2015山东春季高考数学真题
高中数学 专题15：计数原理与二项式定理(山东春季高考十年汇编2012-2021)含答案解析
山东省春季高考10年汇编专题15：计数原理与二项式定理（解析版）1．（2012年山东春考）编排一张由4个语言类节目和2个舞蹈类节目组成的演出节目单，若要使2个舞蹈类节目不相邻，则不同排法的种数是(A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 480答案：D2．（2015年山东春考）某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（）（A）10 （B）20 （C）60 （D）100答案：A3.（2016年山东春考）某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生.若从这7名学生中任选3名参加数学竟赛，要求既冇男生又有女生.则不同选法的种数是A.60B.31C.30D.10答案：C4．（2017年山东春考）文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A．72 B．120 C．144 D．288答案：【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21C43=8种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，则以排出8×24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A32=6种情况，此时有6×2×6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选：D ．5.（2018年山东春考）景区中有一座山，山的南面有2条道路.山的北面冇3条道路，均可用于游客上山或下山.假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走发的种数是( )(A) 6(B) 10 (C) 12 (D) 20答案：C 6.（2019年山东春考）现把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种数是A.360B.336C.312D.240答案：B7.（2020年山东春考）现从4名男生和3名女生中,任选3名男生和2名女生,分别担任5门不同学科的课代表, 则不同安排方法的种数是 ( )A.12B.120C.1440D.17280答案：C8．（2021年山东春考）某运动员队准备参加4100⨯米接力赛，队中共有5名运动员，其中甲运动员不能跑第一棒，教练从这5人中安排4人分别跑第一至第四棒，则所有不用安排方法的种数是（ ）A.48B.60C.96D.120答案：C9．（2012年山东春考）若 (a ＋b )n 展开式的第4项与第7项的系数相等，则此展开式共有(A ) 8项 (B ) 9项(C ) 10项 (D ) 11项答案：C10．（2013年山东春考）()521x -的二项展开式中3x 的系数是(A ) 80-(B ) 80 (C ) 10- (D ) 10 答案：B 11.（2014年山东春考）n xx ）（1+的二项展开式中第三项是10x ，则n ＝________________.答案：512．（2015年山东春考）(1－x )5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）（A ）0 （B ）－1（C ）－32 （D ）32答案：D13.（2016年山东春考）已知（x-2）2的二项式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是A.-280B.-160C.160D.560答案：B14．（2017年山东春考）若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣15 【解答】解：∵二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，∴n=6，则展开式中的通项公式为 T r +1=C 6r •（﹣1）r •x． 令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为 C 62•（﹣1）2=15，故选：C ．15．（2018年山东春考）在(x-2y)5的展开式中，所有项的系数之和等于( )(A)32 (B)-32 (C)1 (D)-1 答案：D16.（2019年山东春考）在(1)nx +的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是A.315xB. 320xC. 215xD. 220x答案：C 17.（2020年山东春考）在 （x 2－1x）8的二项展开式中,第4项的二项式系数是 ( )A.56B.-56C.70D.-70答案：A18．（2020年山东春考）在1(2)n x-的展开式中，若第2项与第5项的二项式系数相等，则第4项的系数是（ ）A.10-B.80-C.40D.560答案：B。
山东省春季高考数学模拟试题(2)
2015-2016年普通高校招生（春季）考试数学模拟试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.）1．设M ={0，1，2, 3, 4}，N ={1，3，5}，P=M ∩N ，则P 的子集共有（ ）(A) 2个 (B) 4个 (C)6个(D) 8个2．“a b >”是“a b >”的（ ）(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．设命题p ：∅＝0，q ：2∈ R ，则下列结论正确的是（ ）(A) p q ∧为真 (B) p q ∨为真 (C) p 为真 (D) q ⌝为真 4．若a,b 是任意实数,且a ＞b,则（ ）（A ）a 2＞b 2（B ）b a ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(12)a ＜(12)b5．函数f(x)＝x －4lg x －1的定义域是( ) (A) [4，＋∞) (B) (10，＋∞) (C) (4,10)∪(10，＋∞) (D) [4,10)∪(10，＋∞)6．若不等式032>+++a ax ax 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）(A)（4-，0） (B) ),0()4,(∞+⋃--∞ (C) ),0[∞+ (D))0,(-∞7．已知2,2,a b ==r r 且()a b +r r 与a r 垂直，则a r 与b r夹角为（ ）(A) 30o(B) 45o(C) 60o (D) 135o8．已知角 α 终边经过点 P (－5，－12)，则 tan α 的值是(A ) 125 (B ) －125(C ) 512 (D ) －5129．淄博电视台组织“年货大街”活动中，有5个摊位要展示5个品牌的肉制品，其中有两个品牌是同一工厂的产品，必须在相邻摊位展示，则安排的方法共（ ）种。
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东卷理科数学(2015年山东省高考理科数学)
2015年普通高等学校招生全国统一考试山东理科数学参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ).第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，3) B ．(1，4) C ．(2，3) D ．(2，4) 答案：C 解析：A ＝{x|x 2﹣4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，结合数轴，知A ∩B ＝{x|2<x<3}. 2.若复数z 满足z 1−i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1﹣iB ．1＋iC ．﹣1﹣iD ．﹣1＋i答案：A解析：∵z1−i ＝i ，∴z ＝i(1﹣i)＝i ﹣i 2＝1＋i .∴z ＝1﹣i .3.要得到函数y ＝sin (4x −π3)的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案：B解析：∵y ＝sin (4x −π3)＝sin [4(x −π12)]，∴只需将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位即可.4.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．﹣32a 2 B ．﹣34a 2 C ．34a 2 D ．32a 2答案：D解析：如图设BA⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝B ．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ＋b)·a ＝a 2＋a·b ＝a 2＋a ·a ·cos60°＝a 2＋12a 2＝32a 2.5.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|<2的解集是( )A ．(﹣∞，4)B ．(﹣∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5) 答案：A解析：当x ≤1时，不等式可化为(1﹣x )﹣(5﹣x )<2，即﹣4<2，满足题意；当1<x<5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(5﹣x )<2，即2x ﹣6<2，解得1<x<4； 当x ≥5时，不等式可化为(x ﹣1)﹣(x ﹣5)<2，即4<2，不成立. 故原不等式的解集为(﹣∞，4). 6.已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3答案：B解析：由约束条件画出可行域，如图阴影部分所示.线性目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝﹣ax ＋z. 设直线l 0：ax ＋y ＝0.当﹣a ≥1，即a ≤﹣1时，l 0过O (0，0)时，z 取得最大值，z max ＝0＋0＝0，不合题意；当0≤﹣a<1，即﹣1<a ≤0时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝a ＋1＝4，∴a ＝3(舍去)； 当﹣1<﹣a<0时，即0<a<1时，l 0过B (1，1)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋1＝4，∴a ＝32(舍去)；当﹣a ≤﹣1，即a ≥1时，l 0过A (2，0)时，z 取得最大值，z max ＝2a ＋0＝4，∴a ＝2. 综上，a ＝2符合题意.7.在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π答案：C解析：由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V 圆柱＝π×12×2＝2π，V 圆锥＝13×π×12×1＝π3.∴V 几何体＝V 圆柱﹣V 圆锥＝2π﹣π3＝5π3.8.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ﹣σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ﹣2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%答案：B解析：由正态分布N (0，32)可知，ξ落在(3，6)内的概率为P(μ−2σ<ξ<μ＋2σ)−P(μ−σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%−68.26%2＝13.59%.9.一条光线从点(﹣2，﹣3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．﹣53或﹣35 B ．﹣32或﹣23 C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34答案：D解析：如图，作出点P (﹣2，﹣3)关于y 轴的对称点P 0(2，﹣3).由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y ＝k (x ﹣2)﹣3，即kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0.∴圆心到直线的距离d ＝√1＋k 2＝1，解得k ＝﹣43或k ＝﹣34.10.设函数f (x )＝{3x −1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：C解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24，显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B ．当a ＝23时，f (23)＝3×23﹣1＝1，f (f (23))＝f (1)＝21＝2. 显然f (f (23))＝2f(23).故排除D ． 综上，选C ．第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.观察下列各式：C 10＝40；C 30＋C 31＝41； C 50＋C 51＋C 52＝42； C 70＋C 71＋C 72＋C 73＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝__________.答案：4n ﹣1解析：观察各式有如下规律：等号左侧第n 个式子有n 项，且上标分别为0，1，2，…，n ﹣1，第n 行每项的下标均为2n ﹣1.等号右侧指数规律为0，1，2，…，n ﹣1.所以第n 个式子为C 2n−10＋C 2n−11＋C 2n−12＋…＋C 2n−1n−1＝4n ﹣1.12.若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__________. 答案：1解析：由题意知m ≥(tan x )max .∵x ∈[0，π4]，∴tan x ∈[0，1]， ∴m ≥1.故m 的最小值为1.13.执行下边的程序框图，输出的T 的值为__________.答案：116解析：初始n ＝1，T ＝1.又∫1x n d x ＝1n ＋1x n ＋1|01＝1n ＋1，∵n ＝1<3，∴T ＝1＋11＋1＝32，n ＝1＋1＝2； ∵n ＝2<3，∴T ＝32＋12＋1＝116，n ＝2＋1＝3；∵n ＝3，不满足“n<3”，执行“否”，∴输出T ＝116.14.已知函数f (x )＝a x ＋b (a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a ＋b ＝__________. 答案：﹣32解析：f (x )＝a x ＋b 是单调函数，当a>1时，f (x )是增函数，∴{a −1＋b ＝−1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a<1时，f (x )是减函数，∴{a −1＋b ＝0，a 0＋b ＝−1，∴{a ＝12，b ＝−2. 综上，a ＋b ＝12＋(﹣2)＝﹣32.15.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a −y 2b ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p>0)交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为__________. 答案：32解析：双曲线的渐近线为y ＝±ba x.由{y ＝ba x ，x 2＝2py ，得A (2bp a ，2b 2p a ).由{y ＝−ba x ，x 2＝2py ，得B (−2bp a ，2b 2p a 2). ∵F (0，p2)为△OAB 的垂心，∴k AF ·k OB ＝﹣1.即2b 2p a 2−p22bpa−0·(−ba )＝﹣1，解得b 2a 2＝54，∴c 2a 2＝94，即可得e ＝32.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.(本小题满分12分)设f (x )＝sin x cos x ﹣cos 2(x ＋π4). (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．若f (A2)＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值. 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x 2−1＋cos(2x ＋π2)2＝sin2x 2−1−sin2x2＝sin2x ﹣12.由﹣π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得﹣π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是[−π4＋kπ，π4＋kπ](k ∈Z)；单调递减区间是[π4＋kπ，3π4＋kπ](k ∈Z).(2)由f (A2)＝sin A ﹣12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝√32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2﹣2bc cos A ， 可得1＋√3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋√3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋√34.所以△ABC 面积的最大值为2＋√34.17.(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE ，∠BAC ＝45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证法一：连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH.在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形.则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ，所以BD ∥平面FGH.证法二：在三棱台DEF ﹣ABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点，可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形.可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB ． 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED ． 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH.(2)解法一：设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF ﹣ABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ．又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC ．在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点，所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ，因此GB ，GC ，GD 两两垂直.以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G ﹣xyz. 所以G (0，0，0)，B (√2，0，0)，C (0，√2，0)，D (0，0，1). 可得H (√22，√22，0)，F (0，√2，1)， 故GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√22，√22，0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，√2，1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量， 则由{n ·GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，可得{x ＋y ＝0，√2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，﹣1，√2). 因为GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ACFD 的一个法向量，GB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(√2，0，0)， 所以cos <GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n >＝GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|√22√212. 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.解法二：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH. 由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD ． 因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角.在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝√22， 由△GNM ∽△GCF ，可得MNFC ＝GMGF ，从而MN ＝√66.由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝√3，所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.18.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为2S n ＝3n ＋3，所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n>1时，2S n ﹣1＝3n ﹣1＋3，此时2a n ＝2S n ﹣2S n ﹣1＝3n ﹣3n ﹣1＝2×3n ﹣1，即a n ＝3n ﹣1，所以a n ＝{3，n ＝1，3n−1，n >1.(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n>1时，b n ＝31﹣n log 33n ﹣1＝(n ﹣1)·31﹣n . 所以T 1＝b 1＝13；当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n ﹣1)×31﹣n )，所以3T n ＝1＋(1×30＋2×3﹣1＋…＋(n ﹣1)×32﹣n )，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3﹣1＋3﹣2＋ (32)n )﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝23＋1−31−n 1−3−1﹣(n ﹣1)×31﹣n ＝136−6n ＋32×3n，所以T n ＝1312−6n ＋34×3n.经检验，n ＝1时也适合. 综上可得T n ＝1312−6n ＋34×3n.19.(本小题满分12分)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX.解：(1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93＝84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，因此P (X ＝0)＝C 83C 93＝23，P (X ＝﹣1)＝C 42C 93＝114，P (X ＝1)＝1﹣114−23＝1142.所以X 的分布列为则EX ＝0×23＋(﹣1)×114＋1×1142＝421.20.(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.①求|OQ||OP|的值；②求△ABQ 面积的最大值.解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又ca ＝√32，a 2﹣c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ||OP|＝λ，由题意知Q (﹣λx 0，﹣λy 0).因为x 024＋y 02＝1，又(−λx 0)216＋(−λy 0)24＝1，即λ24(x 024＋y 02)＝1，所以λ＝2，即|OQ||OP|＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝﹣8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2−161＋4k 2.所以|x 1﹣x 2|＝4√16k 2＋4−m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m||x 1﹣x 2|＝2√16k 2＋4−m 2|m|1＋4k 2＝2√(16k 2＋4−m 2)m 21＋4k 2＝2√(4−m 21＋4k2)m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t.将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2﹣4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2. ②由①②可知0<t ≤1，因此S ＝2√(4−t)t ＝2√−t 2＋4t .故S ≤2√3，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2√3. 由①知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6√3.21.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2﹣x )，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x>0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围.解：(1)由题意知函数f (x )的定义域为(﹣1，＋∞)，f'(x )＝1x ＋1＋a (2x ﹣1)＝2ax 2＋ax−a ＋1x ＋1.令g (x )＝2ax 2＋ax ﹣a ＋1，x ∈(﹣1，＋∞).当a ＝0时，g (x )＝1，此时f'(x )>0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点； 当a>0时，Δ＝a 2﹣8a (1﹣a )＝a (9a ﹣8).①当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f'(x )≥0，函数f (x )在(﹣1，＋∞)单调递增，无极值点；②当a>89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax ﹣a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝﹣12，所以x 1<﹣14，x 2>﹣14.由g (﹣1)＝1>0，可得﹣1<x 1<﹣14.所以当x ∈(﹣1，x 1)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增. 因此函数有两个极值点. 当a<0时，Δ>0，由g (﹣1)＝1>0，可得x 1<﹣1.当x ∈(﹣1，x 2)时，g (x )>0，f'(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f'(x )<0，函数f (x )单调递减； 所以函数有一个极值点.综上所述，当a<0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a>89时，函数f (x )有两个极值点.(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意；②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a>1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减；因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a<0时，设h (x )＝x ﹣ln(x ＋1). 因为x ∈(0，＋∞)时，h'(x )＝1﹣1x ＋1＝xx ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增.因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0， 即ln(x ＋1)<x.可得f (x )<x ＋a (x 2﹣x )＝ax 2＋(1﹣a )x ， 当x>1﹣1a 时，ax 2＋(1﹣a )x<0， 此时f (x )<0，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[0，1].。
文科数学-2015山东高考数学(文)试题下载_2015高考真题精编版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案卸载试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1） 已知集合A={X|2<X<4}，B={X|（X-1）（X-3）<0}，则A B= （A ）（1,3） （B ）（1,4） （C ）（2,3） （D ）（2,4）（2）若复数Z 满足1zi-=i ，其中i 为虚数单位，则Z=（A ）1-i （B ）1+I （C ）-1-I （D ）-1+i（3）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a（4）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）（A ）．向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）.向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位（5）若, 如题“m>0,则方程+-=0有实根 的逆否命题是(A)若方程+-=0有实根，则>0 (B)若方程+-=0有实根，则0 ()若方程+-=0没有实根，则>0 ()若方程+-=0没有实根，则0（6）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图。
山东省春季高考数学试卷(含解析)
山东省春季高考数学试卷一、选择题1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于( )A. ?B. {1}C. {2}D. {1，2}2 •函数■，-= -p_—的定义域是( )A. [ - 2, 2] B .( — s, —2] U [2 , +R) C. (- 2, 2) D.( — s, —2)U( 2, +3. 下列函数中，在区间（-s, 0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C. .D. y=|x|4. 二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2x2+8x - 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2x2+4x+35. 等差数列{a n}中，a=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 326. 已知A ( 3, 0), B (2,1),则向量忑的单位向量的坐标是( )A. (1,-1)B. (- 1 , 1)7. “p V q为真”是“p为真”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件&函数y=cos2x - 4cosx+1的最小值是（）A.- 3B. - 2C. 5D. 69.下列说法正确的是（）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直A. 1B. 2C. - 1D. - 214.如果-:,:::..,那么.• |等于（）17.已知圆G 和C 2关于直线y= - x 对称，若圆C 的方程是 2 2 2 2 2 2 A. ( x+5) +y =2 B. x + (y+5) =4 C . (x - 5) +y =2 D . 18 .若二项式 f 三八的展开式中，只有第 4项的二项式系数最大，则展开式中的常数 项是（ ） A. 20B. - 20 C . 15D. - 1519 .从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技 能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为 （ ） 成绩分析表甲 乙 丙 丁平均成绩； 96 96 85 8510 .过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量j t :：，的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=011 .文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是 A. 72B. 120C. 144D. 28812.若a , b , c 均为实数，且 a v b v 0, 则下列不等式成立的是（2 2A. a+c v b+c B . ac v beC. a v bD .呼「「“'J13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若f (- 1) =g (9),则实数k 的值是（）A. — 18 B .-6 C. 0D. 1815.已知角 a 的终边落在直线 y= - 3x 上，则COS （ n +2 a ）的值是（B.16 .二元一次不等式 2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（（x+5） 2+y 2=4,则圆C 2的方程是2 2x + (y - 5) =4A.C .D.2 2' -(a>0, b>0)的两个顶点，以2 1 2 1 a b20.已知A, A为双曲线AA为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M N两点，若△ A MN的面积为―，则该双曲线的离心率是( )2A.匚B. _C. _D.匚3 3 3 3二、填空题：21 .若圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于____________ .22 .在厶ABC中，a=2, b=3,Z B=2/ A 贝U cosA= ________ .2 223 .已知F i, F2是椭圆’< =1的两个焦点，过F i的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF16 36的周长等于_______ .24 .某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是_________ .■- x25 .对于实数m n,定义一种运算：，已知函数f (x) =a*a，其中0v a| n,V 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是______________ .三、解答题：26 .已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性；(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.27 .某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.28.已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示.(1)求证：DE//平面BCCB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.(1)求该函数的最小正周期;(2)求该函数的单调递减区间;(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.2 230.已知椭圆’的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心a2 b2率是，如图所示.(1)求椭圆的标准方程；(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.参考答案与试题解析一、选择题29.已知函数1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于（）A. ?B. {1}C. {2}D. {1 , 2}【考1F：补集及其运算.点】【分根据补集的定义求出M补集即可.析】【解解：全集U={1, 2}, 集合M={1}，则?U M={2}答】故选：C.2 •函数；.-=-p——的定义域是（）A. [ - 2, 2] B . （-a, - 2] U [2 , +R） C. （- 2, 2） D.（-汽-2）U（2, + OO）【考点】33:函数的定义域及其求法.【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可.【解答】解：函数丁二] ------ 2>0,即|x| >2,解得X V- 2或x > 2,•函数y的定义域是（-O,-2）U（2, +O）.故选：D.3.下列函数中，在区间（-O,0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C.，-丄D. y=|x|【考点】3E:函数单调性的判断与证明.【分析】根据基本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可.【解答】解：对于A函数y=x，在区间（-O, 0）上是增函数，满足题意；对于B,函数y=1，在区间（-O,0）上不是单调函数，不满足题意；对于C,函数y=—，在区间(-^, 0)上是减函数，不满足题意；x对于C,函数y=|x|，在区间(-8, 0)上是减函数，不满足题意.故选：A.4•二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2X2+8X- 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2X2+4X+3【考点】3W二次函数的性质.【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f (x) =a (x- 1) 2+5,代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3) , (2, 3),则对称轴x=1，最大值是5,可设 f (x) =a (x - 1) 2+5,于是3=a+5,解得a=- 2,故 f (x) =- 2 ( x - 1) 2+5= - 2x2+4x+3,故选：D.5.等差数列｛a n｝中，a1=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 32【考点】8F:等差数列的性质；84 :等差数列的通项公式.【分析】根据题意，由等比数列的性质可得( a s) 2=4X 49,结合解a s v 0可得a s的值，进而由等差数列的性质a5=2a3 - a1，计算即可得答案.【解答】解：根据题意，a a是4与49的等比中项，则(a3)2=4X 49,解可得a3=± 14,又由a3v 0,贝U a3= - 14,又由a1=- 5,则a5=2a3 —a1 = - 23,故选：B.6.已知A ( 3, 0), B (2, 1),则向量爲的单位向量的坐标是( )【考点】95:单位向量.【分析】先求出'.：；=(-1, 1),由此能求出向量：的单位向量的坐标. 【解答】解：••• A ( 3, 0) , B (2 , 1), •••：.；=(- 1, 1), •••丨：.；|=-,•••向量丁啲单位向量的坐标为( ―，丄一)，即(-二,—).|AB I |AB I 2 2故选：C.7•“p V q 为真”是“p 为真”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】2L :必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由真值表可知：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题,故由充要条件定义知 为真”是“p 为真”必要不充分条件【解答】解：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题，所以“p V q 为真”推不出“p 为真”，但“p 为真” 一定能推出“ p V q 为真”， 故“p V q 为真”是“p 为真”的必要不充分条件， 故选：B.&函数y=cosx - 4cosx+1的最小值是( )A.- 3B. - 2C. 5D. 6【考点】HW 三角函数的最值.【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y 的最小值.【解答】 解：T 函数 y=cos 2x - 4cosx+1= (cox - 2) 2- 3，且 cosx € [ - 1, 1]，故当 时，函数y 取得最小值为-2, 故选：B.A. ( 1, -1)B •(— 1 , 1)cosx=1 D.9. 下列说法正确的是（ ）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 【考点】LJ :平面的基本性质及推论.【分析】在A 中，经过共线的三点有无数个平面； 在B 中，两条异面直线不能确定一个平面； 在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直； 在D 中，由线面垂直的性质得经过平 面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【解答】在A 中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故 A错误；在B 中，两条相交线能确定一个平面， 两条平行线能确定一个平面， 两条异面直线不能确定 一个平面，故B 错误；在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C 错误；在D 中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直， 故D 正确.故选：D.10.过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量：1. 的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=0【考点】IB :直线的点斜式方程.【分析】 求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可.由方向向量. ■得: 直线的斜率k= - 3, 故直线方程是：y+2= - 3 （x - 1）, 整理得：3x+y -仁0, 故选：A.11 •文艺演出中要求语言类节目不能相邻， 现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中【解答】解：由2x-y-4=0解得：X=1y=-2,任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A. 72B. 120C. 144D. 288【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的 4 个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21G3=8种取法，将4个节目全排列，有A/=24种可能，则以排出8X 24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有G2G2=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A2=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A2=6种情况，此时有6 X 2X 6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选：D.12. 若a, b, c均为实数，且a v b v 0,则下列不等式成立的是（）A, a+c v b+c B . ac v be C. a2v b2 D.；.【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】A由a v b v 0，可得a+c v b+c;B, c的符号不定，则ac, bc大小关系不定；C, 由a v b v 0,可得a2> b2;D, 由a v b v 0,可得-a>- b? .' I ;【解答】解：对于A由a v b v 0，可得a+c v b+c,故正确;对于B, c 的符号不定，则 ac , be 大小关系不定，故错;2 2对于C,由a v b v 0,可得a > b ,故错； 对于 D,由 a v b v 0,可得-a >- b? 一_ “ _i ,故错; 故选：A13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若 f (- 1) =g (9),则实数 k 的值是( )A. 1B. 2C. - 1D.- 2【考点】4H:对数的运算性质.【分析】由g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2- k ，解得即可. 【解答】 解：g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2-k , 解得k= - 1, 故选：C14•如果 ||_5 ：,那么 * ］等于()A.- 18 B . - 6 C. 0D. 18【考点】9R 平面向量数量积的运算.【分析】由已知求出 「|及［与一的夹角，代入数量积公式得答案. 【解答】解： ••• _：：二 _；,且V 皿］：：：> =n .则一-j= 1=3 X 6X(- 1) = - 18.故选：A.15 .已知角a 的终边落在直线 y= - 3x 上，贝U COS ( n +2 a )的值是(【考点】GO 运用诱导公式化简求值； G9任意角的三角函数的定义. 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求 COS a ,利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式可求COS ( n +2 a )的值.【解答】解：若角a 的终边落在直线y= - 3x 上, (1)当角a 的终边在第二象限时，不妨取x= - 1,则y=3 , r=寸.j.；ld = !:',C.A.B . 土 - D. b2 ■所以COS a = ^，可得COS ( n +2 a ) =- COS2 a =1 - 2COS a ="' ；V10 5（2）当角a的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y= - 3,所以sin a =——,COS a =一，可得COS ( n +2 a ) = - COS2 a =1 - 2COS2% = 一‘ , V10V10 5故选：B.【考点】7B:二元一次不等式（组）与平面区域.【分析】禾U用二元一次不等式（组）与平面区域的关系，通过特殊点判断即可.【解答】解：因为（1, 0）点满足2x - y> 0,所以二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是： C.故选：C.17.已知圆G和C2关于直线y= - x对称，若圆C的方程是(x+5) 2+y2=4,则圆G的方程是( )A. ( x+5) 2+y2=2B. x2+ (y+5) 2=4C. (x - 5) 2+y2=2D. x2+ (y -5) 2=4【考点】J1:圆的标准方程.【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆G的圆心关于y= - x的对称点，再由圆的标准方程得答案.【解答】解：由圆C的方程是（x+5）2+y2=4,得圆心坐标为（-5, 0）,半径为2,设点（-5, 0）关于y= - x的对称点为（x o, y o）,•••圆C2的圆心坐标为（0, 5）, 则圆C2的方程是x2+ （y - 5）2=4. 故选：D.18•若二项式讳勺展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数上■项是( )A. 20B. - 20 C • 15 D.- 15【考点】DB二项式系数的性质.则*，解得16.二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：•二项式1’的展开式中只有第4项的二项式系数最大，•••n=6,x6—3r则展开式中的通项公式为T r+i=C6r? (- 1) r?x --------------- .令6- 3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62? (- 1) 2=15,故选：C.19•从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为( )成绩分析表A.甲B.乙C.丙D. 丁【考点】BC极差、方差与标准差.【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可.【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙, 由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加.故选：B.2 220.已知A, A为双曲线'(a>0, b>0)的两个顶点，以AA为直径的圆与双曲a2 b22线的一条渐近线交于M N两点，若△ A i MN 的面积为匚，则该双曲线的离心率是()2A W2B 座C -D 应~~3_ ~~3_~~3_【考点】KC 双曲线的简单性质.【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A i (- a , 0)到直线渐近线的距离 d ,根据三角形的面积公式，即可求得△ AMN 的面积，即可求得 a 和b 的关 系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的渐近线方程 y= ± x ，设以A i A 为直径的圆与双曲线的渐近线 y=^a ax 交于M N 两点，△ A i MN 的面积S= x 2a x 丄=' ='，整理得：b= c ,2 c c 2 2贝H a 2=b 2 - c 2= • c 2, 即 a= c ,4 2双曲线的离心率e == _,故选B.二、填空题：21•若圆锥的底面半径为 1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于 3 n .【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2n ，则圆锥侧面积 S=n rl ，由此 能求出结果.【解答】 解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2 n r •••圆锥侧面积：［二厂二 丁n r|则A i (- a , 0)到直线y=—x 的距离d= aaXO-bXa |=ab=n X 1 X 3=3 n .故答案为：3 n ./ :jT H22.在△ ABC中，a=2, b=3,/ B=2/ A 贝U cosA=_4一【考点】HR余弦定理.【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解. 【解答】解：•••/ B=2/ A,• sin / B=2sin / Acos Z A,又T a=2, b=3,•由正弦定理可得：2 3 sinZ^A 2sin.ZAcos.ZA-sin Z A M 0, •- cos Z A==.4故答案为：一423.已知F1, F2是椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF的周长等于24【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF 2|=2a=12 , |QF1|+|QF2|=2a=12即可求得厶PQF的周长.【解答】解：椭圆——< =1的焦点在y轴上，则a=6, b=4,设厶PQF的周长为I ,16 36则l=|PF 2|+|QF2|+|PQ| ,=(|PF i|+|PF 2| ) + (|QF i|+|QF 2| )=2a+2a,=4a=24.• △ PQF的周长24 ,故答案为：24.24.某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是【考点】CB古典概型及其概率计算公式.本事件个数：m・，一」=4,由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率.【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=「| ,其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m= 「4,•••其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：m 4 1P= = =「故答案为：=乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基【分析】先求出基本事件总数< 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是(-丄，2].3【考点】5B:分段函数的应用.【分析】求出f (x)的解析式，得出f (x)的单调性，根据单调性得出t - 1和4t的大小关系，从而可得t的范围.【解答】解：T 0 < a< 1,•••当x< 1 时，a x> a,当x > 1 时，a> a x,••• f (x)在(-g, 1]上单调递减，在(1, +8)上为常数函数, ••• f (t - 1)> f ( 4t),• t - 1 < 4t W 1 或t - 1 W 1 < 4t ,解得-—< t W—或厶--■ ■-:.3 4 4故答案为：(-_, 2].D1三、解答题:26. 已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性;(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.【考点】4N:对数函数的图象与性质.(x) =log 2 (3+x) - log 2 (3 - x)有意义，则< 3即可,由 f (- x) =log 2 (3 - x)- log 2 (3+x) =- f (x)，可判断函数 f (x)为奇函数.(2 )令f (x) =1,即一’「，解得x=1 .即sin a =1,可求得a .【解答】解：(1)要使函数f (x) =log 2 ( 3+x)- log 2 (3 - x)有意义，则 '" ? - 3 25.对于实数m n,定义一种运算:的』m,叮口已知函数(x) =a*a x，其中0< a 【分析】(1 )要使函数1 3-x>0v x v 3,•••函数f (x)的定义域为(-3, 3);T f (- x) =log 2 (3-x) - log 2 ( 3+x) =- f (x)，•函数f ( x)为奇函数.(2 )令 f (x) =1,即 4 二，解得x=1 .• sin a =1,•- a=2k r } —^~,(k€ Z).27. 某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.【考点】5D:函数模型的选择与应用.【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论.【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50X 0.9=45万元；若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中玄1=石,q=2, n=20,丄门-乡1 1•••共需缴费S20= - - =,_=219- =524288 - ,_ ~ 52.4 万元，~ 2 2 2•方案①缴纳的保费较低.28. 已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示(1)求证：DE//平面BCGB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.【考点】Ml:直线与平面所成的角；LS:直线与平面平行的判定.【分析】(1 )取AC的中点F,连结EF, DF,贝U EF// CG, DF// BQ故平面DEF//平面BCCB i, 于是DE//平面BCCB i.(2)在Rt△ DEF中求出tan / EDF.【解答】(1)证明：取AC的中点F,连结EF, DF,•••D, E, F分别是AB AC, AC的中点，••• EF// CC, DF// BC,又DF A EF=F, AC A CC=C,•••平面DEF// 平面BCCB i,又DE?平面DEF,•DE//平面BCCB i.(2)解：• EF// CG, CC丄平面BCCB.•EF丄平面BCCB i,•••/ EDF是DE与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1,贝U DF= , EF=1,(1) 求该函数的最小正周期；(2) 求该函数的单调递减区间;29.已知函数y=3(sin27Txcci —cos2xsirrit7(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【考点】HI :五点法作函数 y=Asin (3 x+$ )的图象；H2：正弦函数的图象. 【分析】(1)由已知利用两角差的正弦函数公式可得 y=3sin (2x-—),利用周期公式即6可得解.(2) 令 2k n + W 2x - W 2k n + ------------- , k € Z ,解得：k n +W x W k n +, k € Z ,可2 6 2 36得函数的单调递减区间.(3 )根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象. TT ItIT【解答】解: (..一 . ' =3sin (2x - ^―),•••函数的最小正周期 T= =n .2x 兀71 T1257T 6 13K 122x -匹 60 7T Tn3H 22n y0 3-3(2)7t2k n + W 2x兀3兀 ”W 2k n + 一 , k € Z ,解得: 0 £.n+ . W x W k nk € Z ,•函数的单调递减区间为:[k 兀Tt +57T],k € Z ,描点、连线如图所示:30.已知椭圆. 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点F 重合，且椭圆的离心a 2b 2率是'，如图所示.2(1) 求椭圆的标准方程； (2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点 A ,过点A 作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B ，求线段AB 的长.【考点】KL :直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)根据题意得F (1, 0),即c=1,再通过e=l 及c 2=a 2 - b 2计算可得椭圆的方程；(2)将准线方程代入椭圆方程，求得 A 点坐标，求得抛物线的切线方程，由△ =0,求得k 的值，分别代入椭圆方程，求得 B 点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段 AB 的长.【解答】解：(1)根据题意，得F (1 , 0), ••• c=1, 又 e 「, • a=2,「. b 2=a 2 - c 2=3, 2 2故椭圆的标准方程为：：'一•=—_：4 33由A 位于第二象限，则 A (- 1,),3冥 + (—1 )过点A 作抛物线的切线I 的方程为：*r'由* /异，解得- 3，----- F --- -1U 3(2)抛物线的准线方程为x=- 1垃二T2 2即直线I : 4x - 3y - 4=0214x-3y-4=02整理得4 ' -=1整理得：ky2- 4y+4k+6=0 ,3当k=0,解得：y<_，不符合题意,当k=时，直线2[2 2x丄y ,直线与椭圆只有一个交点，不符合题意,当k z 0，由直线与抛物线相切，则△=0,(4k+6) =0,解得:k=「或k= - 2,当k= - 2时，直线I的方程为3y- I：= -2 (x+1),2 24‘，整理得：y-y=-2(s+l)则y1=,『2=--三，由以上可知点A (- 1 , ), B (―,- •),u 1 勺>0 W•••丨AB 丨= I 「: . 1：~ = ,V L19 wr 3呂！2 ' 19由-11192--19x +8x - 11=0，解得：X i=- 1 , X2= ,19(x+1),，整理得：（x+1）2=0,22。
山东春季高考数学模拟试题含答案
学校 班级 考号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆临沂市2015年春季高考第二轮模拟考试《数 学》试 题注意事项：1．本试卷共5页，满分120分，考试时间120分钟．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题：（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出，填在下面表格内）1．已知集合M ＝{ x |0≤x ≤2},集合 N ＝{ x |－3＜x ＜1},则M ∩N ＝ （ ） Ａ{ x |0≤x ＜1} Ｂ{ x |0≤x ＜2} Ｃ{ x |0≤x ≤1} Ｄ{ x |0≤x ≤2} 2．下列说法错误的是：Ａ. 20x -=是240x -=的充分条件 Ｂa b =是33a b =的充要条件 Ｃ.sin sin αβ=是αβ=的必要条件 Ｄ2b ac =是 a,b,c 成等比数列的充要条件 3．如果a b >且0ab >，那么正确的是：Ａ11a b> Ｂ 11a b < Ｃ 22a b > Ｄ a b >4．已知函数23 (0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]2f f = ( )Ａ 3 Ｂ 13 Ｃ －3 Ｄ －135．（log 29）•（log 34）＝ （ ） Ａ 14 Ｂ 12 Ｃ 2 Ｄ 46．函数y ＝x 2＋3x ＋2＋log 2(3x)的定义域为 （ ） Ａ {x |x ≥1} Ｂ {x |x ≤－2} Ｃ {x |x >0} Ｄ {x |－2<x <－1}7．在等差数列{a n }中，d ＝2，a 2＋a 5＝16，则S 7＝ （ ） Ａ 56Ｂ 63Ｃ 112Ｄ 1268．已知m 、n 是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则m 、n 的等比中项是 （ ） Ａ ±2Ｂ ±2Ｃ －3Ｄ 39．已知|→a |＝2，|→b |＝22，且（→a +→b ）与→a 垂直，则→a 与→b 的夹角为 （ ） Ａ 30°Ｂ 45° Ｃ 60°Ｄ 135°10．变量x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤04x －y ≥0y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最大值是 （ ）Ａ 8 Ｂ 6Ｃ 7 Ｄ 511．过点（3，4）且与直线3x －2y －7＝0垂直的直线方程是 （ ） Ａ 2x ＋3y －18＝0 Ｂ 3x ＋2y －17＝0Ｃ 2x ＋3y ＋18＝0 Ｄ 2x －3y ＋6＝012. 若在nxx )1(5-的展开式中，第4项是常数项，则二项式系数最大的项是第（ ）项Ａ 10 Ｂ 9 Ｃ .8 Ｄ .7 13．将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为 （ ）Ａ 5sin(2)()12y x x R π=+∈ Ｂ 5sin()()212x y x R π=+∈Ｃ sin()()212x y x R π=-∈ Ｄ 5sin()()224x y x R π=+∈ 014．函数y ＝2cos 2x2 －3sin x 的最大值和周期分别是 （ ） Ａ 3，πＢ 3，4πＣ 3，2πＤ 2＋3，2π15．在△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝6，且2cos(B ＋C ) －1＝0,那么BC 的长度是（ ） Ａ 8Ｂ 27Ｃ 210Ｄ 21916．设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ ） Ａ 若l ∥α，l ∥β，则α∥β Ｂ 若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βＣ 若l ⊥α，l ∥β，则α∥βＤ若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β17．全国运动会中，8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名山东选手。
理科数学-2015山东高考数学(理)试题下载_2015高考真题精编版
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案卸载试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1） 已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）（2）若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数为单位，则Z= （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i（3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位（4）已知ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o ,则·＝（A ）- （B ）- （C ） （D ）（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是（A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5）（6）已知x,y 满足约束条件，若z=ax+y 的最大值为4，则a=（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3（7）在梯形ABCD 中，ABC=，AD//BC ，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A ）（B ） （C ） （D ）2（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ²）），则P （μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P （μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% （9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（） （A ）或（B 或（C ）或（D ）或（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a 取值范围是（）（A ）[,1]（B ）[0,1] （C ）[（D ）[1, +第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高中数学专题11：椭圆、双曲线及抛物线(选择填空题)(山东春季高考十年汇编2012-2021)含解析
山东省春季高考10年汇编专题11：椭圆、双曲线及抛物线（选择填空题）解析版1．（2012山东春季高考）已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是 (A ) y 2＝6 x(B ) y 2＝－6 x(C ) y 2＝3 x (D ) y 2＝－3 x 答案:A2．（2012山东春季高考）椭圆 x 29＋y 28＝1 的离心率是(A ) 13 (B ) 173 (C ) 24(D ) 223答案:A3．（2012山东春季高考）已知椭圆 x 225＋y 220＝1的左焦点是 F 1，右焦点是 F 2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF 1 的中点在 y 轴上，那么 |PF 1| : |PF 2| 等于 (A ) 3 : 2 (B ) 2 : 3(C ) 9 : 1(D ) 1 : 9答案:A4．（2013山东春季高考）已知抛物线的准线方程是2x =，则该抛物线的标准方程是(A ) 28y x = (B ) 28y x =- (C ) 24y x = (D ) 24y x =-答案:B5．（2013山东春季高考）如图所示，点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点，12A A ，是双曲线的顶点，则直线1PA 与2PA 的斜率之积为 (A ) 1 (B ) 1- (C ) 2(D ) 2-答案:A6．（2014山东春季高考）第一象限内的点P 在抛物线y 2 ＝12x 上，它到准线的距离为7，则点P 的坐标为（A ）（４,） （B ）（３,６） （C ）（２, ） （D ）） 答案:A7．（2014山东春季高考）双曲线4x 2－9y 2＝1的渐近线方程为（A ）ｙ＝±３２ｘ （B ）ｙ＝±２３ｘ（C ）ｙ＝±９４ｘ （D ）ｙ＝±４９ｘ答案:B8．（2015山东春季高考）关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。
山东大学15春季入学考试模拟题及参考答案1(高起专数学)
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山东大学2015年春季入学考试模拟试题及参考答案1(高起专数学)
山东大学2015年春季入学考试模拟试题1(高起专数学) 一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个数的相反数是3，则这个数是 （ ） A．31 B．31 C．3 D．3 2.9的立方根是 （ ） A．3 B．3 C．39 D．39 3.下列运算正确的是 （ ） 第 2 页 共 5 页
A.93 B.（m2）3=m5 C. a2•a3=a5 D. （x+y）2=x2+y2 4.下列命题中真命题是 （ ） A．两个等边三角形必相似 B．角线相等的四边形是矩形 C．400角为内角的两个等腰三角形必相似 D．组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5.抛物线2)8(2ay的顶点坐标是 （ ） A.（2，8） B.（8，2） C.（-8，2） D．（-8，-2） 6.下列图形中，不是中心对称图形是 （ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正五边形 D. 正八边形 7.如图△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，
∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上。现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动。设两个三角形重合部分的面积为y，运动的距离为x。下面表示y与x的函数关系式的图象大致是 （ ）