北师大版高中数学必修2空间图形基本关系的认识空间图形的公理
证明：∵E，H 分别是 AB，AD 的中点，∴EH═ ∥12BD. ∵CCFB＝CCGD＝23，∴FG═ ∥23BD. ∴四边形 EFGH 为梯形，从而两腰 EF，GH 必相交于一点 P. ∵P∈直线 EF，EF 平面 ABC，∴P∈平面 ABC.
同理 P∈平面 ADC， ∴P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上． 故 EF，GH，AC 三条直线交于一点．
求证：点 B，D，P 在同一条直线上．
【证明】 ∵EF∩GH＝P， ∴P∈EF，P∈GH. 又∵E∈平面 ABD，F∈平面 ABD， ∴EF 平面 ABD，∴P∈平面 ABD.
同理：P∈平面 CBD. 即点 P 是平面 ABD 与平面 CBD 的公共点． 由题意可得 B、D 也是平面 ABD 与平面 CBD 的公共点．由公 理 3 知 P，B，D 在两平面的交线上，即 B，D，P 在同一条直线上．
答案：共线
5．给出下列四个命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ②空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④空间四点不共面，则任意三点不共线． 其中正确命题的序号是________．
解析：①错，空间四点共面，未必有三点共线；②正确；③ 错，此四点可能共面；④正确，若任意三点共线，则四点必共面， 与已知矛盾．
已知 A∈l，B∈l，C∈l，D∉l(如图)，求证： 直线 AD，BD，CD 共面．
证明：∵D∉l， ∴点 D 与直线 l 确定一平面 α，则 D∈α，l α. 又∵A∈l， ∴A∈α，∵D∈α，∴AD α.
同理，BD α，CD α. ∴AD，BD，CD 都在平面 α 内，即它们共面.
已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD(四条线 段首尾相接，且连接点不在同一平面内，这样的空间图形叫空间 四边形)各边 AB，AD，CB，CD 上的点，且直线 EF 和 GH 交于点 P，如图所示．
空间三点可以确定几个平面？为什么？ 【错解】 空间三点可以确定一个平面或无数个平面． 当空间三点不在同一条直线上时，根据公理 2 可知，这三点 确定一个平面；当空间三点在同一条直线上时，过这三点有无数 个平面． ∴空间三点可确定一个平面或无数个平面．
【错因分析】 错解对“确定”理解不准确．“确定”即“有 且只有”，“有”是说图形的存在性，“只有”是说图形的唯一 性．
A．P l，l α
B．P∈l，l∈α
C．P l，l∈α 答案：D
Dபைடு நூலகம்P∈l，l α
3．空间图形的公理及推论
文字语言
图形语言
过_不_在__一_条__直_线__上______ 的三点，有且只有一个 公理 1 平面(即可以确定一个 平面)
符号语言 若 A、B、C 三点 不共线，则存在 唯一一个平面 α， 使 A∈α，B∈α， C∈α
A．A∈b∈β
B．A∈b β
C．A b β
D．A b∈β
解析：点与直线、平面之间的关系用符号“∈”或“∉”；直 线在平面内用符号“ ”．
答案：B
2．如果直线 a 平面 α，直线 b 平面 α，M∈a，N∈b，M
∈l，N∈l，则( ) A．l α
B．l⃘α
C．l∩α＝M
D．l∩α＝N
解析：∵M∈a，a α，∴M∈α，同理，N∈α，又 M∈l，N
课堂互动探究
典例精析 规律总结
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1，如 图所示，AC 与 BD 相交于点 M，则下列说法中 正确的是________．
①点 M 在直线 AC 上，点 B 在直线 A1B1 外； ②直线 AC 与 BD 相交，直线 AC 与 A1D1 相交； ③直线 AC 与平面 A1B1C1D1 异面．
答案：D
1．空间中最基本的位置关系有哪些？ 答：在空间中，点可看作元素，直线和平面可看作点的集合， 点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面之 间的位置关系是空间中最基本的位置关系．平时可借助笔、书本 来演示它们的位置关系．
2．学习立体几何应学好哪几种数学语言？ 答：文字语言、符号语言、图形语言是数学表达和数学思维 不可缺少的重要工具，必须认真学好这三种语言，并能熟练地将 三种语言互相转化．
【解析】 ①M 是 AC 与 BD 的交点，则 M 在 AC 上，由图 观察，显然 B 在直线 A1B1 外．∴①正确．
②由长方体可知 AC 与 A1D1 分别在上、下两个底面，无公共 点，不相交．∴②错误．
③直线与平面位置关系中无“异面”这一说法．∴③错误． 【答案】 ①
【规律总结】 在几何体中应仔细观察点、线、面之间的位 置关系，结合位置关系的定义进行判断，不可凭感觉解题．
【正解】 若空间三点不共线，则由公理 1 可以确定一个平 面；
若空间三点共线，则过这三点有无数多个平面，但这三点不 能确定其中的任何一个平面，此时可确定零个平面．所以空间三 点可以确定一个或零个平面．
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
知识点一 点、线、面的位置关系
1．若点 A 在直线 b 上，b 在平面 β 内，则 A、b、β 之间的关 系可以记作( )
答案：②④
解析：A 错，如果三条直线共点，那么这三条直线可能不共 面，如三棱锥的三条棱；B 错，若两个平面 α，β 有一个公共点 A， 则 α 与 β 相交，一条过点 A 的直线，也可能 α 与 β 重合；C 错， A，B，C，D 共线时，α 与 β 不一定重合；D 正确，不共线三点才 确定一个三角形，因此，三角形为平面图形．
正确． 答案：④
l 共面．
已知直线 a∥b，直线 l 与 a、b 都相交，求证：a、b、
【证明】 如图． ∵a∥b， ∴a、b 确定平面 α. 又∵l 与 a 交于点 A，l 与 b 交于点 B， ∴A∈α，B∈α.又 A∈l，B∈l， ∴l α，即 a、b、l 共面．
【规律总结】 证明线共面问题，一种思路是先确定一个平 面，再证明其他直线都在这个平面内；另一种思路是先由一部分 直线确定一个平面 α，另一部分直线确定平面 β，再证明 α 与 β 重合即可．
4．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 DB 的中 点，直线 A1C 交平面 C1BD 于点 M，则点 C1，M，O 的关系是 ________．
解析：连接 AC，A1C1，则 AC∩BD＝O，A1C∩平面 C1BD＝ M，∴三点 C1，M，O 在平面 C1BD 内，又三点 C1，M，O 在平 面 ACC1A1 内，∴三点 C1，M，O 在平面 C1BD 与平面 ACC1A 的 交线上，即 C1，M，O 三点共线．
文字语言
推论 1
一条直线和 __直_线__外_一__点____ 确定一个平面
推论 2
两条_相__交_____ 直线确定一个 平面
图形语言
符号语言 若 P∉l，则存在唯一一 个平面 α，使 l α，
P∈α 若 a∩b＝P，则存在 唯一一个平面 α，使 a
α，b α
文字语言 两条_平__行____直线确 推论 3 定一个平面
下面是四个命题的叙述语(其中 A，B 表示 点，a 表示直线，α 表示平面)：
①∵A α，B α，∴AB α； ②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； ③∵A∉a，a α，∴A∉α；
④∵A∉α，a α，∴A∉a. 其中，叙述方式和推理都正确的命题的序号是________．
解析：①错，点与面的关系应写成 A∈α，B∈α；②错，直线 与面的关系应写为 AB α；③错，推理错误，A 可能在 α 内；④
∈l，故 l α. 答案：A
知识点二 公理的应用 3．下列叙述中错误的是( ) A．若 P∈α，P∈β，且 α∩β＝l，则 P∈l B．一点和一条直线只能确定一个平面 C．若直线 a∩b＝A，则直线 a 与 b 能够确定一个平面 D．圆上三点可以确定一个平面 解析：若点在直线外，则它们只能确定一个平面，若点在直 线上，则过直线及点的平面有无数多个． 答案：B
图形语言
符号语言 给定点 P 以及平面 α，β，若点 P∈α， 且 P∈β，则存在直 线 l，使得 α∩β＝l， 且 P∈l
练一练 (2) 如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的 是( )
解析：相交平面中，被遮住的部分应画成虚线． 答案：D
练一练 (3) 下列命题中正确的是( ) A．空间两两相交的三条直线确定一个平面 B．若两个平面 α、β 有一个公共点 A，则 α∩β＝A C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 与 β 重合 D．三角形一定是平面图形
1．点与直线的位置关系 (1)__点_在__直_线__上___________． (2)__点_在__直_线__外___________． 2．点与平面的位置关系 (1)__点_在__平_面__内___________． (2)_点__在_平__面_外____________．
练一练 (1) 点 P 在直线 l 上，直线 l 在平面 α 内，用符号表 示为( )
【规律总结】 证明多点共线问题常用思路：(1)证明这些点 分别在两个相交平面内，根据公理 3 知，它们一定在两个平面的 交线上．(2)先由其中两点确定一条直线，再证其它点也在此直线 上．
已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是 BC，CD 上的点，且CCFB＝CCGD＝23(如图所示)，求证：三条直线 EF，GH， AC 交于一点．
图形语言
符号语言
若 a∥b，则存在唯一
一个平面 α，使 a α，
bα
如果一条直线上的 _两__点_____在一个平 公理 2 面内，那么这条直线 在平面内
若 A∈l，B∈l，且 A ∈α，B∈α，则 l α
文字语言 如果两个不重合的 平面_有_一__个_公__共_点____， 公理 3 那么它们有且只有 __一__条________过该 点的公共直线
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1.4空间图形的基本关系与公理(北师大必修2)
§1.4空间图形的基本关系与公理 【学习目标】 了解异面直线，公理4、及等角定理及它们的应用 【学习重点】公理4、及等角定理的理解及应用 【学习难点】公理4、及等角定理的理解及应用 【知识链接】 公理1 公理2 公理3 1．提出问题：同一平面上的两条直线位置关系有哪几种？ 2. 按符号画出图形：a ⊂α，b ∩α＝A ，A ∉a 3. 探究：教室内的哪些直线实例？有什么位置关系？ 【学法指导】归纳推理 【知识链接】 一.两条直线的位置关系： 实例探究异面直线：①讨论：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面直线？②讨论：空间两条直线的位置关系：二、平行公理：① 提出问题：平行于同一条直线的两条直线互相平行？结论：用数学符号表示为 【典型例题】 例1：在空间四边形AB CD 中,E,F,G,H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。
三、等角定理：① 讨论：平面几何中，两角对边分别平行，则两角有何关系？立体几何中呢？② 定理：如果一个角的两边和另一个角的两条边分别对应平行，那么这两角 。
改写成:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两角 。
③ 推广：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。
图形表示讨论：与点O 的位置是否有关？为什么？最简单的取法如何取？ 什么叫两条直线 垂直探究：给出正方体和几条面、体的对角线，找出几对异面直线，并指出所成角 【总结提升】 【目标检测】 1若直线a//b, b c A = ,则a 与c 的位置关系是（ ）A 异面B 相交C 平行D 异面平行2在空间中下列说法中正确的个数为（ ）① 平行于同一条直线的两条直线互相平行；②两角的两边分别平行，那么这两角相等 ③有一组对边平行的四边形平行四边形；④异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦A 1B 2C 3D 43．已知AB // MQ ，BC // QN ，若ABC ∠150=︒则MQN ∠=（ ）A 150︒B 30︒C 30︒ 或150︒D 以上结论都不对4在正方体1111ABCD A BC D -中，面对角线中与A 1D 成60︒的有 条5在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H M M 分别是所在边的中点，求证：E F G M N H ∠=∠【作业布置】1.空间四边形ABCD ，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝13，求证：EFGH 是梯形。
高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理
理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； 无数条直线． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
B
（2）点在平面外
记作： 点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作： 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l
A
a
a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1， 判断下 列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无 数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；
数学北师大版必修第二册6.3.1空间图形基本位置关系的认识6.3.2刻画空间点、线、课件
激趣诱思
知识点拨
解(1)符号语言:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.图形表示如图 ①.
(2)符号语言:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.图 形表示如图②.
激趣诱思
知识点拨
二、平面的基本性质及其推论 1.平面的基本性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
探究四
当堂检测
证明点共线 例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.
求证:P,Q,R三点共线.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
证明(证法一)因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.
又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
证明线共点
例4如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即
α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过
同一点.
证明因为α∩γ=b,β∩γ=a,
所以a⊂γ,b⊂γ.
因为直线a和b不平行,所以a,b必相交.
如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.
2.三个推论
激趣诱思
知识点拨
微思考 两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗? 提示不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点. 微判断 判断(正确的打“√”,错误的打“×”). (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( ) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作
α∩β=A.( ) (3)空间不同的三点确定一个平面.( ) (4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)√
北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)
条直线叫作相交直线，记作 a∩b＝P.
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
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4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
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3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
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提示
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例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
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提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
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提示
2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
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4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
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3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
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提示
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例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
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提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
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2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先 证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在 平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.
m.
共面问题
1.证明共面问题的依据
高中数学北师大版必修二：1.4 空间图形的基本关系与公理 课件
基本题型
证明点共线：证明这些 点同时在两相交平面内 证明线共点：先确定两 条直线交点，再证交点 在第三条直线上。 证明点共面或线共面： 先由一些元素确定一个 平面，再证另一些元素 也在这个平面内。
(2)
AB B
B A
l
l , A l A
l
思考2:请你用尺子做实验并回答以下 问题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？ 2、过两点有几个平面？ 3、过三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
公理2 经过不在同一条直线上的三点,
有且只有一个平面。
O
D
M A B
C
平面的基本性质
公理1: 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内。 公理3:如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线 公理2:经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平面。 推论1:经过一条直线和这条直线 外的一点有且只有一个平面。 推论2: 经过两条相交直线有且 只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线有且 只有一个平面。
点评：证明线共点——先确定两条直线交点， 再证交点在第三条直线上。
探讨2：3个平面可将空间分成几部分？
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
• 例8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于O，AC、BD交于点M． • 求证：点C1、O、M共线．
D1 C1 B1
A1
B A
王新敞
奎屯 新疆
C
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
A
B
C
第1章 §4 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共52张PPT)
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
自
课
主
堂
预
小
习
结
·
探
提
新
素
知
养
合
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．
课
作
时
探
分
究
层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
22
·
自
课
主
堂
预
三种语言的转换方法
小
习
结
·
探 新
1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形
堂
预
小
习
结
探
【例 2】 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 提
·
新
素
知
[思路探究] 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外 养
合 作
一条直线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分
课 时
探
究 别确定两个平面 α，β，然后证明 α，β 重合．
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
小 结
·
探 新
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平
提 素
知
养
面内，即用“纳入法”；
合
课
作 探
2先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一 时 分
究
释 个平面 β，再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”；
层 作
疑
业
难
3假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
∴E»Q五级B1C1，
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
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– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)
自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．