中数学课件 第四章 第二节 《平面向量的基本定理及坐标表示》
4.若点 若点O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，且 若点 ， ， － ， 则点A′的坐标为 则点 ′ 向量 的坐标为 ，点B′的坐标为 ′ .
， ，
解析： 解析：∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)， ， ， － ， ∴ ＝(1,2)， ＝(－1,3)， ， － ， ＝2×(1,2)＝(2,4)， × ＝ ， ＝3×(－1,3)＝(－3,9). ×－ ＝－ ∴A′(2,4)，B′(－3,9)， ′ ， ′－ ， ＝(－3－2,9－4)＝(－5,5). － － － ＝－ 答案： 答案：(2,4) (－3,9) － (－5,5) －
(3)∵ ∵ ∴ ＝3c＋ ＋
＝3c， ， ，－4)＝ ＝(3,24)＋(－3，－ ＝(0,20). ＋ － ，－
∴M(0,20). 又∵ ∴ ＝－2b＋ ＝－ ＋ ＝－2b， ＝－ ， ，－4)＝ ＝(12,6)＋(－3，－ ＝(9,2)， ＋ － ，－ ，
∴N(9,2). ∴ ，－18). ＝(9，－ ，－
[自主体验 自主体验] 自主体验 已知向量a＝ ，－1)， ＝ 已知向量 ＝(1,1)，b＝(1，－ ，c＝( ， ＝ ，－ cosα， ，
sinα)(α∈R)，实数 ，n满足 ＋nb＝c，则(m－3)2 ∈ ，实数m， 满足 满足ma＋ ＝ ， － ＋n2的最大值为 A.2 C.4 B.3 D.16 ( )
3.设向量 ＝(1，－ ，b＝(－2,4)，若表示向量 、3b－2a， 设向量a＝ ，－ ，－3)， ＝ － 设向量 ，若表示向量4a、 － ， c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 为 的有向线段首尾相接能构成三角形 A.(1，－ ，－1) ，－ C.(－4,6) － B.(－1,1) － D.(4，－ ，－6) ，－ ( )
1.凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行 凡遇到与平行有关的问题时， 凡遇到与平行有关的问题时 的充要条件. 的充要条件 2.两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一 两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用， 两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用 般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值， 般地，如果已知两向量共线，求某些参数的值，则利用 “若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是 1y2 若 ＝ 的充要条件是x ， ＝ ， ∥ 的充要条件是 比较简捷. －x2y1＝0”比较简捷 比较简捷
[特别警示 (1)由于基底向量不共线，所以 不能作为 特别警示] 由于基底向量不共线， 特别警示 由于基底向量不共线 所以0不能作为 一个基底向量. 一个基底向量 (2)基底一旦确定，则定向量沿基底的分解是唯一的. 基底一旦确定，则定向量沿基底的分解是唯一的 基底一旦确定
如图所示， 如图所示，在△OAB中， 中
＝
AD与BC交于点 ， 与 交于点 交于点M， 设 ＝a， ＝b，以a、b为基底表示 ， ， 、 为基底表示 .
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 设 课堂笔记] 课堂笔记 则 ＝
＝ma＋nb(m，n∈R). ＋ ， ∈ ＝(m－1)a＋nb， － ＋ ， b－a＝－ ＋ － ＝－ ＝－a＋ b. 即m＋2n＝1， ＋ ＝ ，
向量u和 是同向还是反向？ 向量 和v是同向还是反向？ 是同向还是反向 解：例题可知x＝ 例题可知 ＝ ∴a＝(1,2)，b＝( ＝ ， ＝ ∴u＝(2,4)，v＝( ＝ ， ＝ ∴u＝ ＝ v，且 ， ＞0. ， 1)， ， 3)， ，
同向共线. ∴u与v同向共线 与 同向共线
高考对本节内容的常规考法是： 高考对本节内容的常规考法是：以选择题或填空题 的形式直接考查两向量共线的充要条件的应用， 的形式直接考查两向量共线的充要条件的应用，主要题 型为判断两向量是否共线，已知两向量共线求参数等 而 型为判断两向量是否共线，已知两向量共线求参数等.而 09年安徽高考则打破常规，没有直接给出向量的坐标， 年安徽高考则打破常规，没有直接给出向量的坐标， 年安徽高考则打破常规 而是考查学生根据部分问题的需要建立平面直角坐标系 化几何问题为代数问题的能力， 化几何问题为代数问题的能力，并将问题与三角函数的 最值问题相结合命题，是一个新的考查方向 最值问题相结合命题，是一个新的考查方向.
解析：化简条件以后，注意 － 的几何意义， 解析：化简条件以后，注意(m－3)2＋n2的几何意义，数 形结合可解. 形结合可解 ∵ma＋nb＝c，∴(m＋n，m－n)＝( ＋ ＝ ， ＋ ， － ＝ cosα， sinα). ，
解析： ＝ ，－ ，－12),3b－2a＝(－8,18)，设向量 ＝(x，y)， 解析：4a＝(4，－ － ＝－ ，设向量c＝ ， ， 依题意， ，－12 依题意，得4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以 －8＋x＝0，－ ＋ － ＋ ＝ ，所以4－ ＋ ＝ ，－ ＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－ ＋ ＝ ，解得 ＝ ， ＝－6. ＝－ 答案： 答案：D
[考题印证 考题印证] 考题印证 (2009·安徽高考 给定两个长度为 的平面向量 安徽高考)给定两个长度为 安徽高考 给定两个长度为1的平面向量 和 ，
它们的夹角为120°.如图所示，点C在以 为圆心的圆弧 ° 如图所示 如图所示， 在以O为圆心的圆弧 它们的夹角为 在以 上变动. 若 上变动 值是 . 其中x，y∈R，则x＋y的最大 其中 ， ∈ ， ＋ 的最大
已知向量a＝ 已知向量 ＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝ ， ＝ ， ＝ ＋ ， ＝ 2a－b，且u∥v，求实数 的值 － ， 的值. ∥ ，求实数x的值 [思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 因为 ＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝ 课堂笔记] 因为a＝ 课堂笔记 ， ＝ ， ＝ ＋ ， ＝ 2a－b， － ， 所以u＝ 所以 ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)， ＋ ＝ ＋ ， v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)， ＝ － ＝ － ， 又因为u∥ ，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0. 又因为 ∥v，所以 ＋ － － ＝ 即10x＝5，解得 ＝ ＝ ，解得x＝ .
＝
[思路点拨 思路点拨] 思路点拨
[课堂笔记 由已知得 课堂笔记] 课堂笔记 a＝(5，－ ，b＝(－6，－ ，c＝(1,8). ＝ ，－5)， ＝ － ，－3)， ＝ ，－ ，－ (1)3a＋b－3c＝3(5，－ ＋(－6，－ －3(1,8) ＋ － ＝ ，－ ，－5)＋ － ，－ ，－3)－ ＝(15－6－3，－ －3－24)＝(6，－ ，－15－ － ＝ ，－ ，－42). － － ，－ (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－ ＋8n)， ∵ ＋ ＝ － ＋ ，－ ，－3m＋ ，
【解析】 解析】
＝1， ， ＝120°， °
＝1， ， ＝1， ， ＝x2＋y2－xy
＝ ＝(x＋y)2－3xy＝1， ＋ ＝ ， ∴(x＋y)2＝1＋3xy. ＋ ＋ ∵C在 在
上，∴x≥0，y≥0， ， ，
∴(x＋y)2≤1＋ ＋ ＋
⇒(x＋y)2≤4⇒x＋y≤2. ＋ ⇒ ＋
当且仅当x＝ ＝ 时取 时取“＝ 当且仅当 ＝y＝1时取 ＝”. 【答案】 2 答案】
解析： 解析：∵ ＝(2,3)＋(m，n)＋(－1,4) ＋ ， ＋－ ＝(1＋m,7＋n) ＋ ＋ ∴ 答案： 答案：B ，－7－ ＝(－1－m，－ －n). － － ，－
2.已知 已知a=(2,-3), b=(3,λ),若a∥b,则λ等于 已知 若 ∥ 则 等于 解析：∵a∥b,∴2×λ-(-3)×3=0, × ∴λ= 答案： 答案：C .
1.平面向量基本定理 平面向量基本定理
2.平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算
1.设 设
＝(2,3)， ＝(m，n)， ＝(－1,4)，则 ， ， ， － ， (
等于 )
A.(1＋m,7＋n) ＋ ＋ C.(1－m,7－n) － －
B.(－1－m，－ －n) － － ，－ ，－7－ D.(－1＋m，－ ＋n) － ＋ ，－ ，－7＋
5.若三点 若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则 共线， 若三点 ， ， ， 共线 的值等于 .
解析： ，－2)， 解析： ＝(a－2，－ ， ＝(－2，b－2)， － ，－ － ， － ， 依题意， 依题意，有(a－2)·(b－2)－4＝0， － － － ＝ ， 即ab－2a－2b＝0，所以 － － ＝ ， 答案： 答案： .
3.在求与一个已知向量 共线的向量时，采取待定系数法 在求与一个已知向量a共线的向量时 在求与一个已知向量 共线的向量时， 更为简单，即设所求向量为 更为简单，即设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条 ∈ ， 件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入 即可得到欲求 的值后代入λa即可得到欲求 件列出关于 的方程，求出 的值后代入 的方程 向量，这样可以使未知数的个数少一些，便于求解 向量，这样可以使未知数的个数少一些，便于求解.
1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行， 向量的坐标运算主要是利用加、 向量的坐标运算主要是利用加 数乘运算法则进行， 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标， 若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标， 解题过程中要注意方程思想的运用 2.利用向量的坐标运算解题 主要是根据相等的向量坐标相 利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相 利用向量的坐标运算解题 同这一原则，通过列方程(组)进行求解 同这一原则，通过列方程 组 进行求解. 进行求解 3.利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量 利用坐标运算求向量的基底表示， 利用坐标运算求向量的基底表示 和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数 和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出线性系数.
1.了解平面向量的基本定理及其意义 了解平面向量的基本定理及其意义. 了解平面向量的基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 会用坐标表示平面向量的加法 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件
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第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示
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uuur 4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB＝a，
uuur
uur
uuur
uuur
BC ＝b，CA＝c，且CM ＝3c，CN ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； uuuur
(3)求M、N的坐标及向量 MN 的坐标．
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解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5， －5， 解得mn＝＝－－11.，
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(2)设
uuur OA
＝xi＋yj，则向量
uuur OA
的坐标(x，y)就是终点A
的坐
标，即若
uuur OA
＝(x，y)，则A点坐标为
(x，y)
，反之亦成
立．(O是坐标原点)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ．
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2011·北京西城区期末)已知点 A(－1,1)，点 B(2，y)，向量
uuur a＝(1,2)，若 AB∥a，则实数 y 的值为
()
A．5
B．6
C．7
D．8
uuur
uuur
解析：因为 AB＝(3，y－1)，a＝(1,2)， AB∥a，
uuur 4．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设 AB＝a，
uuur
uur
uuur
uuur
BC ＝b，CA＝c，且CM ＝3c，CN ＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； uuuur
(3)求M、N的坐标及向量 MN 的坐标．
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解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5， －5， 解得mn＝＝－－11.，
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(2)设
uuur OA
＝xi＋yj，则向量
uuur OA
的坐标(x，y)就是终点A
的坐
标，即若
uuur OA
＝(x，y)，则A点坐标为
(x，y)
，反之亦成
立．(O是坐标原点)
二、平面向量坐标运算
1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，a－b＝(x1－x2，y1－y2) ， λa＝ (λx1，λy1) ．
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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2011·北京西城区期末)已知点 A(－1,1)，点 B(2，y)，向量
uuur a＝(1,2)，若 AB∥a，则实数 y 的值为
()
A．5
B．6
C．7
D．8
uuur
uuur
解析：因为 AB＝(3，y－1)，a＝(1,2)， AB∥a，
平面向量的基本定理及坐标表示课件
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线． → → (2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值．
解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)． a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b 与 a＋2b 共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 1 即 2k－4＋5＝0，得 k＝－ . 2
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → (2)∵CA＝(－2，－4)，BC＝(1,1)， → → → → → ∴MN＝CN－CM＝－2BC－3CA ＝(－2，－2)－(－6，－12)＝(4,10)． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， → → 则CM＝(x1－3，y1－2)，CN＝(x2－3，y2－2)， → → → → ∵CM＝3CA，CN＝－2BC， ∴(x1－3，y1－2)＝(－6，－12)．
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
→ → → → 1 解析： ∵2DC＝AB，∴2DC＝e2，∴DC＝ e2. 2 → → → → 又∵BC＝BA＋AD＋DC， → 1 1 ∴BC＝－e2＋e1＋2e2＝e1－2e2. → → → → 又由MN＝MA＋AB＋BN得 → 1→ → 1→ MN＝2DA＋AB＋2BC 1 3 1 1 ＝－ e1＋e2＋ e1－2e2＝ e2. 2 2 4
工具
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
栏目导引
(x2－3，y2－2)＝(－2，－2)，
x1－3＝－6 x2－3＝－2 ∴ ， ， y1－2＝－12 y2－2＝－2 x1＝－3 x2＝1 ∴ ， ， y1＝－10 y2＝0
第2节平面向量基本定理及坐标表示课件
5.已知 A(－5，8)，B(7，3)，则与向量A→B反向的单位向量为___－__11_23_，__1_53____. 解析 由已知得A→B＝(12，－5)，所以|A→B|＝13， 因此与A→B反向的单位向量为－113A→B＝－1132，153.
6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝1，－32，c＝(－1，1)，在这三个向量中
第五章 平面向量、复数
考试要求
1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
4.如图，平面内有三个向量O→A，O→B，O→C，其中O→A与O→B的夹
角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|
＝2 3，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为___6_____.
解析 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则 A(1，0)，C(2 3cos 30°，2 3sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°). 即 A(1，0)，C(3， 3)，B－21， 23. 由O→C＝λO→A＋μO→B得，λ2－3μ12＝μ＝33.， ∴μλ＝＝42.，∴λ＋μ＝6.
则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，
则|b|＝ 9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，
∴λ＝－2，b＝(6，－8).
3.(多选)已知向量O→A＝(1，－3)，O→B＝(2，－1)，O→C＝(m＋1，m－2)，若 A，B，
高中数学课件 平面向量的基本定理及坐标表示共25页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高中数学课件 而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
第四章 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
一、选择题1．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b ＝( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)解析：2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．答案：B2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：∵a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，又a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(1＋x )，解得x ＝2.答案：D3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 解析：设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ＋μ，2＝λ－μ.∴⎩⎨⎧ λ＝12，μ＝－32.∴c ＝12a －32b . 答案：B4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数t ，满足AB ＝t AC ，即λa ＋b ＝ta ＋μtb ，又a ，b 是不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝μt ，∴λμ＝1. 答案：D5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 解析：由已知得DE ＝13EB ， 又△DEF ∽△BEA ，∴DF ＝13AB . 即DF ＝13DC .∴CF ＝23CD ， ∴CF ＝23CD ＝23(OD －OC ) ＝23⎝⎛⎭⎫12b －12a ＝13b －13a ， ∴AF ＝AC ＋CF ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b . 答案：B二、填空题6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．答案：(－4，－2)7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：∵e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13. 答案：23 －13三、解答题8．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA ，求点C ，D 的坐标和CD 的坐标．解：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意得AC ＝(x 1＋1，y 1－2)，AB ＝(3,6)，DA ＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ＝(－3，－6)．因为AC ＝13 AB ，DA ＝－13BA ， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. 所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，从而CD ＝(－2，－4)．9．已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB ＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC .∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．10．(2012·东营模拟)已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .解：∵BP ＝AP －AB ＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP －b ，又3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP －b )＝0，化简，得AP ＝13a ＋512b .设AD ＝t AP (t ∈R)，则AD ＝13ta ＋512tb .① 又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB ＝b －a ，得BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ， ∴AD ＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②由①②，得⎩⎨⎧ 13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43. 代入①，有AD ＝49a ＋59b .。
平面向量基本定理及坐标表示 PPT
4. (必修4P75练习1改编)向量a=(2,5)与b=(x,-15)平行,则 x= －6 . 5象. (限必，修OuuAu4r P4733练习,∠2x改O编A=)已60知°,则O是Ouu坐A的ur 标坐原标点为，点(2 A3在, 6)第. 一
经典例题
题型一 平面向量基本定理
【例1】如图,在△OAB中,
m 1 1
n 1
,
即m+2n=1.
2
而 C u u M u u r= O u u M u u rO u u C u r= (m － 1)a r+ nb r,
4
C uuB u r=O uuB u rO uuC ur=－ 1a rb r 4
,
又因为C,M,B三点共线,
所以
m
1 4
n
1 1
4
,即4m+n=1.
分析：利用向量相等，建立点P(x，y)与已知向量之 间的关系，表示出P点的坐标，然后根据实际问题 确定P点坐标的符号特征， 从而解决问题．
解：
(∴1)∵OuuAuOr (0＝,0()1，,2A)，(1Auu,B2ur )＝，(B3(,34),5，)，
∴ O u u P u r O u u A u r tA u u B u r＝(1＋3t,2＋3t)．
3x+2y+23=0
x=－ 9
由
x+10y-11=
0
,得
y
=
2
∴D点坐标为(-9,2).
题型四 向量的综合应用问题
u u u r u u u r u u u r
【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及O P O A tA B ,试 问: (1)t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?点P在第二象限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
经典例题
题型一 平面向量基本定理
【例1】如图,在△OAB中,
m 1 1
n 1
,
即m+2n=1.
2
而 C u u M u u r= O u u M u u rO u u C u r= (m － 1)a r+ nb r,
4
C uuB u r=O uuB u rO uuC ur=－ 1a rb r 4
,
又因为C,M,B三点共线,
所以
m
1 4
n
1 1
4
,即4m+n=1.
分析：利用向量相等，建立点P(x，y)与已知向量之 间的关系，表示出P点的坐标，然后根据实际问题 确定P点坐标的符号特征， 从而解决问题．
解：
(∴1)∵OuuAuOr (0＝,0()1，,2A)，(1Auu,B2ur )＝，(B3(,34),5，)，
∴ O u u P u r O u u A u r tA u u B u r＝(1＋3t,2＋3t)．
3x+2y+23=0
x=－ 9
由
x+10y-11=
0
,得
y
=
2
∴D点坐标为(-9,2).
题型四 向量的综合应用问题
u u u r u u u r u u u r
【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及O P O A tA B ,试 问: (1)t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?点P在第二象限? (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
高二数学课件：第四章 第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算
θ 或∠AOB 则向量a与b的夹角是__________. OA ＝a,OB b，
0°≤θ ≤180° ②范围：向量a与b的夹角的范围是_____________.
同向 ③当θ ＝0°时,a与b_____. 反向 当θ ＝180°时,a与b_____. 垂直 当θ =90°时,a与b_____.
【即时应用】
(1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线，则x=_______. (2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量λ a+b与向量c=(2,1)共线，则 λ =_________.
【解析】(1)∵a∥b,∴(-1)2-3x=0,∴x= . (2)∵λa+b=λ(1,1)+(-1,0)=(λ-1,λ), 又∵(λa+b)∥c,∴(λ-1)·1-2λ=0,∴λ=-1.
两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐标
x1 x 2 分别相等，即 利用向量相等可列出方程组求其中的未 ， y y 2 1
知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题.
uuu r uuu r 【例2】(1)(2012·广东高考)若向量 BA 2,3 ,CA 4,7 ,
∴ a d c, 代入②
方法二: 设 AB a,AD b, 因为M，N分别为CD，BC的中点，
1 1 所以 BN b， DM a， 2 2 2 1 a (2d c) c b a 3 2 ⇒ 因而 b 2 (2c d ) d a 1 b 3 2 4 4 2 2 即 AB d c, AD c d. 3 3 3 3
p q 3 p 1 ∴ , ∴ . 2p q 2 q 4 1 答案：(1)( 3 ， (2)(5，4) ) 2 2
0°≤θ ≤180° ②范围：向量a与b的夹角的范围是_____________.
同向 ③当θ ＝0°时,a与b_____. 反向 当θ ＝180°时,a与b_____. 垂直 当θ =90°时,a与b_____.
【即时应用】
(1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线，则x=_______. (2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量λ a+b与向量c=(2,1)共线，则 λ =_________.
【解析】(1)∵a∥b,∴(-1)2-3x=0,∴x= . (2)∵λa+b=λ(1,1)+(-1,0)=(λ-1,λ), 又∵(λa+b)∥c,∴(λ-1)·1-2λ=0,∴λ=-1.
两向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐标
x1 x 2 分别相等，即 利用向量相等可列出方程组求其中的未 ， y y 2 1
知量，从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题.
uuu r uuu r 【例2】(1)(2012·广东高考)若向量 BA 2,3 ,CA 4,7 ,
∴ a d c, 代入②
方法二: 设 AB a,AD b, 因为M，N分别为CD，BC的中点，
1 1 所以 BN b， DM a， 2 2 2 1 a (2d c) c b a 3 2 ⇒ 因而 b 2 (2c d ) d a 1 b 3 2 4 4 2 2 即 AB d c, AD c d. 3 3 3 3
p q 3 p 1 ∴ , ∴ . 2p q 2 q 4 1 答案：(1)( 3 ， (2)(5，4) ) 2 2
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的坐标.
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解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
1 2
P1P2
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高中数学人教A版必修4PPT课件：平面 向量的 基本定 理及坐 标表示
向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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解：1OP 1 2
OP1 OP2
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，
所以点P的坐标为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
.
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2 如果P1P
1 2
PP2，那么
OP
OP1
P1P
OP1
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向量的坐标表示
• 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方 向相同的两个单位向量i、j作为基底， 则对于平面内的一个向量a，有且只有
一对实数x、y使得a=xi+yj，
• 把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标，记 作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标，y 叫做a在y轴上的坐标，显然， i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
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练一练 • 已知O是坐标原点，点A在第 • 一象限，xOA 60 ,
| OA | 4 3 ，求向量 OA 的坐标.
解：设点A x, y ，则
x 4 3 cos 60 2 3, y 4 3 sin 60 6
即A 2 3, 6 ，所以OA 2 3, 6 .
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平面向量的基本定理及坐标表示34页PPT
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
平面向量的基本定理及坐标表示 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.