【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.1等比数列的前n项和课件 新人教A版必修5

3．理解等比数列前 n 项和公式与函数的关系． ．理解等比数列前 项和公式与函数的关系． a1(1－qn) － a1 a1 n a1 Sn ＝ q ， 设 a＝ ＝ － ＝ ，则 1－q － 1－q 1－q － － 1－q － Sn＝a－aqn，Sn 为一个常数 a 减去 a 与指数函数 － 的积， 则数列为等比数列． 的积，即若 Sn＝a－aqn，则数列为等比数列． － 4．等比数列 n}前 n 项和 Sn(Sn≠0)，前 n 项积 ．等比数列{a 前 ， T2n T3n Tn， Sn， 2n－Sn， 3n－S2n， 和 Tn， ， ， S S 则 … … Tn T2n 都成等比数列． 都成等比数列．
∴n－1＝5，即 n＝6. － ＝ ， ＝
7 63 (2)已知 S6≠2S3，则 q≠1，又∵S3＝ ，S6＝ ， 已知 ≠ ， 2 2
a1(1－q3) 7 － ＝ 2 1－q － 即 6 － a1(1－q ) 63 1－q ＝ 2 －
① ②
②÷①得 1＋q3＝9，∴q＝2. ① ＋ ， ＝ 1 将 q＝2 代入①，可求得 a1＝ ， ＝ 代入① 2 n－1 n－2 因此 an＝a1q ＝2 .
可判断数列{b 的类型 的类型． ＝2an可判断数列 n}的类型．
【解 】
(1)设等差数列 n}的公差为 d， 设等差数列{a 的公差为 ， 设等差数列
a1＋d＝9， ＝ ， 依题意得方程组 ＝ ， a1＋4d＝21，
解得 a1＝5，d＝4. ， ＝ 所以{a 的通项公式为 ＋ 所以 n}的通项公式为 an＝4n＋1.
等比数列的综合应用
例3
已知等差数列{a ， 已知等差数列 n}，a2＝9，a5＝21. ，
(1)求{an}的通项公式； 求 的通项公式； 的通项公式 (2)令bn＝2an，求数列 n}的前 项和 n. 令 求数列{b 的前 项和S 的前n项和 【思路点拨】 思路点拨】 首先求出a 首先求出 1和d，再计算 n，由bn ，再计算a
a1(1－2n) － 189＝ ＝ ， 1－2 － n－ 1 ＝ 96＝a1·2 ，
192 ∴a1·2 ＝192，∴2 ＝ . ， a1 192 n ∴189＝a1(2 －1)＝a1( －1)，∴a1＝3. ＝ ＝ ， a1 96 n－1 又∵2 ＝ ＝32，∴n＝6. ， ＝ 3 (3)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 设公比为 ，
在等比数列{a 中 变式训练 1 在等比数列 n}中， (1)已知 a1＝3， n＝96， n＝189， n； a S 已知 ， ， ， 求 ； 7 63 (2)已知 S3＝ ，S6＝ ，求 an. 已知 2 2 a 1－ a n q 解：(1)由 Sn＝ 由 可得 1－q － 3－96q － 189＝ ＝ ，解得 q＝2. ＝ 1－q － n－1 n－ 1 n－1 ＝ ， 又 an＝a1q ，∴96＝3·2 ，即 2 ＝32，
(2)由 an＝4n＋1 得 bn＝24n＋1， 由 ＋ 所以{b 是首项为 所以 n}是首项为 b1＝25， 公比为 q＝24 的等比数 ＝ 25×(24n－1) ) 于是得{b 的前 列．于是得 n}的前 n 项和 Sn＝ ＝ 4 2 －1 32(24n－1) ( ) . 15
＋
【名师点评】 名师点评】
bn ＋ 1 5 1 ∵ b ＝ 3－2n ＝ ，b1＝5， ， 25 5 n 1 ∴{bn}是以 5 为首项， 为公比的等比数列， 是以 为首项， 为公比的等比数列， 25 1 n 5[1－( ) ] － 25 125 1 ∴Sn′＝ ＝ (1－ n)． － ． 1 24 25 1－ － 25
3－2(n＋1) ( )
在等比数列{an}中， 在等比数列 中 (1)若 a1＝1，a5＝16，且 an＞0，求 S7； 若 ， ， ， (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； 若 ， ＝ ， ， ； 5 (3)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求 a4 和 S5. 若 ， 4
【 思路点拨 】 思路点拨】 (1) 由 an＝ a1q
在解决等差、 在解决等差、等比数列的综合题
时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比 重点在于读懂题意，而正确利用等差、 数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问 数列的定义、通项公式及前 项和公式是解决问 题的关键． 题的关键．
变式训练2 变式训练
已知数列{a 的前 项和S 的前n项和 已知数列 n}的前 项和 n＝2n－n2， －
例2
已知等比数列{a 中 项和S 已知等比数列 n}中，前10项和 10＝10， 项和 ，
项和S 前20项和 20＝30，求S30. 项和 ，
【 思 路 点 拨 】 法 二
设公比为q 法 一 ： 设公比为 ：
→ 根据条件列方程组 → 解出 → 代入求 30 解出q 代入求S 根据题意S 根据题意 10，S20－S10，S30－S20成等比数列 → S10＝10，S20＝30 → S30 ，
a 1－ a n q a1(1－qn) － Sn＝ S (q≠1)均为等比数列的 ， n＝ ≠ 均为等比数列的 1－q 1－q － － 求和公式， 求和公式，一共涉及 a1，an，Sn，n，q 五个量， ， 五个量， 通常已知其中三个，可求另外两个， 通常已知其中三个，可求另外两个，而且方法就 是解方程组，这也是求解等比数列问题的基本方 是解方程组， 法．
n－ 1
例1
― → 求出 ― → 求 S7 ― 求出q 公式 ― 数据
代入
利用
a1( 1－qn) － n－ 1 代入 (2) Sn＝ ， an＝ a1q ― → 列方程组 ― 求解 ― → 已知量 1－q － (3) 据 an＝ a1q
n－ 1
― ― → 列方程组 ― 求 a1，q ― 求 a4和 S5 → →
2. 5.1 等 比 数 列 的 前 n 项 和
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
an ＋ 1 1． 数列{a 为等比数列 为等比数列⇔ ． 数列 n}为等比数列⇔ a ＝q(q≠0 且 n∈N*)． ≠ ∈ ． n 2．等比数列 n}的通项公式为 an＝a1qn－1(n∈N*)． ．等比数列{a 的通项公式为 ∈ ．
n n
a1＋a1q2＝10， ， 5 3 5 a1q ＋a1q ＝ ， 4 a1(1＋q2)＝10， ＋ ， 5 3 2 a1q (1＋q )＝ . ② ＋ 4
即 ①
∵a1≠0,1＋q2≠0， ＋ ， 1 1 3 ∴②÷① ∴② ①得，q ＝ ，即 q＝ ，∴a1＝8. ＝ 8 2 13 3 ∴a4＝a1q ＝8×( ) ＝1， × ， 2 15 × － a1(1－q5) 8×[1－(2) ] 31 － S5＝ ＝ ＝ . 2 n 项和公式是：__________＝ 项和公式是： ． ＝
1 na1＋ n(n－1)d. － 2 _______________
知新盖能 等比数列的前n项和公式 等比数列的前 项和公式
课堂互动讲练
考点突破 等比数列前n项和的有关计算 等比数列前 项和的有关计算
代换
设数列{a 的公比为 【解】 (1)设数列 n}的公比为 q(q＞0)， 设数列 ＞ ， 则有 a5＝a1q4＝16， ， a1(1－q7) 1－27 － － ∴q＝2， ＝ ， 数列的前 7 项和为 S7＝ ＝ 1－q 1－2 － － ＝127. n a1(1－q ) － n－1 (2)由 Sn＝ 由 ，an＝a1q 以及已知条件得 1－q －
(2)“片断和 性质：等比数列 n}中，公比为 ，前 片断和”性质 等比数列{a 中 公比为q， 片断和 性质： m项和为 m(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－ 项和为S 项和为 ， S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为 m的等比 构成公比为q ， 构成公比为 － 数列，即等比数列的前 项的和与以后依次 项的和与以后依次m项 数列，即等比数列的前m项的和与以后依次 项 的和构成等比数列． 的和构成等比数列．
等比数列前n项和的性质 等比数列前 项和的性质
等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列 n}中， 项的个数的“ 项的个数的 奇偶”性质：等比数列{a 中 公比为 q. ①若共有 2n 项，则 S 偶∶S 奇＝q； ； a1＋a2n＋2 (q≠1 ②若共有 2n＋1 项，则 S 奇－S 偶＝ ＋ ≠ 1＋q ＋ 且 q≠－1)． ≠ ．
法一： 【解】 法一：设公比为 q，则 ，
a1(1－q10) － ＝10 1－q － a1(1－q20) － 1－q ＝30 －
① ②
② 10 10 得 1＋q ＝3，∴q ＝2， ＋ ， ， ①
a1(1－q30) a1(1－q10) － － (1＋q10＋q20) ∴S30＝ ＝ ＋ 1－q 1－q － － ＝10×(1＋2＋4)＝70. × ＋ ＋ ＝ 法二： 仍成等比数列， 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， ， ， 2 (30－10) － ) ∴S30－S20＝S30－30＝ ＝ ， 10 即 S30＝70.
2．5 等比数列的前 项和 ． 等比数列的前n项和 2．5.1 等比数列的前 项和 ． 等比数列的前n项和
学习目标 1.理解并掌握等比数列前 项和公式及其推导 理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导 理解并掌握等比数列前 过程． 过程． 2．能够应用前 项和公式解决等比数列有关问 ．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问 题． 3．进一步提高解方程 组)的能力，以及整体代换 的能力， ．进一步提高解方程(组 的能力 思想的应用能力． 思想的应用能力．
an＝log5bn，其中 n＞0，求数列 n}的前 项和． 其中b 的前n项和 ，求数列{b 的前 项和．