18.2.3《正方形》导学案2

18.2.3 正方形

第1课时

1.能概括正方形的定义,理清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.

2.概括正方形的性质,并能运用以前学过的知识通过说理证明这些性质.

3.能运用正方形的性质进行有关的论证和计算.

4.经历探索正方形有关性质的过程,在观察中寻求新知,在探索中学会推理.

5.重点:正方形的定义及性质.

知识梳理正方形的定义

回忆平行四边形、矩形和菱形的定义,解决下列问题.

1.用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个四边形ABCD,观察它有什么特点?

四边形ABCD的四条边相等,四个角都是直角.

2.结合小学所学知识,你能说出正方形的定义吗?

有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.

【预习自测】根据矩形、菱形、正方形的定义,填写下图中的空格:

问题探究正方形的性质

阅读教材本节中的“例5”及其前面的内容,解决下列问题.

1.由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.你能根据矩形和菱形的性质说出正方形的性质吗?

正方形的四条边都相等,四个角都是直角,正方形的对角线相等且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

2.完成如下推理过程:

如图,四边形ABCD是正方形,由定义,四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD,AD= BC,又∵ABCD是菱形和矩形,

∴AB=BC =CD =DA,∠DAB= ∠ABC= ∠BCD= ∠CDA= 90°.

四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB= OD.

又ABCD是矩形,∴AC=DB.又ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,每条对角线平分一组对角.

【归纳总结】正方形的性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边都相等.

2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.

【讨论】正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?

正方形是轴对称图形,它有四条对称轴(两条对角线所在的直线和两组对边的中垂线).

【预习自测】矩形、菱形、正方形都具有的性质是(C)

A.对角线相等

B.对角线垂直平分

C.对角线互相平分

D.对角线互相垂直

互动探究1:如图,在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=AC,AE交CD于点F,那么∠EFC=67.5°.

互动探究2:如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别为1和2,则正

方形的边长是.

互动探究3:如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.

(1)求证:△BEC≌△DEC;

(2)延长BE交AD于F,当∠BED=120°时,求∠EFD的度数.

解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC.

又∵∠BCE=∠DCE=45°,EC=EC,

∴△BEC≌△DEC(SAS).

(2)∵△BEC≌△DEC,∠BED=120°,

∴∠BEC=∠DEC=60°,∴∠EFD=∠DAC+∠AEF=45°+∠BEC=105°.

互动探究4:如图,已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN⊥DM交

∠CBE的平分线于N,MD与MN的大小关系怎样?

证明:取AD的中点P,连接PM,则PD=AD,

在正方形ABCD中,AD=AB,∠A=∠ABC=90°,∴∠ADM+∠AMD=90°,

又∵DM⊥MN,∴∠BMN+∠AMD=90°,∴∠ADM=∠BMN,

∵PA=AD=AB=AM,∴∠APM=∠AMP=45°,∴∠MPD=135°,

又∵BN平分∠CBE,∴∠MBN=135°,∴∠DPM=∠MBN,

又∵MB=AB=AD=PD,∴△MPD≌△NBM,∴MD=MN.

[变式训练]若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”,其余条件不变,如图,MD与MN的大小关系发生变化了吗?

解:没有,证明如下:在AD上取点F使DF=MB,则有AF=AM,∠AFM=∠AMF=45°,

又∵DM⊥MN,∴∠BMN+∠AMD=90°,又∠ADM+∠AMD=90°,∴∠ADM=∠BMN,

又∠DMF=∠AFM-∠ADM=45°-∠ADM,∠MNB=∠EBN-∠BMN=45°-∠BMN,

∴∠DMF=∠BNM,∴△MFD≌△NBM,∴MD=MN.

【方法归纳交流】一般来说,当题目中的条件发生变化后,新问题的证明可以类比原来的证明方法进行.

见《导学测评》P26