面粱说明正应力的计算方法。
计算某点的正应力时，是将外力P 沿横截面的两个对称轴方向分解为y P 和z P ，分别计 算y P 和z P 单独作用下该点的正应力，再代数相加。
y P 和z P 单独作用下梁的变形分别为在 xy 面内和在xz 面内发生的平面弯曲，也就是说，计算弯曲时的正应力，是将斜弯曲分解为 两个平面弯曲，分别计算每个平面弯曲下的正应力，再进行叠加。
材料力学(单辉祖)第十章组合变形
弯压组合
可见，危险截面为C截面 其轴力和弯矩分别为
FNC 3 kN M c M max 4 2 8kN m
A
FAy
10kN m a x
g g f
C m
FBy
B
危险点 截面C上的最低点f 和最高点g
FN M c s A W
f
18
弯压组合
A I
4
10kN
解 首先计算折杆的支座反力 由平衡方程可得 FAx A
FAx 0, FAy 5kN, FBy 5kN
FAy
m
10kN
C 1.2m B 1.6m FBy
a x 1.6m
m
由于折杆左右对称，所以只需分析一半即可。 折杆AC部分任一截面上的内力
FN FAy sin 3 kN FS FAy cos 4 kN M xFAy cos
杆件变形分析步骤 首先, 在杆件原始尺寸上分别计算由横向力和 轴向力引起变形、应力 然后, 利用叠加原理，合成在横向力和轴向力 共同作用下杆件变形、应变和应力等物理量 若杆件抗弯刚度EI较大，轴力引起杆件的弯曲 变形较小，可以忽略
10
弯拉组合
细长杆件强度问题， 受力如图，抗弯刚度 EI，截面抗弯模量W , 横截面面积A。
n
e n
P
z b h y
30
偏心拉伸(压缩)
解: 1. 力系简化 力P对竖直杆作用等效于作 用在杆轴线上一对轴力P和 一对作用在竖直平面内力 偶mz=Pe
FN P 2000 N, M z mz Pe 120 N m
mz P
n
e n
P
mz P
可见，竖直杆发生弯拉组合变形
第十七讲： 第十章组合变形-弯扭组合
xz yz
xx
xy
yx
y y
2 1
应力状态的概念
空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态：一个主应力为零
单向应力状态：两个主应力为零
3
2
1
三、二向应力状态分析
1.斜截面上的应力
x a
y
yx xy
x
y
x αa
n
a
xy
dA
yx
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
二向应力状态分析
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
x αa
n
a
xy
x
t yx
y
正应力：拉为正；反之为负
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
二向应力状态分析
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
2 xy
2
x y
2
二向应力状态分析的图解法
2.应力圆的画法
y y
yx
D xy x
A x
D/
(y ,yx)
R
(
x
y
)2
材料力学 第十章 组合变形(4,5,6)
[例10-7]：偏心拉伸杆，弹 性模量为E，尺寸、受力如图 所示。求： （1）最大拉应力和最大压 应力的位置和数值； （2）AB长度的改变量。 分析：这是偏心拉伸问题
最大拉应力发生在AB线 上各点，最大压应力发 生在CD线上各点。
CL11TU24
解：(1)应力分析
Ph Pb N P, M y , M z 2 2 t N M y Mz c A Wy Wz
3.算例 [例10-4]求高h,宽b的矩形截面的截面核。 b （1）作中性轴Ⅰ，z , a y a 解：
（2）求载荷点① ， 2 iy b2 2 b zF ② az 2 6 b 3 z iz ③ yF 0 ① ay ④ （3）作中性轴Ⅱ ， h a z , a y 2 b y b （4）求载荷点② ， 2 2 2 Ⅰ 2 2 iy iz h h h z F 0, yF ay 6 2 3 az
（1）过截面周边上的一点作切线，以此作为第一 根中性轴； （2）据第一根中性轴的截距求第一个载荷点坐标； （3）过截面周边上相邻的另一点作切线，以此作 为第二根中性轴； （4）按（2）求于第二个中性轴对应的第二个载荷 点坐标； （5）按以上步骤求于切于周边的各特征中性轴对应 的若干个载荷点，依次连接成封闭曲线即截面核心。
中性轴把横截面分为受拉区和受压区，两个 区范围的大小受载荷作用点坐标的控制。 定义：使横截面仅受一种性质的力时载荷作用 的最大范围成为截面核心。
二.截面核心的求法 1.截距与载荷坐标的关系
z F , az ; zF , az
2.作截面核心的方法
zF 0, az ; zF , az 0
解:(1)简化外力：
第十章 组合变形
w
wy
14
三、结论 1、“σ ”代数叠加，“τ ”和变形矢量叠加。 2、对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力
M z max M y max max Wz Wy
15
例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用， []=12MPa，许可挠度为：L/200 ，E=9GPa， q 试校核此梁的强度和刚度。
（3）叠加： k k
Mz
k
My
M z yk M y z k Iz Iy
12
y b
y b
y
a
a
x
x
z
d
c
z
d
c
My
z
F
3、强度计算 危险截面——固定端
M z max Fyl ,
M y max Fz l
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
M z max ymax M y max zmax M z max M y max max max Iz Iy Wz Wy
24
M z max FN max Wz A
c
例 ：槽型截面梁 AB如图， []=140MPa。 试选择槽型截面梁的型号。 解：1、外力分解 3m A
0
1m
B 300 C Z Fy 300 FNCD C F=40kN
25
M
A
0 8 F 3
0
4 F 3FNCD sin 30 FNCD
第四强度理论 r 4 2 3 2
M 2 z max 0.75T 2 max WZ
29
例：图示结构，q=2 kN/m2，[]=60 MPa，试用第三强度理论确 定空心柱的厚度 t （外径D=60 mm）。 x 解：1、外力的简化 q B 1 3 2 F qA 2 10 500 392 ( N ) 500 4 800
第十章 组合变形
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2
6 103 0.12 0.15
6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
Wz
FN bh
F2a
1 6
bh2
6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：B 点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh
6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
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第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。