数学建模复习

一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。

（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。

二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。

(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。

三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q -值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。

四 (15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r k r >,．在每个生产周期 T 内，开始的一段时间（00T t ≤≤）一边生产一边销售，后来的一段时间T t T ≤≤0(）只销售不生产．设每次生产开工费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，（a)求出存储量)(t q 的表示式并画出示意图。（2）以总费用最小为准则确定最优周期T ，讨论r k >>的情况． 五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS 模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。 六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。（2）在假设a b y x 9,00==条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。

七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x N

rx x ln =&，又单位时间捕捞量为Ex h =．讨

论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．

八（10分）假设商品价格k y 和供应量k x 满足差分方程

求差分方程的平衡点，推导稳定条件

参考答案与评分标准

一（10）(1)简述数学模型的概念，分析数学模型与数学建模的关系。

（2）建立数学模型的一般方法是什么？在建模中如何应用这些方法，结合实例加以说明。

解:(1)数学模型可表述为:对于现实世界的一个特定对象,为了特定的目的,根据特有的规律,作出必要的简化假设,应用适当的数学工具,得到的一个数学结构式.数学模型与数学建模的关系：数学模型是应用数学建模的方法对实际问题进行建模得到的最后的数学结构式，是数学建模的结果，是名词。而数学建模是解决问题的全过程，是动名词。（2）一般方法包括: ①机理分析方法,根据客观对象的本质特征和规律,分析事物发展的数量关系; ②测试分析方法,把客观对象作为黑箱子进行测试实验,根据实验数据,应用拟合方法寻找拟合实验数据的最佳模型.一般这两种方法相

结合,机理分析确定模型的结构,其中包含未知的参数,应用测试分析方法确定参数.能讲机理时用机理,不能讲机理时用数据.如应用微分分析法得到的人口增长模型，如指数模型，阻滞增长模型，都属于机理分析方法，而其中的参数必须用实际的数据应用测试分析方法确定。

二（10分）、(1).简述数学建模的一般步骤，分析每个步骤的主要内容和注意事项。(2)简述数学模型的表现形态，并举例说明。

解：(1)数学建模的一般步骤包括:模型准备-了解实际背景，搜索相关信息，分析影响因素，形成一个清晰的问题。模型假设-分析各种影响因素的关系，确定主要因素和次要因素,对主要因素作出必要的简化假设，引入变量。模型构成-根据特有的规律和所做的假设应用适当的数学工具对实际问题进行建模，得到数学模型。模型求解-应用数学方法和数学软件对模型进行求解。模型分析-对模型误差分析,收敛性分析,稳定性分析和稳健性,局限性分析.模型检验-检验模型的适应性与应用性(有效性).(2)数学模型的表现形态包括线性与非线性,确定性与随机性,离散性与连续,静态与动态等.人口模型中，指数模型为线性的，阻滞增长模型为非线性的，不考虑随机因素的模型为确定性模型，如常见的人口模型。如考虑随机因素，则得到随机人口模型。微分方程属于连续模型，差分方程属于离散模型。随时间变化的微分方程和差分方程都是动态的，如连续优化模型和单阶段离散优化模型与时间无关属于静态模型，

三（10分）、（1）简述合理分配席位的Q -值方法,包括方法的具体实施过程，简述分配席位的理想化原则。（2）建立录像机记数器读数与录像带转过时间之间的关系模型，包括模型假设与模型建立全过程。

解:(1)合理分配席位的方法Q-值方法,是实施过程为：（a ）按照比例取整方法进行初

次分配，（b ）对剩余的席位采用动态分配，计算各方的-Q 值，即)

1(2+=i i i i n n p Q ，将剩余的该席位分配给i Q 较大的一方，（c)依序分配完剩余的席位。

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(2)模型假设：设空盘半径为r ，磁带厚度为w ，转数设为n ，时间为t ，速度为v ，则考虑转过的磁带的长度，则有 故关系模型为)1(2++=n n v

w n v r v ππ。 四(15分)（1）建立不允许缺货情况下的存储模型,确定订货周期和订货量（包括问题叙述,模型假设和求解过程）.（2）建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r k r >,．在每个生产周期 T 内，开始的一段时间（00T t ≤≤）一边生产一边销售，后来的一段时间T t T ≤≤0(）只销售不生产．设每次生产开工费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，（a)求出存储量)(t q 的表示式并画出示意图。（2）以总费用最小为准则确定最优周期T ，讨论r k >>的情况．

解:（1）定义变量及其参数,定货费,单位时间单位货物的储存费,一周期的总费用,以平均每天的费用为目标,应用微积分得到表示式. 订货量为1

0*2c rc Tr Q ==。

（2）在)0(0T t ≤≤时间段，t r k t q )()(-=为斜率为)(r k -的直线，在)(0T t T ≤≤时间段，只销售不生产，rt kT T t r T r k t q -=---=000)()()( 单位时间总费用T k

r k r C T C T C 2)()(21-+=，使)(T C 取最小值的最佳周期)(221*r k r C k C T -=。当r k >>时，r

C C 2T 21*=，相当于瞬时生产的情况。 五（15分）、（1）建立传染病传播的SIS 模型并求解（简述假设条件和求解过程），（2）建立SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。 解：SIS 模型。设治愈率为μ，则方程为

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)]11([])1([-+-=--=σ

λμλi i i i dt di ， 2)SIR 模型的方程为⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(s s i i si dt ds i

si dt di λμλ,相平面方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-==0011i i s ds di s s σ, 在相平面上画出相轨线，分析变化规律。

六（15分）（1）建立一般的战争模型，分析各项所表示的含义。（2）在假设a b y x 9,00==条件下对正规战争模型（忽略增援和非战斗减员）进行建模求解，确定战争结局和结束时间。 解：一般战争模型为v y y x g dt

dy u x y x f dt dx +-=+-=βα),(,),( 第一项为战斗减员，其表示式依赖于战争类型，第二项为非战斗减员，第三项为增援。 正规战争模型bx dt

dy ay dt dx -=-=,。轨线方程为0000229

8,08x x y ax ay bx ay bx ay bx dx dy ==>-=-=->-=，因此乙方)(Y 败。要求结束时间，需要对方程求导化为二阶微分方程

y a aby dt

dx b dt y d 2229==-=，通解为at at e c e c t y 3231)(-+= 初始条件为00'09)0(,)0(ay by y y y -=-==。求解得到a

t 62ln *=

七（15分）设渔场鱼量的自然增长服从模型x N

rx x ln =&，又单位时间捕捞量为

Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m

h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平0x ．

解：模型为Ex x N rx x F x

-==ln )(&，有二个稳定点：0x =和r /E 0Ne x -=。 )(ln )('E r x

N r x F +-=，0)(,)0(0''<-=∞→+r x F F ，即0x =不稳定，0x 稳定（与r E ,的大小无关）。持续产量为r E ENe E h /)(-=，r E r

E Ne dE dh r E =>-=-=-*/0]1[，最大持续产量为e rN h m =，e

N x =*0 八（10分）假设商品价格k y 和供应量k x 满足差分方程

求差分方程的平衡点，推导稳定条件

解：令∞→k ，设极限存在为),(**y x ，则得到

⎩⎨⎧==--=->--=---=-0*0*0*0*0*0*0*0*,),()()

()(y y x x x x x x y y x x x x y y αββα，即),(00y x 为平衡点。由 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++0)

(0),2(0010101ββααy y x x x x x y y k k k k k 整理得到：012)1(22x x x x k k k αβαβαβ+=++++，其特征方程为022=++αβαβλλ，利用定理可知，其根均小于1的条件为αβαβ+<1|2|和12<αβ。因0,0>>βα，故条件

为2<αβ

一（15分）、(1)简述模型概念及其模型的分类;(2)简述数学模型的概念;(3)简述数学模型的特点,包括各项的含义.

二（10）(1)简述建立数学模型的一般方法，分析这些方法在建模中的应用;

(2)阐述建立数学模型全过程,就数学模型与数学建模过程给出你的理解与认识. 三（10分）、（1）简述建立汽车刹车距离模型的全过程.（2）建立双层玻璃窗的模型，包括模型假设和建模过程,确定双层玻璃间的空隙距离．

四(10分)建立森林救火模型,包括问题叙述,模型假设和求解过程.

五（15分）、（1）建立人口增长的指数模型和阻滞增长模型,并求解.（2）建立传染病传播的SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。 六（15分） (1)建立捕捞情况下的渔场鱼量满足的方程，分析平衡点，在平衡条件下确定捕捞强度以获得最大的持续产量;(2) 在(1)的基础上，建立效益模型，确定捕捞强度。

七(15分)(1) 建立确定最优价格的数学模型;(2)假设成本随着产量的增加而降低, 建立模型并求解.

八(10分) 在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q q 0β+=，β为增长率．又设单位时间的销售量为bp a x -=（p 为价格）。今将销售期分为2/T t 0≤≤和T t 2/T ≤<两段，每段的价格固定，记作21p ,p ，求21p ,p 的最优值使销售期内的总利润最大．如果要求销售期Q 内的总售量为0Q ，再求21p ,p 的最优值．

参考答案与评分标准

一（15分）、(1)简述模型概念及其模型的分类;(2)简述数学模型的概念;(3)简述数学模型的特点,包括各项的含义.

解:(1)模型是原型的替代物,根据特有的目的,反应原型的某一层次某一方面的特征.模型可分为物质模型与抽象模型,物质模型可分为直观模型与物理模型.抽 象模型可分为思维思维模型,符号模型与数学模型.

(2)数学模型可表述为:对于现实世界的一个特定对象,为了特定的目的,根据特有的规律,作出必要的简化假设,应用适当的数学工具,得到的一个数学结构式.

(3)数学模型的特点:模型的逼真性与可行性,模型的渐进性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的稳健性等.

二（10）(1)简述建立数学模型的一般方法，分析这些方法在建模中的应用;

(2)阐述建立数学模型全过程,就数学模型与数学建模过程给出你的理解与认识. 解:

解:(1)一般方法包括: ①机理分析方法,根据客观对象的本质特征和规律,分析事物发展的数量关系; ②测试分析方法,把客观对象作为黑箱子进行测试实验,根据实验数据,应用拟合方法寻找拟合实验数据的最佳模型.一般这两种方法相结合,机理分析确定模型的结构,其中包含未知的参数,应用测试分析方法确定参数.能讲机理时用机理,不能讲机理时用数据.

(2)画出数学建模全过程的流程图,解释四个环节:从现实世界到数学世界的翻译,即将现实世界的问题表示成数学问题,问题求解:应用数学方法对数学模型进行求解.解释:将得到的数学答案解释现实问题,实现从数学世界到现实世界的翻译.验证:根据对现实世界的解释和实际数据的对比验证模型的正确性与有效性.

三（10分）、（1）简述建立汽车刹车距离模型的全过程.（2）建立双层玻璃窗的模型，包括模型假设和建模过程,确定双层玻璃间的空隙距离．

解:(1)分为反应距离与制动距离,分别建立模型.

(2)模型示意图:

d

T T k l T T k d T T k Q b b a a 212111-=-=-=,d l h k k h s s d T T k Q ==+-=,,)2(212111 d T T k Q 2211

2-=,d l h h Q Q =+=,18121. 四(10分)建立森林救火模型,包括问题叙述,模型假设和求解过程.

解:分析问题,定义变量,考虑救援费和损失费. 由0=dx

dC 得到231221122λλβλβc t c t c x ++=

五（15分）、（1）建立人口增长的指数模型和阻滞增长模型,并求解.（2）建立传染病传播的SIR 模型，并用相平面方法求解，在相平面上画出相轨线并进行分析。

解:指数模型rt e x t x rx dt

dx 0)(=>-= 阻滞增长模型:rt m m m e x x x t x x x rx dt dx --+=>--=)1(1)()1(0

(2)SIR 模型的方程为⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00)0(,)0(s s i i si dt ds i

si dt di λμλ,相平面方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-==0011i i s ds di s s σ, 相轨线为

六（15分）(1)简述最优化模型的一般形式;(2) 写出线性规划的一般形式;

(3)给出一个优化问题的例子,阐述建立模型与求解的全过程..

解:最优化模型的一般形式

线性规划即为目标函数和约束条件都是线性函数的优化模型,其一般形式为 七(10分)(1) 建立确定最优价格的数学模型;(2)假设成本随着产量的增加而降低, 建立模型并求解.

解：不妨设kx q )x (q 0-=，k 是产量增加一个单位成本的降低。代入节（7）式，可求出最优价格为：b

2a )kb l (2ka q p 0*+--= 八(10分) 在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q q 0β+=，β为增长率．又设单位时间的销售量为bp a x -=（p 为价格）。今将销售期分为2/T t 0≤≤和T t 2/T ≤<两段，每段的价格固定，记作21p ,p ，求21p ,p 的最优值使销售期内的总利润最大．如果要求销售期Q 内的总售量为0Q ，再求21p ,p 的最优值．

解: 解：总利润为 由0,02

1=∂∂=∂∂p U p U ，可得最优价格为 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡β++=)4T q (b a b 21p 01，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(2102T q b a b p β 设总销售量为0Q ，)p p (2

bT aT dt )bp a (dt )bp a (Q 21T 2/T 22/T 010+-=-+-=⎰⎰

在此约束条件下)p ,p (U 21的最大值点8~,8~0201BT bT Q b a p T bT Q b a

p +-=--=β