重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
巴蜀中学高2022届高二(上)数学月考参考答案
9 重庆市巴蜀中学校高 2022 届高二（上）第一次月考数学 参考答案一、选择题①：因为AC 为直径的球面交PD 于点M ，所以AM ⊥ MC 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD又因为CD ⊥ AD ，所以CD ⊥ 面PAD ，则CD ⊥ AM 所以AM ⊥ 面PCD ，所以面ABM ⊥ 面PCD ；故①正确；②：由①知：AM ⊥ PD ，又因为PA= AD= 4，所以点M 为PD 中点，且AM = 2√2易得：MD = 4√2,CM = 2√3，所以S ∆012 = 2√6设点D 到面AMC 的距离为ℎ，则有V 67012 = V 17062 = 8 × 2 × 4 = ; 99所以有8 × 2√6 × ℎ = ;，得到ℎ = <√= 999设直线CD 与面ACM 所成角为θ，则有sin θ = B = √=，得到cos θ = √9；故②正确；2699③：连结AN ，过点N 作NQ ⊥ PC 交PD 于点Q ，连结AQ ；易得PC = 6,AC = 2√5因为AN ⊥ PC , NQ ⊥ PC ，所以∠ANQ 即为二面角A − PC − D 的平面角 同时得到∆PAN ~∆PCA ，则有KL= K0 = 0L ，重合KL K6 M √< 9所以在∆ANQ 中，NQ = <√< , AN = M √N ,AQ = 2√2， 99由余弦定理可得：cos ∠ANQ = √8R ；故③正确；8R 综上：选 D 16. 解：在平面α内作BE //AC ，使得BE = AC ，连结CE , DE 易得：∠DBE 为二面角α − l − β的平面角，即∠DBE = 60°，AB = CE = a ，S ∆0`2 = S ∆`2a所以V 670`2 = V 67`2a = V 27`6a = 8a ∙ S ∆6`a 所以求V 670`2的最大值，即求S ∆6`a 的最大值 在∆DBE 中，设∠BED = θ，则∠BDE =120° − θ由正弦定理得： 6a= `a= 6`def=R°def(8<R°7h)de f h易得：CE⊥ DE，所以有DE = √2a所以BE = <√=a∙sin(120° − θ)，DB= <√=a∙ sin θ，得到：9S192√3< ( )∆6`a=2BE∙ DB∙ sin 60°=a∙sin 120° − θ3=∙ sin θ= √3 <()1 3 a [c o s 2θ − 120° + 2]当θ = 60°时，(S ∆6`a )lmn = 9√9 a <，所以(V 670`21)lmn= 3 a ∙ S ∆6`a = √3 a96三、解答题ox − 2y + 3 = 0x = 117.解：（1）联立直线l 8和l <的方程有：2x + 3y − 8= 0，解得：oy = 2，即点M (1,2)设该直线的方程为：x + 3y + C = 0 将M (1,2)代入得：1 + 3 × 2 + C = 0，所以C = −7所以该直线方程为：x + 3y − 7 = 0 （2）①当直线斜率存在时，设直线方程为：y − 2 = k (x − 1)，即为kx − y + 2 − k = 0设点P (4,0)到该直线的距离为d ，则d = |M t u <7t | = 3，解得k = N√tvu 8即该直线方程为：y − 2 = N (x − 1)，化简成一般式为：5x − 12y + 19 = 08<②当直线斜率不存在时，则该直线方程为：x = 1 此时点点P (4,0)到直线x = 1的距离恰好等于 3，符合题意综上：满足题意的直线方程有：5x − 12y + 19 = 0或x = 118.解：（1）连结BD , AC 相交于点O ，连结MO因为ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点 又因为M 为PB 中点，所以MO //PD 且MO = 8 PD = 3<又9因为P D ⊥ 面A B C D ，所以M O ⊥ 面A B C D 所以点M 到平面A B C D 的距离为M O = 3（2）因为N 为AB 中点，所以S ∆`6L =4所以V `761L = V 17`6L = 8MO ∙ S ∆`6L = 419.解：（1）由题可知: a +1 ≠ 0 ，即 a ≠ -1 ①当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为 0，此时 a = 2， 则直线 l 的方程为： 3x + y = 0②当直线 l 不过原点时，即 a ≠ 2时，由截距相等，得 a - 2= a - 2，即 a = 0 a +1则直线 l 的方程为 x + y + 2 = 0综上：所求直线 l 的方程为： 3x + y = 0或 x + y + 2 = 0（2）由题可知: a +1 ≠ 0 ， a - 2 ≠ 0 ，且l在 x 轴， y 轴上的截距分别为 a - 2 ， a - 2a +1所以有： 12a -2 a +1 a - 2 = 6，即(a -2)2=12 a +1又因为a < −1，所以 a +1 < 0，解得a =-420.（1）证明：连结CD交GF于点M，连结HM, DG因为G为AC中点，所以CG = 8AC<又因为AB= 2DE，所以DF = 8AC =CG<又因为DF//CG，所以四边形DGCF为平行四边形，所以M为CD中点又因为H为BC中点，所以HM//BD又因为HM⊆ 面FGH，所以BD//面FGH（2）（传统法）解：过H作HN⊥ AC交于点N，过N作NI⊥ GF交于点I因为CF⊥ 面ABC，CF⊆ 面ACFD，所以面ACFD⊥ 面ABC又因为面ABC∩ 面ACFD = AC，HN⊥ AC，HN⊆ 面ABC，所以HN⊥ 面ACFD又因为面FGH∩面ACFD = GF, NI⊥ GF所以∠HIN即为面FGH与面ACFD所成角的平面角不妨设AB =2，则易得：CF =2, AC= 4,BC =2√3所以在Rt∆HNC中，HC = 8BC = √3,∠ACB = 30°，所以HN = √9 , CN = 9<又因为CG = 8AC = 2 = CF，∠FCG = 90°，所以∠FGC = 45°<所以在Rt∆GNI中，∠IGN = 45°, GN = CG− CN = 8，所以NI = √<<M所以tan∠HIN = ÇL = √6，所以cos ∠HIN = √ÑLÉÑ（向量法）解：延长FE至点Q 使得FQ = BC ，连结BQ ，易证：BQ ⊥ 面ABC 所以以B 为坐标原点，以向量ÖB ÖÖC Ö⃑, ÖB ÖÖÖA Ö⃑, ÖB ÖÖÖQ Ö⃑的方向为x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系B 7nàâ 不妨设AB =2，则可知：H ä√3, 0,0ã, G ä√3, 1,0ã, F ä2√3, 0,2ã, A (0,2,0)所以ÖH ÖÖG Ö⃑ = (0,1,0), ÖH ÖÖÖF Ö⃑ = ä√3, 0,2ã, ÖGÖÖA Ö⃑ = ä√3, −1,0ã, G ÖÖF Ö⃑ = ä√3, −1,2ã设平面FGH 与平面ACFD 的法向量分别为n ÖÖ8⃑ = (x 8, y 8, z 8), n ÖÖ<⃑ = (x <, y <, z <) 由çn ÖÖ8⃑ ∙ ÖHÖÖG Ö⃑ = 0，得o y 8 = 0 ，令z = √3，则x = −2n ÖÖ8⃑ ∙ ÖHÖÖÖF Ö⃑ = 0 √3x 8 + 2z 8 = 0 8 8所以n ÖÖ8⃑ = ä−2,0, √3ã 由çn ÖÖ<⃑ ∙ ÖG ÖÖA Ö⃑ = 0，得ç √3x < − y < = 0，令y= √3，则x = 1, z = 0Ön ÖÖ<⃑ ∙ ÖGÖÖF Ö⃑ = 0 所以Ön ÖÖ<⃑ = ä1, √3, 0ã8<N8√3x < − y < + 2z < = 0 <<<设平面FGH 与平面ACFD 所成角的平面角为θ，则： |n ÖÖ8⃑ ∙ n ÖÖ<⃑| |cos θ | =|n ÖÖ8⃑|∙ |n ÖÖ<⃑||−2|= é√7é ∙ |2|= √77又因为θ为锐角，所以cos θ = √Ñ Ñ21.解：（1）过A 作AD ⊥ BC 交于点D ，连结C 8D因为面B8C8C B ⊥ 面A B C ，且面B8C8C B ∩ 面A BC = BC ，AD ⊥BC 所以AD ⊥ 面B 8C 8CB ，所以∠AC 8D 即为直线AC 8与面B 8C 8CB 所成角又因为AC 8 ⊥ BC ，AD ⊥ BC ，AC 8 ∩ AD = A ，所以BC ⊥ 面AC 8D 所以BC ⊥C 8D ，所以C 8D⊥ 面ABC ，所以C 8D ⊥ AD易求：C 8D = √3, AD = √3, AC 8 = √6 所以sin ∠AC D = √<<（2）过B 8作B 8M ⊥ CB 交CB 的延长线于点M ，过M 作MN ⊥ AB 交AB 的延长线于点N 易知：B 8M ⊥ 面ABC ，所以∠B 8NM 即为二面角B 8 − AB −C 的平面角的补角易得：B 8M = C 8D = √3，BM = 1, MN = √9所以tan ∠B 8NM = 2，所以cos ∠B 8NM = √N设二面角B − AB − C 的平面角为θ，则cos θ = − √NN22.解：（1）证明：因为BA = AD = DC = 8 BC = a ，E 是BC 的中点，<所以AD = CE = a 又因为AD //BC ，所以四边形AECD 为菱形，所以∆ABE 为正三角形又因为M 为AE 的中点，所以B 8 M⊥A E ，D M⊥A E又因为B 8 M∩D M=M ，所以A E⊥面B8DM又因为AE⊆面B8AE，所以面B8DM⊥面B8AE（2）解：由（1）知：DM⊥ AE，B8M⊥ AE又因为AE//CD，所以B8M⊥CD，CD⊥DM所以CD⊥面B8DM，所以面B8DC⊥面B8DM又因为面B8DM⊥面B8AE所以∠MB8D即为面B8AE与面B8DC所成角的平面角，即cos∠MB8D = √N在∆MB8D中，B8M = √9a,DM = √9a,由余弦定理得：<< cos ∠MB D = `ê1v u`ê6v761v=`ê6= √N，解得：BD = √8N a8<`ê1∙`ê6√9m N8N（3）解：因为面B8AE⊥ 面AECD，B8M⊥ AE，所以B8M⊥ 面AECD所以以M为坐标原点，以向量MÖÖÖÖÖEÖ⃑,MÖÖÖÖÖDÖ⃑, ÖMÖÖÖÖBÖÖÖ8⃑的方向为x轴, y轴, z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系M7nàâ由题可得：Aë−m, 0,0í , B8 ë0,0,√9aí, Dë0, √9a,0í, Eëm, 0,0í , Cëa, √9a, 0í< < < < <则有:BÖÖÖÖ8ÖÖAÖ⃑= ë−m , 0,− √9aí , ÖBÖÖÖ8ÖÖDÖ⃑= ë0,√9a, − √9aí< < < <ÖBÖÖÖ8ÖÖEÖ⃑= ëm , 0, −√9aí , BÖÖÖÖ8ÖÖCÖ⃑= ëa, √9a,−√9aí< < < <设平面ADB8与平面ECB8的法向量分别为ÖnÖÖ8⃑ = (x8, y8,z8), nÖÖ<⃑ = (x<, y<, z<)ÖnÖ⃑∙BÖÖÖÖÖÖAÖ⃑= 0− m x8−√9m z8= 0由ç8 8，得ì<<，令z8 = 1，则x8 = −√3, y8 = 1ÖnÖÖ8⃑∙ÖBÖÖÖ8ÖÖDÖ⃑= 0√9m y8−√9m z8= 0所以ÖnÖÖ8⃑ = ä−√3,1,1ãnÖÖ⃑∙ÖBÖÖÖÖÖEÖ⃑= 0< <m x<−√9m z< = 0由ç< 8，得ì< <，令z< = 1，则x8 = √3, y< = −1nÖÖ<⃑∙BÖÖÖÖ8ÖÖCÖ⃑= 0ax< +√9my<−√9mz< = 0<<所以nÖÖ<⃑ =ä√3, −1,1ã设平面ADB8与平面ECB8所成角的平面角为θ，则：所以sin θ = MN|nÖÖ8⃑∙nÖÖ<⃑||cos θ | =|nÖÖ8⃑| ∙|nÖÖ<⃑||−3| 3= =é√5é∙é√5é5。
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
重庆市巴蜀中学【最新】高一上学期第一次月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}012345U =，，，，，，{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M N =（ ） A ．{}5 B ．{}03， C ．{}0235，，， D ．{}01345，，，， 2．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）A ．()2f x x =-，()g x =B ．21()1x f x x -=-,()1g x x =+C ．()||f x x =，()g x =D ．()||f x x =,()0()g x x x =≥3．函数()f x =的定义域为（ ） A ．(,3]-∞B ．(,2)(2,3]-∞-⋃-C ．(2,3]-D ．[3,)+∞4．函数()f x =的单调递增区间为（ ）A ．(,3]-∞B ．[]3,4C ．[]2,3D ．[3,)+∞ 5．已知()f x 是偶函数，x ∈R ，当0x >时，()f x 为增函数，若10x <，20x >，且12||||x x <，则有（ ）A ．()()12f x f x ->-B ．()()12f x f x -<-C ．()()12f x f x ->-D ．()()12f x f x -<-6．已知不等式2340x x --<的解集为{|}x a x b <<，则不等式()2(1)20x x ax b -+-+≤的解集为（ ）A ．(,2]-∞-B ．[1,1][2,)-⋃+∞C ．[2,)-+∞D ．(,1][1,2]-∞-⋃7．已知函数(2)f x -=f 的定义域为（ ） A ．[0,)+∞ B ．[]0,16C ．[]0,4D ．[]0,28．已知定义域为R 的函数()f x 满足：()(2)f x f x =-.当1x ≥时，()2f x x x =-，则不等式()6f x >的解集为（ ）A ．()2,3-B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞C ．()1,3-D ．(,1)(3,)-∞-+∞9．若函数()2,2312x x x f x x ⎧+<≤⎪=-≤≤，则()f x 的值域为（ ）A．72⎤⎥⎦ B ．11(3,]3 C ．7(3,]2 D．113⎤⎥⎦10．若函数242y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]6,2--，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,4]B ．[]2,4C ．(0,2]D ．()2,4 11．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数且在[0,)+∞单调递增，当2019x y +=时，恒有()(2019)()f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．(),1-∞12．已知函数()|2||21|()f x x a x a R =--+∈.若存在x ∈R ，使得不等式()f x a >成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,∞+ D ．15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．满足条件{0,1}{0,1,2,3,4,5}A ⋃=的集合A 的个数____________.14．已知1(1)2f x -＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝________.15．某班有50名同学，其中有35人喜爱篮球运动，25人喜爱足球运动，10人对这两项运动都不喜爱，则喜爱蓝球运动但不喜爱足球运动的人数为____________.16．已知函数2()3(3)1f x ax a x =+-+的图像与x 轴的交点有且仅有一个在区间()1,1-内，则实数a 的取值范围____________.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =-->，集合{||25|9}B x x =+≤. （1）求集合,A B .（2）求A B 和U A C B .18．已知函数()f x =的定义域为A ，函数()g x =为B .（1）求集合A 、B .（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.19．已知二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞，且不等式()0f x >的解集为()3,5-. （1）求()f x 的解析式.（2）求函数f 的值域.20．已知集合1|13x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}22|230B x a x ax =+-≥ （1）当1a =时，求A B .（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.21．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意1x 、2x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时，()0f x >，()21f =.（1）判断()f x 的奇偶性与单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：1(1)2f x f x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭. 22．已知函数2()4f x ax x b =++.（1）若()01f =，且函数()g x =[0,)+∞，求实数a 的取值范围； （2）当2b =-时，若对于给定的正实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得[(),0]x M a ∈时，4()4f x -≤≤都成立，求出()M a 的表达式及()M a 的最小值.参考答案1．B【分析】利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为集合{}012345U =，，，，，，{}145N =，，， 所以{}0,2,3U N =又{}035M =，，， 所以()U MN ={}03， 故选：B2．C【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,逐项验证即可判断它们是否为同一个函数.【详解】对于A, ()2g x x ===-,与()2f x x =-对应关系不相同,故不是同一个函数. 对于B, 21()1x f x x -=-定义域是{|1}x x ≠,()1g x x =+定义域是x ∈R ,定义域不同,故不是同一函数.对于D, ()||f x x =定义域是x ∈R ,()0()g x x x =≥定义域是{|0}x x ≥,定义域不同,故不是同一函数.对于C, ()||g x x ==,()||f x x =,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故二者是同一个函数.故选:C.【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数,注意要从二个方面来分析:定义域、对应法则,只有二要素完全相同,才能判断两个函数是同一个函数,这是判定两个函数为同一函数的标准.3．B【分析】根据二次根式下被开方数非负,分数分母不为零,列出关于x 的不等式组,即可求出函数定义域.【详解】函数()|2|f x x =+ 则:3020x x -⎧⎨+≠⎩ 得:32x x ≤⎧⎨≠-⎩∴ 函数()f x =的定义域为:(,2)(2,3]-∞-⋃- 故选:B.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求能够熟练掌握常见函数成立条件.4．C【分析】先求()f x 定义域即{}2|680x x x -+-≥.令268t x x =-+-是二次函数,根据二次函数图像即可求得其单调区间,根据复合函数同增异减,即可求得()f x 单调递增区间.【详解】()f x =∴ 2680x x -+-≥ 即:2680x x -+≤，(2)(4)0x x ∴--≤ 得:24x ≤≤，∴ ()f x =定义域为:4|}2{x x ≤≤，又268,24t x x x =-+-≤≤单调递增区间为[]2,3，∴ 函数()f x =的单调递增区间[]2,3故选：C.【点睛】对于复合函数单调性的判断要掌握同增异减,对函数的内层和外层分别判断,即可得出单调性.求单调区间时,要先求函数定义域,单调区间是定义域的子集.5．B【分析】根据偶函数性质()()()==||f x f x f x -和()f x 为增函数,即可得到结论.【详解】()f x 是偶函数根据偶函数性质()()()==||f x f x f x -可得:()()()111==f x f x f x -, ()()()222==f x f x f x -120<||x x <,当0x >时,()f x 为增函数可得:()()12<f x f x 则()()12f x f x -<- 故选:B.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式.掌握偶函数性质()()()==||f x f x f x -是解本题关键.6．B【分析】根据不等式2340x x --<的解集为{|}x a x b <<,求解出,a b ,代入()2(1)20x x ax b -+-+≤,用数轴标根法求解即可.【详解】234=0x x --可化为:(4)(1)0x x -+=可得121,4x x =-=不等式2340x x --<的解集为{|}x a x b <<∴ 1x a =,2x b =是方程234=0x x --∴ 1,4a b =-= 代入()2(1)20x x ax b -+-+≤得: ()2(1)420x x x ---+≤ 即()2(1)20x x x ---≤∴(1)(2)(1)0x x x --+≤ 即(1)(2)(1)0x x x --+≥根据用数轴标根法可得:11x -≤≤ 或2x ≥∴ 不等式()2(1)20x x ax b -+-+≤的解集为: [1,1][2,)-⋃+∞故选:B.【点睛】本题考查了一元二次不等式解集问题,要注意它的解集与相应的一元二次方程的根的联系. 在使用数轴标根法,应结合数轴画出草图求解.属于基础题7．B【分析】根据同一个函数f 括号内的范围必须相同.由240x -≥,解得22x -≤≤,即可求得2x -值域,即函数()f x 的定义域为[0,4].[0,4],即可求得函数f的定义域.【详解】240x -≥ 解得: 22x -≤≤即(2)f x -的定义域为:{|22}x x -≤≤ 则2[0,4]x -∈根据同一个函数f 括号内的范围必须相同 ∴ 函数()f x 的定义域为[0,4].∴ f [0,4] 解得[0,16]x ∈故选:B.【点睛】本题考查了复合函数的定义域问题,注意函数定义域指的是x 范围,而函数题目中同一个函数f 括号内的范围必须相同,这是连接两个函数的桥梁.8．D【分析】根据()(2)f x f x =-,可求得()f x 的对称轴为1x =.由题意可得()2f x x x =-是开口向上的二次函数,对称轴12x =.求解1x ≥时()6f x >解集,由函数图像关于1x =对称即可求得<1x 时()6f x >解集.【详解】()(2)f x f x =-∴ 得()f x 的对称轴为1x =①当1x ≥时, ()6f x > 即26x x -> 解得:2x <-或3x > 则123x x x ≥⎧⎨-⎩或 解得:3x > ∴当1x ≥时, ()6f x > 解集为:(3,)+∞②当<1x 时,()6f x >()f x 的对称轴为1x =可得解集为:(,1)-∞-综上所述, 不等式()6f x >的解集为: (,1)(3,)-∞-+∞ 故选:D.【点睛】本题考查了函数对称轴判别式即: ()()f m x f n x +=-的对称轴为2m n x +=,能解读出函数的对称是解本题的关键.9．D【分析】分别求23x <≤和12x -≤≤时值域,即可求得()f x 的值域.【详解】 ① ()2f x xx=+在(23]，上单调递增， ∴ 当23x <≤时()2f x x x =+,()f x 的值域为:()()()23f f x f <≤ 即: ()f x 的值域为: 113,3⎛⎤ ⎥⎝⎦②()f x 令2103t x x =+- 是开口向上的二次函数,对称轴是:32x =当12x -≤≤时,min 103(1)16t =+--= ,2max 3349103224t ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 4964t ≤≤ 故()f x 值域是:72⎤⎥⎦ ()f x 的值域为: 117113,=323⎛⎤⎤⎤⋃ ⎥⎥⎥⎝⎦⎦⎦ 故选:D.【点睛】本题考查了分段函数求值域问题.求分段函数值域时,要先求出每段函数的值域,在求其并集. 10．B【分析】由已知函数的解析式,我们可以判断出函数图像的形状及最值,根据函数242y x x =--的定义域为[0,]m ,值域为[]6,2--,结合二次函数的图像和性质即可得到答案.【详解】函数2242(2)6y x x x =--=--的定义域为[0,]m ,值域为[]6,2-- ∴对称轴为2x =当2x =时,6y =-,当0x =时,2y =- ,二次函数的对称性,可知2y =-对应的另一个x 的值为4∴值域为[]6,2--时,对应x 的范围为[0,4],故m 的取值范围是[2,4].故选:B.【点睛】此题考查二次函数的相关知识,关键是能熟练掌握二次函数的图像性质,进而求得参数的取值范围.11．C【分析】根据题意,()f x 是定义域R 的由奇函数,则(0)0f =.函数()f x 为定义在R 上的奇函数且在[0,)+∞单调递增,则在(),0-∞上也为单调递增.据此对x 进行分情况讨论,分析()(2019)()f x f f y +>是否成立,即可得到答案.【详解】函数()f x 为定义在R 上的奇函数, (0)0f = ()f x 在[0,)+∞单调递增奇函数图像关于原点对称,可知()f x 在(),0-∞上也单调递增∴ ()f x 为定义域R 的单调递增函数.2019>0 故(2019)(0)=0f f >①当0x <时,20192019y x =->,()f x 在R 是单调递增,可得:()>(2019)>()f y f f x∴ 根据不等式性质可知,此时()(2019)f x f +不恒大于()f y∴ 0x <不满足题意.②当0x =时,2019y =此时()(2019)(2019)()f x f f f y +==,()(2019)()f x f f y +>不成立∴ 0x =不满足题意.③当0x >时,20192019y x =-<∴ ()0f x > (2019)()f f y >∴ 根据不等式性质可知,满足()(2019)()f x f f y +>恒成立 ∴ 0x >满足题意.综上所述, x 的取值范围是:()0,∞+. 故选:C. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,要熟练掌握奇函数的性质()()f x f x -=-,属于综合题. 12．A【分析】因为()|2||21|()f x x a x a R =--+∈,故()f x a >化简为2121x a x -<++,令()2121x g x x -=++.若存在x ∈R ,使得不等式()f x a >成立,即a 小于2121x x -++最大值,求解()2121x g x x -=++最大值即可得实数a 的取值范围.【详解】()|2||21|()f x x a x a R =--+∈()f x a >即:221x a x a --+>可化为: 2+21x a a x ->+ 即2121x a x -<++若存在x ∈R ，使得不等式()f x a >成立 即a 小于2121x x -++最大值.令()2121x g x x -=++①当12x ≤-时, ()22211=12112122x x x g x x x x x--+-+===-++---此时()max 1522g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ②当122x -<<时 ()2212113=1211212+121x x x x g x x x x x --+-+-⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭13113121221x x ⎛⎫=--=-+⋅ ⎪++⎝⎭ ∴ ()15<22g x g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③当2x ≥时()221211313=112122212121x x x x g x x x x x x ---+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭113221x =-⋅+ ∴ ()1<2g x综上所述,()max 52g x =,故52a <,即a 的取值范围是: 5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查带绝对值函数的求解.在求解带绝对值函数时,一般利用零点分段法去掉绝对值来求解,考查分类讨论数学思想. 13．4 【分析】令{}2,3,4,5M = 设N 集合为{0,1}子集,则A 集合应满足: =A M N ⋃,将原问题转化为子集个数公式的问题,然后确定集合N 的个数即可. 【详解】{0,1}{0,1,2,3,4,5}A ⋃=令{}2,3,4,5M =设N 集合为{0,1}子集, 则A 集合应满足: =A M N ⋃ 结合子集个数公式可得集合N 的个数是224=个∴ 满足条件{0,1}{0,1,2,3,4,5}A ⋃=的集合A 的个数4.故答案为4. 【点睛】本题主要考查子集个数公式,等价转化的数学思想等知识.将原问题转化为子集个数公式的问题是解本题关键. 14．74【分析】根据题意，令2x ﹣5=6，求出x 的值，再计算对应a 的值． 【详解】 ∵f （12x ﹣1）=2x ﹣5，且f （a ）=6， ∴令2x ﹣5=6，解得x=112， ∴a=12×112﹣1=74．故答案为：74．【点睛】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目． 15．15 【分析】设喜爱篮球运动的人数为集合A ,喜欢足球运动的人数为集合B ,画出venn 图,结合venn 图可得答案. 【详解】设喜爱篮球运动的人数为集合A ,喜欢足球运动的人数为集合B 共有50名同学, 10人对这两项运动都不喜爱由题意可知:card()35A =,card()25B =, card()501040A B ⋃=-= .card()card()+card()card()35+254020A B A B A B ∴⋂=-⋃=-= . ∴ 喜爱蓝球运动但不喜爱足球运动的人数为352015-=.画出venn 图:故答案为:15. 【点睛】本题考查了集合的元素个数问题,用venn 来分析问题,数形结合.属于基础题.16．122a -≤≤或9a =±【分析】因为2()3(3)1f x ax a x =+-+,分0a =,0a <和0a >进行讨论, 利用零点存在定理,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】⒈当0a =时, ()31f x x =-+ ()f x 与x 轴的交点横坐标为:()11,13x =∈- 故0a =满足题意. ⒉当0a <时2()3(3)1f x ax a x =+-+ 是开口向下的二次函数,∴ 其对称轴为:0306ax a-=<,(0)1f = (1)331=420f a a a =+-+-< ，(1)33124f a a a -=+-+=+保证函数2()3(3)1f x ax a x =+-+的图像与x 轴的交点有且仅有一个在区间()1,1-根据零点定理可得: (1)240f a -=+≥ 即2a ≥-∴ 20a -≤<⒊当0a >时, 2()3(3)1f x ax a x =+-+ 是开口向上的二次函数,∴ 其对称轴为:036ax a-=,(0)1f = 因为(1)331=42f a a a =+-+- ，(1)331240f a a a -=+-+=+>所以(1)420f a =-<或2(3)120a a ∆=--=，011(1,1)62x a=-+∈-即12a <或9a =±综上所述, 实数a 的取值范围:122a -≤≤或9a =±故答案为122a -≤≤或9a =±【点睛】本题考查了含参数的二次函数零点问题,掌握零点存在定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线,当()()0f a f b ⋅<,那么函数()y f x =在区间[,]a b 内有零点,是解本题关键. 17．（1）(,2)(3,)A =-∞-+∞, [7,2]B =-（2）[7,2)A B ⋂=--,(,2)(2,)=U A C B -∞-⋃+∞⋃【分析】（1）分别求解260x x -->和259x +≤,即可得到集合,A B ; （2）根据（1）得到集合,A B ,求解A B 和U A C B 即可得到答案.【详解】 （1）{}2|60A x x x =-->得260x x --> 即:(3)(2)0x x -+>3x ∴>或2x <-(,2)(3,)A ∴=-∞-⋃+∞{|259}B x x =+≤ 259x +≤22|25|9x ∴+≤ 即:22(25)90x +-≤(214)(24)0x x ∴+-≤ 即(7)(2)0x x +-≤ 得72x -≤≤ [7,2]B ∴=-综上所述,(,2)(3,)A =-∞-+∞, [7,2]B =-（2）根据（1）得到(,2)(3,)A =-∞-+∞, [7,2]B =-[7,2)A B ∴⋂=--[7,2]B =- 故=(,7)(2,)U C B -∞-⋃+∞(,2)(2,)=U A C B -∞-⋃+∞⋃综上所述,[7,2)A B ⋂=--,(,2)(2,)=U A C B -∞-⋃+∞⋃ 【点睛】本题考查了集合的交集,并集和补集运算,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题.18．（1）(,][4,)A a a =-∞⋃++∞(],1,3B =（2）11a -<≤ 【分析】（1）根据二次根式下非负,分别求得()f x 和()g x 的定义域即可得到答案. （2）因为A B =∅,通过讨论a ,即可得到实数a 的取值范围.【详解】（1）()f x根据二次根式下非负,故()(4)0x a x a ---≥∴4x a ≥+或x a ≤ 则:(,][4,)A a a =-∞⋃++∞()g x =故:301x x -≥- 即:301x x -≤-则:(3)(1)01x x x --≤⎧⎨≠⎩得:13x -<≤ (]1,3B ∴=综上所述, (,][4,)A a a =-∞⋃++∞(],1,3B =. （2）由（1）得(,][4,)A a a =-∞⋃++∞(],1,3B =. A B =∅可得:431a a +>⎧⎨≤⎩ 则11a a >-⎧⎨≤⎩∴实数a 的取值范围.11a -<≤.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解,及利用集合的运算求解参数问题,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19．（1）2()215f x x x =-++（2）[]15,16【分析】（1）设()2f x ax bx c =++,因为二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞,可得0a <.不等式()0f x >的解集为()3,5-,则3-和5是对应方程2=0ax bx c ++的两不等实根,利用韦达定理和二次函数最大值,即可求得函数()f x 的解析式;（2）利用换元法求出函数f 的定义域,结合二次函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】（1）函数()f x 是二次函数,设()2f x ax bx c =++二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞∴ 0a <所以不等式()0f x >的解集为()3,5-,则有:3-和5是对应方程2=0ax bx c ++的两不等实根由韦达定理可得:1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ 即:35(3)5b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩得:2b a =-①,15c a =-②二次函数()y f x =的值域为(,16]-∞有24164ac b a-=③,将①②代入③得:24(15)(2)164a a a a ---=解得1a =-,故2b =,15c =∴ ()f x 的解析式为: 2()215f x x x =-++（2）函数f ,令t 则[0,2]t ∈;∴ 函数22()215(1)16f t t t t =-++=--+当1t =时,()f t 取得最大值为(1)16f = 当0t =时,()f t 取得最小值为(0)15f = 所以()f t 的值域为[]15,16.所以函数f 的值域为:[]15,16. 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、函数值域的求解问题;关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系将函数解析式进行化简. 20．（1）(,3][1,)-∞-+∞（2）3a ≤-或1a ≥. 【分析】（1）将1a =代入{}22|230B x a x ax =+-≥,化简A 和B ,即可求得AB（2）因为A B B ⋃=,可得A B ⊆,将B 化简为:{}|(3)(1)0B x ax ax =+-≥,通过讨论a 即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）将1a =代入{}22|230B x a x ax =+-≥得:{}2|230B x x x =+-≥∴ {|(3)(1)0}B x x x =+-≥ 故:(,3][1,)B =-∞-⋃+∞对于1|13x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭113x x +≥- 故1103x x +-≥-可得:+1303x x x +-≤- ∴103x x -≤- 则(3)(1)03x x x --≤⎧⎨≠⎩解得:1<3x ≤ 故:[1,3)A =.∴ =(,3][1,)A B ⋃-∞-⋃+∞（2）由（1）得[1,3)A =将B 化简为:{}|(3)(1)0B x ax ax =+-≥ ①当0a =时可得:B =∅,不符合题意. ②当0a >时∴ 方程(3)(1)=0ax ax +-的根为:13x a =-21x a=31,,B a a ⎛⎤⎡⎫=-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A B B ⋃=,可得A B ⊆ 得:11a≤ 故:1a ≥ ③当0<a 时∴ 方程(3)(1)=0ax ax +-的根为:13x a =-21x a= 13,,B a a ⎛⎤⎡⎫=-∞⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭A B B ⋃=,可得A B ⊆ 得:31a-≤ 故:3a ≤- 综上所述, 实数a 的取值范围:3a ≤-或1a ≥. 【点睛】本题考查了集合并集运算和子集运算.本题的解题关键在于将A B B ⋃=转化为A B ⊆,通过分类讨论求的参数范围.21．（1）答案见解析（2）11,,1(1,)35⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由()()()1212f x x f x f x ⋅=+,推导出()()f x f x -=即可判断其单调性.任取210x x >>,再代入所给的式子进行作差变形,利用2211x x x x =⋅和211x x >且210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,判断符号,即可判断其单调性.（2）根据()()()1212f x x f x f x ⋅=+,将1(1)2f x f x ⎛⎫-+<⎪⎝⎭化简为1()(4)x f f x -<.根据1（）得出()f x 是偶函数,由偶函数性质()()()==||f x f x f x -,可得1()(4)x f f x-<,结合单调性即可求得答案. 【详解】 （1）①对定义域内的任意1x 、2x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+令121x x ==,可得(1)0f =,令121x x ==-,可得(1)0f -=令121,x x x =-=,可得:()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=()f x ∴是偶函数.②令210x x >>,则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭ ()()221111x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210,x x >>故 211x x > 210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭即()()210f x f x -> ()()21f x f x ∴>()f x ∴在(0,)+∞上是增函数根据增函数关于y 轴对称可得: ()f x 在(,0)-∞上是减函数.综上所述,()f x 是偶函数,()f x 在(0,)+∞上是增函数,()f x 在(,0)-∞上是减函数. （2） ()()()1212f x x f x f x ⋅=+,()21f = 可得: ()()()422f f f =+∴ 1(1)2f x f x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭可化简为1()(4)x f f x -<. 1（）得出()f x 是偶函数,由偶函数性质()()()==||f x f x f x -, ∴1()(4)x f f x-< ()f x 在(0,)+∞上是增函数 可得:14x x -<214x x -∴< 即:()22(1)4x x -< 故()22(1)40x x --< ∴ (14)(14)0x x x x ---+<∴(31)(51)0x x ---<∴(1)(51)0x x +-> ∴13x <- 或15x > 函数()f x 的定义域是0x ≠ 故:10x x -≠ 即1x ≠ 不等式1(1)2f x f x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭的解集为:11,,1(1,)35x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题解题关键在于能将已知条件翻译为变量差与对应的函数值的差,回归到函数的单调性定义上判定和证明.在求解抽象函数不等式时,去掉抽象函数的符号,转换为求解不等式的问题. 22．（1）04a ≤≤（2）当2a =时,()M a 取得最小值3-【分析】（1）因为()01f =,可得2()41f x ax x =++.()g x =[0,)+∞,可得出2()41f x ax x =++的最小值的min ()0f x ≤,即可求得实数a 的取值范围.（2）本可以从a 的范围入手,考虑02a <<与2a ≥两种情况,结合二次的图像与性质,分类讨论即可求得()M a ,进而求得()M a 的最小值.【详解】（1）(0)1f = 得:1b =2()41f x ax x ∴=++()g x =函数()g x =[0,)+∞2()41f x ax x ∴=++的最小值的min ()0f x ≤当0a ≠时: 有0411604a a a>⎧⎪⋅⋅-⎨≤⎪⋅⎩ 解得:04a a >⎧⎨≤⎩ 故:04a <≤ 当=0a 时:2()41=41f x ax x x ∴=+++ ()(,)f x ∈-∞+∞=0a ∴满足题意综上所述:04a ≤≤（2）将2b =- 代入2()4f x ax x b =++得:2()42f x ax x =+-2224()422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭ 显然(0)2f =-,对称轴20x a =-< ①当424a--<-,即02a <<时 令2424ax x +-=- 解得:2x a -±=此时()M a 取较大的根,即2()M a a -+==02a <<()1M a ∴=>- ②当424a --≥-,即2a ≥时,2()M a a<-,且[()]4f M a = 令2424ax x +-=,解得x =此时()M a 取较小的根,即:()M a == 2a ∴≥()3M a ∴=- 当且仅当2a =时,取等号.31-<-当2a =时,()M a 取得最小值3-.【点睛】本题主要考查根据二次函数值域求参数范围. 通过函数()g x =[0,)+∞,解得出min ()0f x ≤是求a 的范围关键.通过讨论a 的范围,从而确定()M a 表达式,结合不等式知识是求解()M a 最小值的关键.。
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高一(上)学月考试第一次月考数学试题
20.(本小题满分12分)
已知f(x)=ax2+bx+2.
(1)若f(x)>0的解集为{x|-1<x<2}.解关于x的不等式bx2+ax-1<0;
(2)若b=-a-2,解关于x的不等式f(x)>0.
21.(本小题满分12分)
已知9x2+y2+4xy=10.
A.-4≤a≤0
B.-4<a≤0
C.-4≤a<0
D.-4<a<0
7.已知x>0,y>0,且 ,则x+y的最小值是()
A.5 B.6 C.7D.8
8.定义区间[m,n],(m,n),(m,n],[m,n)的长度均为n-m(n>m),若满足 的x构成的区间的长度之和为2,则实数a的不可能取值是()
A.-1 B.1C.2D.3
C.f(x)= ,g(x)=1
D.f(x)=x2+2x+1,g(t)=(t+1)2
11.下列选项正确的有()
A.若x>0,则x+ 有最小值1
B.若x∈R,则 有最大值1
C.若.若x<y<0,则
12.已知关于x的一元二次方程(3a2+4)x2-18ax+15=0有两个实根x1,x2,则下列结论正确的有()
(1)分别求xy和3x+y的最大值;
(2)求9x2+y2的最小值和最大值.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2-ax+1,g(x)= .
(1)若f(x)的最小值为-3,求实数a的值;
(2)若f(x)=0的两个根分别为x1,x2,且x1=4x2,求实数a的值;
2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析
2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.-2的绝对值是（）A．-2 B．2 C．1/2 D．-1/22．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1 B．6 C．7 D．103．如果|a|=﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤04、在数轴上，把表示-4的点移动2个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（）A.-1B.-6C.-2或-6D.无法确定5．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）A．小王去时的速度大于回家的速度B．小王在朋友家停留了10 分钟C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路6．下列说法正确的是( ) A．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B．两点之间的所有连线中，线段最短C．相等的角是对顶角D．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点7．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是…………………………………………………（）A．4m B．4n C．2(m+n)D．4(m－n)8．一根绳子弯曲成如图1的形状，用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－2)次(剪开的方向与a平行)，这样一共剪n次时绳子的段数是( )A．4n＋1 B．4n＋2 C．4n＋3 D．4n＋59`在数轴上与-3的距离等于4的点表示的数是（）.A、1.B、-7C、1或 -7D、无数个10．如图，AC、BD相交于点O，∠1= ∠2，∠3= ∠4，则图中有（）对全等三角形。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【答案】A【分析】画出图形即可判断. 【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限. 故选：A.2．已知椭圆22:14y C x +=，则椭圆C 的（ ）A ．焦距为25B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为4【答案】D【分析】根据椭圆的方程得焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，进而得焦距为23离心率为32e =，长轴长24a =. 【详解】解：因为椭圆C 的方程22:14y C x +=，所以椭圆是焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，所以3c =所以焦距为233e =24a =. 故选：D.3．下列说法正确的是（ ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 【答案】C【分析】根据正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义分析可得答案. 【详解】对于A ，直四棱柱的底面不一定是正方形，故A 不正确；对于B ，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故B 不正确； 对于C ，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故C 正确； 对于D ，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D 不正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义是解题关键. 4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=【答案】D【分析】根据双曲线的方程逐一求四个方程的渐近线即可求解.【详解】对于选项A ：22143x y -=中，24a =，23b =，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选项A 不正确；对于选项B ：22143y x -=中，24a =，23b =，渐近线方程为a y x x xb =±==，故选项B 不正确；对于选项C ：221169x y -=中，216a =，29b =，渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项C 不正确；对于选项D ：221169y x -=中，216a =，29b =，渐近线方程为43a y x x b =±=±，故选项D 正确， 故选：D5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ） A ．(1,3)-- B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)--【答案】B【分析】利用两直线垂直的公式求出1k =-，两直线联立求交点坐标即可. 【详解】由直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直， 可得220k +=， 即1k =-，所以直线20kx y +=的方程为：20x y -=；由2502201x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，得它们的交点坐标为(2,1)--. 故选：B.6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能 【答案】A【分析】根据题意直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，进而可得答案. 【详解】解：根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，由于点()1,0-在椭圆2212x y +=内，故直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是相交关系.故选：A.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，本题解题的关键在于根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，且该点在椭圆内，是基础题.7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ） A ．10米 B ．102米C ．66米D ．65米【答案】C【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解.【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，βn//，且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【详解】由//,//m n αβ，且//αβ，得//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故A 错误； 由m α⊥，βn//，且αβ⊥，得//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由,ααβ⊥⊥m ，得//m β或m 在β 平面内，故C 错误； 由//,m m αβ⊥，得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．【点睛】熟悉空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系是解题关键．9．已知(4,0)A -，B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点，点P 在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为（ ） A ．9 B ．256+C ．10D ．12【答案】C【分析】求出C 的坐标，则点A ，A '是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得：||6PA PA ='+，推出'6'PA PB PA PB A C +=++≥即可.【详解】设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-， 由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知||||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''， 故选：C ．【点睛】方法点睛：（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.10．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ，且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）A ．B C D【答案】B【分析】先求出直线的方程，再利用椭圆的参数方程求得最值得解.【详解】由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设点,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：d ==≤， 故选B ．【点睛】椭圆上的点到直线的距离通常运用椭圆的参数方程转化为三角函数求得最值.11．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B C ．2D【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则以及数量积运算，再利用双曲线的定义即可得22223442a a c a PA PB ≥-=⋅=，即可得出结果.【详解】由题意知：()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ ()()PO OA PO OA =+⋅-22222344a a PO OA a =-≥-=， 所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=， 故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ） A ．213- B ．273- C ．7 D ．1【答案】A【分析】取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案．【详解】解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上， 又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧， 设点O 在平面PBC 的投影点为1O ， 且点1(O PS S ∈为BC 中点）， 则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122h ⨯⨯=⨯⨯-，即26h =，得163OO =，21631()3PO =-=，22213PS =-= 由N 在PS 上时，求得13NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值213-， 故选：A ．【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；二、填空题13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1)，则m 的值是_______________． 【答案】2-【分析】由题可判断焦点在y 轴上，且21m-=，可求出. 【详解】双曲线2222mx my -=化为22112x y m m-=， 一个顶点是(0,1)，故焦点在y 轴上，且1a =，0m ∴<，且21m-=，解得2m =-. 故答案为：2-.14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________． 【答案】240x y --=【分析】利用圆系方程的求法，求解即可．【详解】设两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=的交点分别为,A B ， 则线段AB 是两个圆的公共弦．由224x y +=和22(2)(1)1x y -++=两式相减， 得4280x y --=， 即240x y --=，故线段AB 所在直线的方程为240x y --=； 故答案为：240x y --=.15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．【答案】52【分析】由题意知二十四等边体是棱长为2a的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为2221a a a+==，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去8个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为2）的体积即可求解.【详解】如图：设原正方体的棱长为2a22a a2a+=，21a=，所以2 a=所以正方体棱长为22a=22222=又截去的82，故截去体积为211222832223⎛⨯⨯⨯⨯=⎝⎭，所以24等边体的体积为2522233V==．故答案为：52 3【点睛】关键点点睛：本题的关键点是结合题意利用空间想象能力可知二十四等边体是正方体沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，利用二十四等边体棱长为1可以求出正方体的体积，以及三棱锥的体积，即可求该二十四等边体的体积.16．如图，已知P为椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>上的点，点A、B分别在直线12y x=与12y x=-上，点O为坐标原点，四边形OAPB为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．3【分析】方法一：首先设点()00,P x y，利用平行四边形的性质求直线PA和PB的方程，并接到点,A B的坐标，利用两点间距离公式表示四边平方和，利用四边平方和为定值，得到2214ba=，求椭圆的离心率；方法二：首先设()121200,,,,,22x xA xB x P x y⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由平行四边形的性质得到坐标间的关系，并表示行2AB，利用四边形性质边长平方和等于22AB OP+为定值，求椭圆的离心率.【详解】（法一）设()00,P x y，则直线PA的方程为0122xy x y=-++，直线PB方程为0122xy x y=-+，联立方程组12212xy x yy x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得000,242x x yA y⎛⎫++⎪⎝⎭，联立方程组12212xy x yy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得000,242x x yB y⎛⎫--+⎪⎝⎭，则2222222200000000005524224282x x y x x yPA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为22005582x y +为定值，则22222213,,44b a b e e a a -====． 法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则120122x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为220014x y +为定值，则22222213,,442b a b e e a a -====．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.三、解答题17．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x .【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程.【详解】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，∴24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩，所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， ∴324AB k ⋅=，得8AB k =， ∴直线AB 方程为：810y x ，满足0∆>，符合题意 .【点睛】关键点点睛：1、由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c .2、()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =，直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1）已知点F 为PB 中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，证明//CG AE ，//FG PA ，推出//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ，然后证明平面//CFG 平面PAE ，得到//CF 平面PAE ．（2）PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，得到30PBA ∠=︒，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBD 的法向量，平面ABD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//CG AE ，//FG PA ， ∵CG ⊄面PAE ，AE ⊂面PAE ，FG ⊄面PAE ，PA ⊂面PAE ， ∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ， 又因为CG FG G ⋂=，,CG FG ⊂面CFG ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ，∴//CF 平面PAE ．（2）由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00z y z -=-=⎪⎩取3z =，则1,x y ==(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =，设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===．【点睛】本题考查了立体几何中的面面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）72t =±. 【分析】（1）根据离心率得到,,a b c 的关系，再代入点P 的坐标求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系12x x +，以及12y y +，并利用向量相等表示点E 的坐标，代入椭圆方程，求t . 【详解】解：（1）122=⇒=c a c a ，所以22224,3==a c b c ，所以椭圆方程为：22243x y c +=，过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y+=，（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277y y x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t x x t y y ⎛⎫=+=++=-⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：22264367494914342t t t t +=⇒=⇒=±． 20．已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称，与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点，求四边形PACB 面积的最小值． 【答案】（1）()()22139x y -+-=；（2. 【分析】（1）设圆C 标准方程，由垂径定理、圆与x 轴相切、关于直线3y x =对称可构造方程求得圆心坐标和半径，由此得到标准方程； （2）将四边形PACB 面积转化为23PABSPA =，只需求得PA 最小值即可；根据PC d ≥且PA =PA 最小值，代入可求得结果.【详解】（1）设圆C 的标准方程为：()()()2220,,0x a y b r a b -+-=>>， 圆C 关于直线3y x =对称，3b a ∴= 圆C 与x 轴相切：3r b a ∴==…① 点(),C a b 到y x =的距离为：d ===， 圆C 被直线y x =截得的弦长为，222r d ∴=+，结合①有：22927a a =+，21a ∴=， 又0a >，1a ，33r b a ===，∴圆C 的标准方程为：()()22139x y -+-=.（2）,PA PB 与圆C 相切，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，3CA CB ==由PAC PAB ≌得：12232PABPACB S SCA PA PA ==⨯⨯=四边形， 圆心C 到直线10x y ++=的距离1315222d ++==， PC d ∴≥，即522PC ≥（当PC l ⊥时取等号），又2229PA PC CA PC =-=-，23143392PACB S PA d ∴=≥-=四边形（当PC l ⊥时取等号）， ∴四边形PACB 面积的最小值为3142.【点睛】关键点点睛：本题考查与圆有关的四边形面积最值的求解问题，解题关键是能够将四边形面积转化为三角形面积的求解，进而确定决定三角形面积的变量是切线长，通过确定切线长的最值得到所求面积的最值.21．如图，已知四棱柱ABCD A B C D ''''-的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证：BD A H '⊥； （2）若3BAD π∠=，在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60，若存在，求||MA AA '的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）先证明BD ⊥面A C H ''，进而得BD A H '⊥；（2）先证明A B '⊥面ABCD ，进而如图建立空间直角坐标系，假设存在M 满足条件并设()01AM AA λλ'=≤≤，再求两个平面的法向量，利用法向量求二面角即可得711λ-=或者711+，进而可得答案. 【详解】解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又由四棱柱ABCD A B C D ''''-得//AA CC ''，AA CC '='， 所以四边形ACC A ''为平行四边形，所以//AC A C ''， 所以BD A C ⊥''，又C H '⊥面ABCD ，所以C H BD '⊥， 因为A C C H C '''='⋂，所以BD ⊥面A C H ''，所以BD A H '⊥ （2）在HAD △中，1//,2CE AD CE AD =， 所以CE 为中位线，则C 为DH 中点，CD CH =， 所以AB CH =，又//AB CH ， 所以ABHC 为平行四边形， 所以,//BH AC BH AC =， 又ACC A ''为平行四边形， 所以BH A C =''，//BH A C ''， 所以BHC A ''为平行四边形 所以//,C H A B C H A B ''''= 又C H '⊥面ABCD ， 所以A B '⊥面ABCD ．在Rt C CH '中，4,2CC CH ='=，则C H '=， 三角形ABD 中，,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点，,BA BA '为,y z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设()()()0,2,23,01,0,223AM AA BM BA AM λλλλλλ==-≤≤=+'=-， 所以点(0,22,23)M λλ-，所以在面MBD 中：(3,1,0)BD →=，(0,22,23)BM λλ→=-，设法向量111(,,)n x y z →=00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则111130(22)230x y y z λλ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取13y λ=，则11,1x z λλ=-=-，所以(3,1)n λλλ→=-- 在平面BB C '中，()(3,1,0,0,2,23BC BB =-'=-，设法向量222(,,)m x y z →=，00m BC m BB '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222230230x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取23y 221,1x z ==，所以3,1)m →=若存在，则221cos 60254(1)m nm nλλ→→→→=+-⋅⋅︒==， 化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+-，整理有2111410λλ--=，所以721511λ-=或者721511+， 由721572150,1-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，空间向量解决立体即可中的存在性问题，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意证明A B '⊥面ABCD ，进而建立空间直角坐标系（如图），并假设存在M 满足条件，并设()01AM AA λλ'=≤≤，进而求两个平面的法向量，通过二面角求解.22．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F △面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=，求点P 的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）点P 的坐标为(6,1),(6,1),(6,6,1)--. 【分析】（1）由12PF F △面积的最大为4，得4cb =，由1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22222b ca=222a b c =+，解得22,2a b c ===，即可求得椭圆方程；（2）设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''，直线1PF 为：2x my =-，联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，利用弦长公式求得21||12PA m ⎫=-⎪+⎭，同理21||12PB n ⎫=-⎪+⎭，由||||PA PB +=，得出||2mn =，利用斜率公式知21211142y mn x ==±-，分类讨论求出点P 的坐标． 【详解】（1）当点P 是椭圆上的上顶点时，12PF F △面积的最大，即1242cb ⨯=，即4cb =当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为2122b c a ⨯⨯=2b ca=．又222a b c =+，解得2a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=（2）设直线1PF 为：2x my =-，直线2PF 为：2x ny =+联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，()()()22241623210m m m ∆=-++=+>，设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''由韦达定理得：12122244,22m y y y y m m -+==++则)2122211||122m PA y m m +⎫=-==-⎪++⎭同理可得：)2122211||122n PB y y n n +⎫=-==-⎪++⎭'，由||||PA PB +=，所以22111122m n ⎫-+-=⎪++⎭即2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=，又11111212ym xyn x⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则21211142ymn x==±-，若22211121112442yy xmn x==-⇒=--，又221128x y+=，有221148x x+-=，不成立；若22211121112442yy xmn x==⇒=--，又221128x y+=，所以211211611x xy y⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P的坐标为1)--．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相交求弦长，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.第 21 页共 21 页。
重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题及答案
重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（上）月考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试卷上作答无效。
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。
满分150分，考试用时120分钟。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线30x y --=的倾斜角为（）A ．π3B ．π6C ．π4D ．2π32、平面内，动点P 的坐标(),x y ，则动点P 的轨迹方程为（）A ．2212421x y +=B ．22163x y +=C ．22169x y +=D ．22196x y +=3、以点()1,5C --为圆心，且过原点的圆的方程是（）A ．()()221525x y -+-=B ．()()22151x y +++=C ．()()22159x y -+-=D ．()()221526x y +++=4、已知圆1C ：224x y +=，圆2C ：224440x y x y +--+=，则两圆的公共弦方程为（）A ．20x y ++=B ．20x y +-=C ．40x y ++=D ．40x y +-=5、直线l 过点()1,2，且与圆C ：()()222410x y -+-=相交所形成的长度为）A ．3B ．2C ．1D ．06、若点()2,1A 关于直线l ：y kx b =+（k ，b ∈R ）的对称点为()4,3A '-，则b =（）A ．3-B ．1-C ．3D ．57、已知椭圆E ：221106x y +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为3直线交E 于P ，Q 两点，则1PQF △的内切圆半径为（）A ．8B ．4C ．4D ．88、点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，与y 轴相交于P ，Q 两点，若PQM △是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．2B ．12-C ．2-D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2021学年重庆市某校高二(上)第一次月考数学试卷(有答案)
2021学年重庆市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 直线3x+√3y−a=0的倾斜角为（）A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘2. 若三点A(2, 2)，B(a, 0)，C(0, b)(ab≠0)共线，则1a +1b的值等于（）A.1 2B.1C.−1D.−123. 如果方程x2+y2+x+y+k＝0表示一个圆，则k的取值范围是（）A.k>12B.0<k<12C.k<12D.k≤124. 若直线y=2x与直线(a2−a)x−y+a+1=0平行，则a=( )A.a=−1B.a=2C.a=−1或2D.a=1或−25. 方程(m+2)x+(m−2)y+4＝0(m∈R)所表示的直线恒过定点（）A.(−2, 2)B.(2, −2)C.(1, −1)D.(−1, 1)6. 点F(√3m+3, 0)到直线√3x−√3my＝0的距离为（）A.√3B.√3mC.3D.3m7. 若点P(3, −1)为圆(x−2)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A.x+y−2=0B.2x−y−7=0C.2x+y−5=0D.x−y−4=08. 直线x−y+1＝0与直线2x−2y−1＝0是圆C的两条切线，则圆C的面积是（）A.9 8πB.916π C.932π D.964π9. 已知直线Ax+By+C＝0的图象如图，则（）A.若C>0，则A>0，B>0B.若C>0，则A<0，B>0C.若C<0，则A>0，B<0D.若C<0，则A>0，B>010. 若直线y＝x+b与曲线y=1+√1−x2有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为（）A.[1−√2, 2)B.[1−√2, 2]C.[2, 1+√2)D.[2, 1+√2]11. 已知实数x，y满足x2+y2−4x+2＝0，则x2+(y−2)2的最小值是（）A.√2B.2√2C.2D.812. 过原点O作圆x2+y2−6x−8y+20＝0的两个切线，设切点分别为M、N，则线段MN的长度为（）A.2√2B.4C.√17D.174二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把直线√3x−y+2−√3=0绕(1, 2)旋转30∘，所得的直线的一般方程为________已知x，y满足{y≤xx+y≤1y≥−1，则z＝2x+y的最大值为________．已知圆C经过点(4, 2)，(1, 3)，和(5, 1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2+y2=1，圆M：(x+a+3)2+(y−2a)2=1（a 为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30∘，则a的取值范围为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.根据下列条件分别求出直线l的方程．（1）直线l经过A(4, 1)，且横、纵截距相等；（2）直线l平行于直线3x+4y+17＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24．已知以点C为圆心的圆经过点A(−1, 0)和B(3, 4)，且圆心C在直线x+3y−15＝0上．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．已知圆C:x2+y2−2x−4y+m＝0．（1）若圆C与直线l:x+2y−4＝0相交于M、N两点，且|MN|=4√5，求m的值；5（2）在（1）成立的条件下，过点P(2, 1)引圆的切线，求切线方程．已知圆C1:x2+y2+4x+1＝0及圆C2:x2+y2+2x+2y+1＝0．求两圆的公共弦所在的直线方程，并求出以两圆的公共弦为直径的圆的标准方程．已知点P(2, 2)，圆C:x2+y2−8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．已知圆C:x2+(y−4)2＝4，直线l：(3m+1)x+(1−m)y−4＝0．(Ⅰ)求直线l所过定点A的坐标；(Ⅱ)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；(Ⅲ)已知点M(−3, 4)，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．于圆C上任一点P，都有|PM||PN|参考答案与试题解析2019-2020学年重庆市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．【解答】直线3x+√3y−a=0的斜率为：−√3，倾斜角为α，tanα=−√3，∴α＝120∘．2.【答案】A【考点】三点共线【解析】三点共线即两向量共线，用向量共线公式得方程解之．【解答】∵A(2, 2)，B(a, 0)，C(0, b)(ab≠0)共线，∴AB→∥AC→∴AB→=(a−2,−2)，AC→=(−2,b−2)，∴(a−2)(b−2)＝4ab−2(a+b)＝0∴1a +1b=123.【答案】C【考点】二元二次方程表示圆的条件【解析】根据二次方程表示圆的充要条件列出不等式，通过解不等式求出k的范围．【解答】方程x2+y2+x+y+k＝0表示一个圆，需满足1+1−4k>0∴k<124.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线y=2x与直线(a2−a)x−y+a+1=0平行，∴a2−a=2，解得a=−1或a=2.当a=−1时，两直线重合，舍去，∴a=2．故选B.5.【答案】D【考点】直线系方程【解析】方程(m+2)x+(m−2)y+4＝0(m∈R)化为：m(x+y)+2x−2y+4＝0，利用直线系的性质即可得出．【解答】方程(m+2)x+(m−2)y+4＝0(m∈R)化为：m(x+y)+2x−2y+4＝0，令x+y＝0，2x−2y+4＝0，解得x＝−1，y＝1．因此方程所表示的直线恒过定点(−1, 1)．6.【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】=√3．点F(√3m+3, 0)到直线√3x−√3my＝0的距离=√m+1|√(√3)2+(−√3m)27.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】=设圆心C(2, 0)，连接PC，由P(3, −1)为圆的弦的中点可得AB⊥PC，由K PC=0+12−3−1可求K AB＝1，从而可求直线AB的方程．【解答】解：设圆心C(2, 0)，连接PC，由P(3, −1)为圆的弦的中点可得AB⊥PC，∵k PC=0+12−3=−1，∴k AB=1，直线AB的方程为x−y−4=0.故选D.8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程【解析】根据题意，分析可得直线x−y+1＝0与直线2x−2y−1＝0平行，则两直线之间的距离为圆的直径，求出两直线之间的距离，即可得圆的半径，进而计算可得答案．【解答】根据题意，直线x−y+1＝0与直线2x−2y−1＝0平行，若两条直线是圆C的两条切线，则两直线之间的距离为圆的直径，直线x−y+1＝0即2x−2y+2＝0，与直线2x−2y−1＝0间的距离d=√4+4=3√24，则圆的半径r=3√28，则圆心的面积S＝πr2=932π；9.【答案】D【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】直线Ax+By+C＝0的图象如图，化为y=−AB x−CB．根据斜率与截距的意义可得：−AB <0，−CB>0．对C分类讨论即可得出．【解答】直线Ax+By+C＝0的图象如图，则y=−AB x−CB．∴−AB <0，−CB>0．若C>0，则A<0，B<0．若C<0，则A>0，B>0．10.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】曲线表示以C(0, 1)为圆心、半径等于1的半圆，当直线y＝x+b过点(0, 2)时，可得b＝2，满足条件．当直线y＝x+b和半圆相切时，由1=√1+1，解得b＝1+√2，数形结合可得实数b的取值范围．【解答】曲线方程变形为x2+(y−1)2＝1(y≥1)，表示圆心C为(0, 1)，半径为1的上半圆，根据题意画出图形，如图所示：当直线y＝x+b过点(0, 2)时，可得b＝2，满足直线y＝x+b与曲线y＝1+√1−x2有两个不同的公共点．当直线y＝x+b和半圆相切时，由1=|0−1+b|√1+1，解得b＝1+√2或b＝1−√2 （舍去），故直线y＝x+b与曲线y＝1+√1−x2有两个不同的公共点时，实数b的取值范围为[2, 1+√2)，故选：C．11.【答案】C【考点】圆的一般方程【解析】x2+(y−2)2表示圆x2+y2−4x+2＝0上动点(x, y)到点(0, 2)点的距离的平方，进而得到答案．【解答】x2+y2−4x+2＝0表示一个以(2, 0)点为圆心，以√2为半径的圆，x2+(y−2)2表示圆上动点(x, y)到点(0, 2)点的距离的平方，故x2+(y−2)2的最小值是[√(0−2)2+(2−0)2−√2]2＝2，12.【答案】B【考点】圆的切线方程【解析】根据题意，设圆的圆心为C，∠OCM＝θ，由圆的方程分析可得圆心的坐标以及半径，进而求出cosθ的值，由二倍角公式可得cos2θ的值，据此由余弦定理计算可得答案．【解答】根据题意，设圆x2+y2−6x−8y+20＝0的圆心为C，∠OCM＝θ，圆x2+y2−6x−8y+20＝0可化为(x−3)2+(y−4)2＝5，其圆心为(3, 4)，半径为√5，圆心C(3, 4)到原点的距离为5，则cosθ=|CM||OC|=√55，则cos2θ＝2cos2θ−1=−35，则|MN|2＝|MC|2+|NC|2−2|MC||NC|cos2θ＝16，即|MN|＝4；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】x−1＝0或x−√3y+2√3−1＝0【考点】两直线的夹角【解析】由题意可得，绕点(1, 2)旋转30∘所得到的直线的倾斜角为90∘或者30∘，由此可得直线的方程．【解答】直线√3x−y+2−√3=0的斜率为√3，倾斜角为60∘，绕点(1, 2)逆时针旋转30∘所得到的直线的倾斜角为90∘，故所得直线的方程为x＝1，绕点(1, 2)顺时针旋转30∘所得到的直线的倾斜角为30∘，故所得直线的方程为√33x−y+2−√33=0⇒x−√3y+2√3−1＝0，【答案】3【考点】简单线性规划【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】{y≤xx+y≤1y≥−1，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(−1, −1)，B(12, 12 )，C(2, −1)，在△ABC 中满足z ＝2x +y 的最大值是点C ，代入得最大值等于3． 【答案】 −2【考点】 圆的标准方程 【解析】用待定系数法求圆C 的一般方程，再利用韦达定理，得出结论． 【解答】已知圆C 经过点(4, 2)，(1, 3)，和(5, 1)，设圆C 的方程为 x 2+y 2+dx +ey +f ＝0， 则{16+4+4d +2e +f =01+9+d +3e +f =025+1+5d +e +f =0 ，求得{d =−2e =4f =−20 ，故圆C 的方程为 x 2+y 2−2x +4y −20＝0．与x 轴的两个截距之和，即为方程 x 2−2x −20＝0的两个实数根之和，为2， 与y 轴的两个截距之和，即为方程 y 2+4y −20＝0的两个实数根之和，为−4， 故圆C 与两坐标轴的四个截距之和2−4＝−2， 【答案】[−65,0] 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】从圆M 上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP ＝1，利用圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30∘，可得|OM|≤2，进而得出答案． 【解答】解：过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R .根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP =30∘；反过来，如果∠OQP <30∘，则不存在圆O 上的点P ，使得∠OQP =30∘. 因为OP =1，所以OQ >2时不成立，所以OQ ≤2，即点Q 在圆面x 2+y 2≤4上. 又因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x +a +3)2+(y −2a)2=1（a 为实数）与圆面x 2+y 2≤4有公共点， 所以OM ≤3.因为MO 2=(a +3)2+(2a)2， 所以(a +3)2+(2a)2≤9， 解得−65≤a ≤0.故答案为：[−65,0].三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】直线l 经过原点时满足条件，可得直线方程为：y =14x ，即x −4y ＝0．直线l 不经过原点时，设直线方程为：x +y ＝a ，把A(4, 1)代入可得：a ＝4+1＝5． ∴ 直线l 的方程为：x +y −5＝0．综上可得：直线l 的方程为：x +y −5＝0，或x −4y ＝0． 设直线l 的方程为：3x +4y +m ＝0， 与坐标轴的交点分别为：(0, −m4)，(−m3, 0)．∴ 12×|−m4|⋅|−m 3|＝24，解得：m ＝±24．∴ 满足条件的直线方程为：3x +4y ±24＝0． 【考点】待定系数法求直线方程 直线的截距式方程【解析】（1）直线l 经过原点时满足条件，可得直线方程．直线l 不经过原点时，设直线方程为：x +y ＝a ，把A(4, 1)代入可得：a ．（2）设直线l 的方程为：3x +4y +m ＝0，与坐标轴的交点分别为：(0, −m4)，(−m3, 0)．根据三角形面积计算公式即可得出． 【解答】直线l 经过原点时满足条件，可得直线方程为：y =14x ，即x −4y ＝0．直线l 不经过原点时，设直线方程为：x +y ＝a ，把A(4, 1)代入可得：a ＝4+1＝5． ∴ 直线l 的方程为：x +y −5＝0．综上可得：直线l 的方程为：x +y −5＝0，或x −4y ＝0． 设直线l 的方程为：3x +4y +m ＝0， 与坐标轴的交点分别为：(0, −m4)，(−m3, 0)．∴ 12×|−m 4|⋅|−m 3|＝24，解得：m ＝±24．∴ 满足条件的直线方程为：3x +4y ±24＝0．【答案】（1）题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x +3y −15＝0的交点， ∵ AB 的中点为(1, 2)，斜率为k =4−03−(−1)=1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y −2＝−(x −1)，即y ＝−x +3， 联立{y =−x +3x +3y −15=0 ，解得{x =−3y =6 ，即圆心C(−3, 6)，∴ 半径r =√(−1+3)2+(0−6)2=2√10，所求圆C 的方程为(x +3)2+(y −6)2＝40；（2）∵ 点P 在圆C 上，设P(−3+2√10cos θ, 6+2√10sin θ)， ∵ 点A(−1, 0)和B(3, 4)，∴ AB =√(3+1)2+(4−0)2=4√2， 直线AB 为：y x+1=43+1，即x −y +1＝0．点P(−3+2√10cos θ, 6+2√10sin θ)到直线x −y +1＝0的距离： d =√10cos √10sin √12+(−1)2=|4√5sin (θ+π4)−8|√2，∴ 当θ+π4=3π2时，d max ＝4√2+2√10，∴ △PAB 的面积的最大值：S =12×AB ×d max =12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5．【考点】直线与圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x +3y −15的交点，解之可得C(−3, 6)，由距离公式可得半径，进而可得所求圆C 的方程；(Ⅱ)设P(−3+2√10cos θ, 6+2√10sin θ)，求出AB ＝4√2，直线AB 为x −y +1＝0，利用点到直线的距离公式及三角函数性质能求出点P(−3+2√10cos θ, 6+2√10sin θ)到直线x −y +1＝0的距离的最大值，由此能求出△PAB 的面积的最大值． 【解答】（1）题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x +3y −15＝0的交点， ∵ AB 的中点为(1, 2)，斜率为k =4−03−(−1)=1，∴ AB 的垂直平分线的方程为y −2＝−(x −1)，即y ＝−x +3， 联立{y =−x +3x +3y −15=0 ，解得{x =−3y =6 ，即圆心C(−3, 6)，∴ 半径r =√(−1+3)2+(0−6)2=2√10，所求圆C 的方程为(x +3)2+(y −6)2＝40；（2）∵ 点P 在圆C 上，设P(−3+2√10cos θ, 6+2√10sin θ)， ∵ 点A(−1, 0)和B(3, 4)，∴ AB =√(3+1)2+(4−0)2=4√2， 直线AB 为：y x+1=43+1，即x −y +1＝0．点P(−3+2√10cos θ, 6+2√10sin θ)到直线x −y +1＝0的距离： d =√10cos √10sin √12+(−1)2=|4√5sin (θ+π4)−8|√2，∴ 当θ+π4=3π2时，d max ＝4√2+2√10，∴ △PAB 的面积的最大值：S =12×AB ×d max =12×4√2×(4√2+2√10)=16+8√5．【答案】圆方程可化为(x −1)2+(y −2)2＝5−m ，则圆心C(1, 2)，半径r 2＝5−m ， 所以圆心到直线l 的距离d =√1+22=√55 则弦长|MN|＝2√r 2−d 2=2√5−m −15=4√55，解得m ＝4；由（1）得圆C方程表示为(x−1)2+(y−2)2＝1，①直线x＝2时，该直线与圆C相切；②当直线斜率存在时，设过P的直线方程为y＝k(x−2)+1，即kx−y+1−2k＝0，则d=√1+k2=1，解得k＝0，此时切线方程为y＝1，所以切线方程为x＝2或y＝1．【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程【解析】（1）将圆方程化为标准形式，求出圆心到直线距离，进而表示出弦长，即可求出m的值；（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求切线方程．【解答】圆方程可化为(x−1)2+(y−2)2＝5−m，则圆心C(1, 2)，半径r2＝5−m，所以圆心到直线l的距离d=√1+22=√55则弦长|MN|＝2√r2−d2=2√5−m−15=4√55，解得m＝4；由（1）得圆C方程表示为(x−1)2+(y−2)2＝1，①直线x＝2时，该直线与圆C相切；②当直线斜率存在时，设过P的直线方程为y＝k(x−2)+1，即kx−y+1−2k＝0，则d=√1+k2=1，解得k＝0，此时切线方程为y＝1，所以切线方程为x＝2或y＝1．【答案】根据题意，圆C1:x2+y2+4x+1＝0及圆C2:x2+y2+2x+2y+1＝0，则有{x2+y2+4x+1=0x2+y2+2x+2y+1=0，变形可得：x−y＝0，两圆的公共弦所在的直线为x−y＝0；又由圆C2:x2+y2+2x+2y+1＝0，即(x+1)2+(y+1)2＝3，其圆心C2(−1, −1)，半径r2=√3，圆心C2(−1, −1)在直线x−y＝0上，故以两圆的公共弦为直径的圆即圆C2，其标准方程为(x+1)2+(y+1)2＝3．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定【解析】根据题意，联立两个圆的方程可得两圆的公共弦所在的直线方程，由圆C2的方程分析可得圆心C2的坐标，进而可得圆心C2(−1, −1)在直线x−y＝0上，即可得以两圆的公共弦为直径的圆即圆C2，即可得答案．【解答】根据题意，圆C1:x2+y2+4x+1＝0及圆C2:x2+y2+2x+2y+1＝0，则有{x2+y2+4x+1=0x2+y2+2x+2y+1=0，变形可得：x−y＝0，两圆的公共弦所在的直线为x−y＝0；又由圆C2:x2+y2+2x+2y+1＝0，即(x+1)2+(y+1)2＝3，其圆心C2(−1, −1)，半径r 2=√3，圆心C 2(−1, −1)在直线x −y ＝0上，故以两圆的公共弦为直径的圆即圆C 2，其标准方程为(x +1)2+(y +1)2＝3． 【答案】解：(1)由圆C:x 2+y 2−8y =0， 得x 2+(y −4)2=16，∴ 圆C 的圆心坐标为(0, 4)，半径为4． 设M(x, y)，则CM →=(x,y −4)， MP →=(2−x,2−y)． 由题意可得：CM →⋅MP →=0．即x(2−x)+(y −4)(2−y)=0． 整理得：(x −1)2+(y −3)2=2．∴ M 的轨迹方程是(x −1)2+(y −3)2=2．(2)由(1)知M 的轨迹是以点N(1, 3)为圆心，√2为半径的圆， 由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上， 从而ON ⊥PM ． ∵ k ON =3，∴ 直线l 的斜率为−13．∴ 直线PM 的方程为y −2=−13(x −2)，即x +3y −8=0． 则O 到直线l 的距离为√12+32=4√105． 又N 到l 的距离为√10=√105， ∴ |PM|=2√2−(√105)2=4√105． ∴ S △POM =12×4√105×4√105=165．【考点】三角形的面积公式 直线与圆的位置关系 轨迹方程点到直线的距离公式 直线的点斜式方程 【解析】（1）由圆C 的方程求出圆心坐标和半径，设出M 坐标，由CM →与MP →数量积等于0列式得M 的轨迹方程；（2）设M 的轨迹的圆心为N ，由|OP|=|OM|得到ON ⊥PM ．求出ON 所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM 所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O 到l 的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM 的长度，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：(1)由圆C:x 2+y 2−8y =0， 得x 2+(y −4)2=16，∴ 圆C 的圆心坐标为(0, 4)，半径为4． 设M(x, y)，则CM →=(x,y −4)， MP →=(2−x,2−y)． 由题意可得：CM →⋅MP →=0．即x(2−x)+(y −4)(2−y)=0． 整理得：(x −1)2+(y −3)2=2．∴ M 的轨迹方程是(x −1)2+(y −3)2=2．(2)由(1)知M 的轨迹是以点N(1, 3)为圆心，√2为半径的圆， 由于|OP|=|OM|，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上， 从而ON ⊥PM ． ∵ k ON =3，∴ 直线l 的斜率为−13．∴ 直线PM 的方程为y −2=−13(x −2)， 即x +3y −8=0． 则O 到直线l 的距离为√12+32=4√105． 又N 到l 的距离为√10=√105， ∴ |PM|=2√2−(√105)2=4√105． ∴ S △POM =12×4√105×4√105=165．【答案】（1）依题意得，m(3x −y)+(x +y −4)＝0，令3x −y ＝0且x +y −4＝0，得x ＝1，y ＝3∴ 直线l 过定点A(1, 3)， （2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C(0, 4)，r ＝2， ∴ k AC =4−30−1=−1，得k l =−1kAC=−1−1=1，∴ 由3m+1m−1=1得m ＝−1，∴ 圆心到直线的距离为d =|AC|=√2，∴ 最短弦长为l =2√r 2−d 2=2√4−2=2√2．(Ⅲ)法一：由题知，直线MC 的方程为y ＝4，假设存在定点N(t, 4)满足题意， 则设P(x, y)，|PM||PN|=λ，得|PM|2＝λ2|PN|2(λ>0)，且(y −4)2＝4−x 2 ∴ (x +3)2+(y −4)2＝λ2(x −t)2+λ2(y −4)2∴(x+3)2+4−x2＝λ2(x−t)2+λ2(4−x2)整理得，(6+2tλ2)x−(λ2t2+4λ2−13)＝0∵上式对任意x∈[−2, 2]恒成立，∴6+2tλ2＝0且λ2t2+4λ2−13＝0解得t=−43,λ=32或t＝−3，λ＝1（舍去，与M重合）综上可知，在直线MC上存在定点N(−43,4)，使得|PM||PN|为常数32法二：设直线MC上的点N(t, 4)取直线MC与圆C的交点P1(−2, 4)，则|PM||PN|=1|t+2|取直线MC与圆C的交点P2(2, 4)，则|PM||PN|=5|t−2|令1|t+2|=5|t−2|，解得t=−43或t＝−3（舍去，与M重合），此时|PM||PN|=32若存在这样的定点N满足题意，则必为N(−43,4)，下证：点N(−43,4)满足题意，设圆上任意一点P(x, y)，则(y−4)2＝4−x2∴|PM|2|PN|2=(x+3)2+(y−4)2(x+43)2+(y−4)2=x2+6x+9+4−x2x2+83x+169+4−x2=6x+1383x+529=6x+1349(6x+13)=94，∴|PM||PN|=32综上可知，在直线MC上存在定点N(−43,4)，使得|PM||PN|为常数32．【考点】直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用【解析】(Ⅰ)利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标．(Ⅱ)当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C(0, 4)，r＝2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可．(Ⅲ)法一：由题知，直线MC的方程为y＝4，假设存在定点N(t, 4)满足题意，则设P(x, y)，|PM||PN|=λ，得|PM|2＝λ2|PN|2(λ>0)，且(y−4)2＝4−x2，求出λ，然后求解比值．法二：设直线MC上的点N(t, 4)取直线MC与圆C的交点P1(−2, 4)，则|PM||PN|=1|t+2|，取直线MC与圆C的交点P2(2, 4)，则|PM||PN|=5|t−2|，通过令1|t+2|=5|t−2|，存在这样的定点N满足题意，则必为N(−43,4)，然后证明即可．【解答】（1）依题意得，m(3x−y)+(x+y−4)＝0，令3x−y＝0且x+y−4＝0，得x＝1，y＝3∴直线l过定点A(1, 3)，（2）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C(0, 4)，r＝2，∴k AC=4−30−1=−1，得k l=−1k AC=−1−1=1，∴由3m+1m−1=1得m＝−1，∴圆心到直线的距离为d=|AC|=√2，∴最短弦长为l=2√r2−d2=2√4−2=2√2．(Ⅲ)法一：由题知，直线MC的方程为y＝4，假设存在定点N(t, 4)满足题意，则设P(x, y)，|PM||PN|=λ，得|PM|2＝λ2|PN|2(λ>0)，且(y−4)2＝4−x2∴(x+3)2+(y−4)2＝λ2(x−t)2+λ2(y−4)2∴(x+3)2+4−x2＝λ2(x−t)2+λ2(4−x2)整理得，(6+2tλ2)x−(λ2t2+4λ2−13)＝0∵上式对任意x∈[−2, 2]恒成立，∴6+2tλ2＝0且λ2t2+4λ2−13＝0解得t=−43,λ=32或t＝−3，λ＝1（舍去，与M重合）综上可知，在直线MC上存在定点N(−43,4)，使得|PM||PN|为常数32法二：设直线MC上的点N(t, 4)取直线MC与圆C的交点P1(−2, 4)，则|PM||PN|=1|t+2|取直线MC与圆C的交点P2(2, 4)，则|PM||PN|=5|t−2|令1|t+2|=5|t−2|，解得t=−43或t＝−3（舍去，与M重合），此时|PM||PN|=32若存在这样的定点N满足题意，则必为N(−43,4)，下证：点N(−43,4)满足题意，设圆上任意一点P(x, y)，则(y−4)2＝4−x2∴|PM|2|PN|2=(x+3)2+(y−4)2(x+43)2+(y−4)2=x2+6x+9+4−x2x2+83x+169+4−x2=6x+1383x+529=6x+1349(6x+13)=94，∴|PM||PN|=32综上可知，在直线MC上存在定点N(−43,4)，使得|PM||PN|为常数32．。
数学-高二-重庆市巴蜀中学高二第一次(10月)月考数学文试卷
2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）一.选择题（共12题，每题5分，每题只有一个正确答案）1．双曲线﹣=1的离心率是（）A．2 B．C．D．2．若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．33．抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）A．B．C．D．4．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）A．16：9 B．9：16 C．27：8 D．8：275．一个正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）图如图所示，则该四棱锥侧面积是（）A．180 B．120 C．60 D．486．双曲线5x2﹣ky2=5的一个焦点坐标是（2，0），那么k的值为（）A．3 B．5 C．D．7．以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=08．将正三棱柱截去三个角（如图甲所示，A，B，C分别是三边的中点）得到几何图形乙．则该几何体的正视图为（）A． B．C．D．9．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线A、B两点，且|AB|=4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是（）A．（0，4）B．（0，4 D．（0，2）10．已知圆O：（x﹣1）2+y2=9，圆O上的直线l：xcosθ+ysinθ=2+cosθ（0＜θ＜）距离为1的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．111．过抛物线y2=x的焦点F作直线l交抛物线准线于M点，P为直线l与抛物线的一个交点，且满足=3，则|PF|等于（）A．B．C．D．12．已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F 为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二.填空题（共4题，每题5分）13．抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为．14．设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是15．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线4x2﹣=1（y＞0）交于点P，F为抛物线的焦点，直线PF的倾斜角为135°．则p=．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=．三.解答题（17题满分70分，18-22题满分各12分）17．（10分）某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的体积．18．（12分）已知A（2，0），B（3，）．（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为的椭圆的标准方程；（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程．19．（12分）已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．20．（12分）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A．B，将直线AB向左平移p个单位得到直线l，N为l上的动点．（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）在（1）的条件下，求•的最小值．21．（12分）已知椭圆+=1，F1，F2为其左．右焦点，直线l与椭圆相交于A、B两点，（1）线段AB的中点为（1，），求直线l的方程；（2）直线l过点F1，三角形ABF2内切圆面积最大时，求直线l的方程．22．（12分）已知F1，F2，A分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点及上顶点△AF1F2的面积为4且椭圆的离心率等于，过点M（0，4）的直线l与椭圆相交于不同的两点P、Q，点N在线段PQ上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设==λ，试求λ的取值范围．2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（共12题，每题5分，每题只有一个正确答案）1．（2016春•马山县期末）双曲线﹣=1的离心率是（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】双曲线的离心率为==，化简得到结果．【解答】解：由双曲线的离心率定义可得，双曲线的离心率为===，故选B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于容易题．2．（2015•福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11 B．9 C．5 D．3【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．3．（2016秋•重庆校级月考）抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的方程，求得焦点坐标，根据点到直线的距离公式，即可求得答案．【解答】解：抛物线y 2=2x 的焦点F （，0），由点到直线的距离公式可知： F 到直线x ﹣y=0的距离d==，故答案选：C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．4．（2016秋•重庆校级月考）一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（ ）A ．16：9B ．9：16C ．27：8D ．8：27【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与底面半径之比．【解答】解：V 圆锥=，V 球=，V 圆锥=V 球，∵r=R∴h=R ∴h ：R=16：9．故选A ．【点评】本题是基础题，考查圆锥的体积、球的体积的计算公式，考查计算能力．5．（2016秋•重庆校级月考）一个正四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）图如图所示，则该四棱锥侧面积是（ ）A ．180B ．120C ．60D ．48【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】作图题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意可知，该几何体是正四棱锥，底面是正方形，所以该四棱锥侧面积是四个相等的三角形．由正视图可知该几何体的高为4，斜面高为5，正方形边长为6，则可以求侧面积．【解答】解：由题意可知，该几何体是正四棱锥，底面是正方形，所以该四棱锥侧面积是四个相等的三角形，由正视图可知该几何体的高为4，斜面高为5，正方形边长为6，那么：侧面积．该几何体侧面积为：4×15=60故选：C．【点评】本题考查了对三视图的认识能力和投影关系．属于基础题．6．（2016秋•重庆校级月考）双曲线5x2﹣ky2=5的一个焦点坐标是（2，0），那么k的值为（）A．3 B．5 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的方程求出a，b，c，通过双曲线的焦点坐标，求出实数k的值．【解答】解：因为双曲线方程5x2﹣ky2=5，即x2﹣=1，所以a=1，b2=，所以c2=1+，因为双曲线的一个焦点坐标（2，0），所以1+=4，所以k=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的基本性质，焦点坐标的应用，考查计算能力．7．（2007•福建）以双曲线﹣=1的右焦点为圆心，与该双曲线渐近线相切的圆的方程是（）A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=0【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】求出双曲线的右焦点得到圆心，在求出圆心到其渐近线的距离得到圆的半径，从而得到圆的方程．【解答】解：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即4x﹣3y=0，，圆方程为（x﹣5）2+y2=16，即x2+y2﹣10x+9=0，故选A．【点评】本题考查双曲线的焦点坐标和其渐近线方程以及圆的基础知识，在解题过程要注意相关知识的灵活运用．8．（2016秋•重庆校级月考）将正三棱柱截去三个角（如图甲所示，A，B，C分别是三边的中点）得到几何图形乙．则该几何体的正视图为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】由正视图的定义及其性质即可得出．【解答】解：由正视图的定义及其性质可知：其外形为梯形，其中AE，AD为虚线，BF，FC的射影线为实线．因此：该几何体的正视图为A．故选：A．【点评】本题考查了三视图的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•重庆校级月考）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的直线交抛物线A、B两点，且|AB|=4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是（）A．（0，4）B．（0，4 D．（0，2）【考点】直线与抛物线的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】证明抛物线的焦点弦中通径长最短，则要使满足|AB|=4的直线可以作2条，需通径2p＜4，可得p的取值范围．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的通径长为2p．当过抛物线焦点的直线与抛物线不垂直时，设直线方程为y=k（x﹣），联立，得4k2x2﹣（4k2p+8p）x+k2p2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．根据据抛物线性质，得|AB|=|AF|+|BF|=p+（x1+x2）=．∴抛物线的焦点弦中通径长最短．则要使满足|AB|=4的直线可以作2条，则通径2p＜4，即p＜2．∴p的取值范围是（0，2）．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的简单性质，明确抛物线的焦点弦中通径长最短是关键，是中档题．10．（2016秋•重庆校级月考）已知圆O：（x﹣1）2+y2=9，圆O上的直线l：xcosθ+ysinθ=2+cosθ（0＜θ＜）距离为1的点有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】求出圆心到直线的距离，结合圆的半径，即可得出结论．【解答】解：由题意圆心到直线的距离d==2，∵圆的半径为3，∴圆O上的直线l：xcosθ+ysinθ=2+cosθ（0＜θ＜）距离为1的点有3个，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，比较基础．11．（2016秋•重庆校级月考）过抛物线y2=x的焦点F作直线l交抛物线准线于M点，P为直线l与抛物线的一个交点，且满足=3，则|PF|等于（）A．B．C．D．【考点】直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF|=a，则|FM|=2a，P到准线的距离为a，利用三角形的相似，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设|PF|=a，则P到准线的距离为a，∵=3，∴|PM|=2a，由题意可得，∴a=，故选A．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，正确建立方程是关键．12．（2016秋•重庆校级月考）已知双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一条渐近线与椭圆+y2=1交于P．Q两点．F为椭圆右焦点，且PF⊥QF，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，利用弦长公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意PQ=2=4，设直线PQ的方程为y=x，代入+y2=1，可得x=±，∴|PQ|=•2=4，∴5c2=4a2+20b2，∴e==，故选：A．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查双曲线的离心率，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二.填空题（共4题，每题5分）13．（2016秋•重庆校级月考）抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为．【考点】直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得x+=1，即可解得x．【解答】解：抛物线y2=x的焦点F为（，0），准线l为x=﹣，∵抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，∴由抛物线的定义可得，|MF|=x+=1，解得x=，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义的运用，考查运算能力，属于基础题．14．（2012秋•邗江区校级期末）设圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是x+y﹣4=0【考点】直线与圆相交的性质；中点坐标公式；直线的一般式方程．【分析】先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O坐标和半径，根据垂径定理可知OP与AB垂直，求出OP的斜率，即可得到哦AB的斜率，写出AB的方程即可．【解答】解：由x2+y2﹣4x﹣5=0得：（x﹣2）2+y2=9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为=1，根据垂径定理可知OP⊥AB所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣3）即x+y ﹣4=0故答案为x+y﹣4=0【点评】考查学生灵活运用直线与圆相交的性质，会根据两直线垂直得到斜率的乘积为﹣1，会写出直线的一般式方程．15．（2016秋•重庆校级月考）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与曲线4x2﹣=1（y＞0）交于点P，F为抛物线的焦点，直线PF的倾斜角为135°．则p=2．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：∠PFD=∠DPF=45°，△PDF为等腰直角三角形，PD=DF=p，利用抛物线的性质，即可求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得p的值．【解答】解：由题意可知：过点P做PD⊥DF，的倾斜角为135°，∴∠PFD=∠DPF=45°，∴△PDF为等腰直角三角形，∴PD=DF=p，由抛物线的性质可知，P的横坐标为：x=﹣，∴P点坐标为（﹣，p），代入双曲线4x2﹣=1，整理得：p2=4，由p＞0，∴P=2，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程及抛物线性质的简单应用，考查数形结合思想，属于基础题．16．（2016秋•重庆校级月考）圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=2﹣3．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案为：2﹣3．【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、三角形的中位线定理、圆的切线的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三.解答题（17题满分70分，18-22题满分各12分）17．（10分）（2016秋•重庆校级月考）某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的体积．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4．【解答】解：由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为6，高为7，球的直径为6，圆锥的底面直径为6，高为4．可得该几何体的体积V=π×32×7﹣﹣=33π．【点评】本题考查了圆柱、圆锥、球的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知A（2，0），B（3，）．（1）求中心在原点，A为长轴右顶点，离心率为的椭圆的标准方程；（2）求中心在原点，A为右焦点，且经过B点的双曲线的标准方程．【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用A为长轴右顶点，离心率为，确定椭圆的几何量，即可得到标准方程．（2）利用双曲线的定义，求出a，可得b，即可得到标准方程．【解答】解：（1）由题意，a=2，c=，b=1，∴椭圆的标准方程为=1；（2）由题意﹣=7﹣5=2a，∴a=1，∵c=2，∴b==，∴双曲线的标准方程是=1．【点评】本题考查椭圆、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定椭圆、双曲线的几何量是关键．19．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知方程mx2+（m﹣4）y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．（1）求m的取值范围；（2）若该双曲线与椭圆+=1有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据双曲线的定义得到关于m的不等式组，解出即可；（2）根据焦点相同，得到关于m的方程，求出m的值，从而求出双曲线方程，求出渐近线方程即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：0＜m＜4；（2）由题意得：8﹣2=+，解得：m=2或m=﹣4（舍），故双曲线方程是：x2﹣y2=3，故渐近线方程是：y=±x．【点评】本题考查了双曲线的定义，考查双曲线和椭圆的焦点，以及渐近线方程问题，是一道中档题．20．（12分）（2016秋•重庆校级月考）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A．B，将直线AB向左平移p个单位得到直线l，N为l上的动点．（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；（2）在（1）的条件下，求•的最小值．【考点】直线与抛物线的位置关系．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据抛物线的定义得到|AB|=x1+x2+p=4p，再由已知条件，得到抛物线的方程；（2）设直线l的方程及N点坐标和A（x1，y1），B（x2，y2），利用向量坐标运算，求得•的以N点坐标表示的函数式，利用二次函数求最值的方法，可求得所求的最小值．【解答】解：（1）由条件知lAB：y=x﹣，则，消去y得：x2﹣3px+p2=0，则x1+x2=3p，由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x．（2）直线l的方程为：y=x+，于是设N（x0，x0+），A（x1，y1），B（x2，y2）则=（x1﹣x0，y1﹣x0﹣），=（x2，y2﹣x0﹣）即•=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣（x0+）（y1+y2）+（x0+）2，由第（1）问的解答结合直线方程，不难得出x1+x2=3p，x1x2=p2，且y1+y2=x1+x2﹣p=2p，y1y2=（x1﹣）（x2﹣）=﹣p2，则•=2﹣4px0﹣p2=2（x0﹣p）2﹣p2，当x0=时，•的最小值为﹣p2．【点评】此题考查抛物线的定义，及向量坐标运算．21．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知椭圆+=1，F1，F2为其左．右焦点，直线l与椭圆相交于A、B两点，（1）线段AB的中点为（1，），求直线l的方程；（2）直线l过点F1，三角形ABF2内切圆面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则+=1，+=1，相减再利用斜率计算公式、中点坐标公式即可得出．（2）F1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为：ty=x+，与椭圆方程联立化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，可得|y1﹣y2|=．可得=•|y1﹣y2|=×，利用基本不等式的性质可得：△F1AB的面积取得最大值．设△F1AB的内切圆的半径为r，可得==4r，进而得出．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）．则+=1，+=1，相减可得：+=0，∴=0，即1+k l=0，解得k l=﹣1．∴直线l的方程为：y﹣=﹣（x﹣1），化为：2x+2y﹣3=0．（2）F1，设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为：ty=x+，联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴∴y1+y2=，y1•y2=．∴|y1﹣y2|==．∴=•|y1﹣y2|=×=4×≤=2，当且仅当t=0时取等号．∴△F1AB的面积取得最大值．设△F1AB的内切圆的半径为r，则==4r≤2．∴r≤，∴三角形ABF2内切圆面积≤，取得最大，∴直线l的方程为x+=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形的内切圆的性质与面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）（2016秋•重庆校级月考）已知F1，F2，A分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点及上顶点△AF1F2的面积为4且椭圆的离心率等于，过点M（0，4）的直线l与椭圆相交于不同的两点P、Q，点N在线段PQ上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设==λ，试求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知可得：=4，=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+4，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+32kx+32=0．由△＞0，可得k2，利用根与系数的关系可得：=++2=，令=t＞1，则t++2=，解得t的范围．设N （x0，y0），由==λ，可得=﹣λ，=，可得λ===，即可得出．【解答】解：（1）由已知可得：=4，=，又a2=b2+c2，解得a=4，b=2，c=2．∴椭圆的标准方程为：+=1．（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+4，P（x1，y1），Q（x2，y2）．由，得（1+4k2）x2+32kx+32=0．由题意△=（32k）2﹣4×32×（1+4k2）＞0，∴k2．∴x1+x2=，x1x2=．∴==++2=，令=t＞1，则t++2=∈（4，8），∴2＜t+＜6，解得：．设N（x0，y0），∵==λ，∴=﹣λ，=，∴﹣x1=﹣λ（x0﹣x1），x2=λ（x2﹣x0），∴λ====1+∈．∴λ的取值范围是．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
重庆市巴蜀中学高二数学1月月考试卷 理
重庆市巴蜀中学2014-2015学年高二1月月考数学（理）试卷4.焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．21B ．18125- C ．－1925D.19255. 已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 36. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =（ ）A .72 B .52C .3D .2 7. 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )A.2364938. 已知椭圆22+14x y =的左、右焦点分别为12F F 、，点M 在该椭圆上，且120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，则点M 到y 轴的距离为 ( ) A.233B.263C.33D. 39. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则直线BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 2530210. 已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A.2B.3二、填空题(每小题4分，共20分)11. 平面内一动点P 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是 .12. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ． 13. 设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 ．14. 已知双曲线C 的离心率为2，左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠= ． 15. 已知集合{}1|0,|||1x A x B x x b a x -⎧⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，若“1a =”是“A B ≠∅I ”的充分条件，则实数b 的取值范围是 .三、解答题(每题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面====∠=∠DE CD AB BED CDE BCDE ,2,90,0（1）证明：⊥DE 平面ACD ;（2）求直线AB 与平面ADE 所成角的余弦值；17. 已知抛物线22(0)y px p =->与直线(1)y k x =+相交于,A B 两点，且焦点到准线的距离为12。