效用函数二阶导数
例谈二阶导数在高考题中的应用
例谈二阶导数在高考题中的应用福州高级中学 高岚龙随着高等数学的知识在初等数学中的下放，在全国各地历年的高考题中，出现了越来越多具有高等数学背景的考题。
尽管高考题的解法主要是基于高中所学的内容，但是，微积分中所蕴涵的数学思想和经典的数学处理方法，有助于我们对高考命题的认识和把握。
作为一名中学数学老师，应该强化用微积分的观点去认识高中数学的意识，才能对高考命题有深刻、全面的理解。
本文以几个例子说明二阶导数在高考题中的应用。
一．二阶导数与凸性定义1. 设()f x 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点1x 与2x ，恒有 1212()()()22x x f x f x f ++<，那么称()f x 在 I 上的图形是凹的； 如果恒有 1212()()()22x x f x f x f ++>，那么称()f x 在 I 上的图形是凸的； 定理1 设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么：（1）若在(,)a b 内()f x '单调增加，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()f x '单调减少，，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的；定理 2设 ()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，那么：（1）若在(,)a b 内()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的；（2）若在(,)a b 内()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的．凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识, 因此, 它不属于高中数学的研究范畴, 但是, 近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。
例1（2008年全国一，2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ）分析：我们知道，把汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，则其一阶导数是速度，而二阶导数则是加速度。
2020届高三数学之函数与导数(文理通用)二次求导函数处理(二阶导数)(解析版)
专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。
利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。
需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。
本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。
二、经验分享方法 二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ； 令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m 你还可以在算出3,4，选择题排除法。
y对x的二阶导数
y对x的二阶导数一、引言在微积分中，函数的二阶导数是指对一元函数求导两次所得到的导数，通常表示为f''(x)或者d2y/dx2。
它的概念是对函数曲线图像的凸凹性质进行详细分析的基础。
本文将从几何意义、定义、性质、求法等多个方面介绍函数的二阶导数。
二、几何意义函数的二阶导数可以帮助我们更好地理解函数曲线的凸凹性质。
在函数曲线上点(x, y)处，若其一阶导数f'(x)大于0，则说明函数曲线在此处单调递增；若f'(x)小于0，则说明函数曲线在此处单调递减。
但是，当函数曲线上的点发生变化，过去的单调递增状态可能变成单调递减，即函数曲线由凸向下转换为凹向上。
图1 经过抛物线的二阶导数在图1中，抛物线在点P处发生转折，由凸向下转换为凹向上。
当函数曲线由凸向下转换为凹向上时，其二阶导数为负；相反，当函数曲线由凹向上转换为凸向下时，其二阶导数为正。
在图1中，当函数曲线在点P处发生转折时，其二阶导数穿过x轴。
因此，可以将函数的二阶导数解释为函数曲线上的每个点处函数曲线的凸凹性质。
即，当函数曲线上的点处函数曲线凸向上时，其二阶导数为正；当函数曲线上的点处函数曲线凹向上时，其二阶导数为负。
三、定义对于一元函数f(x)，其二阶导数定义如下：f''(x)或d2y/dx2 = d/dx(f'(x))其中，f'(x)是f(x)的一阶导数。
通过以上定义，我们可以发现一个规律，即若f(x)具有三阶导数，则其一阶导数f'(x)具有二阶导数，其二阶导数f''(x)具有一阶导数，它们之间存在以下关系：f(x) -----> f'(x) -----> f''(x) -----> f'''(x)四、性质1、连续性如果在一段区间内的函数二阶导数存在，则函数在该区间内的一阶导数也是存在且连续的。
二阶导数的计算公式
二阶导数的计算公式
如果要求了解函数的极值和拐点，则必须要熟悉二阶导数。
二阶导数是一种广义的矩阵操作，也称为Hessian公式，它可以用来检测函数的凹凸情况，也就是求
取该函数的转折点，用于求单变量函数求得极值或二元变量函数求得切线方向。
二阶导数计算公式可以表示如下：假设实际函数表达式为f（u），其第一阶导数为f'（u），则f（u）的二阶导数是f''（u），可以表示为：f''（u）=d^2/du^2[f （u）]。
其中，d/du表示对u求导。
因此，二阶导数中，d^2/du^2[f（u）]表示的概念是，f（u）的极值的表现形式，一元函数的极值只能在极值点处表现出来，二阶导数是该函数的拐点、极值的精华所在，可以影响到极值的大小和方向，从而为我们的解决极值问题提供极大的帮助。
当二阶导数大于零时，表示f（u）是增函数，拐点在曲线下方；当二阶导数小于
零时，表示f（u）是减函数，拐点在曲线上方。
通过计算二阶导数，可以快速准
确地获得函数的极值点，并可以排除错误的候选极值点。
总的来说，二阶导数计算公式是一种强大的数学工具，它可以有效地计算函数的拐点和极值，并影响极值大小和方向，建议将这一方面的数学知识熟练掌握，为解决极值问题提供便利。
边际效用函数
边际效用函数效用的概念是丹尼尔·伯努利在解释圣彼得堡悖论（丹尼尔的表兄尼古拉·伯努利故意设计出来的一个悖论）时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准。
丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在年的论文里，主要包括两条原理：1.边际效用递增原理一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
2.最小效用原理在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。
理论效用理论是领导者进行决策方案选择时采用的一种理论。
决策往往受决策领导者主观意识的影响，领导者在决策时要对所处的环境和未来的发展予以展望，对可能产生的利益和损失作出反应，在公理科学中，把领导人这种对于利益和损失的独特看法、感觉、反应或兴趣，称为效用。
效用实际上反映了领导者对于风险的态度。
高风险一般伴随着高收益。
对待数个方案，不同的领导者采取不同的态度和抉择。
运用心理测定方法，可以测量出领导者对于各种收益和损失的效用值，并画出相应的效用曲线：甲类型领导者对收益反应迟钝，对损失反应敏感，怕担风险，不求大利，谨慎小心。
乙类型领导者对损失反应迟钝，对获利非常敏感，追求大利，不怕风险，大胆决策。
丙类型属于中间类型，完全以损益率的高低作为选择方案的标准。
效用是指消费者从消费某种物品中所得到的满足程度。
效用理论是消费者行为理论的核心，效用理论按对效用的衡量方法分为基数效用论和序数效用论。
基数效用就是所指按1,2,3······等基数去来衡量效用的大小，这就是一种按绝对数来衡量效用的方法，这种基数效用分析方法为边际效用分析方法，序数效用就是所指按第一，第二，第三等序数去充分反映效用的序数或等级，这就是一种按偏好程度展开排序顺序的方法.基数效用使用的就是边际效用分析法，序数效用使用的就是并无差异曲线分析法。
二阶导的经济学意义
二阶导的经济学意义二阶导数在经济学中具有重要的意义。
二阶导数是函数的二阶导数，衡量了函数变化的速率的变化，可以提供更深入的经济学分析。
在经济学中，二阶导数可以用于解释不同经济变量之间的相互关系、评估经济政策的效果以及预测未来的经济走势等。
下面将分别介绍二阶导数在这些方面的经济学意义。
首先，二阶导数可以用于解释不同经济变量之间的相互关系。
经济学研究的一个重要目标是研究不同经济变量之间的关联性。
通过计算二阶导数，可以衡量该关联性的变化速度。
例如，假设研究人员研究消费支出和收入之间的关系。
他们可以计算消费函数关于收入的二阶导数，以确定消费支出对收入变化的敏感程度。
如果二阶导数是正值，意味着消费支出对收入的变化是增加的。
反之，如果二阶导数是负值，意味着消费支出对收入的变化是减少的。
这有助于我们了解消费者的消费行为，以及其他经济变量与之相关的关系。
其次，二阶导数可以评估经济政策的效果。
在经济学中，政府制定并实施各种经济政策以调节整体经济活动。
政府通过监测和评估政策的效果来确定是否需要调整现有政策或采取新的政策。
二阶导数在这种情况下起着关键作用，因为它可以提供政策对经济变量的影响方式。
例如，假设政府采取一项投资刺激政策，以增加国内投资水平。
研究人员可以计算投资对GDP的二阶导数，以确定该政策对经济增长的影响。
如果二阶导数是正值，意味着投资对经济增长的贡献是增加的。
这有助于政府评估政策的效果，并决定是否需要进一步调整政策。
第三，二阶导数可以用于预测未来的经济走势。
正如我们所知，经济活动是一种复杂的系统，受到许多因素的影响。
通过计算二阶导数，可以更好地了解经济变量之间的动态关系，并据此进行预测。
例如，假设研究人员研究通货膨胀与失业之间的关系。
他们可以计算通货膨胀对失业的二阶导数，以预测通货膨胀对失业的影响趋势。
如果二阶导数是正值，意味着通货膨胀对失业的影响是增加的。
这有助于我们预测未来的经济走势，并相应地采取适当的措施。
范里安《微观经济学：现代观点》(章节题库-不确定性)【圣才出品】
第12章不确定性一、判断题1．对于两种赌博，不论他们的期望报酬怎样，一个风险厌恶者总会选择方差小的那种。
（）【答案】F【解析】风险厌恶者更加偏好的是财富的期望值，而不是赌博本身。
因此，期望报酬对风险厌恶者的选择是有影响的。
当期望报酬相等，风险厌恶者总会选择方差小的那种。
2．某消费者不属于风险厌恶者。
他有机会通过支付10元去买一张彩票，这张彩票将使他以0.05的概率赢得100元，以0.1的概率赢得50元，有0.85的概率他将一无所获。
如果他明白胜算的可能并且计算没有错误，那么他将买下彩票。
（）【答案】T【解析】买彩票的期望效用为：0.05×u（100）＋0.1×u（50）＋0.85×u（0），买彩票和不买彩票的期望收益是相等的，对于一个非风险厌恶者来说，有：0.05×u（100）＋0.1×u（50）＋0.85×u（0）≥u（0.05×100＋0.1×50＋0.85×0）＝u（10）因此他将买下彩票。
3．如果保险费用上升，人们将减少风险厌恶程度。
（）【答案】F【解析】并不是由保险费用来决定风险厌恶程度，而是由风险厌恶程度来决定保险费用。
对于风险厌恶者来说，完全保险是他的最优选择；而风险偏好者对保险的需求并没有前者大。
4．某消费者有冯·诺依曼—摩根斯顿效用函数u （c a ，c b ，p a ，p b ）＝p a v （c a ）＋p b v （c b ），p a 和p b 分别是事件a 和事件b 发生的概率，c a 和c b 分别是以事件a 和事件b 而定的消费。
如果v （c ）是一个增函数，这个消费者必定是风险爱好者。
（ ）【答案】F【解析】v （c ）是一个增函数，则v′（c ）＞0。
u′（c a ,c b ,p a ,p b ）＝p a v′（c a ）＋p b v′（c b ）＞0u"（c a ,c b ,p a ,p b ）＝p a v"（c a ）＋p b v"（c b ）v″（c ）可能为正也可能为负，因此消费的效用函数的二阶导数可能为负数，也就是说，消费者可能是风险厌恶者。
二阶导数的意义是什么？
二阶导数的意义是什么？导数秒杀必备利器——二阶导数一生二，二生三，三生万物，且万法归一，学习最省力的方法是掌握好这个最基本的“一”，很多学生喜欢刷题，但是喜欢刷题的大多成绩一般，题目你是做不完的，也不用指望在高考中能遇到你曾经做过的题目，因此刷题是舍本逐末的途径，只有将基础以及基础的衍生知识掌握透彻了，才能做到以不变应万变。
导数最大的作用是判断复杂函数单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后经常无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此就无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数，在理科中会更加直接用二阶导数符号来表示。
首先应鲜明的理解一下二阶导数的意义：今天我们就来讨论一下二阶导数如何运作，当二阶导数依旧失灵时我们又该怎么处理：对上图的解读：注意我们并不是直接对一阶导数进行再求导，而是对一阶导数中不能判断符号的部分进行求导，例如常见的一阶导数分母恒为正，但分子符号未定，则我们单独对分子部分进行求导。
二阶导数时一阶导数的导数，因此二阶导数可以判断出一阶导数的单调性，进而求出最值（高考题目中很少出现高于二阶导数的形式），我们通过一阶导数的最值来判断一阶导数的符号，注意这里一阶导数的最值只能是判断是否恒为非负或恒为非正，若求得的一阶导数最小值小于零或最大值大于零，则无意义，进而通过一阶导数的非负或非正求得原函数的单调性和最值，因此过程中最重要的还是一阶导数，用到的二阶导数其实相当于两次简单的一阶导数判断单调性。
注意：熟练掌握二阶导数的应用是我们解决高考导数题目的必备知识。
使用二阶导数必须出现一阶导数的最小值大于等于零或者最大值小于等于零才可以，但是如果出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定出一阶导数的零点的大致位置，如下：对上面图片的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导无法得出需要的一阶导的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否可能只有一个零点，若用零点存在定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为x0，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的x0，例如确定出x0在某数之前或某数之后，但是所设的x0满足f'(x0)=0，通过这个式子可以得到一个关于x0的等式，然后所设的点x0肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值结合f'(x0)=0这个等式有的时候能求出一个不包含x0的最值或者含有x0一个很简单的数，不过此方法并非无敌，若二阶导和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，在2017--2019年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
效用最大化的二阶条件推导
效用最大化的二阶条件推导效用最大化是经济学中的一个重要概念，它指的是在给定的约束条件下，个体或组织通过合理的选择使自己的效用达到最大化。
而二阶条件则是在效用最大化的过程中，对一阶条件的进一步推导和分析。
一阶条件是效用最大化问题的基础。
它可以通过对效用函数求导数来得到。
具体而言，对于一个约束最优化问题，其一阶条件要求边际效用与边际成本或边际收益相等。
当一阶条件成立时，就意味着个体或组织已经达到了效用最大化的局部最优解。
然而，一阶条件并不能保证所得到的解是全局最优解。
为了进一步确定最优解的性质，需要利用二阶条件进行推导。
二阶条件是在一阶条件的基础上，对效用函数进行二阶导数的分析。
具体来说，二阶条件要求效用函数的二阶导数为负。
这意味着，效用函数的边际边际效应是负的，即效用的增加速度在递减。
这一条件的推导是基于边际效用递减的假设，即当某一商品的消费量增加时，其边际效用会递减。
通过二阶条件的推导，可以进一步判断效用最大化问题的解的性质。
当二阶导数为负时，效用函数呈现凹型，此时一阶条件的解是效用最大化的全局最优解。
而当二阶导数为正时，效用函数呈现凸型，此时一阶条件的解只是效用最大化的局部最优解。
除了二阶导数的符号，二阶条件还包括二阶导数的大小。
当二阶导数的绝对值越大时，意味着效用函数的曲率越陡峭，即边际效用的递减速度越快。
这种情况下，一阶条件的解更有可能是全局最优解。
需要注意的是，二阶条件只能给出效用最大化问题解的性质，而不能提供具体的解。
具体的解需要通过求解一阶条件方程来得到。
效用最大化的二阶条件是在一阶条件的基础上，通过对效用函数的二阶导数进行分析得出的。
二阶条件要求效用函数的二阶导数为负，即效用的边际边际效应是负的。
通过二阶条件的推导，可以进一步判断效用最大化问题解的性质。
当二阶导数为负时，一阶条件的解是效用最大化的全局最优解。
而当二阶导数为正时，一阶条件的解只是效用最大化的局部最优解。
同时，二阶条件还包括二阶导数的大小，绝对值越大表示曲率越陡峭，解更有可能是全局最优解。
五类型函数的二阶导数计算方法举例
五类型函数的二阶导数计算方法举例在函数的微积分中，二阶导数是指函数的导数的导数，表示对函数的变化率进行两次微分得到的结果。
二阶导数可以提供更详细的信息，例如函数的凸凹性和曲线的弯曲程度。
下面将介绍五种常见类型函数的二阶导数计算方法，并通过举例进行说明。
1.多项式函数：多项式函数是由常数乘以幂的和构成的函数。
其一阶导数是原多项式的次数降低一次，并乘以该系数。
而二阶导数则是对一阶导数再次求导。
例如，函数f(x)=3x^3-2x^2+5x-7的一阶导数是f'(x)=9x^2-4x+5，而二阶导数则是f''(x)=18x-42.指数函数：指数函数是以常数为底的指数幂的函数。
其一阶导数是原指数函数乘以底数的对数，而二阶导数则是对一阶导数再次求导。
例如，函数 f(x) = 2^x 的一阶导数是 f'(x) = ln(2) * 2^x，而二阶导数则是 f''(x) = ln(2)^2 * 2^x。
3.对数函数：对数函数是指以一些常数为底的对数的函数。
由于对数函数的定义域范围有限，一阶导数常常可以通过求导法则得到。
而二阶导数即是对一阶导数再次求导。
例如，函数 f(x) = ln(x) 的一阶导数是 f'(x) = 1/x，而二阶导数则是 f''(x) = -1/x^24.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
其中正弦函数和余弦函数的二阶导数与本身的函数形式相同，只是系数的符号发生改变。
正切函数的二阶导数可以通过求一阶导数的商的导数得到。
例如，函数 f(x) = sin(x) 的一阶导数是 f'(x) = cos(x)，而二阶导数则是 f''(x) = -sin(x)。
函数 g(x) = tan(x) 的一阶导数是 g'(x) = sec^2(x)，而二阶导数则是 g''(x) = 2sec^2(x) * tan(x)。
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效用函数二阶导数
效用函数是经济学中的一个重要概念，它用来描述消费者在不同消费组合下的满足程度。
一般来说，一个消费者的效用函数需要满足三个条件：单调性、凸性和非饱和性。
其中，凸性是指消费者偏爱平均化消费的情况，即消费者在不同的消费组合下，更倾向于将
消费分散均匀而不是集中在某一个方面。
效用函数的二阶导数则能够告诉我们一个消费者
的凸性具体表现在哪些方面，为研究效用函数的性质提供了重要的参考依据。
首先，我们来看一下什么是效用函数的二阶导数。
效用函数一般用U表示，它关于物
品1、物品2、……、物品n的数量分别为x1、x2、……、xn的二阶导数可以写成如下形式：
U''(x1, x2, ..., xn)
其中，U''表示效用函数二阶导数，x1、x2、……、xn分别表示不同物品的数量。
这
个二阶导数反映了消费者在不同消费组合下的过度反应程度，也就是消费者对不同物品的
偏好程度差异。
具体来说，二阶导数越大，意味着消费者对不同物品的偏好程度差异越大，即该消费者的凸性越强。
接下来，我们来看一下效用函数的二阶导数的具体含义。
在消费者理性选择的环境中，每个消费者都希望在有限的收入下获得最大的满足感，因此他们会选择一种最优的消费组
合方案。
假设我们有两个物品X和Y，一个消费者在某个消费组合下的效用函数可以表示
为U(X,Y)，则该消费者的预算约束为：
P<X>X+P<Y>Y=I
其中，P<X>和P<Y>分别表示物品X和Y的价格，I表示该消费者的收入。
在这种情况下，该消费者会使效用函数最大化，从而得到最优的消费组合。
设该消费组合为(X*,Y*)，则它必须在预算线上（即P<X>X+P<Y>Y=I）且效用函数的一阶导数为0，即：
∂U(X*,Y*)/∂X*=P<Y>/P<X>
∂U(X*,Y*)/∂Y*=P<X>/P<Y>
这个最优点可以被称为“马歇尔式最优点”，因为它符合经济学家阿尔弗雷德·马歇
尔（Alfred Marshall）提出的最优点标准。
同时，这个最优点也可以满足效用函数的二阶导数为负，即U''(X*,Y*)<0。
这个条件实际上就是凸性条件，因为效用函数的二阶导数为负表示效用函数在该点处是凸的。
另外，如果二阶导数非常小（接近于0），则意味着效用函数在该点处是非凸的，即效用函数在该消费组合下的平均化倾向非常弱。
这个情况一般出现在消费者对某些物品的偏
好程度差异非常小的情况下。
总之，效用函数的二阶导数可以帮助我们更好地理解消费者的凸性偏好，也可以在实际应用中为不同物品的定价和市场竞争提供参考依据。