四川省德阳市2020届高三(高中2017 级)“二诊”考试数学理科试卷(答案)
2020年2020届四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性考试数学(理)试卷及解析
2020年2020届四川省绵阳市高中2017级高三第二次诊断性考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|0U x x =>,{}2|1x M x e e =<<,则U C M =（ ）A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D【解析】 先确定集合M 的元素,再由补集定义求解．【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<,∴{|2}U C M x x =≥．故选：D ．2.已知i 为虚数单位,复数z 满足12z i i ⋅=+,则z =（ ）A. 2i -B. 2i +C. 12i -D. 2i -【答案】A【解析】由除法计算出复数z ． 【详解】由题意122i z i i +==-．故选：A ．3.已知两个力()11,2F =,()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力3F ,则3F =（ ）A. ()1,5-B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【解析】根据力的平衡条件下,合力为0,即可根据向量的坐标运算求得3F .【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=-因为物体保持静止,即合力为0,则 123+0F F F +=即()31,5F =-故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（ ） A. 18B. 14C. 38D. 12【答案】B【解析】 可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1,2表示,三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ,甲1乙1丙2 ,甲1乙2丙1 ,甲2乙1丙1 ,甲2乙2丙1 ,甲2乙1丙2 ,甲1乙2丙2 ,甲2乙2丙2 共8种,其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种,所以概率为2184P ==． 故选：B ．5.已知α为任意角,则“1cos 23α=”是“sin 3α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件。
四川省德阳市第六中学2020年高三数学理联考试卷含解析
四川省德阳市第六中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的最小值为（）A. 1003×1004B. 1004×1005C. 2006×2007D. 2005×2006参考答案：答案：A解析：由绝对值的几何意义知x=1004时，取得最小值：此时的最小值为2×（1003+1002+……+1）= 1003×10042. 设a=，则二项式展开式中的x3项的系数为( ) A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160参考答案：C【考点】二项式定理；微积分基本定理．【专题】计算题．【分析】计算定积分求得a的值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．解：由于a==（sinx+cosx）=﹣2，则二项式展开式的通项公式为 T r+1=?x12﹣2r?=（﹣2）r??x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20=﹣160，故选C．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3. 已知函数，且，若关于的方程有3个不同实根，则实数k的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：C4. 如图2是函数图象一部分，对不同的，若，有，则（）A．在(－)上是增函数B．在(－)上是减函数C．在(－)上是增函数D．在(－)上是减函数参考答案：A试题分析：根据函数图象得出；，对称轴为：，，，，∵，∴．即，∵，∴，∴，∵，，∴．故选：A．考点：正弦函数的图象.【思路点晴】本题考察了三角函数的图象和性质的运用，关键是利用图象得出对称轴，最值即可，加强分析能力的运用；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.5. 在△ABC中，，AB =2, AC＝1，E, F为BC的三等分点，则＝A、 B、C、D、参考答案：B由知，以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则，于是，据此，，故选B6. 在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC,AB=BC=,SA=SC=2,，二面角S—AC—B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（）A． B． C．24 D．6参考答案：D7. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的值为1，则输出的值为A. B. C. D.参考答案：C【考点】算法和程序框图【试题解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a为3．8. △ABC中，“”是“”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分又不必要参考答案：C9. （5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（） A．﹣10 B．﹣5 C． 0 D． 5参考答案：C【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，∴．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．10. 已知满足不等式,且目标函数最大值的变化范围,则t的取值范围( )A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在2个零点x1，x2，且x1，x2都大于0，则a的取值范围是．参考答案：（0，2）【分析】通过a与0的大小讨论，利用函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在两个正零点，转化为函数的极值与0的关系，然后得到答案．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=﹣3x2+1有且只有两个零点，一个为正，一个为负不满足条件；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=0，解得：x=0，或x=，x=0是极大值点，x=是极小值点，∵f（0）=1≠0，∴f（）=＜0，解得：a∈（0，2），当a＜0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=0，解得：x=0，或x=，x=0是极小值点，x=是极大值点，∵f（0）=1＞0，函数只有一个零点，不满足题意，综上，a∈（0，2）．给答案为：（0，2）．12. 过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C.若，AC=8，BC=9，则AB=________.参考答案：413. 执行右面的框图，若输出结果为，则输入的实数的值是______.参考答案：略14. 右图是一个算法流程图，则输出的值是．参考答案：25 略15. 在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为参考答案：16. 在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a=3，∠B=2∠A，cosA=，则sinA= ，b=．参考答案：解：∵cosA=，A 为三角形内角，∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得：=，可得：b===2．故答案为：，2考点：正弦定理；二倍角的余弦．专题：计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．分析：利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，由二倍角公式可求sinB ，利用正弦定理即可求b 的值．解答：解：∵cosA=，A 为三角形内角， ∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得： =，可得：b===2．故答案为：，2．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题．17. 已知平面图形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧），且，则四边形ABCD 面积的最大值为__________参考答案：设，在中，由余弦定理可得，.在中，由余弦定理可得，，即有，又四边形面积，即有，又，两式两边平方可得.化简可得，，由于，即有，当即时，，解得.故的最大值为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年4月9日四川省德阳市高2020届高2017级高中2017 级德阳二诊考试理科综合试题物理参考答案
23. (9 分) (1) 电路连线如图
(2 分)
(2)0. 44
(2 分)
(3) 增大(2 分) 0. 44( 0. 43 ~ 0. 46
均对)(3 分) 24. (12 分)
( 连线方式不唯一)
解:(1)A 到 B:由牛顿第二定律得:
mgsinθ-f = ma
(2 分)
L=
1 2
at2
(2 分)
t = 1. 5s
所以波传播的速度
v
=
△x t
=
4m
/
s
(2 分)
因为波长 λ = 2m
所以周期
T=
λ v
= 0.
5S
(1 分)
O 点振动方程:y = -3sin(4πt) cm
(2 分)
②根据波形图可知 t = 0 时刻距离 Q 点最近的波峰在 x = 0. 5m 处,传播到 Q 点的
距离△x
=
8m-0.
f = 150N
(2 分)
(2)A 到 C:设轨道的支持力为 F′,由动能定理得
mg( Lsinθ+h) -fL+W =
1 2
mv2C -0( 分段列式各为
1
分)
(2 分)
C
点:F′-mg = m
v2C R
(2 分)
F′ = 2600N
(1 分)
根据牛顿第三定律压力与支持力大小相等 FN = 2600N 高2017级理综物理部分答案第1页 ( 共3 页)
L 2
解得
r2
=
5 4
L
又 r2cosθ = L,故切点刚好为 d 点
电子从
cd
边射出的长度为△y =
2020届成都高三二诊数学理科试题(含答案)(2020.4.8考)
数学 (理科 )参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题,共 ６０ 分)
一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分)
１．
C; ２．
A; ３．
B; ４．
D; ５．
C; ６．
B; ７．
B; ８．
C; ９．
A; １０．
B; １１．
D; １２．
C．
第 Ⅱ 卷 (非选择题,共 ９０ 分)
４ 分
１
１
(Ⅱ )由题意,可知 x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)＞
－ 在(
０,＋∞ )上恒成立 ．
x＋１ ex
(
i)若 m ≤０,∵l
n(
x＋１)＞０,∴－ml
n(
x＋１)≥０．
１
１
１
１
∴x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)－
＋ x ≥x２ ＋２x－
＋ x．
x＋１ e
x＋１ e
１
１
１
１
构造函数 G (
x)＝x２ ＋２x－
x１ ,
B(
x２ ,
y１),
y２)．
联立
x＝my＋１
２
,消去 x,得(
m２ ＋２)
y ＋２my－１＝０．
x２ ＋２y２ ＝２
{
２m
１
,
∴Δ＝８m２ ＋８＞０,
．
y１ ＋y２ ＝－ ２
y１y２ ＝－ ２
m ＋２
m ＋２
２ ２(
m２ ＋１)
∴ AB ＝ １＋m２ y１ －y２ ＝
．
m２ ＋２
７ 分
设圆 x２ ＋y２ ＝２ 的圆心 O 到直线l 的距离为d,则 d＝
2020届四川省德阳市高三下学期质量检测考试(三)数学理科试题(原卷版)
阳市高中2017级质量检测考试（三）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=，集合{1,2,3}B =，则下列结论正确的是（ ） A. 2()A B ⊆⋂B. 2()A B ∈⋂C. A B φ⋂=D. A B B ⋃=2.设向量(1,1),(2,)a b x =-=rr ，若//a b r r，则x =（ ） A. 1B. 1-C. 2D. 2-3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）A .0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.844.若,a b ∈R ，则“220a b +≠”是“,a b 不全为零”（ ） A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件5.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A. 若l β⊥，则αβ⊥ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若//l β，则//αβ D. 若//αβ，则//l m6.已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（ ）A.53 B.103C. 32D. 37.设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（ ） A. 1i +B. i -C. iD. 08.设x θ=，当函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则sin θ=（ ）A.B.C.D.9.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任去3张，要求这3张卡片各是一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法的种数为（ ） A. 472B. 256C. 232D. 48410.已知腰长为2的等腰直角三角形中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =u u u r，则PC PM ⋅u u u r u u u u r的最小值为（ ）A. 8-B. 8+C. 4-D. 4+11.已知()f x 是定义在(0,)2π内的函数，满足()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）A. ()()63f ππ<B.()()43ππC.()()64f ππ> D. (1)2()sin16f f π<12.设2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若2253MF PF =，且260MF N ︒∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x y 、满足线性约束条件114x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是______.14.已知函数()()33log ,01,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，则((2))f f -=__________． 15.《张丘建算经》是中国古代的著名数学著作，该书表明：至迟于公元5世纪，中国已经系统掌握等差数列的相关理论，该书上卷22题又“女工善织问题”：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月曰织九匹三丈，问日益几何？”，大概意思是：有一个女工人善于织布，每天织布的尺数越来越多且成等差数列，第一天知5尺，30天共织九匹三丈，问每天增加的织布数目是多少寸？答案是__________寸．（注：当时一匹为四丈，一丈为十尺，一尺为十寸，结果四舍五入精确到寸）16.在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos +222A bc= （1）求角C（2）BM 平分CBA ∠交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos CAB ∠.18.在四棱锥P ABCD -中，1//,,2AD BC AB BC CD AD G ===是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：CD ⊥平面GAC ； （2）求CP 与平面APG 所成角的余弦值. 19.已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈ （1）求()f x 的极值；（2）若0x ∃>，使得()ln f x x ≤成立，求实数a的取值范围.20.已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>经过点(4,0)A ，离心率22e =. （1）求椭圆T 的方程；（2）设点B 为椭圆与y 轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆T 上的动点（异于椭圆顶点）且直线P A ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM PN ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.21.2019年，中国的国内生产总值（GDP ）已经达到100亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没，实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据绘制了如下的散点图现考虑用反比例函数模型b y ax=+和指数函数模型dxy ce=分别对两个变量关系进行拟合，为此变换如下：令1ux=，则y a bu=+，即y与u也满足线性关系，令lnv y=，则lnv c dx=+，即,v x也满足线线关系，这样就可以使用最小二乘法求得非线性回归方程，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为$96.54,dxy e v=与x的相关系数10.94r=-，其他参考数据如下（其中1,lni i iiu v yx==）（1）求指数函数模型和反比例函数模型中y关于x的回归方程；（2）试计算y与u的相关系数2r，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中哪一个拟合效果更好（精确到0.01）？（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采用订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出），根据市场调研数据，该产品定价为100元时得到签到订单的情况如下表：订单数（千件）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11概率1012⎛⎫⎪⎝⎭912⎛⎫⎪⎝⎭812⎛⎫⎪⎝⎭712⎛⎫⎪⎝⎭612⎛⎫⎪⎝⎭512⎛⎫⎪⎝⎭412⎛⎫⎪⎝⎭312⎛⎫⎪⎝⎭212⎛⎫⎪⎝⎭121012⎛⎫⎪⎝⎭已知每件产品的原来成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）参考公式：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n nu v u v u v⋅⋅⋅，其回归直线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别是：1221,ni iiniiu v nnvv uu nuβαβ==-==-⋅-∑∑相关系数：12222211)ni iin ni ii iu v nnvru nu v nv===-=⎛⎫--⎪⎝⎭∑∑∑（22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2212x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数），曲线C的参数方程为22x ty t⎧=⎨=⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度. （1）求曲线C的极坐标方程；（2）设(2,1)P ，直线l 与曲线C 交于两点，求AP BP ⋅ 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x m =--+的最大值为3，其中0m >． （1）求m的值；（2）若,a b R ∈，0ab >，222a b m +=，求证：331a b b a+≥。
2020年四川省德阳市高考数学模拟试卷(理科)(三)(3月份)(有解析)
2020年四川省德阳市高考数学模拟试卷(理科)(三)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=log2(x+1)}，B={y|y=−x2+1,x∈R}，则下列关系中正确的是()A. −1∈(A∩B)B. 1∉(A∪B)C. 1∈(A∩B)D. −1∉(A∪B)2.已知向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,6)，且p⃗//q⃗，则x的值为()A. 4B. −4C. 9D. −93.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，若P(ξ<3)=0.977，则P(−1<ξ<3)=()A. 0.977B. 0.954C. 0.853D. 0.6834.设a , b∈R，则“a+b>4”是“a>1且b>3”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.已知α,β为两个不同的平面，l为直线，则以下说法正确的是()A. 若l//α，α//β，则l//βB. 若l//α，α⊥β，则l⊥βC. 若l⊥α，l//β，则α⊥βD. 若l⊥β，α⊥β，则l//α6.已知x,y都是正实数，则4x4x+y +yx+y的最大值为()A. 32B. 52C. 43D. 547.设A=1−C121z+C122z2−C123z3+⋯+C1212z12，且z=2+i(i是虚数单位)，则A等于()A. 212B. −212C. 26D. −268.若当x=θ时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最大值，则cosθ=()A. 35B. 45C. −35D. −459.现有16个不同小球，其中红色，黄色，蓝色，绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色，且红色小球至多1个，不同的取法为()．A. 232B. 256C. 408D. 47210.在△ABC中，A=π2，AB=2，AC=1.D是BC边上的动点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是()A. [−4,1]B. [1,4]C. [−1,4]D. [−4,−1]11.已知定义在(0,π2)上的函数f(x)，f′(x)为其导数，且cosx⋅f(x)<f′(x)⋅sinx恒成立，则()A. √3f(π4)>√2f(π3) B. √2f(π6)>f(π4) C. √3f(π6)<f(π3)D. f(1)<2(π6)sin112. 已知F 1,F 2是双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F1T ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B. √13C.√132D. √3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,x ≥1,x −2y ≤4,，则目标函数z =y −x 的最大值等于________14. 已知函数f(x)={2,x ≤0,3x 2−4,x >0,则f(f(−2))=____．15. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则谷雨日影长为 ． 16. 如图，在三棱锥P −ABC 中，∠APB =∠BPC =π3，PC =1，PB =2，PA =4，若该三棱锥的外接球表面积为24π，则锐二面角A −PB −C 的平面角的正切值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在ΔABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且bsin2C =csinB ．(1)求角C ；(2)若sin(B −π3)=35，求sinA 的值．18.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P−ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD ，PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1(1)求证：BC⊥平面PAB ；(2)求面PCD 与面PAB 所成锐二面角的余弦值．19.设函数，(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；(2)若对任意a∈(3,4)及任意x1，x2∈[1,2]，恒有成立，求实数m的取值范围．20. 已知点O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a +y2b=1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，P 为椭圆C 上一点，椭圆C 上异于P 的两点A ，B 满足∠AFO =∠BFO ，当PF 垂直于x 轴时，|PF |=32． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线PA ，PB 分别与x 轴交于点M (m,0)，N (n,0)，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出mn 的值；若不是，请说明理由．21. 一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系.已知产品甲的年宣传费用x(百万元)和年销量y(万箱)的统计数据如下：(1)求y 与x 的相关系数r(精确到0.01)，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：|r |≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合)；(2)某企业准备生产产品甲的细分规格产品A 1，A 2，A 3，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测，且两次检验都合格才为合格产品．第一次检测时，产品A 1，A 2，A 3合格的概率分别为23，45，815，第二次检测时，产品A 1，A 2，A 3合格的概率分别为35，12，34.若两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，产品A 1，A 2，A 3为合格产品的种数为X ，求X 的数学期望．附：(1)相关系数r =i i −n n i=1xy√(∑x i −nx 2i=1)(∑y i −ny 2i=1)；(2)∑x i y i =2467i=1，∑x i 27i=1=888，∑y i 27i=1=70，√1316≈36.28;√1326≈36.4122. 已知直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换{x’=13xy’=14y 得到曲线C’．(1)求曲线C’的普通方程；(2)设点M 的直角坐标为(−2,0)，直线l 与曲线C’的交点为A ，B ，求|MA|⋅|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x +3|+|x −1|的最小值为m ．(1)求m 的值；(2)若a >0，b >0，a +b =m ，求证1a +4b ≥94．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查集合的交集与并集的运算及元素与集合的关系，属于基础题，先分别求出集合A，B，再求其交集与并集即可判断．解：∵集合A={x|y=log2(x+1)}，∴A=(−1,+∞)，又∵B={y|y=−x2+1,x∈R}，∴B=(−∞,1]，∴A∩B=(−1,1]，A∪B=(−∞,+∞)，∴1∈(A∩B)．故选C．2.答案：B解析：解：向量p⃗=(2,−3)，q⃗=(x,6)，且p⃗//q⃗，可得−3x=12，解得x=−4．故选：B．直接利用向量的平行的充要条件，通过坐标运算求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的平行的充要条件的应用，考查计算能力．3.答案：B解析：本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题．根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P(ξ<3)=0.977，依据正态分布对称性，即可求得答案．解：∵随机变量ξ服从正态分布N(1,1)，∴正态曲线关于x=1对称，∵P(ξ<3)=0.977，故P(ξ≥3)=0.023，∴P(−1<ξ<3)=1−2P(ξ≥3)=1−0.046=0.954．故选B．4.答案：B解析：本题考查必要条件、充分条件以及充要条件的判定，属于基础题．由a>1且b>3，⇒a+b>4；反之不成立，例如取a=−1，b=6.即可判断出结论．解：由a>1且b>3，⇒a+b>4；反之不成立，例如取a=−1，b=6．∴“a+b>4”是“a>1且b>3”的必要而不充分条件．故选：B．5.答案：C解析：本题考查空间线面、面面位置关系，属于基础题对4个选项分别进行判断，即可得出结论．解：A、若l//α，α//β，则l//β或l⊂β，不正确；B、若l//α，α⊥β，则l、β位置关系不定，不正确；C、若l//β，则l平行β内一条直线m，因为l⊥α，所以m⊥α，因此α⊥β，正确D、若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，不正确．故选C．6.答案：C解析：本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．则4x4x+y+yx+y=4x2+8xy+y24x2+5xy+y2=1+3xy4x2+5xy+y2=1+34xy+yx+5，由此能求出4x4x+y+yx+y的最大值．解：因为x，y都是正实数，则4x4x+y+yx+y=4x2+8xy+y24x2+5xy+y2=1+3xy4x2+5xy+y2=1+34xy+yx+5≤43．当且仅当y=2x时取等号，∴4x4x+y +yx+y的最大值为43．7.答案：D解析：本题主要考擦二项式定理和复数运算的运用，属于基础题．根据二项式定理的展开式，可以将A=1−C121z+C122z2−C123z3+⋯+C1212z12化为A=(1−z)12，然后将z=2+i代入即可求解．解：因为A=1−C121z+C122z2−C123z3+⋯+C1212z12=(1−z)12,又因为z=2+i,所以A=(−1−i)12=(1+i)12=(2i)6=−26，故选D．8.答案：B解析：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．利用辅助角公式x先将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，求出当f(x)取得最大值时，对应的θ和辅助角的关系，进一步可求答案．解：函数f(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)，其中sinφ=45，cosφ=35．当x=θ时，f(x)取得最大值，即θ+φ=π2+2kπ；∴φ=π2−θ+2kπ，k∈Z，∴sin(π2−θ+2kπ)=45，即sin(π2−θ)=45，∴cosθ=45．故选B．解析：解：由题意，不考虑特殊情况，共有C 163=560种取法，其中每一种小球各取三个，有4C 43=16种取法，两个红色小球，共有C 42C 121=72种取法，故所求的取法共有560−16−72=472种． 故选：D ．利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决． 本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．10.答案：A解析：解：建立平面直角坐标系，如图所示；则A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)， 设D(x,y)，则y1=2−x 2，即x2+y =1，x ∈[0,2]； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =−2x +(1−12x)=−52x +1∈[−4,1]，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[−4,1]． 故选：A ．建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围即可． 本题考查平面向量数量积的计算问题，是基础题．11.答案：C解析：本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g(x)=f(x)sinx是解题的关键，本题是一道中档题．构造函数g(x)=f(x)sinx，求出g(x)的导数，得到函数g(x)的单调性，从而判断出函数值的大小即可．解：由f′(x)sinx>f(x)cosx，则f′(x)sinx−f(x)cosx>0，构造函数g(x)=f(x)sinx，则g′(x)=f′(x)sinx−f(x)cosxsin2x，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0，即函数g(x)在(0,π2)上单调递增，∴g(π6)<g(π3)，∴√3f(π6)<f(π3)，故选C．12.答案：C解析：本题考查双曲线的性质及几何意义，余弦定理的应用，考查化简运算能力，属于中档题．连接OT,PF2，由双曲线的性质可得|PF2|=3b−2a，在中运用余弦定理，可得a，b的关系，进而得到a、c关系，可得离心率．解：如图，连接OT,PF2，由F1P与圆x2+y2=a2相切于点T可得∠F1TO=π2，因为|F 1O|=c,|OT|=a ，故|F 1T|=b ，所以cos ∠PF 1F 2=b c ， 又|PT|=2|F 1T|=2b ，故|F 1P|=3b ，所以|PF 2|=3b −2a ，在中，由余弦定理得(3b −2a)2=4c 2+9b 2−2×2c ×3b ×b c ， 整理得到2b =3a ，所以4(c 2−a 2)=9a 2，即c a =√132，所以e =√132， 故选：C ．13.答案：2解析：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．先根据约束条件{x +y ≤4,x ≥1,x −2y ≤4,画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z =y −x 过点(1,3)时，z 最大值即可．解：先根据约束条件{x +y ≤4,x ≥1,x −2y ≤4,画出可行域，然后平移直线z = y −x ，当直线y =x +z 过点(1,3)时，z 最大值为2.故答案为2.14.答案：8解析：本题考查了分段函数求值，属于基础题．根据函数解析式，先求f(−2)，再求f(f(−2))即可．解：由题意得，f(−2)=2，则f(f(−2))=f(2)=12−4=8．故答案为8．15.答案：5.5解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据题意，设这个等差数列为{a n}，且该数列的公差为d;结合题意可得a1+a4+a7=3a1+9d= 31.5，且a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a1+36d=85.5，解得a1与d的值，由等差数列通项公式计算可得答案．解：根据题意，设这个等差数列为{a n}，且该数列的公差为d，则有a1+a4+a7=3a1+9d=31.5，且a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=9a1+36d= 85.5，解可得：d=−1，a1=13.5，则谷雨这一天的日影长a9=13.5+8d=5.5，故答案为5.5．16.答案：√62解析：本题考查了二面角和球的表面积，由球的表面积得出球的半径，易知BA⊥BP，CB⊥CP，所以△ABP，△BCP的外接圆圆心O1，O2分别位于斜边PA，PB的中点，设球心为O，因为OO2⊥平面PBC，所以θ与∠OO2O1互余，即θ=∠O1OO2.计算可得锐二面角A−PB−C的平面角的正切值．解：因为S=24π=4πr2，所以r=√6，由题中数据可知，BA⊥BP，CB⊥CP，所以△ABP，△BCP的外接圆圆心O1，O2分别位于斜边PA，PB的中点，设球心为O，则OO1⊥平面PAB，OO2⊥平面PBC，因为OP=r=√6，PO1=PA2=2，所以OO1=√√62−22=√2，因为O1O2=AB2=√3，所以，设锐二面角A−PB−C的平面角为θ，因为OO2⊥平面PBC，所以θ与∠OO2O1互余，即θ=∠O1OO2．所以锐二面角A−PB−C的平面角的正切值为√62，故答案为√62．17.答案：解：(1)由bsin2C=csinB，根据正弦定理和二倍角公式可得，2sinBsinCcosC=sinCsinB，因为sinB>0，sinC>0，所以cosC=12，又C∈(0,π)，所以可得．(2)因为，所以，可得，又因为sin(B−π3)=35，所以，又，即，所以=√32×45−12×35=4√3−310．解析：本题考查同角三角函数的基本关系、正弦定理和二倍角公式．(1)根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC =sinCsinB ，结合sinB >0，sinC >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值．(2)由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求的值，由于，利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．18.答案：解：(1)证明：由题意：BC//AD 且∠DAB =90∘，∴BC ⊥AB ，又∵PA ⊥面ABCD 且BC ⊂面ABCD ，∴BC ⊥PA ，而∵PA ∩AB =A ，∴ BC ⊥面PAB;(2)解：建立空间直角坐标系，AD ，AB ，AP 方向为x ，y ，z 轴正方向，∴D (1,0,0),B (0,3,0),C (3,3,0),P (0,0,3)，∴PD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,3) ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3,0)， 由(1)可得BC ⊥面PAB ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)是平面的法向量， 设平面的一个法向量为n⃗ =(x,y,z) ∴有{n⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +3z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +3=0,不妨取n⃗ =(3,−2,1)， ∴cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√14=3√1414， ∴面PCD 与面PAB 所成二面角的余弦值为3√1414．解析：本题考查了线面垂直的判定，利用空间向量求二面角．(1)根据条件易得BC ⊥AB ，又因 P A ⊥ 面 A B C D ，得 B C ⊥ P A ，从而证得结论；(2)建立空间直角坐标系，得到点坐标， D( 1 ， 0 ， 0) ， B( 0 ， 3 ， 0) ， C( 3 ， 3 ， 0) ， P( 0 ， 0 ， 3) ，求出面PCD 的法向量，面PAB 的法向量，利用空间向量求得二面角的余弦值．19.答案：解：(1)函数的定义域为， 当a =1时，，f ′(x)=1−1x =x−1x ，当0<x <1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x >1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)极小值=f (1)=1，无极大值．(2)f ′(x)=(1−a)x +a −1x=(1−a)x 2+ax−1x =(1−a)(x−1a−1)(x−1)x ，当a ∈(3,4)，f (x )在[1,2]上单调递减，所以f(1)是最大值，f(2)是最小值，所以， 所以，由a >0，上式整理，得m >12−32a ，由3<a <4，得0<12−32a <18，所以m⩾18，所以实数m的取值范围是．解析：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的最值，利用分离参数法求参数的范围.属于较难题．(1)确定函数的定义域为(0,+∞)，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的极值；(2)确定f(x)在[1,2]上单调递减，可得f(x)的最大值与最小值，进而利用分离参数法，可得m>12−32a，从而可求实数m的取值范围．20.答案：解：(1)设椭圆半焦距为c，根据题意可得c=1=√a2−b2．当PF重直于x轴时，|PF|=b2a =32．解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)是定值.由∠AFO=∠BFO，可得A，B关于x轴对称．设A(x1,y1)，B(x1,−y1)，P(x0,y0)，易知x1≠x0，y1≠y0，x0≠m．∵k PA=k PM，∴y1−y0x1−x0=y0x0−m．∴x0−m=(x1−x0)y0y1−y0，得m=x0−(x1−x0)y0y1−y0=x0y1−x1y0y1−y0．同理，得n=x0y1+x1y0y1+y0．∴mn=x0y1−x1y0y1−y0⋅x0y1+x1y0y1+y0=x02y12−x12y02y12−y02．又x024+y023=1，x124+y123=1，∴x02=4(1−y023)，x12=4(1−y123)．∴mn=x02y12−x12y02y12−y02=4(1−y023)⋅y12−4(1−y123)⋅y02y12−y02=4，为定值．解析：本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)由题意可得关于a与b的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆方程可求；(2)由题意知，A，B关于x轴对称．设A(x1,y1)，B(x1,−y1)，P(x0,y0)，易知x1≠x0，y1≠y0，x0≠m.由k PA =k PM ，可得m =x 0y 1−x 1y 0y 1−y 0，同理得n =x 0y 1+x 1y 0y 1+y 0.作积后整体代换即可求得mn 的值．21.答案：解：(1)由题意可知x =3+5+6+10+13+15+187=10， y =1.5+2+2.5+3+3.5+4+4.57=3，由公式r =246−7×10×3√(888−7×100)(70−7×9)=3636.28≈0.99，|r|≈0.99>0.75，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；(2)细分规格产品A 1,A 2,A 3经过两次检测后合格的概率分别为记为P(A 1),P(A 2),P(A 3)， 则P(A 1)=23×35=25，P(A 2)=45×12=25，P(A 3)=34×815=25，由题意，X ∽B (3,25) ，∴E (X )=3×25=65．解析：本题主要考查了线性回归方程、相关系数，相互独立事件同时发生的概率，分布列与数学期望，属于中档题．(1)先求出x,y ，代入公式解得r 的值，可得结果;(2)细分规格产品A 1,A 2,A 3经过两次检测后合格的概率分别为记为P(A 1),P(A 2),P(A 3)，求出各自的概率，得出结果．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程是，直角坐标方程为y =x 2．将曲线C 上的点按坐标变换{x’=13x y’=14y得到曲线C’的方程为y =94x 2． (2)把直线l 的参数方程为{x =−2+√22t y =√22t代入y =94x 2中， 整理得9t 2−40√2t +72=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，∴t1t2=8，由t的几何意义可知，|MA|⋅|MB|=|t1t2|=8．解析：本题主要考查直线的参数方程，抛物线的极坐标方程与普通方程、直角坐标方程的互化，属于中档题．(1)将极坐标方程展开两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程，曲线C上的点按坐标变换{x’=13xy’=14y得到曲线C’的方程为y=94x2;(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义求出的值．23.答案：解：(1)f(x)=|x+3|+|x−1|≥|x+3+1−x|=4，当且仅当(x+3)(x−1)≤0时取等号，即−3≤x≤1，∴m=4．(2)由(1)可知a+b=4，∴1a +4b=a+b4a+a+bb=54+b4a+ab≥2√b4a⋅ab+54=94．当且仅当b4a =ab时取等号，即a=43,b=83时取等号，所以1a +4b≥94．解析：本题考查了绝对值三角不等式，基本不等式的应用与不等式证明，属于中档题．(1)利用绝对值三角不等式求出m；(2)利用基本不等式证明．。
2020年4月8日四川省德阳市高2020届高2017级高中2017 级德阳二诊考试文科数学试题
德阳市高中2017级 二诊 考试数学试卷(文史类)说明:1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,第Ⅰ卷1 2页,第Ⅱ卷3 4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷㊁草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题㊀共60分)一㊁选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z =21+i,其中i 为虚数单位,则z =A.5 B.3 C.2 D.22.函数y =4-x 2的定义域为A ,集合B =x log 2(x +1)>1{},则A ɘB =A.x 1<x ɤ2{}B.x -2ɤx ɤ2{}C.x -2<x <3{}D.x 1<x <3{}3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x 值的个数为A.1 B.2 C.3 D.44.函数f (x )=x cos x ln(e x +e -x )在[-π,π]的图象大致为5.为了得到函数y =sin 2x +π3()的图象,可将函数y =sin2x 的图象A.向右平移π3 B.向左平移π3 C.向左平移π6 D.向右平移π6)页4共(页1第㊀)类史文(诊二学数德阳二诊6.已知a =2-12,b =13()13,c =log 1215,则A.b <a <c B.a <b <c C.c <b <a D.b <c <a 7.已知l 为抛物线x 2=4y 的准线,抛物线上的点M 到l 的距离为d ,点P 的坐标为(4,1),则MP+d 的最小值是A.17B.4C.2D.1+178.不等式组2x -y ȡ0y ȡ12x x +y -3ɤ0ìîíïïïï表示的平面区域为Ω,则A.∀(x ,y )ɪΩ,x +2y >3 B.∃(x ,y )ɪΩ,x +2y >5C.∀(x ,y )ɪΩ,y +2x -1>3 D.∃(x ,y )ɪΩ,y +2x -1>59.平行四边形ABCD 中,已知AB =4,AD =3,点E ㊁F 分别满足AE ң=2ED ң,DF ң=FC ң,且AF ң㊃BE ң=-6,则向量AD ң在AB ң上的投影为A.2 B.-2 C.32 D.-3210.已知әABC 的内角A ㊁B ㊁C 的对边分别为a ㊁b ㊁c ,且A =60ʎ,b =3,AD 为BC 边上的中线,若AD =72,则әABC 的面积为A.2534 B.1534 C.154 D.353411.已知实数a >0,a ʂ1,函数f (x )=a x ,x <1x 2+4x+a ln x ,x ȡ1{在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是A.1<a ɤ2 B.a <5 C.3<a <5 D.2ɤa ɤ512.әABC 是边长为23的等边三角形,E ㊁F 分别在线段AB ㊁AC 上滑动,EF ʊBC ,沿EF 把әAEF 折起,使点翻折到点P 的位置,连接PB ㊁PC ,则四棱锥P -BCFE 的体积的最大值为A.22B.3C.3D.2第Ⅱ卷(非选择题㊀共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.二㊁填空题:共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.13.已知函数f (x )=x 2+ax 的图象在点A (1,f (1))处的切线与直线l :x -3y +2=0垂直,)页4共(页2第㊀)类史文(诊二学数德阳二诊则实数a 的值为㊀㊀㊀㊀㊀㊀.14.在一个袋子中装有分别标注1㊁2㊁3㊁4㊁5的5个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是㊀㊀㊀㊀㊀㊀.15.已知a ㊁b 为正实数,直线x +y +1=0截圆(x -a )2+(y -b )2=4所得的弦长为22,则ab 的最大值为㊀㊀㊀㊀㊀㊀.16.在әABC 中,B ㊁C 的坐标分别为(-22,0),(22,0),且满足sin B -sin C =22sin A ,O 为坐标原点,若点P 的坐标为(4,0),则AO ң㊃AP ң的取值范围为㊀㊀㊀㊀㊀㊀.三㊁解答题:解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知数列{a n }满足:21㊃a 1+22㊃a 2+23㊃a 3+ +2n ㊃a n =(n -1)㊃2n +1+2对一切n ɪN ∗成立.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列1a n ㊃a n +2{}的前n 项和Sn .18.(本题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 中,әABD 为等边三角形,әBCD 是等腰三角形,且顶角øBCD =120ʎ,PC ʅBD ,平面PBD ʅ平面ABCD ,M 为PA 中点.(1)求证:DM ʊ平面PBC ;(2)若AB =23,PD ʅPB ,求三棱锥P-BDM 的体积.19.(本题满分12分)贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出 坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制 对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个销售季度内,每售出一吨该产品获利5万元,未售出的商品,每吨亏损2万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.设该厂在下个销售周期内生产210吨该产品,以x (单位:吨,180ɤx ɤ230)表示下一个销售周期市场的需求量,Y (单位:万元)表示下一个销售周期市场的销售总利润,视x 分布在各区间内的频率为相应的概率.)页4共(页3第㊀)类史文(诊二学数德阳二诊(1)求实数a 的值;(2)将Y 表示成x 的函数,并求出解析式;(3)估计销售利润不少于910万元的概率.20.(本题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为55,右焦点为抛物线y 2=4x 的焦点F.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)O 为坐标原点,过O 作两条射线,分别交椭圆于M ㊁N 两点,若OM ㊁ON 斜率之积为-45,求证:әMON 的面积为定值.21.(本题满分12分)已知函数f (x )=e ax -x (a ɪR ,e 为自然对数的底数).(1)若f (x )有两个零点,求实数a 的取值范围;(2)若f (x )有两个零点x 1㊁x 2,且x 1<x 2,求证:x 1㊃x 2>e 2.请考生在22㊁23二题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](本题满分10分)已知点A 为圆C :(x -1)2+y 2=1上的动点,O 为坐标原点,过P (0,4)作直线OA 的垂线(当A ㊁O 重合时,直线OA 约定为y 轴),垂足为M ,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点M 的轨迹的极坐标方程;(2)直线l 的极坐标方程为ρsin θ+π3()=4,连接OA 并延长交l 于B ,求OA OB 的最大值.23.[选修4-5:不等式选讲](本题满分10分)已知函数f (x )=x +1.(1)求不等式f (x )ɤ4-2x -3的解集;(2)若正数m ㊁n 满足m +2n =mn ,求证:f (m )+f (-2n )ȡ8.)页4共(页4第㊀)类史文(诊二学数德阳二诊。
2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（文）试题（解析版）
2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（文）试题一、单选题 1．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．BC ．2D【答案】D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】 解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ，则z =. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.2．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A【解析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为3．【考点】程序框图． 4．函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，在x π=时函数范围的判断进行排除，即可得答案. 【详解】解：由已知()()()()()cos cos ln ln x x x xx x x xf x f x e e e e -----==-=-++，则函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-上是奇函数，故排除B ；又()()()()cos 0,1ln ln ln ln f e e e e e e e πππππππππππππ---==-<->-=-+++，故排除CD ； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进行排除是常用的方法，是基础题. 5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．6．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】求出二项式52x ⎫⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr r rr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 7．已知122a -=，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，121log 5c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】A【解析】先分析,,a b c 与1的大小关系,可得0,1a b c <<<,再分析66,a b 的大小即可.【详解】 因为102221a -=<=,10311133b <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭,12221log log 5log 215c ==>=.故c 最大. 又166321228a -⨯-===,16236111339b ⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故66a b >,又,0a b >故a b >. 故b a c <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据指对幂函数的单调性与计算分析函数值大小的问题.属于基础题. 8．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A．B ．4C ．2D．1【答案】B【解析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.9．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 【答案】D【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1y z x y z x +=+=-，分析12,z z 的几何意义，可得12,z z 的最小值，据此分析选项即可得答案. 【详解】解：根据题意，不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A ，()1,2B ， 设12z x y =+，则122z x y =-+，1z 的几何意义为直线122zx y =-+在y 轴上的截距的2倍，由图可得：当122z x y =-+过点()1,2B 时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最大，即25x y +≤，当122z x y =-+过点原点时，直线12z x y =+在y 轴上的截距最小，即20x y +≥， 故AB 错误； 设221y z x +=-，则2z 的几何意义为点(),x y 与点()1,2-连线的斜率， 由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.10．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32-【答案】C【解析】将,AF BE 用向量AD 和AB 表示，代入6AF BE ⋅=-可求出6AD AB ⋅=，再利用投影公式AD AB AB⋅可得答案.【详解】解：()()AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅22421346332AD AB =⋅+⨯-⨯=， 得6AD AB ⋅=，则向量AD 在AB 上的投影为6342AD AB AB⋅==. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE 用向量AD 和AB 表示是关键，是基础题.11．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC 的面积为（ ）A ．BC ．154D 【答案】B【解析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC 的面积. 【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯，得5AB =，11sin 60532224ABCSAB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.12．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.13．ABC 是边长为23的等边三角形，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，//EF BC ，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．53B ．33C ．6 D ．36【答案】D【解析】由题意知当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时球半径最小.且球心O 到四棱锥P BCFE -各顶点的距离相等,再计算此时P 到平面BCFE 的距离求解即可. 【详解】由题,取BC 中点O ,连接,,EF EO FO ,因为ABC 是边长为23的等边三角形,故,,,AEF EBO EOC EFO 均为边长为3的等边三角形.连接AO 交EF 于G .易得G 为EF 中点,且,AO EF AO BC ⊥⊥.32AG OG ==.又四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时球半径最小,且球心到,,,E F B C 的距离相等.故球心在过O 且与平面BCFE 垂直的直线上.故当球心为O 时,球半径取得最小值3.此时有33,2OP OG PG ===. 在POG 中由余弦定理可得2222333122cos 3322OGP ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. 因为,GO EF GP EF ⊥⊥,故EF ⊥平面OPG .故P 到平面BCFE 的距离231sin 1223d PG OGP ⎛⎫=⋅∠=-= ⎪⎝⎭又底面(113362332322BCFE S =⨯⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了几何体外接球的问题,需要根据题意分析球心的位置,并根据解三角形求解相关的线段长度进而求得体积等.需要一定的空间想象能力与计算能力.属于难题. 14．ABC 是边长为23E 、F 分别在AB 、AC 上滑动，EF BC ∥，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，则四棱锥P BCFE -的体积的最大值（ ） 为 A ．2 B 3C ．3D ．2【答案】D【解析】以四边形BCFE 为底面,易得当平面PBC 与平面BCFE 垂直时四棱锥P BCFE -的体积取最大值.再求得底面积与高即可.【详解】以四边形BCFE 为底面,则当P 与平面BCFE 距离最远时四棱锥P BCFE -的体积取最大值.易得此时平面PBC 与平面BCFE 垂直. 作AM BC ⊥于M ,交EF 于N .则易得AN EF ⊥,sin 3AM AC C =⋅=.又因为ABC 是边长为23的等边三角形, 设NF x =,则2EF x =,3AN x =.则33NM x =-.此时底面(())2122333332BCFE S x x x =+⨯=-. 故四棱锥P BCFE -的体积为)()22133333V x x x x =-=-.其中(3x ∈.设()()23f x x x =-,故()()()22'3233f x x x x x=-+⋅-=-,令()'0f x =有1x =.故()()23f x x x=-在()0,1上单调递增,在()1,3上单调递减.故()f x 的最大值为()()211312f =-=.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中体积的最值问题,需要根据题意分析取最值时的垂直情况,再设对应的自变量,列出关于体积的表达式,求导分析最值求解即可.属于中档题.二、填空题15．已知函数()2f x x ax =+的图象在点()()1,1A f 处的切线与直线l ：320x y -+=垂直，则实数a 的值为__________． 【答案】5-【解析】根据导数的几何意义求解()2f x x ax =+的图象在点()()1,1A f 处的切线斜率,再根据直线垂直列式求解即可. 【详解】由题, ()'2f x x a =+,故函数在点()()1,1A f 处的切线斜率为()'12f a =+. 又320x y -+=斜率为13,故()12153a a +=-⇒=-. 故答案为：5- 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题.16．在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是__________． 【答案】25【解析】利用枚举法将所有可能的情况列出再分析即可. 【详解】易得所有可能的情况有()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5共10种情况.其中满足取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的有()()()()1,3,1,5,2,4,3,5 共4种情况.故概率取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是42105=. 故答案为：25【点睛】本题主要考查了枚举法求解古典概型的方法,属于基础题.17．已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为ab 的最大值为__________．【答案】14【解析】根据垂径定理求得,a b 的关系,【详解】因为直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为且圆的半径为2.故圆心(),a b 到直线的距离d ===,因为a 、b 为正实数,故1a b +=,所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.当且仅当12a b ==时取等号. 故答案为：14【点睛】本题主要考查了垂径定理的运用以及基本不等式求最值的问题,属于中档题.18．在ABC 中，B 、C 的坐标分别为()-，()，且满足sin sin 2B C A -=，O 为坐标原点，若点P 的坐标为()4,0，则AO AP ⋅的取值范围为__________. 【答案】()12,+∞【解析】由正弦定理可得点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则224AO AP x x y ⋅=-+，将224y x =-代入可得()2216AO x AP ⋅-=-，利用二次函数的性质可得范围. 【详解】解：由正弦定理得422AC AB BC -===< 则点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则221,244x y x -=<-，()()224.4,AO AP x y x y y x x --⋅=⋅--=-+，又224y x =-，()22242641AO x AP x x x ∴⋅=--=--+，因为2x <-，则()2221612AO AP ⋅>⨯---=， 即AO AP ⋅的取值范围为()12,+∞. 故答案为：()12,+∞. 【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.三、解答题19．已知数列{}n a 满足：()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a a +⎧⋅⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()()()35412n n n S n n +=++【解析】（1）先通过1n =求得11a =，再由2n ≥得()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得2111122n n a a n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，通过裂项求和法可得答案.【详解】 （1）()12311232222122n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+①，∴当1n =时，1122a ⋅=，11a ∴=，当2n ≥时，()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+②，①-②得：22n nn a n ⋅=⋅，n a n ∴=，适合11a =，故n a n =； （2）()211111222n na a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，11111111121324352n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()()35412n n n n +=++.【点睛】本题考查n S 法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点．（1）求证：DM //平面PBC ；（2）若23AB =PD PB ⊥，求三棱锥P BDM -的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）32【解析】(1)设AB 中点为N ,连接MN 、DN ,再证明平面//DMN 平面PBC ,进而得到DM //平面PBC 即可.(2) 设BD 中点为O ,连接AO 、CO ,根据12P BDM P ABD V V --=,再计算底面ABD △的面积,并证明三棱锥P ABD -的高为PO 计算即可. 【详解】（1）证明：设AB 中点为N ,连接MN 、DNABD 为等边三角形DN AB ∴⊥DC CB =,120DCB ∠=︒30CBD ∴∠=︒603090ABC ∴∠=︒+︒=︒即CB AB ⊥ DN AB ⊥ //DN BC ∴BC ⊂平面PBC ,DN ⊄平面PBC //DN ∴平面PBCMN 为PAB △的中位线//MN PB ∴PB ⊂平面PBC ,MN ⊄平面PBC//MN ∴平面PBCMN 、DN 为平面DMN 内二相交直线∴平面//DMN 平面PBCDM ⊂平面DMN//DM ∴平面PBC ．（2）解：设BD 中点为O ,连接AO 、CO 与POABD 为等边三角形,BCD 是等腰三角形,且顶角120BCD ∠=︒ AO BD ∴⊥,CO BD ⊥A ∴、C 、O 共线PC BD ⊥,BD CO ⊥,PC CO C =,PC ,CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO ．PO ⊂平面PCO BD PO ∴⊥平面PBD ⊥平面ABCD ,交线为BD ,PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD ．设23AB =3AO ∴=PD PB ⊥,O 为BD 中点132PO BD ∴==111113223622P BDM P ABD ABD V V S PO AO BD PO --∴==⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了根据面面平行证明线面平行的方法与三棱锥体积的求法,需要根据题意证明线面垂直得到三棱锥的高,再根据平面几何的关系求解面积等.属于中档题. 21．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内生产210吨该产品，以x （单位：吨，180230x ≤≤）表示下一个销售周期市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x 分布在各区间内的频率为相应的概率．（1）求实数a 的值；（2）将Y 表示成x 的函数，并求出解析式； （3）估计销售利润不少于910万元的概率． 【答案】（1）0035a =． （2）7420,1802101050,210230x x Y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（3）0.9【解析】(1)根据频率分布直方图的面积之和为1列式求解即可.(2)根据题意,当210x ≥时生产的210吨该产品能全卖完,当210x <时,再利用总收入减去亏损计算即可.(3)根据(2)中的解析式求解910Y ≥时x 的取值范围,再结合频率分布直方图求解概率即可. 【详解】解：（1）由()0.010015003001101a ++++⨯=．．．得：0035a =．．(2)当210x ≥时,21051050Y =⨯=当210x <时,()521027420Y x x x =--⨯=-所以7420,1802101050,210230x x Y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（3）当210230x ≤≤时,1050910Y => 由7420910x -≥得：190x ≥1901001)9(100P x ≥=-⨯=．．∴估计销售利润不少于910万元的概率为0.9．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的理解以及根据分段函数求利润的问题,属于中档题.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，右焦点为抛物线24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值. 【答案】（1）22154x y +=；（2）见解析 【解析】（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程；（2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()0x t t t =<<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通过OM 、ON 斜率之积为45-列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为45-可得22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解. 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，1c ∴=， 55e =，5c a ∴=， 5a ∴=，2b =，∴椭圆方程为22154x y +=；（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN的方程为：()0x t t t =<<≠代入22154x y +=得：,M t ⎛ ⎝，,N t ⎛- ⎝，2122455t k k t-∴⋅==-⋅ 2245455t t -∴-⋅=-，解得：252t =，12MONS t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+由()2222245105200154y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①1221045km x x k +=-+，212252045m x x k-⋅=+ 4·5OM ON k k =-，121245y y x x ∴⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()()22121254550k x x mk x x m +⋅+++=()2222252010545504545m kmk mk m k k-⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠MN ===O 到MN的距离d =12MON S MN d ∴=△===综上：MON S =△. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.23．已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当()f x 有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：212x x e ⋅>．【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】(1)参变分离可知ln xa x =有两个相异实根,再构造函数()ln x G x x=,分析函数的单调性与最值,进而求得函数的取值范围数形结合求解即可.(2) 由题意得1212ax ax e x e x ⎧=⎨=⎩,再运算求得2121ln ln x x a x x -=-,又要证：212x x e ⋅>,只需证12ln ln 2x x +>,代入2121ln ln x x a x x -=-化简可得212122111ln ln ln 1x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪+=⋅ ⎪- ⎪⎝⎭,再令21x t x =,构造函数分析单调性与最值证明1ln 21t t t +⎛⎫⋅> ⎪-⎝⎭即可. 【详解】解：（1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根由0>ax e ,知0x >()f x ∴有两个零点ln x a x ⇔=有两个相异实根． 令()ln x G x x =,则()21ln x G x x -'= 由()0G x '>得：0x e <<,由()0G x '<得：x e >()G x ∴在()0,e 单调递增,在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴== 又()10G =∴当01x <<时,()0G x <,当1x >时,()0G x >当x →+∞时,()0G x →()f x ∴有两个零点时,实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）由题意得1212ax ax e x e x ⎧=⎨=⎩10x ∴>,20x >1122ln ln ax x ax x =⎧∴⎨=⎩ ()1212ln ln a x x x x ∴+=+ ①()2121ln ln a x x x x -=-12x x <2121ln ln x x a x x -∴=- 要证：212x x e ⋅>,只需证12ln ln 2x x +>由①知：()()22112121212221111ln ln ln ln =ln 1x x x x x x x a x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪- ⎪+=+=⋅+⋅- ⎪- ⎪⎝⎭ 120x x <<211x x ∴> 令21x t x =,1t > ∴只需证1ln 21t t t +⎛⎫⋅> ⎪-⎝⎭1t >101t t +∴>- ∴只需证：()()21ln 1t t t ->+ 令()()()()21F ln 11t t t t t -=->+ ()()()()222114011t F t t t t t -'∴=-=>++ ()F t ∴在()1,+∞递增()()0F t F t ∴>=()()21ln 1t t t -∴>+ 即12ln ln 2x x +>,即212x x e ⋅>．【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性以及求解零点有关的问题,同时也考查了双变量构造函数证明单调性的方法,需要根据题意将参数a 用零点表达,再构造函数分析单调性证明不等式.属于难题.24．已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA 的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值.【答案】（1）4sin ρθ=；（2【解析】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM 中，有4sin ρθ=，即可得结果； （2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立两个方程，可求出OA ，联立sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得OB，则计算可得1sin 243OAOB πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM 中，有4sin ρθ=， ∴点M 的轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得：12cos OA ρα==， 由sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：24sin 3OB ρα==π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2cos 4sin 3OA OB αα∴=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1cos sin 23ααπ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1cos sin sin cos cos sin 233αααππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21sin cos 4ααα=)1sin 2cos 218αα=++1sin 243πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭242333απππ∴-<+<， ∴当232ππα+=，即12πα=时，max OA OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，OAOB ∴. 【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.25．已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()423f x x ≤--的解集；（2）若正数m 、n 满足2m n mn +=，求证：()()28f m f n +-≥.【答案】（1）{}02x x ≤≤；（2）见解析 【解析】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩，分别解出，再求并集即可； （2）利用基本不等式及2m n mn +=可得28m n +≥，代入()()21212f m f n m n m n +-=++-+≥+可得最值.【详解】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩由（Ⅰ）得：123x x x <-⎧⎪⇒∈∅⎨≥-⎪⎩由（Ⅱ）得：3130220x x x ⎧-≤≤⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎩由（Ⅲ）得：332222x x x ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪≤⎩. ∴原不等式的解集为{}02x x ≤≤；（2）0m >，0n >，2m n mn +=，()()221122224m n m n m n +∴+=⋅≤⨯， 28m n ∴+≥，当且仅当22m n m n mn =⎧⎨+=⎩，即42m n =⎧⎨=⎩时取等号， ()()212128f m f n m n m n ∴+-=++-+≥+≥，当且仅当210n -+≤即12n ≥时取等号， ()()28f m f n ∴+-≥.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.。
2020届四川省德阳市高三一诊考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省德阳市高三一诊考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1M =--，(){}20N x R x x =∈-≤，则M N =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1C ．{}2,1,0,1--D ．{}2,1,0--【答案】B【解析】先确定集合N 中的元素，再由交集定义求解． 【详解】由题意{|02}N x x =≤≤，∴{0,1}M N ⋂=． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础． 2．已知i 为虚数单位，a 、b R ∈，z a i =+，zi z b =+，则a b =（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2【答案】C 【解析】等式zi z b=+去分母化简后根据复数的相等求出,a b ，再计算a b ． 【详解】 ∵zi z b=+，∴()z i z b =+，即()1()a i i a i b a b i +=++=-++， ∴11a a b =-⎧⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴1122ab -==． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的运算与复数相等，解题关键是利用复数相等的定义求出实数,a b ．3．已知向量3,12a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭v 与向量()2,2b x x =v 共线，则实数x 的值为（ ）A ．3-B ．3-或0C ．3D ．3或0【答案】B【解析】利用向量共线的坐标运算可求得x 值．【详解】由题意23()202x x x +⋅-=，解得0x =或3-． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，即1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则1221//0a b x y x y ⇔-=r r．4．执行如图所示的程序框图，若输入的6a =，1b =，则输出S 的结果是（ ）A ．24B ．28C ．34D ．40【答案】D【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化情况，判断循环条件，得出结论． 【详解】模拟程序运行，6,1a b ==，0S =，6S =，判断?a b ≤否；5,2a b ==，16S =，判断?a b ≤否；4,3a b ==，28S =，判断?a b ≤否；3,4a b ==，40S =，判断?a b ≤是；输出40S =． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论． 5．已知()()511x ax ++的展开式中5x 的系数是4-，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．45D ．45-【答案】A【解析】求出5(1)x +展开式中5x 和4x 的系数，由多项式乘法法则可得结论． 【详解】由题意01554C C a +⨯=-，1a =-．故选：A ． 【点睛】本题考查二项式定理，考查求二项展开式的系数，注意多项式乘法法则的应用． 6．为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和竞争力。
2020届四川省德阳市高三一诊考试数学(理)试题(解析版)
又 PA 1 ，∴ PQ 2 ，而 PB 2 ，∴ BQ 4 ，
5
5
由 PB PC ，得 BC PB2 5 ，从而 PC 1 ， BQ
如图，以 PA, PB, PC 为棱作出长方体，此长方体的外接球就是三棱锥 P ABC 的外接
球，外接球直径等于长方体的对角线长 PA2 PB2 PC 2 12 22 12 6 ，
f (a b) f (a b mn) 0 得 a, b 满足的关系，再由代数式 (a 1)2 b2 (x) 是奇函数，
∴当 x 0 时， x 0 ， f (x) f (x) [(x)2 2 (x)] x2 2x ，
∴ mx2 nx x2 2x ，∴ m 1, n 2 ，
故选：D． 【点睛】 本题考查程序框图，解题时可模拟程序运行，判断循环条件，确定输出结论．
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5．已知 x 15 ax 1 的展开式中 x5 的系数是 4 ，则实数 a 的值为（ ）
A． 1
【答案】A
B．1
4
C．
5
D． 4 5
【解析】求出 (x 1)5 展开式中 x5 和 x4 的系数，由多项式乘法法则可得结论．
【详解】
模拟程序运行， a 6, b 1 ， S 0 ， S 6 ，判断 a b ? 否；
a 5,b 2 ， S 16 ，判断 a b ? 否；
a 4,b 3 ， S 28 ，判断 a b ? 否；
a 3,b 4 ， S 40 ，判断 a b ? 是； 输出 S 40 ．
2020 届四川省德阳市高三一诊考试数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 M 2,1,0,1 ， N x R x x 2 0 ，则 M N （ ）