高中数学 2.3平面向量的基本定理及坐标表示(一)课件 新人教A版必修4
e1
e2
a
系呢？ 系呢？ 将三个向量的起点移到同一点： 将三个向量的起点移到同一点：
O
平面向量基本定理： 平面向量基本定理：
观察如图三个不 e a e 共线向量 1 、 、2 , 它 们之间会有怎样的关
e1
e2
a
系呢？ 系呢？ 将三个向量的起点移到同一点： 将三个向量的起点移到同一点：
O
a
C
平面向量基本定理： 平面向量基本定理：
C
A M
e1 A a
N
B −e O e 2 2
'
e1 e2 B O
B
a
C
讨论： 讨论：
⑵ 改变 的位置如下图两种情 a
况时， 怎样构造平行四边形 ？ 况时，
C
A M
e1 A a
N
B −e O e 2 2
'
−e1
B
A
'
e1 e2 B O
a
C
讨论： 讨论：
⑵ 改变 的位置如下图两种情 a
况时， 怎样构造平行四边形 ？ 况时，
解：
e1
− 2e1 3e2
a
e2
定理的应用： 定理的应用：
如图， 平行四边形 例2. 如图， ABCD 两条对角线 M a 相交点 且AB = a, AD = b, 用 , b表示 M , M , M , M . A B C D D
C M B
b
A
a
定理的应用： 定理的应用：
, , 、 例3. 如图 OA OB 不共线 且 AP = t AB (t ∈R), 用OA, OB表示OP .
M
e1
讨论： 讨论：
a的位置，如下图， ⑶ 继续旋转 的位置，如下图， 形 又该如何构成平行四边 ？
N
B− e
'
A
A
C
a
2
C −e1 O A' e2 B M
e1
a
e1
O
e2
B
讨论： 讨论：
a的位置，如下图， ⑶ 继续旋转 的位置，如下图， 形 又该如何构成平行四边 ？
N
B− e
'
A
A
C
a
2
C −e1 O A' e2 B M
A
C
a
−e1 O A' e2 B
e1
讨论： 讨论：
a的位置，如下图， ⑶ 继续旋转 的位置，如下图， 形 又该如何构成平行四边 ？
B− e
'
A
C
a
2
−e1 O A' e2 B
e1
讨论： 讨论：
a的位置，如下图， ⑶ 继续旋转 的位置，如下图， 形 又该如何构成平行四边 ？
N
B− e
'
A
C
a
2
−e1 O A' e2 B
e1
e2
a
平面向量基本定理： 平面向量基本定理：
观察如图三个不 e a e 共线向量 1 、 、2 , 它 们之间会有怎样的关
e1
e2
a
系呢？ 系呢？ 将三个向量的起点移到同一点： 将三个向量的起点移到同一点：
平面向量基本定理： 平面向量基本定理：
观察如图三个不 e a e 共线向量 1 、 、2 , 它 们之间会有怎样的关
问题二： 问题二：
给定基底e1，2 之后，任意一个 e 之后， a 向量 的表示是不是唯一的呢 ？
问题二： 问题二：
给定基底e1，2 之后，任意一个 e 之后， a 向量 的表示是不是唯一的呢 ？
给定基底后， 给定基底后，任意一个向量的 表示是唯一的． 表示是唯一的．
定理的应用： 定理的应用：
向量的坐标表示
在平面坐标系内， 分别取与 轴、 x 在平面坐标系内，我们 y轴方向相等的两个单位 i 、作为基 向量 j 理可知， 底，由平面向量基本定 理可知，对任一 a x 向量 ，有且只有一对实数、y使得 a = xi + y j.
( a , 我们把 x, y)叫做向量 的直角坐标 记作 = ( x，y). 其中 叫做a在x轴上的 a x 坐标 , y叫做a在y轴上的坐标a = ( x, y) x , a . 叫做向量 的坐标表示
平面向量的坐标表示
如图， (1) 如图，若| i |=| j |= 1，以向量、 i j为基 y a 底表示向量 .
a = 2i + 3 j
4
3 C
2 1 j
a
x
2 3 4
O i 1
平面向量的坐标表示
如图， (1) 如图，若| i |=| j |= 1，以向量、 i j为基 y a 底表示向量 .
b ; 当θ = 0 , a、同向
o
b ; 当θ = 180 , a、 反向
o
b , a 当θ = 90 , a与 垂直 记作 ⊥ b.
o
向量的坐标表示
在平面坐标系内， 分别取与 轴、 x 在平面坐标系内，我们 y轴方向相等的两个单位 i 、作为基 向量 j 理可知， 底，由平面向量基本定 理可知，对任一 a x 向量 ，有且只有一对实数、y使得 a = xi + y j.
e1
O
A
M
a
B
N
C
e2
想一想： 想一想：
确定一对不共线向量e1，2 后， e 是否平面内任意一个向 量都可以用 λ1 e1 + λ2 e2来表示呢 ？
讨论： 讨论：
⑴ 当a与 1或e2共线时，可令 共线时， e
0 . λ1或λ2为 即可使结论成立
a
e1
e2
e1
a
e2
讨论： 讨论：
⑵ 改变 的位置如下图两种情 a
(1)给定平面内两个向量 e1 , e2 , 请你作出 给定平面内两个向量 向量 3e + 2e , e − 2e .
1 2 1 2
(2) 同一平面内的任一向量是否都可以用 的向量表示？ 形如 λ1 e1 + λ2 e2 的向量表示？
平面向量基本定理： 平面向量基本定理：
观察如图三个不 e a e 共线向量 1 、 、2 , 它 们之间会有怎样的关 系呢？ 系呢？
j
4
C
x
2 3 4
O i 1
平面向量的坐标表示
如图， (1) 如图，若| i |=| j |= 1，以向量、 i j为基 y a 底表示向量 .
a = 2i + 3 j 即：= 2,3 a（ ）
4
C
B
(2) 如图，平面内有 、B两 3 如图， A 点， 能否用坐标来表示向 2 a 1 量AB 呢？
问题一： 问题一：
中 在刚才我们总结的定理 ， e 是不是唯一的呢？ 基底e1，2 是不是唯一的呢？
问题一： 问题一：
中 在刚才我们总结的定理 ， e 是不是唯一的呢？ 基底e1，2 是不是唯一的呢？
基底不共线也不唯一， 基底不共线也不唯一，任意 两个不共线的向量均可作基底． 两个不共线的向量均可作基底．
解：
e1
e2
定理的应用： 定理的应用：
e 已知向量 1、e2 , 求作向量a， 1 如图， 例 . 如图， 使a = −2e1 + 3e2 .
解：
e1
e2
− 2e1
定理的应用： 定理的应用：
e 已知向量 1、e2 , 求作向量a， 1 如图， 例 . 如图， 使a = −2e1 + 3e2 .
解：
e 已知向量 1、e2 , 求作向量a， 1 如图， 例 . 如图， 使a = −2e1 + 3e2 .
e1
e2
定理的应用： 定理的应用：
e 已知向量 1、e2 , 求作向量a， 1 如图， 例 . 如图， 使a = −2e1 + 3e2 .
解：
e1
e2
定理的应用： 定ห้องสมุดไป่ตู้的应用：
e 已知向量 1、e2 , 求作向量a， 1 如图， 例 . 如图， 使a = −2e1 + 3e2 .
e1
e2
− 2e1
定理的应用： 定理的应用：
e 已知向量 1、e2 , 求作向量a， 1 如图， 例 . 如图， 使a = −2e1 + 3e2 .
解：
e1
e2
− 2e1
定理的应用： 定理的应用：
e 已知向量 1、e2 , 求作向量a， 1 如图， 例 . 如图， 使a = −2e1 + 3e2 .
j
A
x
O i 1
O
A
M
a
B
C
e2
平面向量基本定理： 平面向量基本定理：
观察如图三个不 e a e 共线向量 1 、 、2 , 它 们之间会有怎样的关
e1
e2
a
系呢？ 系呢？ 将三个向量的起点移到同一点： 将三个向量的起点移到同一点：
e1
O
A
M
a
B N
C
e2
平面向量基本定理： 平面向量基本定理：
观察如图三个不 e a e 共线向量 1 、 、2 , 它 们之间会有怎样的关
e1
a
e1
O
−a
e2
B
C
'
讨论： 讨论：
a的位置，如下图， ⑶ 继续旋转 的位置，如下图， 形 又该如何构成平行四边 ？
N
B− e
'
M
A
A
C
a
2
C −e1 O A' e2 B M
e1
a
e1
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人教A版高中必修4数学2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》同步练习课件(共3课时)
新知探究
题型探究
感悟提升
解
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60° . 如图，延长AB至点D，使AB＝BD， → → 则AB＝BD， → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角． ∵∠DBC＝120° ， → → ∴向量AB与BC的夹角为120° .
(2)∵E为BC的中点， ∴AE⊥BC， → → ∴AE与EC的夹角为90° .
新知探究 题型探究 感悟提升
1 → → → → → 1→ BC＝FD＝AD－AF＝AD－2AB＝a－2b， → → → → → → 1→ EF＝DF－DE＝－FD－DE＝－BC－2DC
1 1 1 1 ＝－a－2b－2×2b＝4b－a.
新知探究
题型探究
感悟提升
类型二 向量的夹角问题
→ → → → 提示 不相同，它们互补.AC与AB的夹角为∠CAB，而CA与AB 的夹角为π－∠CAB.
新知探究 题型探究 感悟提升
类型一
用基底表示向量
【例1】 如图，四边形OADB是以 → → OA＝a，OB＝b为边的平行四边形， 1 1 又BM＝3BC，CN＝3CD，试用a、b → → → 表示OM、ON、MN.
【例2】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹
角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [思路探索] 以a，b为邻边作平行四边形，则a＋b，a－b分别表示 对角线向量，利用平行四边形的知识求解．
新知探究
题型探究
感悟提升
解
→ → 如图所示，作 OA ＝a， OB ＝b，且∠
AOB＝60° . → → 以 OA ， OB 为邻边作平行四边形OACB，则 → → OC＝a＋b，BA＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝ → → → → 60° ，所以OC与OA的夹角为30° ，BA与OA的夹角为60° . 即a＋b与a的夹角是30° ，a－b与a的夹角是60° .
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
2.3.1平面向量基本定理课件(新人教A版必修4)
⑴向量的加法：
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a
平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
ab
B
O
A a 三角形法则
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
B
M N
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b
B
b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O
的夹角． 注意:两向量必须 是同起点的 0
B
a
A B b
b
0
b B
180
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a
平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
ab
B
O
A a 三角形法则
已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a, b
表示 AM, AN .
B
M N
解： AM AB BM A D b 1 AB BC 2 AN AD DN 1 1 1 AB AD AD DC AD AB 2 2 2 1 1 b a a b 2 2
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b
B
b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O
的夹角． 注意:两向量必须 是同起点的 0
B
a
A B b
b
0
b B
180
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
数学：2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》课件(新人教a版必修4)
1 5、若 a ( ,sin ) 为单位向量，则符合 2
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
新课标人教版课件系列
题意的角 的取值集合为 ；
则m的长度为 2
(2)两个向量相等的充要条 件是它们的 对应坐标相等。
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) x1 x2 则a b y1 y2
例题1、已知向量a (2 x y 1, x y 2), b (2, 2).x, y为何值时， a与b共线？
例题2、已知 a 10, b (3, 4)且a // b， 求向量a.
解：设a ( x, y),则a x y 10
2 2
又 b (3,4), a // b
x y 10 x 6 x 6 解得： 或 4 x 3 y 0 y 8 y 8
解 (2 x y 1) (2) ( x y 2) 2 0 2 x y 1 ( x y 2)
1 x 解得： 3 y R
1 x 3 (2)解得： y 1 3
又问：x, y为何值时， a与b相等？
20 5 5 2 5 20 5 5 2 5 d ( , )或( , ) 5 5 5 5
向量坐标定义
在平面直角坐标系内，我们分别取与X轴、Y 轴方向相同的单位向量 i , j作为基底，任作一向量 a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j. 1 、把 a=x i+y j 称为向量基底形式. 2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标形式. 3、 a=x i+y j =( x , y)
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高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ 如图， 作OA＝a，
→ OB＝b，且∠AOB＝60° ， 以 OA、OB 为邻边作▱OACB， → → → → → → → → 则OC＝OA＋OB＝a＋b， ＝OA－OB＝a－b， ＝OA＝ BA BC a.
第二章 2.3 2.3.1
②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那 么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③， λ1λ2 当 ＝0 或 μ1μ2＝0 时不一定成立，应为 λ1μ2－λ2μ1＝0.故选 B.
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ． ________．(写出所有满足条件的序号)
第二章 2.3 2.3.1
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[分析]
应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量 e1
与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1、e2 表示的惟一性求解．
第二章
2.3 2.3.1
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[解析]
由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于
第二章
2.3 2.3.1
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[特别提醒]
→ → (1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ， 但由向
→ → 量夹角的定义可知OA与BO的夹角不是 θ，而是 π－θ.
高中数学 平面向量的基本定理及坐标表示 第3课时 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A必修4
❖ [答案] 2
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
❖ [解析] ∵λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ ＋3)，
❖ ∴存在实数k，使(λ＋2,2λ＋3)＝k(－4，－ 7)，
❖ [例5] 已知A(－1,2)，B(1,4)． ❖ (1)求AB的中点M的坐标； ❖ (2)求AB的三等分点P、Q的坐标； ❖ (3)设D为直线AB上与A、B不重合的一点，
❖ 5．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b 与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
❖ [答案] 1或－1
❖ [解析] λa＋b＝λ(3,2)＋(2，－1)＝(3λ＋ 2,2λ－1)，a＋λb＝(3,2)＋λ(2，－1)＝(3＋ 2λ，2－λ)．
❖ ∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
❖ 由(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)，得
❖ 故当k＝－1时，ka＋2b与2a－4b平行． ❖ [点评] 可由向量平行的坐标表示的充要
条件得
❖ (k－6)×(－4)－(2k＋4)×14＝0，得k＝－1.
❖ (08·全国Ⅱ)设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若 向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ ＝______.
❖ 3．[在证明直] 角由坐已标知条系件x得O，y内A→B，＝(已0,1)知－(A－(－2，2－，3)＝－(23,4)，)， A→BC(＝0,(12),5，)－C(－(22,，5)－，3)求＝(证4,8A)．、B、C三点共线．
∵2×8－4×4＝0，∴A→B∥A→C，
∵A→B与A→C有公共点 A，∴A、B、C 三点共线．
❖ 重点：用平面向量坐标表示向量共线条件．
❖ 难点：运用平面向量坐标表示向量共线条件 的应用，体会向量在解题中的工具性作用．
❖ 1．若a与b共线(b≠0)，则存在实数λ，使a ＝λb，这里b≠0的条件千万不可忽视，而 在坐标表示的共线条件中，若a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，对任 意向量a，b都成立，解题时，要区别应 用．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算