高中数学人教版选修2-1教学课件：2.3 2.3.1双曲线与标准方程
高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.1 双曲线及其标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.1 双曲线及其标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,理解双曲线的定义,体会双曲线标准方程的探索推导过程.
2. 使学生在学会知识的过程中,进一步熟练用坐标法建立曲线方程,培养学生等价转化、
数形结合等数学思想,提高学生分析问题、解决问题的能力.
2学情分析
学生刚刚学习了椭圆及其标准方程,在此基础上对于双曲线的标准方程的推导有一定的帮助。
3重点难点
双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.
定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】双曲线及其标准方程
一、课题导入
师:椭圆的定义是什么?
(抽学生口述椭圆的定义.)
师:椭圆定义是由轨迹的问题引出来的,我们把满足几何条件|PF1|+|PF2|=2a(常数)(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫椭圆.下面,我们来做这样一个实验:
(同学分组实验:利用绳子模仿实验演示双曲线的生成过程,导入课题)
师:通过这个实验,我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线,这是一类什么曲线呢?这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”(板书课题)
活动2【导入】新课探究
高二数学(新人教A版选修2-1)第二章知识点总结《2.3.1 双曲线及其标准方程》(学生版) Word版无答案
双曲线及其标准方程
．在平面内到两个定点、距离之差的绝对值等于定值(大于且小于)的点的轨迹叫做．这两个定点叫做双曲线的，两焦点之间的距离叫做双曲线的．
．在双曲线的定义中，条件<<不应忽视，若＝，则动点的轨迹是；若>则动点的轨迹．
．双曲线定义中应注意关键词“”，若去掉定义中“”三个字，动点轨迹只能是．
．焦点在轴上的双曲线的标准方程为
，焦点在轴上的双曲线的标准方程为
．
．在双曲线的标准方程中、、的关系为.
．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效的解决知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比．
椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系．
椭圆 双曲线
定义＋＝ 定义－＝±
因为>>，
所以令－＝(>) 因为<<，
所以令－＝(>)
＋＝或＋＝
(>>) －＝或－＝
(>，>，不一定大于)
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的标准方程》梳理探究
数学人教B选修2-1第二章2.3.1 双曲线的标准方程
1．理解双曲线的定义．
2．掌握双曲线的标准方程的定义．
1．双曲线的定义
平面内与两个______F1，F2的______________等于常数(________________)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__________，两焦点的距离叫做双曲线的__________．
在双曲线的定义中，
(1)当常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
(2)当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(3)当常数等于零时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹就成为双曲线的一支．
【做一做1】已知定点F1(－3,0)，F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，为双曲线的是( )
A．||PF1|－|PF2||＝5
B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7
D．|PF1|2－|PF2|2＝±6
2．双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ______________
________________
焦点坐标 ________________
__________________
a，b，c的关系 ______________
______________
(1)由求双曲线的标准方程的过程可知：只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，才得到双曲线的标准方程．反之亦成立．
(2)在双曲线的标准方程中，若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
【做一做2－1】双曲线x210－y22＝1的焦距为( )
A．32 B．42 C．33 D．43
【做一做2－2】若双曲线的焦点在x轴上，且经过(2,0)，(4,3)两点，则双曲线的标准方程为__________．
2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程_2.3.1 双曲线及其标准方程(讲义)
2.3.1 双曲线及其标准方程
课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线定义的集合表示
设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.
注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:
①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.
②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.
(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”. ①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.
②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.
3.双曲线的标准方程
标准方程 22xa-22yb=1
(a>0,b>0) 22ya-22xb=1
(a>0,b>0)
双曲线在
坐标系中
的位置
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2+b2
注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.
选修2-1教案2.3.1双曲线及其标准方程、几何性质
2.3.1 双曲线及其标准方程
教学要求：学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．
教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．
教学过程：
一、新课导入：
1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
2. 在椭圆的标准方程22221xyab中，,,abc有何关系，若5,3ab，则?c写出符合条件的椭圆方程。
二、讲授新课：
1. 双曲线的定义：
① 提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图2-23，定点12,FF是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
② 定义：平面内与两定点12,FF的距离的差的绝对值等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线。两定点12,FF叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离12FF叫做双曲线的焦距。
③ （理科）类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。
（文科）简单讲解推导给出标准方程。
标准方程：22222221,(0,0,)xyabcabab（焦点12(,0),(,0)FcFc在x轴）
思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？
④ 例1、58P 分析：由双曲线的标准方程知，只要求出,ab即可得方程；
练习：1、已知双曲线的两焦点为12(8,0),(8,0)FF，双曲线上任意点到12,FF的距离的差的绝对值等于10，求此双曲线的标准方程。
2、双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)FF，①若2,___;ab则②若1,___;ba则
3、双曲线的两焦点分别为12(10,0),(10,0)FF，点(8,0)在双曲线上求双曲线的标准方程。
高中数学_2.3.1双曲线及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
1 2.3.1双曲线及其标准方程学案
课 题 双曲线及其标准方程 课型 新授 授课人
学习
目标
（1）了解双曲线的定义及焦距的概念;（重点）
（2）了解双曲线的几何图形、标准方程.（难点）
教 学 内 容
（一） 知识链接
问题1：椭圆的定义是什么？
问题2：椭圆的标准方程是怎样的?
（二） 新课导学
如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点12,FF的距离的差的__________等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线.
两定点12,FF叫做双曲线的____________，两焦点间的距离12FF叫做双曲线的___________．
反思：设常数为2a，为什么122aFF?
122aFF时，轨迹是___________________；
122aFF时，轨迹是___________________．
试试：点1,0,1,0AB，若1ACBC，则点C的轨迹是______________．
新知2：双曲线的标准方程： 222210,0,xyabab
思考：若焦点在y轴上，标准方程又如何？
（三）典型例题
题型一 双曲线标准方程的理解
例1 .若曲线C：22141xykk表示双曲线，求k的取值范围.
小结：双曲线的焦点在x轴上标准方程中2x项的系数为___________
双曲线的焦点在y轴上_________________________________
变式训练
1. 到两定点123,0,3,0FF的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线
2. 双曲线221259xykk的焦距为( )
A.16 B.8 C.4 D.234
人教A版选修2-1第二章第7课时导学案§2.3.1 双曲线及其标准方程
§2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习2：在椭圆的标准方程22221xyab中，,,abc有何关系？若5,3ab，则?c
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点12,FF的距离的差的 等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,FF叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12FF叫做双曲线的 ．
反思：设常数为2a ，为什么2a12FF？
2a12FF时，轨迹是 ；
2a12FF时，轨迹 ．
试试：点(1,0)A，(1,0)B，若1ACBC，则点C的轨迹是 ．
新知2：双曲线的标准方程：
22222221,(0,0,)xyabcabab（焦点在x轴）其焦点坐标为1(,0)Fc，2(,0)Fc．
思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？
※ 典型例题
例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F，2(5,0)F，双曲线上任意点到12,FF的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线221169xy的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 .
例2 已知,AB两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/ms，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果,AB两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
※ 动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在x轴上，4a，3b；
高中数学《双曲线及其标准方程》学案 新人教版选修2-1
1 2.3.1双曲线及其标准方程
【课标要求】
了解双曲线的定义和标准方程。
【学习目标】
1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。
2、掌握双曲线的标准方程。
3、会例一双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题。
【自主学习】
1、双曲线是怎样作出来的（作图）？双曲线的定义是什么？
几何画板【百度】/ShowSoftDown.asp?UrlID=1&SoftID=10165
2、若将定义中的2a<21FF改为等于或大于，点的轨迹分别是什么？
3、双曲线的标准方程是什么？怎样判断焦点的位置？
4、求双曲线常用方法有哪些？
【典型例题】
例1．（1） 已知双曲线两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到
点F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
（2））的双曲线。，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522yx
2 例2 已知,AB两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/ms，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
【百度文库】/view/52f58125af45b307e87197a7.html
方程。的轨迹求顶点，且满足边长为中，在例CCBAABABC,sinsin2sin28.3
【拓展提高】：
设双曲线在双曲线上。是其两个焦点，点MFFyx2122,,194
的面积。时，求）当（的面积。时，求）当（212121211202901MFFMFFMFFMFF
3 【课堂练习】
表示双曲线”的是方程“则若133"3",.122kykxkRk （ ）
A 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件
Ｃ 充要条件 D 既不充分又不必要条件
的焦距为双曲线1210.222yx （ ）
A 23 B 24 Ｃ 33 D 34
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的简单几何性质》教学设计
教学设计
2．3.2 双曲线的简单几何性质
整体设计
教材分析
学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．
课时分配
本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．
第1课时
教学目标
知识与技能
1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．
2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e的关系及其几何意义．
过程与方法
通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力．
情感、态度与价值观
使学生在合作探究活动中体验成功， 激发学习热情，感受曲线美、数学美．
重点难点
教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．
教学难点：渐近线的性质．
教学过程 引入新课
提问：(1)双曲线是如何定义的？
(2)双曲线的标准方程是什么？
(3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？
椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)
图形
范围 －a≤x≤a －b≤y≤b
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 (±a,0)，(0，±b)
离心率 e＝ca，0
设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决．
探究新知
探究1.类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的几何性质，借助x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求：
人教A版高中数学高二选修2-1素材 2.3解析与渐近线有关的问题
高中数学-打印版
精心校对 解析与渐近线有关的问题
双曲线是圆锥曲线的一种，高考中若以选择题、填空题的形式出现，则主要考查栓曲线的标准方程及简单的几何性质，难度不大，而双曲线的渐近线是重要的几何性质。
下面对双曲线的渐近线出现的题型作简单的探究：
一、求双曲线的渐近线方程：
对于双曲线222210,0xyabab，把方程右边“1”换成“0”，得双曲线渐近线方程22220xyab，即0xyab或byxa。
例1方程22sincos12xy表示双曲线，则它的渐近线方程 。
解析：由双曲线方程，22sincos12xy，
把“1”换成“0”得22sincos0xy，整理得：tanyx，
所以双曲线的渐近线的方程为tanyx。
二、有共同渐近线的双曲线系方程的应用
双曲线22221xyab与双曲线22220xyab，“1与”换成“0” ，
则两双曲线有相同的渐近线，故与双曲线22221xyab有相同的渐近线的双曲线系方程为：22220xyab，在已知渐近线的情况下，利用双曲线系22220xyab求双曲线的方程较为方便。
例2 经过点26,26M且与双曲线22143xy有相同的渐近线的双曲线的方程是（ ）
A、22168xy B、22186yx C、22168yx D、22186xy 高中数学-打印版
精心校对 解析：由与22143xy有相同的渐近线，则可设所求双曲线为22043xy，
把点26,26M代入得，2，
所以2222214368xyyx 故答案选 C
三、渐近线与离心率综合问题的求解
例3 过双曲线222210,0xyabab的有焦点F作渐近线byxa的垂线，垂足为M，交双曲线左、右两支于A、B两点，求双曲线的离心率的取值范围。