一元二次方程复习总结+培优
一元二次方程复习+培优
一．概念
定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的
形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）
未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
例: 若（m+1）(2)1mm
x+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是________．
练习：
1、在4(1)(2)5xx,22
1xy,25100x,2280xx，
2340xx,21
3x
x,22
a
，22
3213xxx
，2
2)12)(3(xxx
中，是
一元二次方程有_________个 。
2、要使方程（a-3）x2
+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则__________.
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠-1 D．a≠3且b≠-1且c≠0
3、关于的x的一元二次方程方程(a-1)x2
+x+a2
-1=0的一个根是0, 则a的值是___________.
4、一元二次方程)1(2)2)(1(2
xxx
的一般形式是 ；二次项系
数是 ；一次项系数是；常数项是 。
二．一元二次方程的解法
一元二次方程的解法有：_____________________________________________________.
例
：用适当的方法解下列方程
（1）0222
xx
（2）)5(2)5(32
xx
（3 ）10)1)(2(xx
（4）22
)6()2(xx
（5）2
(23)3(23)40xx
（6）0)12(22
aaxax
（7）0)2(23222
abxbax
练习：
1..方程2
9180xx
的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长
为 。
2.
方程2
230xx
的解是_______________________
3（2015绵阳）关于m
的一元二次方程22
720nmnm
的一个根为2，则
22
nn
= ．
4..一元二次方程02
cbxax
的一个根是1，且a,b
满足等式122aab
，求
此一元二次方程。
三．根的判别式
1．一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: acb42
⑴ 当0
时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当0
时,方程有两个相等的实数根；
⑶ 当0
时,方程没有实数根。
以上三点反之亦成立。
2．一元二次方程有实数根0
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明acb42
恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方
式+正数”的形式。 例
：已知关于x的方程0)
21
(4)12(2
kxkx
。
（1）求证：无论k
取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当等腰三角形ABC的边长a
＝4，另两边的长b
、c
恰好是这个方程的两根时，
求△ABC的周长。
练习：
1.若关于y的一元二次方程ky2
-4y-3=3y+4有实根,则k的取值范围是( ) A.k>-7
4 B.k≥-7
4 且k≠0 C.k≥-7
4 D.k>7
4 且k≠0
2.若一元二次方程 2x（kx－4）－x2
＋6 ＝ 0 无实数根，则k的最小整数值是（ ）
A.－1 B.2 C.3 D.4
3.当k
时，22
2(1)5xkxk
是完全平方式.
4.下面对于二次三项式-x2
+4x-5的值的判断正确的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0
5.（2009,潍坊）关于x的方程068)6(2
xxa
有实数根，则整数a的最大值是( ）
A.6 B.7 C.8 D.9
6.（2011 ,佳木斯）若关于x的一元二次方程0122
xnx
无实数根，则一次函数
nxny)1(
的图像不经过（ ）象限。
A.一 B.二 C.三 D.四
7.（2012, 荆门）关于x的方程02)2(2
xaax
只有一解（相同的解算一解），则
a的值为（ ）
A.a =0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2
8.（2015广元）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个敖，作为函数2
(5)ymx
和
关于x的一元二次方程2
(1)10mxmx
中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三
象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是________．
9（2016江苏省扬州市）已知M=2
1
9a
，N=27
9aa
（a为任意实数），则M、N的大小关
系为（ ）
A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定
10．（2016河北省）a，b，c为常数，且222
()acac
，则关于x的方程2
0axbxc
根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0 四．一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
设
21xx、
是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则
ab
xx
21，
ac
xx•
21
2．设
21xx、
是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，
则：0,0)1(
21xx时，有
•
00
2121
ac
xxab
xx
0,0)2(
21xx时，有
•
00
2121
ac
xxab
xx
0,0)3(
21xx时，有0
21•
ac
xx
3.以两个数
21xx、
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：2
12120x(xx)xxx
例.1.设x
1，x
2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的
值：
(1) x
13
x
24
+x
14
x
23
；
21
12)2(
xx
xx
2.(2013·湖北荆门)设x
1，x
2是方程x2－x－2013＝0的两个实数根，则x
13＋2014x
2
－2013＝ ．
练习：
1. 已知x
1、x
2是方程2x2
+3x－4=0的两个根，那么：x
1+x
2= ；x
1·x
2= ；
2111
xx
；x2
1+x2
2= ；(x
1+1)(x
2+1)= ；｜x
1－x
2｜= 。
2. 关于x的方程2x2
+(m2
–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，
两根互为相反数.
3.方程0322
mxx
的一个根为另一个根的2倍，则m= .
九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案
九年级数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案
一、一元二次方程
1．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【答案】（1）k＞34；（2）15.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22mn，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞34；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为：222215mnmnmn.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【解析】
【分析】 （1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x的一元二次方程222130xkxk有两个实数根．
1求k的取值范围；
2设方程两实数根分别为1x，2x，且满足221223xx，求k的值．
【答案】（1）134k；（2）2k．
【解析】 【分析】
1根据方程有实数根得出22[2k1]41k38k50，解之可得．
2利用根与系数的关系可用k表示出12xx和12xx的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】
解：1关于x的一元二次方程222130xkxk有两个实数根，
0，即22[21]4134130kkk，
解得134k．
2由根与系数的关系可得1221xxk，2123xxk，
222222121212()2(21)23247xxxxxxkkkk，
221223xx，
224723kk，解得4k，或2k，
134k，
4k舍去，
2k．
【点睛】
本题考查了一元二次方程2axbxc0(a0,a，b，c为常数)根的判别式.当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根.以及根与系数的关系．
2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．
（1） 用含的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值． 【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程． ∴
由求根公式，得
． ∴或
（II），∴． 而，∴，． 由题意，有 ∴即（﹡） 解之，得 经检验是方程（﹡）的根，但，∴
【解析】
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；
【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题及答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2， ∴PQ=62cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是62cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=85，x2=245；
∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
中考数学一元二次方程组（大题培优易错难题）及答案解析
中考数学一元二次方程组(大题培优大题培优 易错易错 难题)及答案解析及答案解析
一、一元二次方程
1
．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家
庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008
年底全市汽车拥有量为14.4
万
辆．已知2006
年底全市汽车拥有量为10
万辆．
（1
）求2006
年底至2008
年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2
）为保护城市环境，要求我市到2010
年底汽车拥有量不超过15.464
万辆，据估计从
2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数
量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）
【答案】详见解析
【解析】
试题分析：（1
）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=
增长前的量×
（1+
增长率）解决
问题；
（2
）参照增长率问题的一般规律，表示出2010
年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不
等式来判断正确的解．
试题解析：（1
）设年平均增长率为x
，根据题意得：
10
（1+x
）2
=14.4
，
解得x=
﹣2.2
（不合题意舍去）x=0.2
，
答：年平均增长率为20%
；
（2
）设每年新增汽车数量最多不超过y
万辆，根据题意得：
2009
年底汽车数量为14.4×90%+y
，
2010
年底汽车数量为（14.4×90%+y
）×90%+y
，
∴（14.4×90%+y
）×90%+y≤15.464
，
∴y≤2
．
答：每年新增汽车数量最多不超过2
万辆．
考点：一元二次方程—
增长率的问题
2
．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1yx
，令y=0
，可
得x=1
，我们就说1
是函数1yx
的零点．
己知函数2
22(3)yxmxm
(m
m
为常数)
．
（1
）当m
=0
时，求该函数的零点；
（2
）证明：无论m
取何值，该函数总有两个零点；
（3
）设函数的两个零点分别为
1x
和
2x
，且
12111
4xx
，此时函数图象与x
【教师卷】初中数学九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(培优)
一、选择题
1．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．2670xx B．25260xx
C．22270xx D．2220xxD
解析：D
【分析】
根据判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
A、224641780bac，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、224541261290bac，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、224274207290bac，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、224241240bac，则方程没有实数根，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程20axbxc(0a)的根与24bac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
2．已知4是关于x的方程2120xmxm的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．7或10 C．10或11 D．11C
解析：C
【分析】
把x=4代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】
解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2-7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11； ②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选C．
中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．解下列方程：
（1）x2﹣3x=1．
（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22xx ;(2)12223,223yy
【解析】
试题分析：（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开方法解即可；
试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，
∵b2﹣4ac=13＞0
∴．
∴12313313,22xx．
（2）（y+2）2=12，
∴或，
∴12223,223yy
2．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=12.
【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，
则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣12．
3．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】 （1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa ，x1x2=6aa ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a 是是负整数，即可得66a是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根， ∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa ，x1x2=6aa ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a 是是负整数，即可得66a是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
【详解】
（1）∵原方程有两实数根，
∴，
∴a≥0且a≠6．
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．
∵（x1+1）（x2+1）是负整数，
∴﹣是负整数，即是正整数．
∵a是整数，
∴a﹣6的值为1、2、3或6，
∴a的值为7、8、9或12．
【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．
2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．
（1） 用含的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．
【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得 ． ∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
∴即（﹡）
解之，得
经检验是方程（﹡）的根，但，∴
【解析】
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；
（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．
中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1yx，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1yx的零点．
己知函数222(3)yxmxm(mm为常数)．
（1）当m=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为1x和2x，且121114xx，此时函数图象与x轴的交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线10yx上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【答案】（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．
（2）见解析,
（3）AM的解析式为112yx．
【解析】
【分析】
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式
【详解】
（1）当m=0时，该函数的零点为6和6．
（2）令y=0，得△=
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有，
由解得． ∴函数的解析式为．
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B关于直线10yx的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线10yx的交点就是满足条件的M点．
易求得直线10yx与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（106，）
设直线AB’的解析式为ykxb，则
【教师卷】初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习题(课后培优)(1)
一、选择题
1．用配方法解方程x2﹣6x﹣3＝0，此方程可变形为（ ）
A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6
C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12D
解析：D
【分析】
先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．
【详解】
由原方程移项得：x2﹣6x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x2﹣6x+9＝12，
配方得；（x﹣3）2＝12．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．
2．若关于x的方程kx²+4x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k-4且k≠0 B．k≥-4 C．k>-4且k≠0 D．k>-4B
解析：B
【分析】
分k=0和k≠0两种情况考虑，当k=0时可以找出方程有一个实数根；当k≠0时，根据方程有实数根结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围．结合上面两者情况即可得出结论．
【详解】
解：当k=0时，原方程为-4x+1=0，
解得：x=14，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，
∵方程kx2-4x-1=0有实数根，
∴△=（-4）2+4k≥0，
解得：k≥-4且k≠0．
综上可知：k的取值范围是k≥-4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a2），BC＝2．以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F．下列哪条线段的长度是方程2240xax的一个根（ ）
A．线段AE的长 B．线段BF的长
C．线段BD的长 D．线段DF的长B
中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．
①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？
②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
【答案】（1）28（2）①76%②75，84%
【解析】
试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，
整理得：x2﹣65x﹣750=0，
（x﹣75）（x+10）=0，
解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），
60%+1.6%（90﹣x）=84%，
答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
考点：一元二次方程的应用