用公式法解一元二次方程 北师大版
淄博市第九中学九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程教学案无答案新版北师大版0
3 用公式法求解一元二次方程教学目标【知识与技能】1.理解求根公式的推导过程和判别公式.2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. 【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想. 【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用. 【教学难点】理解求根公式的推导过程及判别公式的应用. 教学过程一、情境导入,初步认识用配方法解方程： （1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0【教学说明】学生板演，复习旧知. 二、思考探究，获取新知1.探究：用配方法解方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）.分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.解：移项，得：ax 2+bx=-c因为a ≠0，所以方程两边同除以a ，得： x 2+b a x=c a- 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=c a -+（2b a）2即（x+2b a ）2=2244b aca- ∵a ≠0，∴4a 2>0，当 b 2-4ac ≥0时，2244b ac a -≥0∴x+2b a =即∴x 1=2b a -+x 2=2b a-【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子b 2-4ac ≥0），就可求出方程的根；（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac ≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ （1）2x 2-3x=0；（2）3x 2；（3）4x 2+x+1=0.【归纳总结】（1）当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根，即x 1x 2；（2）当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=-2ba； （3）当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根. 【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b 2-4ac 的关系. 三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程. （1）2x 2-x-1=0； （2）x 2+1.5=-3x ；（3）x 2；（4）4x 2-3x+2=0.分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值，再算出b2-4ac的值，最后代入求根公式求解.【教学说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c 确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.2.不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=-3；（2）9x2+6x+1=0；（3）2x2-9x+8=0；（4）x2-7x-18=0.分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.3.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）.分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a的取值范围.解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根.∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a，∴所求不等式的解集为x<-3/a.【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式.四、师生互动，课堂小结本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.教材反思通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.切线的性质和判定学习目标1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)；3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．教学过程一、情境导入约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？二、合作探究探究点一：切线的性质【类型一】切线的性质的运用如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC的度数为( )A．20° B．35° C．55° D．70°解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°.∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.故选A.方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．【类型二】利用切线的性质进行证明和计算如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线PO 与⊙O 交于B.C 两点，∠P ＝30°，连接AO 、AB.AC.(1)求证：△ACB ≌△APO ； (2)若AP ＝3，求⊙O 的半径．(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP ＝90°.又∵∠P ＝30°，∴∠AOB ＝60°，又OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形．∴AB ＝AO ，∠ABO ＝60°.又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°.在△ACB 和△APO 中，∠BAC ＝∠OAP ，AB ＝AO ，∠ABO ＝∠AOB ，∴△ACB ≌△APO ；(2)解：在Rt △AOP 中，∠P ＝30°，AP ＝3，∴AO ＝1，即⊙O 的半径为1.方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解． 【类型三】 探究圆的切线的条件如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，P 是BC ︵上的一个动点，过点P 作BC 的平行线交AB 的延长线于点D.(1)当点P 在什么位置时，DP 是⊙O 的切线？请说明理由； (2)当DP 为⊙O 的切线时，求线段BP 的长．解析：(1)当点P 是BC ︵的中点时，得PBA ︵＝PCA ︵，得出PA 是⊙O 的直径，再利用DP ∥BC ，得出DP ⊥PA ，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB 的长，在Rt △ABP 中再次利用勾股定理即可求出BP 的长．解：(1)当点P 是BC ︵的中点时，DP 是⊙O 的切线．理由如下：∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，又∵PB ︵＝PC ︵，∴PBA ︵＝PCA ︵，∴PA 是⊙O 的直径．∵PB ︵＝PC ︵，∴∠1＝∠2，又∵AB ＝AC ，∴PA ⊥BC.又∵DP ∥BC ，∴DP ⊥PA ，∴DP 是⊙O 的切线．(2)连接OB ，设PA 交BC 于点E.由垂径定理，得BE ＝12BC ＝6.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AE ＝AB2－BE2＝8.设⊙O 的半径为r ，则OE ＝8－r ，在Rt △OBE 中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254.在Rt △ABP 中，AP ＝2r ＝252，AB ＝10，∴BP ＝（252）2－102＝152. 方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论． 探究点二：切线的判定 【类型一】 判定圆的切线如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC ＝CD ，∠D ＝30°，求证：CD 是⊙O 的切线．证明：连接OC ，∵AC ＝CD ，∠D ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠2＝∠A ＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD ＝90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线．方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【类型二】 切线的性质与判定的综合应用如图，AB 是⊙O 的直径，点F 、C 是⊙O 上的两点，且AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，连接AC.AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D ，垂足为D. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若CD ＝23，求⊙O 的半径．分析：(1)连接OC ，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠ACD ＝∠B ，再根据等量代换得到∠ACO ＋∠ACD ＝90°，从而证明CD 是⊙O 的切线；(2)由AF ︵＝FC ︵＝CB︵推得∠DAC ＝∠BAC ＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB 的长，进而求得⊙O 的半径．(1)证明：连接OC ，BC.∵FC ︵＝CB ︵，∴∠DAC ＝∠BAC.∵CD ⊥AF ，∴∠ADC ＝90°.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ACD ＝∠B.∵BO ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∵∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∠OCB ＝∠OBC ，∠ACD ＝∠ABC ，∴∠ACO ＋∠ACD ＝90°，即OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线；(2)解：∵AF ︵＝FC ︵＝CB ︵，∴∠DAC ＝∠BAC ＝30°.∵CD ⊥AF ，CD ＝23，∴AC ＝4 3.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AC ＝43，∴BC ＝4，AB ＝8，∴⊙O 的半径为4.方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长． 板书设计 1．切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径． 2．切线的判定经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 教学反思教学过程中，经历切线性质的探究，从中可得出判定切线的条件，整个学习过程是一个逐层深入的过程．因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决，使学生能更全面的掌握知识.投影教学目标知识与技能1.在具体的实例中认识投影、投影面、投影线、平行投影、中心投影、正投影的概念；2.理解平行投影和中心投影的区别；3.掌握“一维”“二维”正投影的性质。
北师大版2.3公式法解一元二次方程PPT课件 第二课时
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学习是件很愉快的事
公式法
程为一般形式;
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0 1.变形:化已知方 解: a 5, b 4, c 12
b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2 2
a=1，b=-2 b2-4ac=(-2 ∴x= x1 = x 2 =
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二，思考题：m取什 么值时，方程
2 2 x +(2m+1)x+m -4=0
有两个相等的实数解
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三，想一想：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
一元二次方程 解：
x1 b
ax 2 bx c 0 a 0 的解为：
b 2 4ac b b 2 4ac , x2 2a 2a
x1 x2
b b 2 4ac b b 2 4ac 2a 2a
b b 2a 2a
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五，根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸 ,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x 2 x 6.8 102.
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九年级数学上册《2.2 配方法公式法解一元二次方程》教案 北师大版
《22配方法公式法解一元二次方程》教案姓名年级性别教材第课教学课题教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。
2、进一步理解配方法的解题思路。
课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________过程一.教学内容：用配方法和公式法解一元二次方程1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程．2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系．3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程．二. 知识要点：1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法．3.用配方法解一元二次方程的步骤：用配方法解一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一般步骤：（1）移项：将常数项移到方程右边；（2）把二次项系数化为1：方程左右两边同时除以二次项系数（3）配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()x m n+=的形式即将2x mx±的式子加上2()2m，可得到完全平方式⇒222()()22m mx mx x±+=±（4）当0n≥时，用直接开方法解变形后方程三. 重点难点：本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解．【例题剖析】【衔接训练】1、一元二次方程230x -=的解是 （ ）A 、3x =B 、3x =-C 、123,3x x ==-D 、123,3x x ==- 2、一元二次方程21090x x ++=可变形为 （ ）A 、2(5)16x +=B 、2(5)34x +=C 、2(5)16x -=D 、2(5)25x +=5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是 （ ）A 、22430(2)7x x x --=-=化为 B 、227252730()416x x x -+=-=化为 C 、22525490()33636x x x --=-=化为 D 、22517215()416y y y +=+=化为 6、将二次三项式241x x -+配方后得 （ ）A 、2(2)3x -+B 、2(2)3x --C 、2(2)3x ++D 、2(2)3x +-7、（1）226___(__)x x x ++=+； （2）224___(__)3x x x -+=-； （3）228___(__)x x x ++=+ （4）2214___(__)x x x -+=-（5）227___(__)x x x ++=+ （6）223___(__)5x x x -+=- （7）22___(__)x px x ++=+； （8）22___(__)b x x x a++=+；（9）222()___(__)x m n x x -++=- （10）22___(__)x ax x -+=- 8、用配方法解一元二次方程225033x x +-=时，此方程可变形为_____________，解得：12____,____x x == 9、解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0 （３）（x ＋1）2= 2（4）22350x x --= （5） 22410x x --=（6）23(1)50x x +-= （7）(1)(2)12t t --=10、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程2430x x -+=的解，求这个三角形的周长。
第三节 公式法
1 2 x1 ，x 2 1 2 4 x1 3 2，x 2 3 2
想一想
解： 12和14
2
两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数
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归纳总结
1、解一元二次方程一般有哪几种方法？ 解：直接开平方法 ，配方法，公式法 2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？ 解：可以。 3.一元二次方程的求根公式是什么？
∴，x1=4，
1 x2 2
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典型例题
用公式法解下列方程： (3) x2=3x-8 解（3）移项，得x2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解
用公式法解一元二次方程的一般步骤？ 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般 形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值， 当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b24ac＜0时，方程无实数 解(根)
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知识的升华
根据题意，列出方程：
独立 作业
1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺 八 寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线 长1丈,那么门的高和宽各是多少 ? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x 2 2 x-6.8 即：2x2+13.6x-9953.76＝0. 解方程得x1 ＝9.6;x2 ＝-2.8(不合题意,舍去). ∴x-6.8=2.8.
在一元二次方程 ax bx c 0 (a 0) 中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是由 2 于 无意义
2
b 4ac
北师大版九年级数学上名校课堂练习2.3用公式法求解一元二次方程(含答案)
2.3 用公式法求解一元二次方程基础题知识点1 用求根公式解一元二次方程1．利用求根公式求方程5x 2＋12＝6x 的根时，a 、b 、c 的值分别是( )A ．5，12，6B ．5，6，12C ．5，－6，12D ．5，－6，－122．方程x 2－x －1＝0的一个根是( )A ．1－ 5 B.1－52C ．－1＋ 5 D.－1＋523．已知一元二次方程x 2－x －3＝0的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是( )A ．－2<x 1<－1B ．－3<x 1<－2C ．2<x 1<3D ．－1<x 1<04．(陕西中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值为() A ．1或4 B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－45．解方程：(1)x 2＋1＝3x ；(2)3x 2＋2x ＋1＝0.知识点2根的判别式6．(铜仁中考)已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( ) A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定7．(河北中考)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( ) A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥18．(岳阳中考)若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝________．9．对于二次三项式x2－10x＋36，小明同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都不可能是10.你是否同意他的说法？请你说明理由．知识点3方案设计10．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C ．10(x ＋10)＝900D ．2[x ＋(x ＋10)]＝90011．如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m 的长方形土地ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m 2，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽为x m ，则由题意列得方程为( )A ．(30－x)(20－x)＝78B ．(30－2x)(20－2x)＝78C ．(30－2x)(20－x)＝6×78D ．(30－2x)(20－2x)＝6×7812．用一块长80 cm ，宽60 cm 的薄钢片，在四个角上各截去一个边长为x cm 的小正方形，然后做成底面积为1 500 cm 2无盖的长方体盒子，为了求出x ，根据题意列出方程并整理后得____________．中档题13．(淄博中考)一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－3 2D ．x 1＝－2，x 2＝3 214．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围( ) A ．m>52 B ．m ≤52且m≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m≠215．若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b ＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为________________．16．用公式法解方程：(1)x 2－3x ＝5；(2)(泰州中考)2x2－4x－1＝0.17．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．18．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为多少米？综合题19．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－32x－7x2－8x＋11的值．参考答案基础题1．C 2.B 3.A 4.B5.(1)将原方程化为一般形式，得x 2－3x ＋1＝0，∵a ＝1，b ＝－3，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－（－3）±52×1.∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52. (2)∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．6.B7.B8.949.同意．理由如下：设x 2－10x ＋36＝10，∴x 2－10x ＋26＝0.∴Δ＝102－4×1×26＝－4＜0，即方程没有实数根．∴无论x 取何值，它的值都不可能是10.∴小明同学的说法是正确的．10.B 11.C 12.x 2－70x ＋825＝0中档题13．C 14.B 15.x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5216.(1)将原方程化为一般形式，得x 2－3x －5＝0.∵a ＝1，b ＝－3，c ＝－5，b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×(－5)＝9＋20＝29>0.∴x ＝－（－3）±292×1＝3±292.∴x 1＝3＋292，x 2＝3－292. (2)∵a ＝2，b ＝－4，c ＝－1，∴Δ＝(－4)2－4×2×(－1)＝16＋8＝24.∴x ＝4±264＝2±62.∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62. 17.(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4.18.设道路宽为x 米，由题意，得(30－x)(20－x)＝551，解得x 1＝1，x 2＝49(舍)．答：修建的路宽应为1米．综合题19．(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a 的最大整数值为7. (2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.∴x ＝－（－8）±282，即x ＝4±7.∴x 1＝4＋7，x 2＝4－7. ②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，∴x 2－8x ＝－9.∴2x 2－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.。
届九年级数学上册 23 用公式法求解一元二次方程第二课时教学设计 新版北师大版
用公式法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。
这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。
学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
二、教学任务分析体会方程是刻列出方程；课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，本节主要检验结果是否合理。
画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，因此设计了一个方案设计比较枯燥，为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，）通过一（1:活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是巩固解一元体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，元二次方程的建模过程，通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际(2)二次方程的方法；问题的勇气、才能及个性。
三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。
第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的： 1帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？并使花园所占面积为荒要建造一个花园，，宽为１２m的矩形荒地上，在一块长为１６m 地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的：成为学生真正以同学生平等的身份提出问题，以情境引入课题，改变教师的权威地位，使学生真正成为意义上的合作者。
青云谱区第五中学九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程教学案无答案新版北师大版
3 用公式法求解一元二次方程教学目标【知识与技能】1.理解求根公式的推导过程和判别公式.2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. 【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想. 【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用. 【教学难点】理解求根公式的推导过程及判别公式的应用. 教学过程一、情境导入,初步认识用配方法解方程： （1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0【教学说明】学生板演，复习旧知. 二、思考探究，获取新知1.探究：用配方法解方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）.分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.解：移项，得：ax 2+bx=-c因为a ≠0，所以方程两边同除以a ，得： x 2+b a x=c a- 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=c a -+（2b a）2即（x+2ba）2=2244b ac a - ∵a ≠0，∴4a 2>0，当 b 2-4ac ≥0时，2244b aca -≥0∴x+2ba =即∴x 1x 2【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a-b 2-4ac ≥0），就可求出方程的根；（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac ≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ （1）2x 2-3x=0；（2）3x 2；（3）4x 2+x+1=0.【归纳总结】（1）当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根，即x 1=2b a -+x 2=2b a-；（2）当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=-2ba； （3）当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根. 【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b 2-4ac 的关系. 三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程. （1）2x 2-x-1=0； （2）x 2+1.5=-3x ；（3）x 2x+12=0；（4）4x 2-3x+2=0.分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a 、b 、c 的值，再算出b 2-4ac 的值，最后代入求根公式求解.【教学说明】（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入x=2b a-（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根. 2.不解方程，判定方程根的情况 （1）16x 2+8x=-3； （2）9x 2+6x+1=0； （3）2x 2-9x+8=0； （4）x 2-7x-18=0.分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b 2-4ac 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac 的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.3.若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a 的式子表示）.分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数根，即 （-2a ）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a 的取值范围.解：∵关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数根. ∴（-2a ）2-4（a-2）（a+1）=4a 2-4a 2+4a+8<0 ∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a ， ∴所求不等式的解集为x<-3/a.【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式. 四、师生互动，课堂小结本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 教材反思通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a ≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.一元二次方程的应用知识点一一元二次方程的解题步骤列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：➢“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；➢“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；➢“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
平罗县第七中学九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程教学案无答案新版北师大版0
3 用公式法求解一元二次方程教学目标【知识与技能】1.理解求根公式的推导过程和判别公式.2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. 【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想. 【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用. 【教学难点】理解求根公式的推导过程及判别公式的应用. 教学过程一、情境导入,初步认识用配方法解方程： （1）x 2+3x+2=0 （2）2x 2-3x+5=0【教学说明】学生板演，复习旧知. 二、思考探究，获取新知1.探究：用配方法解方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0）.分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成具体数字，根据配方法的解题步骤推下去.解：移项，得：ax 2+bx=-c因为a ≠0，所以方程两边同除以a ，得： x 2+b a x=c a- 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=c a -+（2b a）2即（x+2ba）2=2244b ac a - ∵a ≠0，∴4a 2>0，当 b 2-4ac ≥0时，2244b aca -≥0∴x+2ba =即∴x 1x 2【归纳总结】由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a-b 2-4ac ≥0），就可求出方程的根；（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a 、b 、c 的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；（2）式子b2-4ac ≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 能否用配方法求出它的解，通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ （1）2x 2-3x=0；（2）3x 2；（3）4x 2+x+1=0.【归纳总结】（1）当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根，即x 1=2b a -+x 2=2b a-；（2）当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=-2ba； （3）当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根. 【教学说明】进一步体会一元二次方程的根与b 2-4ac 的关系. 三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程. （1）2x 2-x-1=0； （2）x 2+1.5=-3x ；（3）x 2x+12=0；（4）4x 2-3x+2=0.分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a 、b 、c 的值，再算出b 2-4ac 的值，最后代入求根公式求解.【教学说明】（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根是由一元二次方程的系数a 、b 、c 确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的值代入x=2b a-（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根. 2.不解方程，判定方程根的情况 （1）16x 2+8x=-3； （2）9x 2+6x+1=0； （3）2x 2-9x+8=0； （4）x 2-7x-18=0.分析：不解方程，判定方程根的情况，只需根据b 2-4ac 的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.b2-4ac 的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式.3.若关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a 的式子表示）.分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、负或0.因为一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数根，即 （-2a ）2-4（a-2）（a+1）<0，就可求出a 的取值范围.解：∵关于x 的一元二次方程（a-2）x 2-2ax+a+1=0没有实数根. ∴（-2a ）2-4（a-2）（a+1）=4a 2-4a 2+4a+8<0 ∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3，∴x<-3/a ， ∴所求不等式的解集为x<-3/a.【教学说明】主体探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式. 四、师生互动，课堂小结本节课通过配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 教材反思通过复习配方法使学生对一元二次方程的定义及解法有一个深刻的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a ≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，使学生的推理能力得到加强.实际问题与反比例函数一、填空题 1.已知函数y=(k+1)x12-+k k (k 为整数)，当k 为_________时，y 是x 的反比例函数.2.函数y=－x 65的图象位于_________象限，且在每个象限内y 随x 的增大而_________.3.已知y 与 2x 成反比例，且当x=3时，y=61，那么当x=2时，y=_________，当y=2时，x=_________.4.如果函数y=(m+1)x 32-+m m 表示反比例函数，且这个函数的图象与直线y=－x 有两个交点，则m 的值为_________.5.如图1为反比例函数的图象，则它的解析式为_________.图16.已知双曲线经过直线y=3x －2与y=23x+1的交点，则它的解析式为_________.7.下列函数中_________是反比例函数.①y=x+x 1②y=x x 132+ ③y=21x- ④y=x 238.对于函数y=x 2，当x ＞0时，y_________0，这部分图象在第_________象限.对于函数y=－x 2，当x ＜0时，y_________0，这部分图象在第_________象限. 9.当m_________时，函数y=x m 1-的图象所在的象限内，y 随x 的增大而增大.10.如图2，反比例函数图象上一点A ，过A 作AB ⊥x 轴于B ，若S △AOB=3，则反比例函数解析式为_________.图2 二、选择题11.对于反比例函数y=x 5，下列结论中正确的是（ ）A.y 取正值B.y 随x 的增大而增大C.y 随x 的增大而减小D.y 取负值12.若点(1，2)同时在函数y=ax+b 和y=a bx 的图象上，则点(a ，b)为（ ）A.(－3，－1)B.(－3，1)C.(1，3)D.(－1，3)13.已知y 与x 成正比例，z 与y 成反比例，则z 与x 之间的关系为（ ） A.成正比例B.成反比例C.既成正比例又成反比例D.既不成正比例也不成反比例14.矩形面积为3 cm2，则它的宽y(cm)与x(cm)长之间的函数图象位于（ ） A.第一、三象限 B.第二象限 C.第三象限D.第一象限15.已知函数y=k(x+1)和y=x k，那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是（ ）16.函数y=mx 922--m m 的图象是双曲线，且在每个象限内函数值y 随x 的增大而减小，则m 的值是（ ） A.－2B.4C.4或－2D.－117.如图3，过反比例函数y=x 2(x ＞0)图象上任意两点A.B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C.D ，连结OA.OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S1、S2，比较它们的大小，可得（ ）图3 A.S1＞S2 B.S1＜S2C.S1=S2D.S1、S2的大小关系不能确定18.已知一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数y=x kb的图象在（ ）A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限19.函数y=kx －k ，与函数y=x k在同一坐标系中的图象大致如图4，则有（ ）图4 A.k ＜0B.k ＞0C.－1＜k ＜0D.k ＜－120.若在同一坐标系中，直线y=k1x 与双曲线y=x k 2无交点，则有（ ）A.k1+k2＞0B.k1+k2＜0C.k1k2＞0D.k1k2＜0三、解答题21.已知函数y=－4x2－2mx+m2与反比例函数y=x m 42 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2，求此两个函数的解析式.22.如图5，Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y=－x+m+3的图象与反比例函数y=x m的图象在第二象限的交点，且S △AOB=1，求点A 的坐标.图523.若反比例函数y=x m与一次函数y=kx+b 的图象都经过点(－2，－1)，且当x=3时，这两个函数值相等，求反比例函数解析式.24.已知一个三角形的面积是12 cm2，（1）写出一边y(cm)与该边上的高x(cm)间的函数关系式；（2）画出函数图象.25.某厂要制造能装250mL(1mL=1 cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02 cm ，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y 与x 间的函数关系式.*26.已知直线y=－x+6和反比例函数y=x k(k ≠0)(1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系xOy 中的图象有两个公共点？ (2)设(1)的两个公共点分别为A.B ，∠AOB 是锐角还是钝角？ 答案一、1.0 2.二、四 增大 3.41 41 4.－2 5.y=－x 32 6.y=x 87.④ 8.＞ 一 ＞ 二 9.＜1 10.y=x 6二、11.C 12.D 13.B 14.D 15.B 16.B 17.C 18.C 19.A 20.D三、21.y=－4x2+14x+49 y=x 1022.(－1，2)23.y=x 224.(1)y=x 24（2）略25.y=252πx2+02.010-x26.(1)0＜k ＜9或k ＜0 (2)k ＜0时，∠AOB 为钝角 0＜k ＜9时，∠AOB 为锐角由三视图还原几何体学习目标1、学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型.2、经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力.学习重点根据三视图描述基本几何体和实物原型.学习难点根据三视图想象基本几何体实物原型.学习过程【复习引入】前面我们讨论了由立体图形（实物）画出三视图，那么由三视图能否也想象出立体图形（实物）呢？【合作探究】1.完成课本例4：根据下面的三视图说出立体图形的名称.分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形.(1)从三个方向看立体图形，图象都是矩形，可以想象出:整体是________，如图(1)所示;(2)从正面、侧面看立体图形，图象都是等腰三角形;从上面看，图象是圆;可以想象出:整体是 _____，如图(2)所示.2.完成课本例5根据物体的三视图，如下图（1），描述物体的形状.分析.由主视图可知，物体正面是正五边形，由俯视图可知，由上向下看物体是矩形的，且有一条棱(中间的实线)可见到。
用公式法求解一元二次方程优质课教学设计省级一等奖及点评
有其他方式可以较便捷 程求根计算器，说明求根具有运算
激
如果让你用配方法来 地求解这类方程呢？ 规律，也自然过渡到接下来对求根
发 解，你会选择哪一个？
于是学生带着问题 规律的探索．
兴
有两位同学也遇到了 观看引入视频．
趣 这样的问题，让我们来看
一看．
师：探索公式法之前， 学生在教师引导下
公式法是配方法的程式化．但
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中，通过对 b2 4ac 取值范围的讨论，得出根的判别式，进而获得求根公式，并运用公式求 解一元二次方程．
2、内容分析
在推导求根公式的过程中，从 ax2 bx c 0(a 0) 到 x n2 p ，是配方法求解一元二
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教学目标和目标解析 1、教学目标
①探究一元二次方程求根公式的推导过程，积累数学活动经验； ②在探究中，体会从特殊到一般的转化思想，在合作交流中发展逻辑推理能力； ③掌握求根公式特征，会运用公式求解一元二次方程． 2、教学目标解析 《义务教育数学课程标准（2011 版）》中明确指出：“有效的数学教学活动是教师教与 学生学的统一，应体现‘以人为本’的理念，促进学生的全面发展．”依据《课程标准》，遵 循我校九年级学生的认知特征和规律，结合教材确定本节课的教学目标．
《用公式法求解一元二次方程》教学设计
课题 预计课时数
教材
用公式法求解一元二次方程
共 2 课时，本节为第 1 课时
课型
新知识学习
北师大版九年级数学上册；第二章第 3 节《用公式法求解一元二次方程》．
教材Байду номын сангаас容和内容分析
北师大版九年级数学上册听评课记录：2.3用公式法求解一元二次方程
北师大版九年级数学上册听评课记录：2.3 用公式法求解一元二次方程一.基本信息听课日期：2022年10月10日听课时间：上午第二节课授课教师姓名：李老师学科/课程名称：数学班级/年级：九年级教学主题或章节：2.3 用公式法求解一元二次方程听课人员信息：听课人姓名：张老师听课人职务：数学教研组长听课目的：教学研究、教师培训二.课堂观察记录1.教学准备：李老师的教学计划清晰，对教学内容有深入的把握。
教学资源准备充分，使用了教材、教具和多媒体等辅助教学。
2.教学过程：开始阶段，李老师通过复习一元一次方程的解法，自然引出本节课的主题——一元二次方程。
展开阶段，李老师选择了讲授法和问题解决法相结合的教学方法。
他首先讲解了公式法求解一元二次方程的原理，然后通过例题演示了公式的运用。
在讲解过程中，李老师注重启发学生思考，引导学生发现解题的关键。
结束阶段，李老师对所学内容进行了总结归纳，并布置了适量的作业，以便学生巩固所学知识。
3.师生互动：李老师注重与学生的互动，提问频率适中。
学生在回答问题时，李老师耐心倾听，及时给予反馈，鼓励学生发表自己的见解。
学生参与度较高，反应积极。
4.学生学习状态：学生们在课堂上表现出较高的学习积极性和专注度。
他们认真听讲，积极思考，主动提问。
学生之间的合作学习也较为良好，大家互相讨论，共同解决问题。
5.课堂管理：李老师有效地控制了课堂纪律，学生们都遵守课堂规则，课堂氛围良好。
时间分配合理，课堂节奏控制得当，使得教学内容得以顺利进行。
6.教学技术使用：李老师有效地利用了现代教育技术和工具。
他运用多媒体课件展示了教学内容，使得抽象的数学问题变得形象直观。
同时，他还运用网络资源提供了丰富的练习题，以便学生巩固所学知识。
教学技术对教学效果起到了良好的支持作用。
三.教学效果评价1. 目标达成：本节课的教学目标明确且适切，主要包括让学生掌握公式法求解一元二次方程的原理和步骤，以及能够灵活运用该方法解决实际问题。