华师大版九年级数学下册《二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》PPT课件
x 例函数y bx在同一坐标系内的大致图象是（ C ）
解析：由二次函数的图象得 知：a＜0，b＞0.故反比例 函数的图象在二、四象限， 正比例函数的图象经过一、 三象限.即正确答案是C.
当堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④
(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是
( D)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限
的形式，即
y ax2 bx c a(x
b
)2 4ac b2 .
2a
4a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
( b , 4ac b2 ). 2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 y x b
2a
y x b
2a
O
x
(1)
y=ax²+bx+c
ax2
b a
x b 2 2a
b
2
c
2a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a x
b
2
b2
c
2a 4a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k
可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－
1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
练一练 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图，反比例函数 y a 与正比
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0 c2_＝__ 0
O 对左x称侧轴， 2在xba＜11y＜轴00
x 开口向上，a＞0
对x称 轴b在2 ＞y轴0 右侧，2xa＞2 0
x b3 y
2a3
x=0时，
y=c.
O
对x=称x0轴 2是ba11y=轴0 ，
? ?
y轴 y轴 直线x=-2 直线x=-2 直线x=4
? ?
最值 0 -5 0 -4 3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些 知识来讨论 y 1 x2 6x 21 的图象和性质？
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 2
2
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 … 7.5
2
5 3.5 3 3.5 5 7.5 … y
然后描点画图，得到图象如右图.10
5
O
5
10 x
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21的图象，说出其性质. 2y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
解： y 2x2 8x 7
2(x2 4x) 7
2(x2 4x 4) 8 7
2(x 2)2 1.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直 线x=2，顶点坐标为(2,-1).
二 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0) 化成顶点式y=a(x-h)2+k？
x b4 2a4
a3_＜__ 0 b3_＝__ 0
c3_＞__ 0
a4_＜__ 0 b4_＞__ 0 c4_＜__ 0
x
开口向下，a＜0
对右x称侧 轴，2b在xa2＞2 ＞y轴00
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ 23，y2）是抛物线上两
点，则y1>y2.其中正确的是（ B ）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
九年级数学下（HS） 教学课件
26.2 二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成
顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点 坐标、对称轴.（重点）
2 (1) 即b≤1，故选择D .
填一填
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴
直线x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
三 二次函数字母系数与图象的关系
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
y
的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是 （2） .
–2
直线x=1
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 x b b ，
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6
顶点坐标 对称轴
(0,0) (0,-5) (-2,0) (-2,-4) (4,3)
你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
提示:配方后的 表达式通常称为 配方式或顶点式.
问题2 你能说出 y 1 (x 6)2 3的对称轴及顶点坐标吗？ 2
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
如果a>0,当x<
b 2a
时，y随x的
增大而减小；当x> b 时，
2a
y随x的增大而增大.
O
x
(2)
如果a<0,当x< b 时，y随x
2a
的增大而增大；当x>
b
时，
2a
y随x的增大而减小.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
5
O
5
10 x
典例精析
例1 画出函数 y 1 x2 x 5 的图象，并说明这个
2
2
函数具有哪些性质.
解: 函数 y 1 x2 x 5 通过配方可得 y 1 (x 1)2 2 ，
2
2
2
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
然后描点、连线，得到图象如下图.
y -4 -2
0 -2 -4 -6 -8
24
由图象可知，这个函数具有 x 如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增 大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增 大而减小； 当x=1时，函数取得最大值， 最大值y=-2.
练一练
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
问题3 二次函数 y 1 (x 6)2 3可以看作是由 y 1 x2
2
2
怎样平移得到的？
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
解析：由二次函数的图象得 知：a＜0，b＞0.故反比例 函数的图象在二、四象限， 正比例函数的图象经过一、 三象限.即正确答案是C.
当堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
则该二次函数图象的对称轴为( D )
列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④
(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是
( D)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在 y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限
的形式，即
y ax2 bx c a(x
b
)2 4ac b2 .
2a
4a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
( b , 4ac b2 ). 2a 4a
对称轴是：直线 x b . 2a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 y x b
2a
y x b
2a
O
x
(1)
y=ax²+bx+c
ax2
b a
x b 2 2a
b
2
c
2a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a x
b
2
b2
c
2a 4a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k
可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－
1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
练一练 二次函数 y ax2 bx c 的图象如图，反比例函数 y a 与正比
x b2 2a2
a1 _＞__ 0 b1_＞__ 0 c1_＞__ 0
a2_＞__ 0 b2_＜__ 0 c2_＝__ 0
O 对左x称侧轴， 2在xba＜11y＜轴00
x 开口向上，a＞0
对x称 轴b在2 ＞y轴0 右侧，2xa＞2 0
x b3 y
2a3
x=0时，
y=c.
O
对x=称x0轴 2是ba11y=轴0 ，
? ?
y轴 y轴 直线x=-2 直线x=-2 直线x=4
? ?
最值 0 -5 0 -4 3 ? ?
讲授新课
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些 知识来讨论 y 1 x2 6x 21 的图象和性质？
2
问题1 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的形式？ 2
2
x
… 3 4 5 6 7 8 9…
y 1 (x 6)2 3 … 7.5
2
5 3.5 3 3.5 5 7.5 … y
然后描点画图，得到图象如右图.10
5
O
5
10 x
问题5 结合二次函数 y 1 x2 6x 21的图象，说出其性质. 2y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
解： y 2x2 8x 7
2(x2 4x) 7
2(x2 4x 4) 8 7
2(x 2)2 1.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直 线x=2，顶点坐标为(2,-1).
二 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0) 化成顶点式y=a(x-h)2+k？
x b4 2a4
a3_＜__ 0 b3_＝__ 0
c3_＞__ 0
a4_＜__ 0 b4_＞__ 0 c4_＜__ 0
x
开口向下，a＜0
对右x称侧 轴，2b在xa2＞2 ＞y轴00
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1
是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③
a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ 23，y2）是抛物线上两
点，则y1>y2.其中正确的是（ B ）
y
A．①②③ C．①②④
B．①③④ D．②③④
O 2x x=-1
九年级数学下（HS） 教学课件
26.2 二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成
顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点 坐标、对称轴.（重点）
2 (1) 即b≤1，故选择D .
填一填
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴
直线x=
1 3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
三 二次函数字母系数与图象的关系
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据
A.y轴 C. 直线x=2
B.直线x= 5
2
D.直线x= 3
2
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
y
的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
x
（4）当y=–2时，x的值只能取0； –1 O
3
其中正确的是 （2） .
–2
直线x=1
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 x b b ，
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6
顶点坐标 对称轴
(0,0) (0,-5) (-2,0) (-2,-4) (4,3)
你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
提示:配方后的 表达式通常称为 配方式或顶点式.
问题2 你能说出 y 1 (x 6)2 3的对称轴及顶点坐标吗？ 2
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
如果a>0,当x<
b 2a
时，y随x的
增大而减小；当x> b 时，
2a
y随x的增大而增大.
O
x
(2)
如果a<0,当x< b 时，y随x
2a
的增大而增大；当x>
b
时，
2a
y随x的增大而减小.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值
随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
5
O
5
10 x
典例精析
例1 画出函数 y 1 x2 x 5 的图象，并说明这个
2
2
函数具有哪些性质.
解: 函数 y 1 x2 x 5 通过配方可得 y 1 (x 1)2 2 ，
2
2
2
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
然后描点、连线，得到图象如下图.
y -4 -2
0 -2 -4 -6 -8
24
由图象可知，这个函数具有 x 如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增 大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增 大而减小； 当x=1时，函数取得最大值， 最大值y=-2.
练一练
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
问题3 二次函数 y 1 (x 6)2 3可以看作是由 y 1 x2
2
2
怎样平移得到的？
答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
合集下载
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)
质 随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
九年级数学下册二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第2课时课件华东师大
【规律总结】 函数y=a(x-h)2图象的左右平移规律
函数y=a(x-h)2图象的左右平移中a是不变的,向左平移m个单位 则为y=a(x-h+m)2,向右平移m个单位则为y=a(x-h-m)2,简记为 “左加右减”．
【跟踪训练】
1.(2011·乐山中考)将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的
2
是( )
【解析】选A.∵y=-x-1的图象过第二、三、四象限, y 3 (x 1)2
2
的开口向下,顶点为点(1,0),∴同时符合上述条件的图象只有选 项A．
3.抛物线y=-10(x+9)2由y=-10x2向_________平移______个单位 可以得到． 【解析】抛物线y=-10(x+9)2的顶点坐标为(-9,0)，抛物线 y=-10x2的顶点坐标为(0,0)，由(0，0)到(-9,0)是向左平移9个 单位，所以抛物线y=-10(x+9)2由y=-10x2向左平移9个单位可以 得到. 答案：左 9
4.函数 y 1 x 32的图象是由 y 1 x2 的图象向____平移____
2
2
个单位得到的，顶点坐标是_______.当x____时,函数值y随x的增
大而减小；当x____时,函数值y随x的增大而增大；当x____时,函
数取得____值,其值为______．
【解析】函数 y 1 的x 图3象2 是由
式为y=2(x-3)2.
2.(2011·兰州中考)抛物线y=x2-2x+1的顶点坐标是( )
(A)(1,0)
(B)(-1,0)
(C)(-2,1)
(D)(2,－1)
【解析】选A.配方得y=(x-1)2,得顶点为(1,0)．
九年级数学y=ax2bxc的图象与性质课件(新版)华东师大版
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
◎第二阶
◆知识导航 ◆典例导学 ◆反响演练 〔 ◎第一阶 ◎第三阶 〕
华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》优课件
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0； ③c＞0；④2a＋b＝0；⑤a＋b＋c＜0.其中正确的个数是( )
C A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2①＋③2.其中图象通过平 移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有_______．(填写所有正确选项的序号)
C．(1，－6) D．(－2，－2)
知识点3：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 6．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标是( )A A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
7．(2015·黔南州)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，下列说法中错误的
是( )
－1 时，y 最大值＝27
17．已知二次函数 y＝－12x2－x＋23. (1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并指出其对称轴 和顶点坐标； (2)当－2≤x≤2 时，它的最大值和最小值分别是多少？ (3)若将此图象沿 x 轴向右平移 3 个单位，请写出平移后的图象所对应的 函数关系式．
解：(1)将点 O(0，0)代入二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1 中，得 0＝m2－1， 解得 m＝±1.∴二次函数的解析式为 y＝x2＋2x 或 y＝x2－2x (2)当 m＝2 时，二次函数的解析式为 y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴C(0，3)，顶点坐 标为 D(2，－1) (3)存在．连结 CD，根据“两点之间，线段最短”可知， 当点 P 位于 CD 与 x 轴的交点时，PC＋PD 最短．设经过 C，D 两点的直 线的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，则将 C(0，3)，D(2，－1)两点坐标代入解 析式中，可得3－＝1b＝，2k＋b，解得kb＝＝3－. 2，∴y＝－2x＋3.令 y＝0，可得
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》课件_10
任务二： 能灵活处理二次函数图像的变换
探究：二次函数的移动
引例： 发现： 1、向y右 移2x动2 的一图个像单位得到函数：_y__2_(_x__1_)_2_
y 2(x 1)2 1 再向上移动一个单位得到函数：________
y 2x2 的顶点（0，0） 向右移动一个单位，再向上移动一个单位 得到函数 y 2(x 1)2 1 的顶点（1，1）
抛物线 y 6(x 3)2 5 与抛物线________
关于x轴对称
注意：抛物线的开口、顶点、对称轴的情况
课堂小结：
1、二次函数的图像平移后：开口方向及形状不变 顶点移动的路径与图像移动路径一致
2、二次函数的图像绕着某一点旋转： 开口方向变化，形状不变
3、两个二次函数的图像关于y轴对称时： 开口方向及形状不变 两个顶点也关于y轴对称
二次函数图像的基本要素： 开口、对称轴、顶点、与坐标轴的交点
复习：
函数
y ax2 y ax2 k y a(x h)2
y a(x h)2 k
顶点
（0，0） （0，k)
(h,0) (h,k)
对称轴
Y轴或 X=0 Y轴或 X=0
X= X=h
任务一： 探究二次函数图像的变换
2、在平移的过程中，抛物线的开口方向、形 状保持不变，即a不变
已知函数
？未知函数
例1：函数 y 2x2 向下平移一个单位得到：__y____2_x_2_1
向右平移一个单位得到：__y____2_(_x___1)2
例2：把抛物线 y x2 向左平移1个单位，
然后向上平移3个单位，求平移后的抛物 线的关系式
y 1 x2 3
的图像？
探究：二次函数的移动
引例： 发现： 1、向y右 移2x动2 的一图个像单位得到函数：_y__2_(_x__1_)_2_
y 2(x 1)2 1 再向上移动一个单位得到函数：________
y 2x2 的顶点（0，0） 向右移动一个单位，再向上移动一个单位 得到函数 y 2(x 1)2 1 的顶点（1，1）
抛物线 y 6(x 3)2 5 与抛物线________
关于x轴对称
注意：抛物线的开口、顶点、对称轴的情况
课堂小结：
1、二次函数的图像平移后：开口方向及形状不变 顶点移动的路径与图像移动路径一致
2、二次函数的图像绕着某一点旋转： 开口方向变化，形状不变
3、两个二次函数的图像关于y轴对称时： 开口方向及形状不变 两个顶点也关于y轴对称
二次函数图像的基本要素： 开口、对称轴、顶点、与坐标轴的交点
复习：
函数
y ax2 y ax2 k y a(x h)2
y a(x h)2 k
顶点
（0，0） （0，k)
(h,0) (h,k)
对称轴
Y轴或 X=0 Y轴或 X=0
X= X=h
任务一： 探究二次函数图像的变换
2、在平移的过程中，抛物线的开口方向、形 状保持不变，即a不变
已知函数
？未知函数
例1：函数 y 2x2 向下平移一个单位得到：__y____2_x_2_1
向右平移一个单位得到：__y____2_(_x___1)2
例2：把抛物线 y x2 向左平移1个单位，
然后向上平移3个单位，求平移后的抛物 线的关系式
y 1 x2 3
的图像？
26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 华师大版数学九年级下册导学课件
函数
y=a(x－h)2(a>0)
y=a(x－h)2(a<0)
图象
顶点坐标 对称轴
(h，0) 直线x=h
感悟新知
续表：
函数 y=a(x－h)2(a>0) y=a(x－h)2(a<0)
当h>0 时，顶点在y轴的右侧(即x 轴 顶点位置 的正半轴上)；当h<0 时，顶点在y 轴
的左侧(即x 轴的负半轴上)
A. 2，4
B. －2，－4
C. －2，4
D. 2，－4
感悟新知
1-2. 二次函数y=－x2－2 的图象大致是( D )
感悟新知
1-3. 二次函数y=(a－2)·x2－3， 当x<0 时，y 随x 的增大而
增大，则a 的取值范围是( D )
A. a>－2
B. a>2
C. a<－2
D. a<2
感悟新知
答案：A
感悟新知
2-1. 抛物线y=－2x2 可由抛物线y=－2(x－3)2向___左____ 平移____3____个单位得到．
感悟新知
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为__(4_，___0_) _；对称轴 是__直__线__x_＝__4__；当__x_＝__4_时，函数值y有_最__小__值__， 此时值为____0____.
感悟新知
平移规律口诀 上加下减，纵变横不变. “上加下减”表示抛物线的位置上下平移规律，即：
抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2上下平移｜k｜个单位得 到的，“上加”表示当k为正数时，向上平移；“下减” 表示当k为负数时，向下平移.
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线 平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
初三下数学课件(华东师大)-二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质-第四课时
2.抛物线y = 2x2 + bx + c的顶点坐标 为(- 1,2),则b = ______，c = ______.
例：指出抛物线: y x 2 5 x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴 的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时） ，这样就可以画出它的大致图象。
五、课堂小结 本课时学习了：(1)用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的 顶点坐标、对称轴；(2)由y＝ax2＋bx＋c的图象判断与a、b 、c有关代数式的值的正负；(3)函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)图象间的平移．
回答问题:
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
(1) y 1 ( x 5 )2 2
3
33
(2) y 2x2 x 3
(3) y 3x2 4x 1
函数y=ax²+bx+c的对
称轴，顶点坐标是什么？
y ax2 bx c
a(x2 b x) c
a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c
答案：(1)直线x＝1，顶点坐标为(1，3)； (2)图象略； (3)y1＜y2.
例2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，试确定
a、b、c、2a＋b、2a－b、a＋b＋c、a－b＋c的符号．
解析：a＋b＋c、a－b＋c的符号，要看当x＝1和x＝－1时
，对应的y值的正负性，涉及2a与b的问题，往往要看对称轴 ．答案：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，抛物线与 y 轴的交点(0，c)
例：指出抛物线: y x 2 5 x 4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴 的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时） ，这样就可以画出它的大致图象。
五、课堂小结 本课时学习了：(1)用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的 顶点坐标、对称轴；(2)由y＝ax2＋bx＋c的图象判断与a、b 、c有关代数式的值的正负；(3)函数y＝ax2(a≠0)与y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)图象间的平移．
回答问题:
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
(1) y 1 ( x 5 )2 2
3
33
(2) y 2x2 x 3
(3) y 3x2 4x 1
函数y=ax²+bx+c的对
称轴，顶点坐标是什么？
y ax2 bx c
a(x2 b x) c
a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c
答案：(1)直线x＝1，顶点坐标为(1，3)； (2)图象略； (3)y1＜y2.
例2：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，试确定
a、b、c、2a＋b、2a－b、a＋b＋c、a－b＋c的符号．
解析：a＋b＋c、a－b＋c的符号，要看当x＝1和x＝－1时
，对应的y值的正负性，涉及2a与b的问题，往往要看对称轴 ．答案：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，抛物线与 y 轴的交点(0，c)
2021年华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》公开课课件
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性
质
y
x
函数y=ax²+bx+c的图象
w我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
w怎样直接作出 y3x26x5
函数y=3x2-6x+5 3x2 2x5
提取二次项系数
的图象?
3
w1.配方:
老师提示:ຫໍສະໝຸດ 当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
2a
4a
2a
4a
独立 作业
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
(1)当m取何值时,函数图象关于y轴 对称;
(2)当m取何值时,函数图象与y轴交 点纵坐标是1;
(3)当m取何值时,函数最小值是-2.
例7 已知抛物线 y1x2(m 4)x2(m 1 )
和(1)求y证2: 不x论2m4取x何6值,抛物线y1的顶点
总在y2抛物线上;
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
3x2
2x1153配 系方 数绝:加对上值再一减半去的一平次方项
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
质
y
x
函数y=ax²+bx+c的图象
w我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
w怎样直接作出 y3x26x5
函数y=3x2-6x+5 3x2 2x5
提取二次项系数
的图象?
3
w1.配方:
老师提示:ຫໍສະໝຸດ 当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
2a
4a
2a
4a
独立 作业
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
(1)当m取何值时,函数图象关于y轴 对称;
(2)当m取何值时,函数图象与y轴交 点纵坐标是1;
(3)当m取何值时,函数最小值是-2.
例7 已知抛物线 y1x2(m 4)x2(m 1 )
和(1)求y证2: 不x论2m4取x何6值,抛物线y1的顶点
总在y2抛物线上;
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
3x2
2x1153配 系方 数绝:加对上值再一减半去的一平次方项
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 华师版数学九年级下册课件
2
轴向左平移1个单位长度
得到.
平移规律是: 左加右减
请思考，并完成填空.
据此，可以由函数
y
1 2
x2 的性质，得到函数
y
12（x
1）2 的性
质；
当 x____<_0____时，函数值y随x的增大而减小； 当 x___＞__0____时，函数值y随x的增大而增大； 当 x____=_-_1___时 ， 函数取得最 __小_____值，最 ___小___值
C. y ( x 2)2 D.
y x2 2
【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是:“h 左加右减, k上加下减”.即自变量加减左右移，函数加减上下移.
课堂总结
通过本节课你学 到了什么？
图象
列表—描点—连线
二次函数 y=a（x-h）2
性质
概括
1.这两个函数的图象开 口方向相同.但是对称轴 和顶点坐标不同.
概括
2.函数 y 1 x 22
2
的图象可由y 1 x2
2
的图象沿x轴向右平移2
个单位长度得到.
请思考，并完成填空.
据此，可以由函数
y
1 2
x2
的性质，得到函数
y 12（x - 2）2
的性
质；
当 x____<_0____时，函数值y随x的增大而减小；
y=___0___.
在同一个平面直角坐标系中，函数 象有什么关系？试说出函数 标，并讨论这个函数的性质.
y - 31（x 2）2 的图象与函数
y
-
1 3
x2
的图
y -的31（x图 2）象2 的开口方向、对称轴和顶点坐
在同一个平面直角坐标系中，函数 的图象向左平移两个单位得到的， 称轴是x=-2和顶点坐标是（-2,0）.
轴向左平移1个单位长度
得到.
平移规律是: 左加右减
请思考，并完成填空.
据此，可以由函数
y
1 2
x2 的性质，得到函数
y
12（x
1）2 的性
质；
当 x____<_0____时，函数值y随x的增大而减小； 当 x___＞__0____时，函数值y随x的增大而增大； 当 x____=_-_1___时 ， 函数取得最 __小_____值，最 ___小___值
C. y ( x 2)2 D.
y x2 2
【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是:“h 左加右减, k上加下减”.即自变量加减左右移，函数加减上下移.
课堂总结
通过本节课你学 到了什么？
图象
列表—描点—连线
二次函数 y=a（x-h）2
性质
概括
1.这两个函数的图象开 口方向相同.但是对称轴 和顶点坐标不同.
概括
2.函数 y 1 x 22
2
的图象可由y 1 x2
2
的图象沿x轴向右平移2
个单位长度得到.
请思考，并完成填空.
据此，可以由函数
y
1 2
x2
的性质，得到函数
y 12（x - 2）2
的性
质；
当 x____<_0____时，函数值y随x的增大而减小；
y=___0___.
在同一个平面直角坐标系中，函数 象有什么关系？试说出函数 标，并讨论这个函数的性质.
y - 31（x 2）2 的图象与函数
y
-
1 3
x2
的图
y -的31（x图 2）象2 的开口方向、对称轴和顶点坐
在同一个平面直角坐标系中，函数 的图象向左平移两个单位得到的， 称轴是x=-2和顶点坐标是（-2,0）.
华东师大版九年级数学下册26.2.3二次函数 的图像与性质(二) 课件
解：因为当x＝2时，二次函数y＝a(x－h)2有最大值，
所以函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
所以当x＞2时，y随x的增大而减小．
10．[2021·衡阳期末]在函数y＝2(x＋1)2的图象上有三
点A(1，y1)，B(－3，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，
y3的大小关系是( A )
A．y1＝y2＞y3
象左右平移|h| 个单位得到.抛物线y=a(x-h)²的顶点是
（h,0）,对称轴是x=h.
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1. “ 左 加 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x － h)2 可 变 形 为
y=a(x+|h|)2 ，其图象可以由函数 y=ax2 的图象向左平移|h|
点坐标为(h，0)，函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应
的函数值y的最大值为－1，所以h不能取2～5(含2与5)之间的
数．当h<2时，函数在x＝2处取最大值－1，把(2，－1)代入y
＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h>5时，
函数在x＝5处取最大值－1，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解
得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】 B
12．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于
点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
因为OB＝OA，所以B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
左
________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称
所以函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
所以当x＞2时，y随x的增大而减小．
10．[2021·衡阳期末]在函数y＝2(x＋1)2的图象上有三
点A(1，y1)，B(－3，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，
y3的大小关系是( A )
A．y1＝y2＞y3
象左右平移|h| 个单位得到.抛物线y=a(x-h)²的顶点是
（h,0）,对称轴是x=h.
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1. “ 左 加 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x － h)2 可 变 形 为
y=a(x+|h|)2 ，其图象可以由函数 y=ax2 的图象向左平移|h|
点坐标为(h，0)，函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应
的函数值y的最大值为－1，所以h不能取2～5(含2与5)之间的
数．当h<2时，函数在x＝2处取最大值－1，把(2，－1)代入y
＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h>5时，
函数在x＝5处取最大值－1，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解
得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】 B
12．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于
点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
因为OB＝OA，所以B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
左
________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称