数列{an}的通项公式的求法(全)
（其中，k, b, c, m, s为常数）
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
(2)通项公式为an1 kan c bn可化为an1 mbn1 k (an mbn ) （其中，k, b, c, m为常数）
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s ) （其中，k, b, c, m, s为常数）
如：通项公式为an1 2an 3n 可化为an1 m 3n1 2(an m 3n ) 解得 m 1 即化为an1 3n1 2(an 3n )
(3)通项公式为an1 kan c bn +t可化为an1 mbn1 s k (an mbn s )
(4)通项公式为an1 kan ban1可化为an1 san t (an san1 ) （其中，k, b, s, t为常数）
八、倒数法>>
适用于an1 k1an 的形式，(其中，k1 ,k 2 ,b1 ,b2为常数). k2an b2
本节作业
1、数列{an }中, a1 2, an1 an 2n , 求{an }的通项公式.
an 2 n 3 an 3 n 1
.........................
n1 n 2 n 3 3 2 1 1 ... n1 n n1 5 4 3 2 1 n( n 1)
a2 1 a1 3
1 1 当n 1时， a1 1 (1 1) 2 1 综上所述an n( n 1)
n -1)n1 ] 4
倒数法
类型：通项公式为an1 k1an 的形式，(其中，k1 ,k 2 ,b2为常数). k2an b2
2an a 1, 1,a an , , 求{an }的通项公式. 例题 : 数列{an }中,a 1 n 1 1 1 aa 22 3 nn
a n 1 3 an1 3 2(an 3) 即 2 an 3
又 a1 3 2 3 5
{an 3}是以5首项，2为公比的等比数列。
an 3 5 2n1 an 5 2n1 3
(1)通项公式为an1 kan b可化为an1 m k (an m ) （其中，k, b, m为常数）
例题 : 数列{an }中,a1 5, a2 2, an 2an1 3an2 (n 2), 求an .
解 : an 2an1 3an 2 ,（n>2） an1 an 3(an an1 )及an1 3an (an 3an1 )
a n 1 an an1 3an 即 3及 1 a n an 1 an 3an1
普通高中课程标准实验教科书数学必修⑤
第二章《数列》
§2.6.2数列{an}的通项公式的求法
一、观察法（不完全归纳法） 二、公式法 三、作差法 四、累加法（叠加法、迭加法）>> 五、累乘法（叠乘法、迭乘法）>> 六、差分法>> 七、待定系数法>> 八、倒数法>>
累加法（叠加法、迭加法）
类型：递推公式为an1 an f (n)或an1 an f (n)的形式
例题 : 数列{an }中, a 1, an 22, n, 求{an }的通项公式. a1 2, ana 3n 1 a 1n n
解：由已知，有a n1 an 2n
当n 2时
(2n 2) (2n 4) (2n 6) ... 2 1 an an1 2n 2 ( n 1) [(2n 2) 2] an1 an 2 2n 4 1 2 an 2 an 3 2n 6 n2 n 1 ......................... 2 当 n 1 时， 1 1 1 1 a1 a2 a1 2 2 综上所述 a n n1 n a1 1
解：由已知，得 1 an 1 2 3 an
又
1 an1
1 3 2( 3) an
即
1 3＝1 4＝5 a1
3 an 1 1 3 an
1
＝2
1 { 3}是以4为首项，2为公比的等比数列。 an 1 1 n 1 n 1 an n 1 3 4 2 2 2 3 an
适用于an1
an 1 an f (n)或 f ( n)的形式 an
六、差分法>>
适用于an1 kan b. (其中，k和b为常数)
七、待定系数法>>
(1)通项公式为an1 kan b可化为an1 m k (an m ) （其中，k, b, m为常数）
待定系数法
类型：通项公式为an1 kan f (n)或an1 kan ban1的形式. (其中，k和b为常数)
例题 : 数列{an }中,a1 1, 2,a an 3 2a an 1 3, 求{an }的通项公式. n 1 1 n
解法二： 数列{a n }中，a n1 2an 3
a2 2a1 3 2 2 3 7 a2 a1 7 2 5
a n 2an1 3(2)
{an1 an }是以5首项，2为公比的等比数列。
an1 an 5 2n1 即2an 3 an 5 2n1 an 5 2n1 3
如：通项公式为an1 2an 3可化为an1 m 2(an m ) 解得 m3 即化为an1 3 2(an 3)
(2)通项公式为an1 kan c bn可化为an1 mbn1 k (an mbn ) （其中，k, b, c, m为常数）
本节小结
一、观察法（不完全归纳法） 适用于选择、填空题
二、公式法 三、作差法
S1 an S n S n 1
( n 1) ( n 1)
四、累加法（叠加法、迭加法）>>
适用于an1 an f (n)或an1 an f (n)的形式
五、累乘法（叠乘法、迭乘法）>>
解：由已知，有
类型：an1 an f (n)或
an 1 f (n)的形式 an
an n1 an 1 n 1
an 1 n 2 an 2 n
an n1 an 1 n 1
当n 2时
an an1 an 2 a4 a3 a2 an ... a1 an1 an 2 an 3 a3 a2 a1
又 a2 a1 2 5 7, a2 3a1 2 3 5 13
{an 1 an }是以7为首项，3为公比的等比数列。 {an 1 3an }是以-13为首项，-1为公比的等比数列。
an 1 an =7 3 n 1 an 1 3an =-13 (-1)
an 1 2、数列{an }中, a1 2, 1 , 求{an }的通项公式. an 1 n
3、数列{an }中,a1 2, an1 3an 6, 求{an }的通项公式. (写出两种解法)
an (an an1 ) (an1 an2 ) ... (a2 a1 ) a1
累乘法（叠乘法、迭乘法）
1 n n 1 a 1,,a an 例题 : 数列{an }中, a ann1 an 的通项公式. 1 1 1 , 求{an } 2 nn 11
差分法
类型：递推公式为an1 kan b. (其中，k和b为常数)
例题 : 数列{an }中,a1 2, an1 2an 3, 求{an }的通项公式.
解： 数列{a n }中，a n1 2an 3 (1)
n 1时， 有
又
a n 1 an 2 (1) (2), 得a n1 an 2(an an1 ) 即 an an 1
数列通项公式求法及答案
若数列的递推公式为a 13, a * 12(* ¥），则求这个数列的通项公式a *例2.①已知数列a *的前*项和S *满足S * 2a *3,门 1 •求数列a *的通项公式.a *S * 1数列通项公式、求和的常见题型等差数列定义：公差da * i a *3 , a * 2 (n 1) ( 3) = n+5门1等比数列定义：公差q ・ 3, a * 23a“练习(a*、公式法已知数列的前*项和S *与a *的关系，求数列a *的通项a *可用公式12求解.(注意 S 1 a 1 , a * 3 2* 1)、定义法例题1:⑴在数列｛ a n ｝中，若a i 2 ， an 1 an 3,贝Ua* _____________________⑵在数列｛ a n ｝中，若a i2 , a * i 3a * , 贝U a n = ______________3(1)数列a n 的前n 项和S n 满足S n 1),(n N )求数列a n 的通项②已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n2门2 n1，求数列a n 的通项公式.应用 a n S n S n !得 B n 4n-2③ 已知等比数列a n 的首项印1，公比0 q 1，设数列b n 的通项为 b n a n 1 a n 2，求数列 g 的通项公式。
③解析：由题意，b n 1 a n 2 a n 3，又a *是等比数列，公比为qbn 1b na n 2a n 3q，故数列b n 是等比数列，D a 2 a 3 ag ag q(q 1)，an 1 an 2二 b nq (q n 10 qq n (q 1)练习公式• ( a n 3n )、归纳法:1 1 1 1 J JJ135 7(3)9，99，999, 9999, (4) 8，88,888,8888,(1) a n1 2n 1n 11⑵a n ( 1)(3) a n10n 1 (4) a n 8(10n 1)9四、分组求和法:把整个式子拆分成等差数列和等比数列例4、求和3)(a n n ) (2n 3 5 n )(6 3 5 3)1n — 2n解：五、升次，错位相减法：含x 的项是等比数列，系数是等差数列练习求和 1 弓 2 22 57 23242n 1cc 1( Sn32n 3 2n )六、累加法累加法形如a n 1 a n f (n )型， a n 1 ，a n 相邻两项系数相等， f (n )是一个常数,则直接用等差数列通项公式求出(例 1之(1)), f ( n )是一个关于n 的变量，根据递推公 式，写出a i 到a n 的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。
数列通项公式的常见求法
数列通项公式的常见求法陕西省咸阳西北工业大学启迪中学廉庚数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列通项公式的求法是常考的一个知识点，一般出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩.本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行了较为系统的分析和总结。
希望能对读者有所帮助.一．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．二．常见数列通项公式的求法题型一观察法由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝n?n＋1?2 D．an＝n?n－1?2(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.解析：(1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n?n＋1?2.∴an＝n?n＋1?2.(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，∴an＝2n＋1n2＋1.思维升华：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．题型二公式法由等差数列与等比数列通项公式直接求通项公式这种方法只需要根据首项和公差（公比）直接代入通项公式即可求出，在此不需赘述.题型三由an与Sn的关系求通项公式例2：(1)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________.解析：由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.解析：①当n=1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.②当n=1时，a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2?3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2?3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2?3n－1，n≥2.思维升华：已知Sn，求an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．这种方法可以形象的称为“三部曲”或者称为“当当当”.题型四由数列的递推关系求通项公式例3根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)；(2)a1＝1，an＋1＝2nan；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解析：(1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝ln nn－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln 32＋ln 2＋2＝2＋ln(nn－1?n－1n－2?…?32?2)＝2＋ln n(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N＋)．(2)∵an＋1＝2nan，∴anan－1＝2n－1 (n≥2)，∴an＝anan－1?an－1an－2?…?a2a1?a1＝2n－1?2n－2?…?2?1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2n?n－1?2.又a1＝1适合上式，故an＝2n?n－1?2.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2?3n－1，故an＝2?3n－1－1.思维升华：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．。
(完整版)求数列的通项公式方法总结
题型四：求数列的通项公式一.公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。
二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法1、叠加法：一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++Λ的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。
即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥；【例1】已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n +==++，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++……1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n=- 2、叠乘法：一般地对于形如“已知a 1，且n1n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。
即：121121n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥； 【例2】在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。
解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n n a a n n ， 1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a =n n n 11433221=-⋅⋅Λ 所以n a n 1= 3、构造法：当数列前一项和后一项即n a 和a n-1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。
数列求通项公式完美版八种方法
数列求通项公式的方法（八种方法）（一）由数列的前几项求数列的通项公式（观察法）1．(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n＝________.(2)数列{a n}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n＝________.解析：(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n＝(－1)n1n(n＋1).(2)数列{a n}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n＝2n＋1n2＋1.答案：(1)(－1)n1n(n＋1)(2)2n＋1n2＋1由数列的前几项求数列通项公式的策略根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等.（二）由a n与S n的关系求通项a n（公式法）2．(2017·东营模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．解析：(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，T n－1＝2S n－1－(n－1)2，则S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]＝2(S n－S n－1)－2n＋1＝2a n－2n＋1.因为当n＝1时a1＝S1＝1也满足上式，所以S n＝2a n－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2(n－1)＋1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1－2，所以a n＝2a n－1＋2(n≥2)，所以a n＋2＝2(a n－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{a n＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n＋2＝3×2n－1，∴a n＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以a n＝3×2n－1－2.1．规律方法已知S n求a n的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．（三）由递推关系求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有：(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . （累乘法） (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n . （累加法）(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . （构造法一）(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n . （取倒数法，构造二）命题点1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解析：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， 所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .命题点2 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解析：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2. 命题点3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n5．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n－1－1.1111()n n n n n n n n a pa qa a xa pa q x px q x a x p a x ++++=+===+⇒=+⇒-=-数列第一类型解释：代换 代入 原式命题点4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．课堂练习 a n 与S n 的关系求通项a n （公式法）1.已知数列{}n a 的前n 项和为23nn S =-,则n a = ．2.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，12n n na S +=.则n a = ．3.数列{}n a 满足112n n S a =-，则n a = ． 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于5.各项为正数的数列{}n a 满足2421n n n a S a =--(*n ∈N ),其中n S 为{}n a 前n 项和.(1)求1a ,2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式6.已知2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 211-=（*∈N n ）．求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ； ( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.9、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. （累加法）10、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列的通项公式
数列的通项公式授课：刘柳城 2010、10、10本课要点：一、什么叫数列的通项公式？如果一个数列的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.二、求数列的通项公式有哪些类型和方法？ （一）可直接用结论的：①若数列{}n a 是等差数列，则通项公式是1(1)n a a n d =+-； ②若数列{}n a 是等比数列，则通项公式是11n n a a q -=；③若题目先给出数列{}n a 的前n 项和n S ，则通项公式是11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩例1（1）设223n S n n =-，则数列{}n a 的通项公式n a =___________（2）设12n n S e n -=+，则则数列{}n a 的通项公式n a =___________解答：（1）∵ 111,2a S n ==-≥时，145n n n a S S n -=-=- ∴ 数列{}n a 的通项公式是45n a n =-；（2）∵ 113,a S ==2n ≥时，12212(1)2n n n n n n a S S e ee e ----=-=-+=-+ ∴ 数列{}n a 的通项公式是23(1)(1)2(2)n n n a e e n -=⎧=⎨-+≥⎩（二）叠加法与累乘法①如发现{}1n n a a --是等差数列或等比数列，则可用叠加法：121321()()()n n na a a a a a aa -=+-+-++- ②如发现1n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，则可用累乘法：321121.n n n a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅ 例2已知数列{}n a 中，111,2n n a a a n +==+，求此数列的通项公式n a .解答：∵ 12n n a a n +-=，11a = ∴ 2121a a -=⋅3222a a -=⋅4323a a -=⋅…………12(1)n n a a n --=⋅-将上述等式相加，得12[123(1)](1)n a a n n n -=++++-=- ∴数列{}n a 的通项公式是21n a n n =-+例3已知数列{}n a 中，112,3nn n a a a +==+，求此数列的通项公式n a .解答：∵ 112,3nn n a a a +=-=∴ 213a a -=2323a a -=3433a a -=……………113n n n a a ---=将上述等式相加，得23113333n n a a --=++++∴数列{}n a 的通项公式是31.2nn a +=例4已知数列{}n b 中，118,2nn n b b b +==，求此数列的通项公式n b .解答： ∵12nn nb b +=∴ 212b b =，2322b b =，3432,b b =…，112n n n b b --=将上述等式相乘，便得2(1)6123(1)2212822.n n n n n n b b --+++++-=⋅=⋅=（三）构造新的等差或等比数列，用转化的思想求数列的通项公式①待定系数法：形如1n n a pa t +=+（0p ≠）的数列，一定可求得“待定系数”k ，使新数列{}n a k -构成以p 为公比的等比数列；（参考例5之解答）） ②取“倒数法”：形如1n n n ta a pa t+=+（0t ≠）可化为111n np a a t+=+因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.例5已知数列{}n a 中，117,32n n a a a +==-，求此数列的通项公式. 解答：本解答采用“待定系数法”令13()n n a k a k +-=-，则132n n a a k +=-将此式与已知递推关系式132n n a a +=-比较，便得1k = ∴ 数列{}1n a -是公比为3等比数列∴ 1111(1)36323n n nn a a ---=-⋅=⋅=⋅∴数列{}n a 的通项公式123.nn a =+⋅例6已知数列{}n a 中，112,63nn n a a a +==+，求此数列的通项公式.解答：∵ 112,63nn n a a a +==+，∴1111116312333333nn n n n n n n n na a a a ++++++=+⇒=⋅+设3n n na b =，则1123n n b b +=+且123b =仿例5用“待定系数法”可求得1123n n b -=-，∴1111263.332n n n n n na a --=-⇒=⋅-例7已知数列{}n a 中，111,31n n n a a a a +==+，求此数列的通项公式.解答：本解答采用“取倒数法” ∵ 111,31n n n a a a a +==+，∴11111133n nn na a a a ++=+⇒-=∴ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为3的等差数列，故11(1)332n n n a =+-⋅=-∴数列{}n a 的通项公式1.32n a n =-（四）用“不完全归纳法”（即从前几项探索规律，猜测出该数列的通项公式） 例8写出数列5,55,555, 的一个通项公式. 解答：∵ 231235555(101),55(101),555(101),999a a a ==-==-==-∴ 可猜测知数列{}n a 的通项公式5(101).9n n a =-例9写出数列1,0,1,0,1,0 的一个通项公式.11(1)2n n a -+-=例10写出数列1,1,2,2,3,3,4,4, 的一个通项公式. ∵ 123456112031405160,,,,,,222222a a a a a a ++++++======∴ 据此，结合例9的通项公式，可猜测知数列{}n a 的通项公式111(1)21(1)2.24n n n n n a --+-+++-==例11已知已知数列{}n a 中，2113,n n a a a +==，则此数列的通项公式是_____________解答：∵ 2113,n n a a a +==，∴ ()222224282132433,33,3,a a a a a a =======∵ 3的指数依次是1,2,4,8, ，即3的指数是12n - ∴ 可猜测知数列{}n a 的通项公式123.n n a -=（五）其他（可自行收集归纳）例12已知已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(3)23n n p S pa p -+=+（p 为常数且3p <-）求数列{}n a 的通项公式. 解答：∵ (3)23n n p Spa p -+=+……①∴ 11(3)23n n p S pa p ++-+=+ ……②②-①得 111(3)220(3)2n n n n n p a pa pa p a pa +++-+-=⇒+= ∴123n na p a p +=+，又1111(3)23,p S pa p S a -+=+=∴ 1(3)3p a p +=+，但30p +≠，∴ 1 1.a =∴数列{}n a 是首项为1，公比为23pp +的等比数列，故其通项公式12.3n n p a p -⎛⎫= ⎪+⎝⎭三、小结：“不完全归纳法”只可用于填空或选择题，如用于解答题则还要有后续检验、论证；除此法，其他方法均可用于解答题.四、练习：教学版p 72—73 五、作业：练习B p 22—23.。
等差数列通项公式
18.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a4＝1，S5＝10，则当 Sn 取得最大值时，n 的值为
________
解析
a4＝a1＋3d＝1， 由 S5＝5a1＋5×4d＝10，
2
解得 a1＝4， d＝－1，
∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5 且同时最大．
∴n＝4 或 5.
19.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为 d，前 n 项和为 Sn，当且仅当 n＝8 时，Sn 取得最大值，
6.已知数列
{an}满足
a1＝4，an
＝4－ 4 an－1
(n
>1)，记
bn
＝an－1 2.求证：数列{bn}是等差数列．
等差数列的证明
方法二
∵bn
＝1， an－2
证明
方法一
1
∵bn＋1＝an＋11－2＝
4－ 4 an
＝ an ， －2 2an－2
∴bn＋1
＝ an
1＝ ＋1－2
∴bn＋1－bn
＝ an 2an－
2
பைடு நூலகம்
2
(2)设{an}，{bn}都是等差数列，且 a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则 a37＋b37 等于( C )
A．0
B．37
C．100
D．－37
(2)设 cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，
则{cn}也是等差数列，且 c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，
c2＝a2＋b2＝100，
12. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n，求 an.
解 当 n＝1 时，a1＝S1＝3；
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n －1＝2·3n－1.
(课标专用 5年高考3年模拟A版)高考数学 第六章 数列 3 等比数列及其前n项和试题 文-人教版高
等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的定义及通项公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式.③了解等比数列与指数函数的关系2018课标全国Ⅰ,17,12分等比数列判定及通项公式递推公式★★★2017课标全国Ⅱ,17,12分等比数列基本量计算等差数列基本量计算等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2015课标Ⅱ,9,5分等比数列下标和定理等比数列通项公式★★☆等比数列的前n项和掌握等比数列的前n项和公式2016课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和等差数列基本量计算★★★2018课标全国Ⅲ,17,12分等比数列前n项和公式等比数列通项公式2017课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和计算等差数列的判定2015课标Ⅰ,13,5分等比数列前n项和计算等比数列定义分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.破考点【考点集训】考点一等比数列的定义及通项公式1.(2019届某某某某模拟,6)已知等比数列{a n}各项均为正数,满足a1+a3=3,a3+a5=6,则a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=( )A.62B.62√2C.61D.61√2答案 A2.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}是等比数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n)=22(a n-2a n-1)=…=2n(a2-2a1)≠0,∴a a+2-2a a+1a a+1-2a a=2,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴a a+12a+1-a a2a=12,∴{a a2a}是首项为12,公差为12的等差数列,∴a a2a=a2,则a n=n·2n-1.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某马某某第二次教学质量监测,5)已知等比数列{a n}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( )A.2B.4C.92D.6答案 B2.(2019届某某某某新华区模拟,9)已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是( )A.2√3B.2√2C.8D.6答案 A考点三等比数列的前n项和1.(2018某某某某教学质量检测(二),16)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=3-2a+32a,n∈N*,则a1+a2+…+a n=.答案1-12a2.(2019届某某某某模拟,15)设等比数列{a n}的前n项和为S n,8a2-a5=0,则公比q的值为,若-a a2a有最大值-2,则a1的值为.答案2;43.(2018某某(长郡中学、某某八中)、某某(某某二中)等十四校第二次联考,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=2a3+2.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)若{a aa a}的前n 项和为S n ,求证:S n <2.解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{2a =2(1+a ),2a 2=2(1+2d)+2,解得{a =1,a =2或{a =-1,a =0(舍), ∴a n =n,b n =2n. (2)证明:由(1)知a a a a =a2a, ∴S n =12+222+323+…+a -12a -1+a2a, 则12S n =122+223+324+…+a -22a -1+a -12a+a 2a +1,两式相减得12S n =12+122+123+…+12a -a2a +1=12[1-(12)a ]1-12-a2a +1,∴S n =2-(12)a -1-a2a ,∴S n <2.炼技法 【方法集训】方法 等比数列的判定方法1.(2019届某某某某模拟,15)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形两直角边上再连接正方形,……,如此继续下去,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为√2,则最小正方形的边长为.答案 1162.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值X 围是. 答案 (1,+∞)过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a aa. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(a +1)aa n .将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a a +1a +1=2a aa,即b n+1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a a a=2n-1,所以a n =n·2n-1.2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.解析 设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1. 由a 2+b 2=2得d+q=3①. (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2=6②. 联立①和②解得{a =3,a =0(舍去),或{a =1,a =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q-20=0. 解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6.考点二 等比数列的性质及其应用(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2B.1C.12D.18答案 C考点三 等比数列的前n 项和1.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n=. 答案 62.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.3.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +a 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n. (2)由(1)可得S n =a 1(1-a a )1-a =-23+(-1)n·2a +13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2a +3-2a +23=2[-23+(-1)a·2a +13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2018,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223f C.√2512fD.√2712f答案 D2.(2014某某,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,……,A 5A 6=a 7,则a 7=.答案 14考点二 等比数列的性质及其应用(2015某某,13,5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b=. 答案 1考点三 等比数列的前n 项和1.(2017某某,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 答案 32解析 设等比数列{a n }的公比为q. 当q=1时,S 3=3a 1,S 6=6a 1=2S 3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得{a 1(1-a 3)1-a =74,a 1(1-a 6)1-a=634,解得{a 1=14,a =2,∴a 8=a 1q 7=14×27=32.2.(2018某某,18,13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.解析 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n =1-2a1-2=2n-1.设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4. 由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n, 所以,S n =a (a +1)2.(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+ (2))-n=2×(1-2a )1-2-n=2n+1-n-2.由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得a (a +1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n 的值为4.3.(2016,15,13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和. 解析 (1)等比数列{b n }的公比q=a 3a 2=93=3,(1分)所以b 1=a 2a=1,b 4=b 3q=27.(3分)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2.(5分) 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此=a n +b n =2n-1+3n-1.(8分)从而数列{}的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n-1=a (1+2a -1)2+1-3a1-3=n 2+3a -12.(13分)C 组 教师专用题组考点一 等比数列的定义及通项公式1.(2014某某,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1a 4=81,解得{a 1=1,a =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =a (a 1+a a )2=a 2-n2.2.(2014,15,13分)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意得 d=a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n -a n }的公比为q,由题意得 q 3=a 4-a 4a 1-a 1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n-1=2n-1. 从而b n =3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n =3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n 项和为1×1-2a1-2=2n-1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n(n+1)+2n-1.3.(2013某某,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和S n=3a-12.4.(2013某某,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明S n+1a a ≤136(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=32×(-12)a-1=(-1)n-1·32a.(2)证明:S n=1-(-12)a,S n+1a a=1-(-12)a+11-(-12)a={2+12a(2a+1),n为奇数,2+12a(2a-1),n为偶数.当n为奇数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S1+1a1=136.当n为偶数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S2+1a2=2512.故对于n∈N*,有S n+1a a ≤136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 B2.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64答案 C3.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和1.(2013课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )3A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n答案 D2.(2013某某,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 63.(2013,11,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-24.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和为T n,求T n.(2)设数列{1a a解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a a=12a .所以T n =12+122+…+12a =12[1-(12)a ]1-12=1-12a .5.(2015某某,16,13分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公差为d,则由已知条件得 a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12, 故通项公式a n =1+a -12,即a n =a +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q,则q 3=a 4a 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =a 1(1-a a )1-a =1×(1-2a )1-2=2n-1.6.(2014某某,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,点(a n ,b n )在函数f(x)=2x的图象上(n∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n a a 2}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可知,b n =2a a >0, 当n≥1时,a a +1a a=2a a +1-a a =2d, 所以数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(x-a 2)2a 2ln 2,该切线在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意知,a 2-1ln2=2-1ln2,解得a 2=2. 所以d=a 2-a 1=1,a n =n,b n =2n,a n a a 2=n·4n.于是,S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n-1+n×4n,4S n =1×42+2×43+…+(n -1)×4n +n×4n+1, 因此S n -4S n =4+42+ (4)-n×4n+1=4a +1-43-n×4n+1=(1-3a )4a +1-43.所以S n =(3a -1)4a +1+49.7.(2013某某,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q≠0.由题意得{a 2-a 4=a 3-a 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1a 2-a 1a 3=a 1a 2,a 1q(1+q +a 2)=-18, 解得{a 1=3,a =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1. (2)由(1)有S n =3·[1-(-2)a]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N ,k≥5}.【三年模拟】 时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018某某某某一模,3)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=3,S 6=63,则S 5=( ) A.-33 B.15 C.31 D.-33或31 答案 D2.(2018某某某某调研,4)已知等比数列{a n }的公比为正数,前n 项和为S n ,a 1+a 2=2,a 3+a 4=6,则S 8等于( ) A.81-27√3 B.54C.38-1D.80 答案 D3.(2019届某某模拟,6)设数列{(n 2+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为( )A.1415B.1516C.1617D.1718答案 B4.(2019届某某渝中区模拟,7)已知各项均为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为√2,则a 42+a 62的最小值是( ) A.1B.2C.4D.8答案 C5.(2019届某某双台子区模拟,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且满足:a 1+3a 3=72,S 3=73,则a 4=( ) A.14B.18C.4D.8答案 A6.(2019届某某杨浦区模拟,11)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=64,且数列{a a +1a a}是等比数列,其公比q=-12,则数列{a n }的最大项等于( ) A.a 7B.a 8C.a 6或a 9D.a 10答案 C二、填空题(共5分)7.(2019届某某某某模拟,15)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n+r,则a 3-r=,若数列{a (a +4)(23)a}的最大项是第k 项,则k=. 答案 19;4三、解答题(共20分)8.(2018某某福安一中考试,17)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=4,a 3+a 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的前n 项和S n =n 2+n+2n+1-2(n∈N *),求证:数列{a n -b n }是等差数列. 解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0. 因为{a 2=4,a 3+a 4=24,所以{a 1q =4,a 1a 2+a 1a 3=24,两式相除得q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a 1=a2a =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4;当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,∴b n=2n+2n(n∈N*).设=a n-b n,则=-2n,当n≥2时,--1=-2,∴{}即{a n-b n}是等差数列.9.(2019届某某模拟,18)已知等比数列{a n}的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n lo g12a n,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.解析(1)由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2).因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以{a1q+a1a3=20,a1a2=8,解得{a1=2,a=2,或{a1=32,a=12.又q>1,所以{a n}为递增数列. 所以a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)b n=a n lo g12a n=2n·log122n=-n·2n.S n=b1+b2+…+b n=-(1×2+2×22+…+n×2n)①,则2S n=-(1×22+2×23+…+n×2n+1)②,②-①,得S n=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 即数列{b n}的前n项和S n=2n+1-2-n·2n+1,由S n+n·2n+1=2n+1-2>62,得n>5,所以正整数n的最小值为6.。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
数列求通项公式典型例题及答案
数列求通项公式1、累加法 ：适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。
例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：2n a n =】例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：3 1.nn a n =+-】练1.1 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.【答案：12+-=n n a n 】练1.2 已知数列}{n a 满足)2()1(1,311≥-+==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案：n a n 12-=】2、累乘法适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。
例2.1 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2,111+==+，求数列的通项公式。
【答案：)(2)1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。
【答案：12-=n n na 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯】练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.【答案：na n 1=】3、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
递推公式求通项公式
用递推公式求通项的六种方法：等差数列和等比数列有通项公式；累加法；累乘法；构造法；错位相减法。
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子表示出来，称作该数列的通项公式。
累加法：用于递推公式为an+1=an+f(n)，且f(n)可以求和。
累乘法：用于递推公式为an+1/an=f(n)且f(n)可求积。
构造法：将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列。
错位相减法：用于形如数列由等差×等比构成：如an=n·2^n。
用迭代法：此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．。