人教版高中数学选修2-2学案：2.2.1综合法和分析法
2.2.1综合法和分析法
【学习目标】
1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；
2.了解分析法和综合法的思考过程、特点．
【新知自学】
新知梳理：
1.综合法：
（1）一般地,利用
,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.
（2）框图表示：
（3）要点：顺推证法，由____导_____.
2.分析法
（1）一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
（2）框图表示
（3）要点：逆推证法；执____索_____.
对点练习：
1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法．其中正确的有()
A．2个B．3个
C．4个D．5个
2.设a＝lg2＋lg5，b＝e x(x＜0)，则a与b大小关系为()
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
3.求证：对于任意角θ，cos4θ-sin4θ=cos2θ.
4.求证:3+5>2+6
【合作探究】
典例精析：
例1.在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：为△ABC等边三角形.
变式练习：
设在四面体P-ABC中,∠ABC=900,P A=
PB=PC,D是AC的中点.求证:PD垂直于∆ABC所在的平面.
已知非零向量 a ，b ，且 a ⊥b ，求证： ≤ 2.
例 2. 在四面体 S - ABC 中, SA ⊥ 面ABC , AB ⊥ BC ,过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E ,过 E 作 SC 的 垂线,垂足为 F ,求证 AF ⊥ SC .
变式练习：
|a |＋|b |
|a ＋b |
2. 设 P = ，则（ ） a b c
规律总结：
(1)综合法证题的一般规律
用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般 的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结 论．
(2)分析法证题的一般规律
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充 分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
【课堂小结】
【当堂达标】
1.在不等边三角形中， 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边 a ，， 应满足________．
1 1 1 1
+ + +
log 11 log 11 log 11 log 11
2 3 4 5
A ． 0 < P < 1
B ．1 < P < 2
C ． 2 < P < 3
D ． 3 < P < 4 3.求证: 3 + 7 < 2 5
a + c
> 3.
4.已知 a ，b ，c 是全不相等的正实数，
求证: b + c - a a + c - b a + b - c b +
【课时作业】
2.若关于x的不等式(k2-2k+)x<(k2-2k+)1-x的解集为(,+∞)，则k的范围是
2≥2.
1.如果a,a,⋅⋅⋅a为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）
128
A．a a>a a B．a a<a a
18451845
C．a+a>a+a D．a a=a a
18451845
331
222
____.
3.设a,b∈R+,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2
4.如果a,b>0，则lg
a+b lg a+lg b
⎝1＋m⎭≤1＋m .
a＋mb
⎪
5.已知m＞0，a，b∈R，求证：⎛⎫2
a2＋mb2
6.设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.
求证：f(0)＝1，且当x＜0时，有f(x)＞1.。
人教(A版)高中数学选修2-2课程教学设计：2. 2 .1 综合法和分析法(2)--分析法
2.2直接证明与间接证明（教学设计）（2）2. 2 .1 综合法和分析法（2）--分析法教学目标：知识与技能目标：（1）理解分析法证明的概念；（2）能熟练地运用分析法证明数学问题；（3）综合法与分析法结合使用证明数学问题。
过程与方法目标:（1）通过实例引导学生理解分析法的思考过程与特点；（2）引导学生归纳出分析法证明的操作流程图；（3）通过实例引导学生灵活选用证明的方法。
情感、态度与价值观：（1）通过分析法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性。
（2）通过分析法的学习，养成审慎思维的习惯；（3）通过证明方法的选择，与两种证明方法的结合使用，培养学生综合解决问题的能力。
教学重点：了解分析法思考过程、特点教学难点：对分析法的思考过程、特点概括教学过程:一、复习回顾：1、综合法定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论，则综合法可表示为：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒2、综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
二、创设情境，新课引入证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q 成立的充分条件P 1，为了证明P 1成立，再去寻求P 1成立的充分条件P 2，为了证明P 2成立，再去寻求P 2成立的充分条件P 3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
三、师生互动，新课讲解：例1：求证：ab b a ≥+2（a >0，b >0） 证明：要证 ab b a ≥+2， 只需证 ab b a 2≥+，只需证02≥-+ab b a ，只需证0)(2≥-b a 由于0)(2≥-b a 显然成立，因此原不等式成立。
人教版选修2-2 2.2.1 综合法和分析法导学案
2.2.1《综合法和分析法》导学案制作王维审核高二数学组 2016-03-30【学习目标】1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法；2、了解综合法、分析法的思考过程、特点；3、能运用综合法与分析法解决有关数学问题．【学习重点】利用综合法与分析法证明问题的思路与方法【学习难点】运用综合法与分析法证明有关数学问题【预习导航】1. 若实数a，b 满足 a＋b＝4，证明：2a＋2b≥8.2. 求证：72223+<+.【问题探究】探究活动一：何谓综合法?例1 已知0,>ba，且1=+ba，求证：411≥+ba.探究活动二：什么是分析法？例2 已知非零向量⊥，求证：2≤.探究活动三：如何运用综合法和分析法证明有关数学问题？【课堂巩固练习】1、用分析法证明：欲使①A＞B，只需② C<D，这里②是①的( ) A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、下面叙述正确的是( )A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法，分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的3、已知Rdcba∈，，，，求证：)()()(22222dcbabdac++≤+．【总结概括】本节课的收获：【课后作业】必做题：教材第91页习题2.2第2,3题选做题：同步练习册课后作业提升习题。
高中数学选修2-2学案7：2.2.1 综合法和分析法
2.2.1 综合法和分析法学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 学习过程：教材新知：知识点一：综合法提出问题：阅读下列证明过程，回答问题．求证：π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期． 证明：因为f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝f (x )，所以由周期函数的定义可知，π是函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的一个周期． 问题1：本题的条件和结论各是什么？问题2：本题的证明顺序是什么？导入新知1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的框图表示 P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论)化解疑难综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.知识点二：分析法提出问题阅读下列证明过程，回答问题．求证：6＋7≥22＋ 5.证明：要证原不等式成立，只需证(6＋7)2≥(22＋5)2，即证242≥240，该式显然成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开始？问题2：证明思路是什么？导入新知1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件化解疑难分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.例题讲解：题型一：综合法的应用例1：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.类题通法综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．活学活用：已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证：4a ＋1b≥9.题型二：分析法的应用例2：设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．类题通法分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．活学活用：在锐角△ABC 中，求证：tan A tan B ＞1.题型三：综合法和分析法的综合应用例3：已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.类题通法综合法与分析法的适用范围(1)综合法适用的范围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的范围：分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． 活学活用：设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.课堂检测：1．“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中，至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．32．欲证不等式 3－5＜ 6－8成立，只需证( )A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)23．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a ＞0，1b －1＝a ＋c b ＞0，1c －1＝a ＋b c＞0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立． 5．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋b a≥ a ＋b .(要求用两种方法证明)——★ 参 考 答 案 ★——教材新知：知识点一：综合法问题1：条件：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4；结论：π是f (x )的一个周期． 问题2：从已知利用诱导公式到待证结论．知识点二：分析法问题1：从结论开始．问题2：寻求每一步成立的充分条件．例题讲解：例1：证明：∵a ，b ，c 是正数，∴b 2＋c 2≥2bc ，∴a (b 2＋c 2)≥2abc .①同理，b (c 2＋a 2)≥2abc ，②c (a 2＋b 2)≥2abc .③∵a ，b ，c 不全相等，∴b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，a 2＋b 2≥2ab 三式中不能同时取到“＝”，∴①②③式相加得a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc .活学活用：证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴4a ＋1b ＝4(a ＋b )a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋a b ＋1＝5＋4b a ＋a b≥5＋2 4b a ×a b＝5＋4＝9. 当且仅当4b a ＝a b，即a ＝2b 时“＝”成立. 例2：证明：当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式得证．活学活用：证明：要证tan A tan B ＞1，只需证sin A sin B cos A cos B ＞1. ∵A ，B 均为锐角，∴cos A ＞0，cos B ＞0.即证sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B ＜0，只需证cos(A ＋B )＜0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°＜A ＋B ＜180°，∴cos(A ＋B )＜0，因此tan A tan B ＞1.例3：证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )，所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立，∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2.两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.活学活用：证明：法一：(分析法)要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立．又因a ＋b ＞0，故只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，即需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0⇔a 2－ab ＋b 2＞ab .∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＞0，(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )，∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.例4：证明：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8.因为a ＋b ＝1，即证2a ＋1·2b ＋1≤2.因为a ≥－12，b ≥－12，所以2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 所以2a ＋1·2b ＋1≤(2a ＋1)＋(2b ＋1)2＝2(a ＋b ＋1)2＝2， 即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．课堂检测：1．[解析]由于a ，b ，c 不全相等中含有a ≠b ≠c 这种情况，所以③错误，①②都正确．[答案]C2．[解析]要证 3－5＜ 6－8成立，只需证 3＋8＜6＋5成立， 只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案]C3．[解析]本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．[答案]综合法4．[解析]用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案]a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥05．证明：法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0， 所以a b ＋b a －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b－1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b . 法二：(分析法)要证a b ＋b a ≥a ＋b ， 只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。
高中数学 2.2.1 综合法和分析法学案 新人教A版选修2-2
§2.2.1 综合法和分析法学习目标：1、了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；2、理解综合法和分析的思考过程、特点，会用这两种方法证明数学问题。
一、主要知识：1、综合法： 。
2、分析法： 。
二、典例分析：〖例1〗：（1）设,,a b c 为不全相等的正数，且1abc =。
求证：111a b c++>。
（2）已知a b c >>，求证：114a b b c a c +≥---。
〖例2〗：设,,,a b x y R ∈，且22221,1a b x y +=+=，求证：1ax by +≤。
〖例3〗：已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：lglg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++。
三、课后作业：1、函数()()ln 12x x f x e =+-（ ） A 、是偶函数 B 、是奇函数 C 、既是偶函数又是奇函数 D 、既不是奇函数也不是偶函数2、在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到A ∠为钝角的结论，对三边,,a b c 应满足的条件，判断正确的是（ ）A 、222a b c <+B 、222a b c =+C 、222a b c >+D 、222a b c ≤+ 3、设,a b R ∈，且,2a b a b ≠+=，则必有（ ） A 、2212a b ab +<< B 、2212a b ab +<< C 、2212a b ab +<< D 、2212a b +< 4、已知52x ≥，则()24524x x f x x -+=-有（ ） A 、最大值54 B 、最小值54C 、最大值1D 、最小值15、设01x <<，则11,1a b x c x==+=-中最大的一个是（ ） A 、a B 、b C 、c D 、不能确定6、若,,a b c R ∈，且1ab bc ca ++=，则下列不等式成立的是（ ）A 、2222a b c ++≥B 、()22a b c ++≥C 、111a b c++≥ D 、()13abc a b c ++≤7、a b c ==的大小关系是 。
高中数学选修2-2优质学案：2.2.1 综合法和分析法
2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.[知识链接]1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”2.必修5中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？ 答 要证a ＋b 2≥ab ， 只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a ＋b －2ab ≥0，只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立.[预习导引]1.综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.要点一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明 方法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪演练1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形.证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .①因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③ 由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0，因此a ＝c ，从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形. 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b ). 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立. 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立.综上所述，不等式得证. 规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”.跟踪演练2 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明 要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC )，只需证AE ⊥平面SBC ，只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB )，只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC ).由SA ⊥平面ABC 可知上式成立，所以AF ⊥SC .要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证明：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ). 由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立. ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立. 规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋c y＝2. 证明 由已知条件得b 2＝ac ，①2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ，4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ，所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证.1.已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A.x <x ＋y 2<y <2xy B.2xy <x <x ＋y 2<y C.x <x ＋y 2<2xy <y D.x <2xy <x ＋y 2<y [答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38， ∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D. 2.欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A.(2－3)2<(6－7)2 B.(2－6)2<(3－7)2 C.(2＋7)2<(3＋6)2 D.(2－3－6)2<(－7)2[答案] C[解析] 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证：2＋7<6＋3，只需证：(2＋7)2<(3＋6)2.3.求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 证明 因为1log b a ＝log a b ，所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360.因为log 19360<log 19361＝2，所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2. 4.已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α). 证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3， 只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12， ∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立， ∴结论得证.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.1综合法和分析法
2.2.1 综合法和剖析法【学习目标】1.认识直接证明的两种基本方法：剖析法和综合法；2.认识剖析法和综合法的思虑过程、特色．【新知自学】新知梳理：1.综合法：（ 1）一般地 ,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论建立 ,这类证明方法叫综合法.（ 2）框图表示：（ 3）重点：顺推证法，由____导 _____.2.剖析法（ 1）一般地，从要证明的出发，逐渐追求使它建立的，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个显然建立的条件(已知条件、定理、定义、公义等)为止，这类证明方法叫做剖析法．（ 2）框图表示（ 3）重点：逆推证法；执____索 _____.对点练习：1.以下表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③剖析法是执果索因法；④剖析法是逆推法．此中正确的有()A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个2.设 a＝ lg 2 ＋ lg 5 ，b＝ e x(x＜ 0)，则 a 与 b 大小关系为 ()A． a＞ b B ． a＜ bC． a＝ b D． a≤ b3.求证：关于随意角θ ，cos4sin4cos2.4.求证: 3526【合作研究】典例精析：例 1. 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、 c 成等比数列 . 求证：为△ ABC 等边三角形 .变式练习：设在四周体 P ABC 中 , ABC900, PA=PB=PC,D 是 AC 的中点 .求证 :PD 垂直于ABC 所在的平面 .例 2. 在四周体S垂线 ,垂足为 F,求证ABC 中, SAAF SC .面ABC, AB BC ,过 A 作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC 的变式练习：|a|＋ |b|已知非零向量a， b，且 a⊥ b，求证：|a＋b|≤2.规律总结：(1)综合法证题的一般规律用综合法证明命题时，一定第一找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的办理方法是宽泛地联想已知条件所具备的各样性质，逐层推动，进而由已知逐渐推出结论．(2)剖析法证题的一般规律剖析法的思路是逆向思想，用剖析法证题一定从结论出发，倒着剖析，找寻结论建立的充足条件．应用剖析法证明问题时要严格按剖析法的语言表达，下一步是上一步的充足条件．【讲堂小结】【当堂达标】1.在不等边三角形中，a为最大边，要想获得∠ A 为钝角的结论，三边 a ， b ， c 应知足________ ．2. 设P1111）log 2 11log 3 11log 4 11，则（log 5 11A ． 0P1B．1P2C． 2P3D．3 P4 3.求证 :37254.已知 a， b， c 是全不相等的正实数，求证: b c a a c b a b c 3 .a b c【课时作业】1. 假如a1 , a2 ,a8为各项都大于零的等差数列，公差 d 0 ，则（）A ．a1a8a4a5B ．a1a8a4 a5C．a1a8a4 a5D．a1a8a4 a52. 若关于x的不等式 (k23)x(k22k31 x1) ，则k的范围是2k)的解集为( ,____.222 33223.设a,b R ,且a b ,求证:aba b a b4.假如 a, ba b lg a lg b0 ，则 lg.2222a＋ mb 2 a ＋ mb6.设函数 f(x)的定义域是R，关于随意实数m， n，恒有 f(m＋ n)＝ f(m) ·f(n)，且当 x＞ 0 时， 0＜ f(x)＜1.求证： f(0) ＝ 1，且当 x＜ 0 时，有 f(x)＞ 1.。
2.2.1 综合法和分析法(人教版选修2-2)
例1:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 1:已知a>0,b>0,求证a(b 已知a>0,b>0,求证
证明:因为b 证明:因为b2+c2
≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 所以a(b 又因为c 又因为c2+b2
≥2bc,b>0
所以b(c 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2
sinθ cosθ = sin β
2 2
1 - tan α 1 - tan β 求 证: = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β )
11
练习. P89 EX1，EX2，EX3
12
则综合
Q2 ⇒Q3
…
Qn ⇒Q
5
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ ＡＢＣ中 三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ 对应的边分别为a Ａ、Ｂ、Ｃ成 对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成 等差数列， 成等比数列，求证△ 等差数列，a、b、c成等比数列，求证△Ａ ＢＣ为等边三角形 为等边三角形． ＢＣ为等边三角形．
所以 a + b − 2 ab ≥ 0 所以 a + b ≥ 2 ab
a+b ≥ ab 成立 所以 2
只需证;a + b − 2 ab ≥ 0 只需证;
( a − b )2 ≥ 0 只需证; 只需证;
因为; 因为;( a − b )2 ≥ 0 成立
a+b 所以 ≥ 2
a b成立
8
高中数学选修2-2精品学案：2.2.1 综合法和分析法
2．2.1 综合法和分析法学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.梳理(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示________、已有的________、________、________等，Q 表示所要________________)知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的______________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(__________、________、________、________等)为止，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 (1)已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. (2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 成等比数列． 求证：a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.命题角度2用综合法证明等式例2求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2在△ABC中，ACAB＝cos Bcos C，证明：B＝C.类型二分析法例3(1)已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2；(2)已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B为锐角．反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x (x<0)，则a与b的大小关系为() A．a>b B．a＝bC．a<b D．无法确定2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是()A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．[答案]精析问题导学 知识点一思考 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论． 梳理 (1)定义 公理 定理 推理论证 结论(2)已知条件 定义 公理 定理 证明的结论 知识点二思考 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 题型探究例1 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac . 因为左边＝a (1＋cos C )2＋c (1＋cos A )2＝12(a ＋c )＋12(a cos C ＋c cos A ) ＝12(a ＋c )＋12(a ·a 2＋b 2－c22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc) ＝12(a ＋c )＋12b ≥ac ＋b 2 ＝b ＋b 2＝32b ＝右边，所以a cos 2C 2＋c cos 2A 2≥32b .跟踪训练1 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3， 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.例2 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β， 所以原等式成立．跟踪训练2 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos B cos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 例3 证明 (1)要证 a 2＋1a2－ 2≥a ＋1a －2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a)＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．(2)要证B 为锐角，根据余弦定理， 只需证明cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >0，即证a 2＋c 2－b 2>0. 由于a 2＋c 2－b 2≥2ac －b 2， 要证a 2＋c 2－b 2>0， 只需证2ac －b 2>0.∵a ，b ，c 的倒数成等差数列， ∴1a ＋1c ＝2b ，即2ac ＝b (a ＋c )． 要证2ac －b 2>0， 只需证b (a ＋c )－b 2>0， 即b (a ＋c －b )>0，上述不等式显然成立，∴B 为锐角． 跟踪训练3 证明 (1)方法一 要证 a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1，只需证(a ＋a －3)2 <(a －2＋a －1)2，只需证2a －3＋2a 2－3a<2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立，∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1 >a －2＋a －3， ∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3， ∴a －a －1<a －2－a －3.(2)要证tan A tan B >1，只需证sin A sin B cos A cos B>1， ∵A 、B 均为锐角，∴cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ，即cos A cos B －sin A sin B <0，只需证cos(A ＋B )<0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°<A ＋B <180°，∴cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1. 当堂训练1．A 2.A 3.C 4.<5．证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y) ＝(2＋y x )(2＋x y) ＝4＋2(y x ＋x y)＋1≥5＋4＝9＝右边， 原不等式得证．方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立， ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ，只需证明(1＋1x)(1＋11－x)≥9，即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，即证2＋x－x2≥9x－9x2，即证4x2－4x＋1≥0，即证(2x－1)2≥0，此式显然成立．∴原不等式成立．。
高中数学 2.2.1综合法与分析法教学案 新人教a版选修2-2
第二章第2节直接证明与间接证明一、综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。
3．综合法是从推导到的方法。
而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。
综合法是由导，分析法是执索。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b∈R+，求证：例3.已知a,b,c ∈R ，求证（I ）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,22．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ） A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
高中数学 2.2.1《综合法和分析法》教案 新人教A版选修2-2
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案教学目标：（一）知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法: 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；（三）情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc .分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B +60A B +=. （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 100 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c +=++++. 3. 作业：教材P 102 A 组 2、3题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b a b +>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例2：见教材P 97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例3：见教材P 99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，即证：2cos C C -≥cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 100 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。