知识讲解_正切函数的性质和图象_基础

正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.能画出tan y x =的图象，并能借助图象理解tan y x =在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】
要点一：正切函数的图象 正切函数R x x
y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”
（1）复习单位圆中的正切线： A T=tan α （2）利用正切线画函数y= tanx ，x ∈)2
,2(π
π-
的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π
-的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8
π
）.分别在单位圆中作出
正切线；
③把横坐标从2π-到2
π
也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2
,2(π
π-的图象左、右移动k π个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x ≠k π+2
π
）的图象.
要点二：正切函数的性质 1．定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， 2．值域：R
由正切函数的图象可知，当()2
x k k z π
π<
+∈且无限接近于2
k π
π+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞
（tan x 趋向于正无穷大）；当()2
x k k z π
π>-
+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷
大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线
,2
x k k z π
π=+
∈为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正
切函数图象没有对称轴
5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：
正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
要点三：正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质 1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2
x k k z π
ωϕπ+≠+∈解得x ．
2． 值域：(),-∞+∞ 3．单调区间：（1）把“
x ωϕ+”视为一个“整体”
；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与t a n (,)
2y x x k k z π
π=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围． 要点诠释：
若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2
k k z π
ϕ=
∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||
T πω=
． 【典型例题】
类型一：正切函数的定义域 例1．求下列函数的定义域． （1）1
lg(tan )y x =；（2）y =
举一反三：
【变式1】（2016 宁夏期中）已知函数()tan()23
f x x π
π
=+
（1）求f （x ）的最小正周期．
（2）求f （x ）的定义域和单调区间．
（3）求方程()f x =
类型二：正切函数的图象 例2．函数1
tan 2
3y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭在一个周期内的图象是下图中的（ ）
【变式1】（2015秋 安徽舒城县期末）如图所示，函数3cos |tan |(02y x x x π=≤≤且)2
x π
≠的图象是（ ）
类型三：正切函数的周期性
例3．求下列函数的周期 （1）y=3tan(2x+3π) （2）y=7tan(3x －6
π
)
举一反三：
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）2
tan y x =； （2）|tan |y x =； （3）tan ||y x =．
类型四：正切函数的单调性
例4．（2015秋 新疆阿勒泰市月考）已知函数()3tan(2)3
f x x π
=-．
（1）求f （x ）的定义域与单调区间 （2）比较()2
f π与()8
f π
-
的大小．
举一反三：
【变式1】求函数1
tan 2
4y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间．
【变式2】求函数|tan(2-)|3
y x =π
的单调增区间.。