2.2.4北师大版九年级数学下册课件第二章第二节二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=ax2+bx+c图象和性质
函数表达式
开口方 向
a>0, 开口 向上; a<0, 开口 向下.
对称轴
y轴(直线x 0)
y轴(直线x 0)
顶点坐标
y ax2 y ax2 c
y ax h
2 2
( 0 ,0 ) ( 0, c ) ( h ,0 ) (h , k )
直 线x h
⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆 的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
4000 2 0.0225 x 40x 9 桥面 -5 0 5 4000 2 2 2 0.0225 x 40x 20 20 9 400 2 0.0225 x 20 9
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
x/m
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
x 20 1. 0.0225
2
由此可知桥面最低点到 桥面的距离是 1m.
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴 交流. 想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
随堂练习
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1 ). y = 5 ( x -1) 2 ; 2. y 2x2 12x 3 3. y 5x2 8x 319;
2
顶点坐标
对称轴
b 4ac b 2a , 4a b 直 线x 2a
由a,b和c的符号确定
b 4ac b 2 2a , 4a
b 直 线x 2a
由a,b和c的符号确定
位置
开口方向
向上
向下
小结：函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
y 0.0225 x2 0.9x 10
x 20 1. 0.0225
2
且左右两条钢缆关于 y轴对称 ,
y 0.0225 x2 0.9x 10 y/m 10
右边的钢缆的表达式为 :
2 y 0.0225 x 20 1.
桥面 -5 0 5
x/m
b 4ac b 2 2a , 4a
b 直 线x 2a
由a,b和c的符号确定
位置
开口方向
向上
向下
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0) 在对称轴的左侧,y随 着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大. y=ax2+bx+c(a<0)
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系, 左面的一条抛物线可以用y=0.0225x² +0.9x+10表示,而且左右两 条抛物线关手y轴对称．
y 0.0225 x2 0.9x 10
y/m 10 桥面 -5 0 5 x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？ ⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
直 线x h
y ax h k
y ax2 bx c
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标。并画 出y 3x 2 6 x 5的图像
y 3x 6x 5
2
3 x 2x 5
2
3 x 2x 1 1 5 配方:加上再减去一次项系
做一做
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
顶点坐标公式 因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
b 它的对称轴是直线 :x . 2a
b 4ac b 2 它的顶点是 2a , 4a .
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 2 ( 1 ) y 2 x 12x 13 ?
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0) 在对称轴的左侧,y随 着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大. y=ax2+bx+c(a<0)
增减性
在对称轴的左侧,y随 着x的增大而增大. 在 对称轴的右侧, y随着 x的增大而减小.
最值
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最小值为 4a
2 b 4 ac b 函数y=ax² +bx+c的顶点式 y a x . 2a 4a
2
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法推导出它 的对称轴和顶点坐标. 例.求次函数 y=ax² +bx+c的对 称轴和顶点坐 标．
y ax2 bx c
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
开口方向
增减性
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
b 4ac b 2 当x 时 , 最 小 值 为 2a 4a
2 b a x x c a
2 b b 2 b 2 a x x c a 2a 2a
b 4ac b 2 a x . 2 a 4 a
2
老师提示: 这个结果通常称为求顶点坐标公式.
y 0.0225 x2 0.9x 10.
即y 0.0225 x2 0.9x 10.
因此, 其顶点坐标为 : 20,1.
两条钢缆最低点之间的 距离为 20 20 40m.
⑶你还有其它方法吗？与同伴交流. 直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到 桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．
b 当x 时, 2a 4ac b 2 最大值为 4a
做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
（1）y=3x2-6x+7（2）y=2x2-12x+8 解：（1）y=3x2-6x+7 =3(x-1)2+4
∴对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,4) （2）y=2x2-12x+8=2(x-3)2-10 ∴对称轴是直线x=3,顶点坐标是(3,-10)
2
提取二次项系数
数绝对值一半的平方
3x 1 2.
2
友情提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式 y=a(x-h)² +k称为二次函数的顶点式
想一想P49
2
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).
b 4ac b 2 当x 时 , 最 大 值 为 2a 4a
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
抛物线 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
2
顶点坐标
对称轴
b 4ac b 2a , 4a b 直 线x 2a
由a,b和c的符号确定
1 4. y 32x 12 x; 5. y 2 . x x 2 2
2.将二次函数y=x2-2x+1的图象向上平移2个单位， 再向左平移3个单位，得到抛物线y=x2+bx+c,求b、c 的值，并求出这条抛物线的开口方向、对称轴和顶 点坐标，必要时画出草图进行验证。
(2)y 32x 12 x
(3)y 5x2 80x 319
请你总结函数 2 函数y=ax +bx+c(a≠0) 的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象 之间的关系是什么？
１.顶点坐标与对称轴
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直 线x 2a
3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x …
2
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y 3x 1 2
…
29
14
5
2
5
14
29
…
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
做一做P46
3
学了就用,别客气
y 3x 6 x 5
2
y 2x 2 12x 13
北师大版数学九年级下册课件二次函数的图像与性质第二课时
2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直
角
坐
标
系
,
左
面
的
一
条
抛 y 物 9 线 x2 9可x 10以 400 10
用
表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
老师提示: 结合二次函数的图像 和性质，灵活运用顶 点坐标公式.
2.2 二次函数的图像和性质
第二课时
➢ 用心做一做 下面接着讨论y=ax²，y=a（x-h）²的二次函数的图像和 性质.
画出二次函数y=2（x-1）²的图像.
①完成下表:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=2（x-1）2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
观察上表你能发现2（x-1）²与2x²的值有什么关系？
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
➢ 用心做一做
➢1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x+7；
（2）y=2x2-12x+8.
2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标， 必要时画草图进行验证： （1）y=2（x-3）²-5； （2）y=-0.5（x+1）² ;
（3）y=-3/4x²;
（4）y=2（x-2）²+5 ;
（5）y=-0.5（x+4）² +2;（6）y=--3/4（x-1）² .
➢ 我们已经认识了形如y=a（x-h）²+k的二次函数的图像 和性质，你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图像和性质吗？
北师大版九年级数学下册二次函数的应用(课件)
随堂练习
5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元 /kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%, 运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝 售价至少定为 6元 才不会亏本; (2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销 售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价 定为 9元 时,每天获得的利润w最大.
∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值． 当销售单价为 12 元时,可以获得最大利润,最大利润 是 20000 元.
探究新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时， 每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金 每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑 其他因素，旅社将每间客房的日租 金提高到多少元时，客房日租金的 总收入最高？
销售额可表示为: x(70000-5000x)=70000x-5000x2 元;
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
所获利润可表示为: ＝-5000x2+120000x-700000
元;
探究新知
y＝-5000x2+120000x-700000 =-5000(x- 12)2+20000.
随堂练习
4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖 出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售 量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为 _(_3_0_-x_)_元，每日的销售量为__(2_0_+__x)_件，则每日的利润y(元)关于 x(元)的函数关系式是y=_-_x_2+__1_0_x+__6_0_0 (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价_5__元时，每日获得 的最大利润为_6_2_5_元．
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
北师大版九年级数学下册第二章二次函数(同步+复习)精品串讲课件
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20 x (o<x<10)
2
(2) y 2 3 20 3 42m
2
【练习】矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是 BC上一点（P不与B重合），M是DB上一 点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积 为y，求 y 与x之间的函数关系。
x＞ 0 y随x的增
x＜ 0 y随x的增
大而增大
y=x2
向上
当x＝0， y最小＝0
大而减小
左减
右增
y轴
（0，0）
y随x的增 y=-x2
向下 当x＝0， y最大＝0 大而增大
y随x的增
大而减小
左增
右减
联系
二者关于x轴对称.
【例2】变式训练，巩固提高
1．在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25) 对称的点的坐标是（ 5，25 ）． 2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y= -x2上， 且x1 ＞ x2＞0，则y1_ _y2 . 3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的 函数，该函数的图象是下列各图形中（ C ）
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
2
(2) 当k - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时 y是x的二次函数
【练习2】 关于x的函数 y (m 1) x 次函数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m
是二
解得，m 2
m2 m 2 m 1 0
当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
思索归纳 定义中应该注意的几个问题:
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时(教案)-北师大版数九年级下册
第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.1.经历二次函数对称轴和顶点坐标公式的探究过程,提高学生知识的转化能力.2.通过解决实际问题,训练学生把数学知识运用于实践的能力.通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.【重点】1.掌握运用配方法把一般式转化成顶点式的方法.2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.【难点】用配方法推导y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习配方法和二次函数顶点式的有关知识.导入一:某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式.学生分析数量关系:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.问题这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?[设计意图]通过两种函数表达式的对比,让学生产生认知冲突,初步感知一般式与顶点式之间的关系,为下面两者之间的转化打下了良好的基础.导入二:神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.如下图所示,某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.问题公式h=-5t2+150t+10和我们前面学过的二次函数的关系式一样吗?这样的函数的图象和性质又是怎样的呢?[设计意图]通过一些图片的欣赏,让学生感受国家的强大,身为一名中学生应树立“少年强,中国强”的意识,立志为建设强大的祖国努力学习.承接创设的问题情境,借助“火箭升空”问题引出本节课的内容,使学生的学习更有针对性,做到有的放矢.问题你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?【学生活动】学生独立思考后,统一答案:研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.【师生活动】要求学生独立解决,师巡视,及时发现问题.代表展示,师生共同订正:解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.[设计意图]通过学生复习顶点式y=a(x-h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把y=2x2-4x+5转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础.求二次函数y=2x-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.【学生活动】要求学生先独立解决,然后同伴交流,相互订正.代表展示:解:y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1.因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).【做一做】确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:(1)y=3x2-6x+7;(2)y=2x2-12x+8.【学生活动】学生独立解答,代表展示,师生共同订正.解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).[设计意图]让学生在解题的过程中去总结、发现解决问题的方法和步骤,熟练掌握利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法.2求二次函数y=ax+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.【师生活动】学生小组讨论后,代表说明解题思路和方法,师生共同解答.解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得y=ax2+bx+c=a+c=a+c=a+.因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是.【教师点评】1.形如y=a(x-h)2+k的二次函数能够直接说出顶点坐标,所以我们把它叫做顶点式.2.至此,整个初中阶段的所有的二次函数的形式我们就都讨论过了.[设计意图]引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式,使学生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系.感受数学的变换和迷人的魅力,从而更加喜欢数学.2【做一做】如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?你有哪些计算方法?与同伴交流.解析:解决实际应用问题的关键是什么.学生思考后回答:解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题.【教师活动】提示学生本题可以运用不同的方法进行解答.【学生活动】学生讨论后,得出两种方法:(1)运用配方法转化成顶点式;(2)总结运用公式.解法1:y=x2+x+10=(x2+40x)+10=(x2+40x+400-400)+10=(x+20)2+1.∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).解法2:这里a=,b=,c=10,∴-=-=-20,===1,∴对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).[设计意图]让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决实际问题的过程.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:(1)配方法:y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k.(2)公式法:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.1.(2014·新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x=-1C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有公共点解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选C.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为()解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=->0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c=.解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是m.解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4m.故填4.5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y=-2x2+6x;(2)y=x2+2x-3.解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2+=-2+,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为.(2)y=x2+2x-3=(x2+4x)-3=(x2+4x+4)-2-3=(x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).第4课时求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:1.配方法:一般式:y=ax2+bx+c顶点式:y=a(x-h)2+k.2.公式法:二次函数y=ax2+bx+c:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.一、教材作业【必做题】1.教材第41页随堂练习.2.教材第41页习题2.5第1,2,3题.【选做题】教材第41页习题2.5第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)2.(2015·黔西南中考改编)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,下列说法中错误的是()A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)B.顶点坐标是(1,-3)C.函数图象过点(3,0),(-1,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小3.(2015·常州中考)二次函数y=-x2+2x-3图象的顶点坐标是.4.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为;(2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线;xy(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.【能力提升】5.(2015·荆州中考)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+66.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.7.一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,铅球运行路线如图所示.(1)求铅球推出的水平距离;(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.【拓展探究】9.(2014·绍兴中考)若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.(2)探究下列问题:①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?【答案与解析】1.B(解析:∵x=-3和-1时的函数值都是-3,相等,∴二次函数图象的对称轴为直线x=-2,∴顶点坐标为(-2,-2).)2.B (解析:A ,∵y =x 2-2x -3,∴当x =0时,y =-3,∴函数图象与y 轴的交点坐标是(0,-3),故本选项说法正确;B ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴顶点坐标是(1,-4),故本选项说法错误;C ,∵y =x 2-2x -3,∴当y =0时,x 2-2x -3=0,解得x =3或x =-1,∴函数图象过点(3,0),(-1,0),故本选项说法正确;D ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴对称轴为直线x =1,又∵a =1>0,图象开口向上,∴当x <1时,y 随x 的增大而减小,∴当x <0时,y 随x 的增大而减小,故本选项说法正确.故选B .)3.(1,-2)(解析:∵y =-x 2+2x -3=-(x 2-2x +1)-2=-(x -1)2-2,∴顶点坐标是(1,-2).故填(1,-2).)4.解:(1)x =1(1,3)(2)填表及画抛物线如下:x …-10123…y …-1232-1…(3)因为在对称轴直线x =1右侧,y 随x 的增大而减小,又x 1>x 2>1,所以y 1<y 2.5.B (解析:将y =x 2-2x +3化为顶点式,得y =(x -1)2+2.将抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y =(x -4)2+4.故选B .)6.四(解析:根据图象得:a <0,b >0,c >0,故一次函数y =bx +c 的图象不经过第四象限.)7.解:(1)当y =0时,-x 2+x +=0,解得x 1=10,x 2=-2(不合题意,舍去),所以铅球推出的水平距离是10m .(2)y =-x 2+x +=-(x 2-8x +16-16)+=-(x 2-8x +16)++=-(x -4)2+3.当x =4时,y 取最大值3,所以铅球行进高度不能达到4m ,最高能达到3m .8.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).(2)答案不唯一,如:先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),落在直线y=-x上.9.解:(1)由题意可得出y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)①由题意可得出:y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到y=(x+1)2-4=x2+2x-3的图象,∴图象对应的函数的特征数为[2,-3].②∵一个函数的特征数为[2,3],∴函数解析式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数解析式为y=x2+3x+4=+,∴将原函数的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度就可以得到.本节课的内容较多,整体上难度较大,所以需要学生比以往的课更要集中精力,所以上课伊始就设计一些情境,吸引了学生的注意力,充分调动学生学习的热情,并对学生进行爱国主义教育,以达到触动学生心灵的目的,从而更好地进入学习状态.本节课的重点是用配方法求二次函数图象的对称轴及顶点坐标,对学生来说会感觉有难度,所以可以要求学生在上课前对配方法进行复习,以简化配方法的难度.通过对实际应用题的解答让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活.在学生归纳二次函数性质的时候,由于引导不力,学生归纳得比较片面或者没有找出关键点.教师要注意引导学生从多个角度进行考虑,而且要组织学生展开充分的讨论,对大家的观点集中考虑,这样有利于训练学生的归纳能力.随堂练习(教材第41页)解:(1)直线x=3;(3,-15).(2)直线x=8;(8,1).(3)直线x=1.25;(1.25,-1.125).(4)直线x=0.75;(0.75,9.375).习题2.5(教材第41页)1.解:(1)开口向上,对称轴:直线x=2,顶点坐标为(2,5).(2)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-3).(3)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-1).(4)开口向下,对称轴:直线x=-6,顶点坐标为(-6,27).2.解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=(x-1)2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度就得到二次函数y=(x+2)2+2的图象.y=(x+2)2+2=x2+4x+6,所以b=4,c=6.这条抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2).=1135,即经3.解:∵h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t-2)=-5[(t-15)2-227]=-5(t-15)2+1135.∴当t=15时,h最大过15s时,火箭到达它的最高点,最高点的高度是1135m.4.解:(1)当0≤x<13时,学生的接受能力逐渐增强;当13≤x≤30时,学生的接受能力逐渐降低.(2)经过13min,学生的接受能力最强.5.提示:y=(x-20)2+1,即y=x2-x+10.1.由于本节课的重点是利用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化成顶点式y=a(x-h)2+k,所以课前对一元二次方程中配方法知识的复习就显得尤为重要.2.本节课整体难度较大,只靠学生自己的能力达不到最好的效果,所以要引导学生积极、主动地与其他同学进行合作交流,并加强对配方法的巩固练习,为公式法的得出奠定良好的基础.3.对于公式法的推导,由于难度较大,所以可以采用师生合作的方式共同完成.已知:二次函数y=-x2+2x+3.(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标.(2)画出函数图象.(3)根据图象:①写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;②写出当-2<x<2时,函数值y的取值范围.〔解析〕(1)配方后即可确定顶点坐标及对称轴.(2)确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可作出函数图象.(3)根据图象利用数形结合的方法确定答案即可.解:(1)y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1-4)=-(x-1)2+4,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,3),故图象如下图所示:(3)①当y为正数时,-1<x<3.②当-2<x<2时,-5<y<4.[解题策略]本题考查了二次函数的性质,解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象.。
北师大版初中九年级下册数学课件 《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT课件7
解：（1）当h=15时， t2－4t＋3=0 t1=1，t2=3
20t–5t2=15
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
15m
1s
3s
20m 2s
（2）当h=20时， t2－4t＋4=0 t1=t2=2
20t–5t2=20
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，
20t–5t2=20.5
第二章二次函数
二次函数与一元二次方程
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
x y x ______是自变量，____是____的函数。
当y=0时，
ax²+bx+c=0
ax²+bx+c=0
这是什么方程？
一元二次方程与二次函数有什么 关系？
九年级上册中我们学习了 “一元二次方程”
实际问题
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛 物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间 具有关系：h=20t–5t2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到15m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到20m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
探究
下列二次函数的图象与x轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1）y=2x2＋x－3
（2）y=4x2－4x+1
y
（3）y=x2–x+1
o
x
令y=0，解一元二次方程的根
二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
第二章 二次函数
2.1 二次函数
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数的概念和形式，学会用函数表达式表示二次
函数；
2、学会运用二次函数的概念去解决实际问题，注意二次函数
的取值范围；
导入新课
温故知新
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y
S=6a2
S x 2 30 x
归纳总结
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可
以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则
称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项；
b为一次项系数，bx叫做一次项；
c为常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，
从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
练一练
1.把下列函数化成一元二次函数的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3);
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2;
示为y＝πx2；存入银行2万元，先存一个一年期，一年后将
本息转存为又一个一年期，设年利率均为x，那么两年后共
得本息y（万元）可以表示为y＝2（1+x）2；…还可以表示
许多不同情境中变量之间的类似这种特殊函数关系，请你
再列举一例：_____．
二次函数的图象与性质 北师大版九年级数学下册
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
m2 2
的开口向上，则m的值为（
D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
m2 2
【详解】解：∵抛物线 y (m 1) x
的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
）
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，
故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此
m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．
北师九下数学2.2.1二次函数的图象与性质1二次函数y=x2图象和性质九年级下册第二章二次函数第二节课件北师版
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2. （2）∵当x=-1时,y=-2· (-1)2 ≠ -4, ∴点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
（3）当 y=-6 时，-6=-2x2 ,得 x2=3, x=± 3, ∴纵坐标为-6 的点有两个， 它们分别是( 3,-6)与(3,-6)
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练习与提高
2、已知点A(1，a)在抛物线y = x2 上。 （1）求A的坐标； （2）在x 轴上是否存在点P，使得△OAP是等 腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在， y 说明理由。
A o
x
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练习与提高
3. y=x2图象可知，无论x取何值，y ≥ 0． y=－x2图象可知，无论x取何值，y ≤ 0．
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课 堂 小 结
二次函数y=±x2的性质 １.顶点坐标 2.对称轴 3.位置 4.开口方向 5.增减性 6.最值 y=x2
y x2
抛物线
（ 0， 0） 顶点坐标 对称轴 y轴 y轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外)
开口方向 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
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2 -4 -3 -2 -1
-1 -2
-4 -6 -8 -10
y
2
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. ? （3）当x<0时,随着x的值增大 -4,y 的值如何变化？当x>0呢 ？ （4）当x取什么值时,y的值最大?最大值是什么？
-6
1 2 3 4 x -1 （2）图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么 -2 -4 -3 -2 -1
2.2二次函数的图像和性质
<列表>
x y=x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
做一做
描点,连线
y
10 8 6 4
2 y=x
?
-4 -3 -2 -1
2 0 -2 1 2 3 4 x
议一议
观察图象,回答问题串
y
10
2 y=x
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流 . 8 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 6 几对对称点,并与同伴交流. 4 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 1 的值如何变化？当x>0呢？
开口方向
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函 数y=x2和y=-x2的图象
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的
增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增
大而减小,当x=0时,函数y的值最大
想一想
二次函数y=ax²+bx+c的图象
驶向胜利 的彼岸
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系? 你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?