【期末试卷】浙江省温州市十校联合体2016-2017学年高二上学期期末联考数学试题 Word版含答案
2016学年第一学期温州“十校联合体”期末考试联考高二联考数学学科 试题考生须知：1．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.选择题部分一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.准线方程是2y =-的抛物线标准方程是A ．28x y =B ．28x y =-C ．28y x =-D ．28y x =2.已知直线1:10l x y -+=和2:30l x y -+=，则1l 与2l 之间距离是A ．B ．2C D ．23.设三棱柱111C B A ABC -体积为V ，G F E ,,分别是AC AB AA ,,1的中点， 则三棱锥AFG E -体积是A ．V 61B ．V 121 C ．V 161 D ．V 241 4.若直线0=++m y x 与圆m y x =+22相切，则m 的值是A ．0或2B ．2C ．2D ．2或25.在四面体ABCD 中命题①：BC AD ⊥且BD AC ⊥则CD AB ⊥ 命题②：AD AC =且BD BC =则CD AB ⊥A . 命题①②都正确B . 命题①②都不正确C . 命题①正确,命题②不正确D . 命题①不正确,命题②正确6.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,7.正方体1111D C B A ABCD －中，二面角11B BD A --的大小是 A ．3πB ．6π C ．32π D ．65π 8.过点()2,0-P 的直线交抛物线216y x =于11(,)A x y 22(,)B x y 两点，且22121y y -=，则△OAB (O 为坐标原点)的面积是 A ．12B .14C .18D .1169.已知在ABC ∆中，2π=∠ACB ，BC AB 2=，现将ABC ∆绕BC 所在直线旋转到PBC ∆， 设二面角A BC P --大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若πθ<<0，则A ．3πα≤且33sin ≤β B ．3πα≤且33sin <β C ．6πα≤且3πβ≥D ．6πα≤且3πβ<10.如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 的公共点．设1C ，2C 的离心率分别是1e ，2e ，θ221=∠AF F ，则A ．2221222221 cos sin e e e e =+θθB ．2221221222cos sin e e e e =+θθ C ．1cos sin 221222=+θθe e D ．1cos sin 222221=+θθe e非选择题部分二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11.双曲线22:41C x y -=的渐近线方程是 ，双曲线C 的离心率是 .12.某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积V = cm 3，正视图侧视图俯视图11第12题图表面积S = cm 2．13..已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，若N F MN =，则NMF ∠= ． 14.已知直线1:1+=mx y l 和1 :2+-=my x l 相交于点P ，O 为坐标原点，则P 点横坐标是（用m 的最大值是 ．15.四面体ABC D 中，已知1=====CD BD BC AC AB ，则该四面体体积的最大值是___________，表面积的最大值是___________．16.过双曲线C ：12222=-by a x )0(>>a b 的右顶点A 作斜率为1的直线l ，分别与两渐近线交于C B ,两点，若AC AB 2=，则双曲线C 的离心率为 ．17.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上的一点(不包括棱的端点)， 对确定的常数m ，若满足1PB PD m +=的点P 的个数为n ，则n 的最大值是 ． 三、解答题: 本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分）已知抛物线2:4C y x =,直线:l y x b =-+与抛物线交于,A B 两点.(Ⅰ)若8AB =，求b 的值;（Ⅱ）若以AB 为直径的圆与x 轴相切,求该圆的方程.OFEDCBA19．（本小题满分15分）在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，⊥EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：AE BD ⊥； （Ⅲ）若,AB =在线段EO 上是否存在点G ，使⊥CG 平面BDE ？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．20．（本小题满分15分）如图，四棱锥P －ABCD ，PA⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝PA ＝2,CD ＝4，E ，F 分别是PC ，PD 的中点．(Ⅰ) 证明：EF ∥平面PAB ；(Ⅱ) 求直线AC 与平面ABEF 所成角的正弦值．21．（本小题满分15分）已知点()00,C x y 在椭圆2212xy +=上，以C为第20题图第19题图圆心的圆过点()1,0F ．（Ⅰ）若圆C 与y 轴相切，求0x 的值；（Ⅱ）若圆C 与y 轴交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的取值范围．22．（本小题满分15分）已知椭圆C 的方程是22143x y +=，直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，若1F M l ⊥，2F N l ⊥，N M ,分别为垂足． （Ⅰ）证明：3221≥+N F M F ； （Ⅱ）求四边形12F MNF 面积S 的最大值．第22题图高二数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11). , 12). ,13 ) 14 ) ,15) , 16).17).三、解答题: 本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)设由得-----2分------------5分解得----------7分（Ⅱ）以为直径的圆与轴相切,设中点为又----------9分解得则---------12分圆方程为----------14分19．（本小题满分15分）解：(Ⅰ)连接.由是正方形可知,点为中点.又为的中点，所以∥------.2分又平面平面所以∥平面------4分（Ⅱ）证明：由底面底面所以由是正方形可知,所以平面又平面，所以------9分（Ⅲ）在线段上存在点，使平面. 理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，，所以. 12分由（Ⅱ）可知，平面，而平面所以，平面平面，交线是因为，所平面由为中点，得------15分20（本小题满分15分）(Ⅰ) 因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EFË平面PAB所以EF∥平面PAB．------6分(Ⅱ) 取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM＝AC＝，MH＝，得sin ∠MEH＝．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．------15分21（本小题满分15分）解：（Ⅰ）当圆与轴相切时，，--------------------------2分又因为点在椭圆上，所以，-------3分解得，，----------------------------5分因为，所以；-------------------6分（Ⅱ）圆的方程是，令，，设，则，，-----------------8分由，及得，又由点在椭圆上，，所以，-----------10分，------------------12分，---14分所以．------------------------------------------------15分22．（本小题满分15分）解：(Ⅰ)将直线的方程代入椭圆的方程中，得．----------2分由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．---------4分设，，--------6分---------7分（Ⅱ）当时，设直线的倾斜角为，则，，，………11分，当时，，，．当时，四边形是矩形，．所以四边形面积的最大值为．----------15分。
浙江省温州市十校联合体高二数学上学期期末联考试题 文 新人教A版
2012学年第一学期十校联合体高二期末联考数学试卷（文科）（满分120分，考试时间：100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线0132=++y x 和直线3240x y --=的位置关系为（ ▲ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．以上都不对 2．若命题""p q ∧和""p ⌝都为假命题，则( ▲ )A ．p q ∨为假命题B ．q 为假命题C ．q 为真命题D ．不能判断q 的真假3．已知椭圆22184x y +=上一点P 到右焦点的距离是1，则点P 到左焦点的距离是（ ▲ ） A ．22B ．42C ．221D ．4214．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ▲ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．过点(2，-2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是( ▲ ) A ．12422=-y x B ． 12422=-x y C ．14222=-y x D ．14222=-x y6．在右图的正方体中，M ．N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点， 则异面直线AC 和MN 所成的角为 （ ▲ ） A ．30° B．45° C．60° D．90° 7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与 点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ▲ ） A ．（41，－1） B ．（41，1） C ．（1，2） D ．（1，－2）8．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>平分圆222410x y x y ++-+=的圆周， 则ab 的最大值是（ ▲ ）A ．4B ．2C ．14 D ．129．已知两点55(1,),(4,)44M N -，给出下列曲线方程① 210;x y +-= ② 223;x y += ③ 221;2x y += ④221,2x y -= 在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是（ ▲ ）A ．①③ B． ②④ C．①②③ D．①②④10．已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，0211=⋅F F AF ，221c AF AF =⋅，则椭圆的离心率e 为（ ▲ ）A ．33 B ．213- C ．215- D ．22 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．命题“212,320x x x x ==-+=若或则”的逆否命题是 ▲ ． 12．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ▲ ． 13．从圆224x y +=上任意一点P 向x 轴作垂线段PD ，则线段PD 的中点M 的轨迹方程为 ▲ ．14．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)， 可得这个几何体的体积是 ▲ ．15．椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点， 当∠1F P 2F 为直角时,点P 横坐标是 ▲ ．16．椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=有相同的焦点1F , 2F , P 是两条曲线的 一个交点，则 12cos F PF ∠= ▲ ． . 17．在下列四个命题中，①如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题一定是真命题.②方程11222=-+-k y k x 的图象表示双曲线的充要条件是k <1或k >2. ③过点(2,4)M 作与抛物线28y x =只有一个公共点的直线l 有且只有一条. ④圆x 2＋y 2＝4上恰有三个点到直线4x －3y ＋5＝0的距离为1. 正确的有 ▲ ．（填序号）三．解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共52分）18．（本题满分8分）已知:(2)(10)0p x x +-≤， [][]:(1)(1+)0(0)q x m x m m ---≤>.若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.19．（本题满分10分）已知三点(5,2)P 、1(6,0)F -、2(6,0)F . （1）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点P 、1F 、2F 关于直线y x =的对称点分别为P '、1F '、2F '，求以1F '、2F '为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.20．(本题满分12分) 如图：已知四棱锥P ABCD -中，,PD ABCD ABCD ⊥平面是正方形，且PD AD =,E 是PA 的中点.(1)证明：//PC 平面EBD (2)证明：平面PBC ⊥平面PCD (3)求BE 与平面ABCD 所成角的正切值.21. (本题满分10分)已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线047)1()12(:=--+++m y m x m l . (1) 求证：直线l 恒过定点,并判断直线l 与圆C 的位置关系；(2) 当直线l 与圆C 相交时，求直线l 被圆C 截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短长度.22. （本题满分12分）已知抛物线顶点在原点，焦点是圆22430x y x +-+=的圆心F ,如图. （1）求抛物线的方程；（2）是否存在过圆心F 的直线l 与抛物线、圆顺次交于A 、B 、C 、D ，且使得AB ,2BC ,CD 成等差数列，若直线l 存在，求出它的方程；若直线l 不存在，说明理由.2012学年第一学期十校联合体高二期末联考数学（文科）答案一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．若2320,x x -+≠则12x x ≠≠且 12．27π 13．2214x y += 14．380003cm 15. 16．1817.①②④ 三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共52分）18.解：由p ：0)10)(2(≤-+x x 可得102≤≤-x …………………（2分）由q ：)0(0)]1()][1([>≤+---m m x m x 可得)0(11>+≤≤-m m x m ……（4分）因为p ⌝是⌝q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件.………………（5分）所以12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，…………………………… （7分）所以 9≥m ……………………………………… （8分）19.解：(1)由题意，可设所求椭圆的标准方程为222210)x y a b a b+=>>（，其半焦距6=c . ||||221PF PF a +=56212112222=+++=， ∴=a 53，93645222=-=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为22=1459x y +； ………（5分）（2）点12(5,2),(6,0),(6,0P F F -）关于直线y ＝x 的对称点分别为：12(2,5),(06),(06)P F F '''-，，. 设所求双曲线的标准方程为22112211=10,0)x y a b a b ->>（，由题意知半焦距16c =，1122=a P F P F ''''-==,1a ∴=222111362016b c a =-=-=，故所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. …………（10分）20.证明：(1)连接AC 交BD 与O ,连接EO ,∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点,∴EO ∥PC .∵PC ⊄平面EBD ,EO ⊂平面EBD∴PC ∥平面EBD …………… （4分）(2)在正方形ABCD 中 ， BC ⊥CD ，又∵PD ⊥平面ABCD ,∴PD ⊥BC又DC 交PD 于点D ，DC ,PD ⊂面PCD , ∴BC ⊥平面PCD ,BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PCD . ………（8分）(3)取AD 中点F ，E Q 是PA 的中点，EF ∴∥PD PD ⊥Q 平面ABCD EF ∴⊥平面ABCD EBF ∴∠是直线BE 与平面ABCD 所成角.设2PD =12EF PD =Q ,PD AD =,1EF ∴=,5BF =, 5tan 55EF EBF BF ∴∠===,即BE 与平面ABCD 5…（12分） 21. （1）证明：∵将直线l 的方程整理得： 04)72(=-++-+y x m y x , 由于m 的任意性，∴ ⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x 解得：⎩⎨⎧==13y x∴直线l 恒过定点D )1,3( ………………（3分） 又∵255)21()13(22<=-+-∴)1,3(在圆内，∴直线恒经过圆内一定点D ,∴直线与圆相交 ………………（5分） （2）当直线l 过圆心C 时，被截得弦长最长，此时弦长等于圆的直径。
浙江省温州市十校联合体高二数学上学期期末联考试题
浙江省温州市十校联合体2013-2014学年高二数学上学期期末联考试题 文 新人教A 版选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）。
1.若直线y ＝0的倾斜角为α，则α的值是( )A.0B.4πC.2πD.不存在2.已知椭圆14822=+y x 上一点P 到右焦点的距离是1，则点P 到左焦点的距离是( )A.22B.24C.122-D.124-3.设)0(04:2≠>-a ac b p ，:q 关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 有实根，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题中为假命题的是( ) A.若,//,ααn m ⊥则n m ⊥ B.若,,,//α⊥m n m 则α⊥n C.若,,//βαα⊥l 则β⊥l D.若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m 5.命题“若b a ,都是奇数，则b a +是偶数”的逆否命题是( )A.若b a ,都不是奇数，则b a +不是偶数B.若b a +是偶数，则b a ,都是奇数C.若b a +不是偶数，则b a ,都不是奇数D.若b a +不是偶数，则b a ,不都是奇数6．若直线4mx ny +=和22:4O x y +=e 相交，则过点(,)P m n 与椭圆:C 的位置关系为( )A.点P 在椭圆C 内B.点P 在椭圆C 上C.点P 在椭圆C 外D.以上三种均有可能 7.已知直线1:0l ax y b -+=,2:0l bx y a --=，则它们的图像可能为( )22143x y +=8.如图，空间四边形ABCD中， AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝3，则异面直线AD,BC所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°9.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.213+D.215+10.若圆104422=---+yxyx上至少有三个不同的点到直线0:=+byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,12ππB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知命题p：,sin1,x R x p∀∈≤⌝则为。
浙江省温州市十校联合体2016届高三数学上学期期初联考试题 文(含解析)
浙江省温州市十校联合体2016届高三数学上学期期初联考试题 文（含解析）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U =R ，集合{}012A =，，，{}234B =，，，则阴影部分所表示集合为（ ▲ ）A ．{}2B ．{}01，C ．{}34，D ．{}0,1,2,3,4 【答案】B . 【解析】试题分析：由题意知，阴影部分表示的为集合A 去掉A B ⋂的部分，所以其表示的为{}01，，故应选B .考点：1、集合间的相互关系；2.已知βα,角的终边均在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D . 【解析】试题分析：当βα>时，不能推出βαsin sin >，例如：26παπ=+，3πβ=，而1sin sin(2)sin 662ππαπ=+==，sin sin 3πβ==所以sin sin αβ<；当βαs i n si n >时，不能推出βα>，例如：3πα=，26πβπ=+，此时αβ<，故应选D .考点：1、三角函数的概念；3.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为（ ▲ ） A ．80 B ．40 C ．803 D ．403【答案】D . 【解析】试题分析：由题意的三视图可知，原几何体是一个底面为直角边为5、4的直角三角形，其高为4，且顶点在底面的射影点分底面边长为3:2，所以原几何体的体积为1140(54)4323V =⨯⨯⨯⨯=，故应选D .考点：1、三视图；4.设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ▲ ） A.若//,n//m αα，则m//n B.若,m ααβ⊥⊥，则//m β C. 若βα//,m m ⊥，则βα⊥ D. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥ 【答案】C . 【解析】考点：1、直线与平面的平行的判定定理与性质定理；2、直线与平面垂直的判定定理与性质定理； 5.函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ▲ ）俯视图侧视图正视图【答案】A . 【解析】试题分析：因为()2sin 1xf x x =+，所以()0()()0f f f ππ==-=，所以排除选项,C D ；当0x π<<时，sin 0x >，所以当0x π<<时，()0f x >，所以排除选项B ，故应选A .考点：1、函数的图像；6.已知ABC ∆的面积为2，E,F 是AB,AC 的中点，P 为直线EF 上任意一点，则2PB PC BC ∙+的最小值为（ ▲ ）A.2B.3C. 【答案】C . 【解析】试题分析:因为E,F 是AB,AC 的中点，所以EF 到BC 的距离等于点A 到BC 的距离的一半，所以2ABC PBC S S ∆∆=，而2ABC S ∆=，所以1PBC S ∆=，又1sin 2PBC S PB PC BPC ∆=⨯∠，所以2sin PB PC BPC ⨯=∠.所以2cos cos sin BPCPB PC PB PC BPC BPC→→∠⋅=⨯∠=∠.由余弦定理有：2222cos BC PB PC PB PC BPC =+-⨯∠.因为,PB PC 都是正数，所以222PB PC PB PC +≥⨯，222cos BC PB PC PB PC BPC ≥⨯-⨯∠，所以242cos cos 22cos sin BPCPB PC BC PB PC BPC PB PC PB PC BPC BPC-∠∙+≥⨯∠+⨯-⨯∠=∠uu r uu u r uu u r ，令42cos sin BPC y BPC -∠=∠，则'224cos sin BPC y BPC -∠=∠，令'0y =，则1cos 2BPC ∠=，此时函数在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减，所以2PB PC BC ∙+的最小值为C . 考点：1、平面向量的数量积的应用；2、解三角形；7.已知函数222(1)0()4(3)0x k a x f x x x a x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩ （） （），其中a R ∈,若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则k 的取值范围为（ ▲ ）.088A k k k ≤≥≤≤ B. C.0 0k ≤D.或8k ≥【答案】D .【解析】试题分析：由于函数222(1)0()4(3)0x k a x f x x x a x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩ （） （），则0x =时，2()(1)f x k a =-，又由对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，所以函数必须为连续函数，即在0x =附近的左右两侧函数值相等，所以22(3)(1)a k a -=-，即2(k 1)a 690a k +-+-=有实数解，所以264(k 1)(9)0k ∆=-+-≥，解得08k k ≤≥或，故应选D .考点：1、分段函数的应用；8.如图,已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点A,它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率e 的取值范围为（ ▲ ）.3,232,132,233,13A ⎡⎣⎡⎣ B. C. D.【答案】B . 【解析】试题分析：设左焦点为'F ，令'12,AF r AF r ==，则'2BF AF r ==，所以212r r a -=，因为点A 关于原点O 的对称点为B ，AF BF ⊥，所以OA OB OF c ===，所以222214r r c +=，所以22122()rr c a =-，因为2ABF AOF S S ∆∆=，所以212112sin 222r r c α=⨯，即2122sin 2rr c α=，所以222sin 2c c a α=-，所以211sin 2e α=-，因为,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,22α⎡∈⎢⎣⎦，所以2211)1sin 2e α⎡⎤=∈⎣⎦-，所以1e ⎤∈⎦，故应选B .考点：1、双曲线的概念；2、双曲线的简单的基本性质；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题5分，满分36分，将答案填在答题纸上）9.设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(1)f = ▲ ； 若()1f a =，则a 的值为 ▲ ．【答案】22,3. 【解析】试题分析：由1(1)22f ==知第一空应填2；若()1f a =，则当1a <时，311a -=，即23a =；当1a ≥时，21a=，即0a =，不合题意，故应填23a =. 考点：1、分段函数； 10.已知,255lg =x则x= ▲ ；设 m 52ba ==，且2b1a 1=+，则m= ▲ ．【答案】【解析】试题分析：因为lg 525x =，所以5lg log 252x ==，所以210100x ==；因为 m 52ba==，所以21log log 2m a m ==，51log log 5m b m ==，又因为2b1a 1=+，所以log 2log 52m m +=，即210m =，所以m =故应填考点：1、对数函数；2、对数运算；11.设圆C ：22()(21)1x k y k -+-+=，则圆C 的圆心轨迹方程为 ▲ ,若0k =时，则直线:310l x y +-=截圆C 所得的弦长= ▲ ．【答案】210x y --=【解析】试题分析：设圆心的坐标为(,)C x y ，则,21x k y k ==-，消去k 可得21y x =-，即为所求的圆C 的圆心轨迹方程；若0k =时，则圆心到直线的距离为5d ==，故应填210x y --=，5. 考点：1、直线与圆的位置关系；12.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a …)(12*++∈+=N n a a a n n n 则=7a ▲ ；若2017a m =，则数列{}n a 的前2015项和是 ▲ （用m 表示）． 【答案】13,1m -. 【解析】考点：1、数列的求和；13.若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2||z x y =+的取值范围是 ▲ ．【答案】[]1,11-. 【解析】试题分析：首先根据题意的二元一次不等式组可画出其所表示的平面区域如下图所示：当0x ≥时，2z x y =+即目标函数为2y x z =-+，根据图形可知，在点C 处取得最大值且为max 26111z =⨯-=，在点(0,1)-处取得最小值且为min 2011z =⨯-=-，所以此时2||z x y =+的取值范围是[]1,11-；当0x <时，2z x y =-+即目标函数为2y x z =+，所以在点B 处取得最大值且为max 2(2)13z =-⨯--=，在点(0,1)-处取得最小值且为min 2011z =⨯-=-，所以此时2||z x y =+的取值范围是[]1,3-，故应填[]1,11-.考点：1、二元一次不等式组所表示的平面区域；2、简单的线性规划问题；14.如图，水平地面ABC 与墙面BCD 垂直，E,F 两点在线段BC 上，且满足4EF =，某人在地面ABC 上移动，为了保证观察效果，要求他到E,F 两点的距离和恰好为6，把人的位置记为P ，点R 在线段EF 上，满足RF=1，点Q 在墙面上，且QR BC ⊥,2QR =,由点P 观察点Q 的仰角为θ，当PE 垂直面DBC 时，则tan θ= ▲ .【解析】试题分析： 由题意知，6PE PF +=（1），在直角三角形PEF 中，由勾股定理可知，222PE EF PF +=，即2216PE PF +=（2），联立（1）（2）可得53PE =，所以在直角三角形PER 中，由勾股定理可知，222PE ER PR +=，所以3PR =，于是在直角三角形PRQ中，tan QR PR θ===考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间的角； 15.已知,x y 为正数，且13310x y x y+++=，则3x y +的最大值为 ▲ . 【答案】8. 【解析】试题分析：因为13310x y x y +++=，所以13310()x y x y+=-+，所以()()213310()3x y x y x y ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，即()()23103103y x x y x y x y ⎛⎫+=+--+⎪⎝⎭，令3t x y =+，则231010y x t t x y ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭，而2y x x y +≥，所以210160t t -+≤，即28t ≤≤，故应填8. 考点：1、基本不等式的应用；2、一元二次不等式的解法；三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本题满分14分）已知(2sin ,sin cos )m x x x =-，(3cos ,sin cos )n x x x =+，记函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的最大以及取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()2f C =，c =ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）max 2y =，,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）ABC ∆面积的的最大值为4． 【解析】试题分析：（1）运用向量的数量积的定义可求出函数()f x 的表达式，然后根据三角函数的图像及其性质可得出其最大值，并求出此时x 满足的取值集合即可；（2）由已知条件知角C 的大小，再由余弦定理以及基本不等式即可得出ABC ∆面积的的最大值即可. 试题解析：（1）由题意，得22()23sin cos sin cos f xm n x x x x =⋅=+-1cos 21cos 222cos 222x xx x x -+=+-=- 2sin(2)6x π=-max 2y ∴=，当()f x 取最大值时，即sin(2)16x π-=，此时22()62x k k Z πππ-=+∈，解得()3x k k Z ππ=+∈ ，所以x 的取值集合为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． （2）因()2f C =，由（1）得sin(2)16C π-=，又0C π<<，即112666C πππ-<-<， 所以262C ππ-=，解得3C π=，在ABC ∆中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得223a b ab ab =+-≥，即3ab ≤，所以1sin 2ABC S ab C ∆==≤所以ABC ∆面． 考点：1、平面向量的数量积；2、余弦定理；3、基本不等式； 17.（本题满分15分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =211n a -（n ∈N *），求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）321)=2n+1n a n =+-（；n S =2n +2n ．（Ⅱ）n T =n4(n+1)．【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据已知即可列出方程组112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而求 出首项与公差，于是可得其通项公式和前n 项和即可；（Ⅱ）首先根据（Ⅰ）可得数列{}n b 的通项公式，再由裂项相消法即可得出数列{}n b 的前n 项和n T 的表达式，进而可得出结果. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==，所以321)n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅， 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)．考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和；18.（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，△PAB 和△CAB 都是以AB 为斜边的等腰直角三角形， 若22AB PC =D 是PC 的中点. （1）证明：AB ⊥PC ；（2）求AD 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】（1）取AB 中点E ，连接PE,EC,由于,PAB CAB ∆∆为等腰直角三角形，则CE AB ⊥,PE AB ⊥, 则AB ⊥平面PEC ，所以PC AB ⊥. （2）.1421sin ==∠AD DH DAH 【解析】试题分析：（1）首先作出辅助线，即取AB 中点E ，连接PE,EC,然后根据,PAB CAB ∆∆为等腰直角三角形可知CE AB ⊥,PE AB ⊥, 由直线与平面垂直的判定定理知AB ⊥平面PEC ，进而可得出所证的结果；（2）首先作出辅助线取CE 中点O,再取OC 中点F ，连接PO,DF,AF ，根据几何体可计算出,,AB PE CE 的长度，进而判断出,PO CE ⊥于是可得DAF ∠即为所求角，再根据直线与平面的位置关系分别求出：PO ，DH ，AD ，进而求出所求角的正弦值即可.试题解析：（1）取AB 中点E ，连接PE,EC,由于,PAB CAB ∆∆为等腰直角三角形，则CE AB ⊥,PE AB ⊥, 则AB ⊥平面PEC ，所以PC AB ⊥.（2）取CE 中点O,再取OC 中点F ，连接PO,DF,AF ，由于,PAB CAB ∆∆为等腰直角三角形，又AB PE CE ===，又2PC =，PEC ∴∆为正三角形，,CE PO ⊥∴则⊥PO 平面ABC ，,//DF PO ,ABC DF 面⊥∴ 所以DAF ∠为所求角． 于是可得：PO =，86=DH . 又在PAC ∆中可求,414=AD .1421sin ==∠AD DH DAH 考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面所成的角的求法；19.（本题满分15分）已知抛物线C:22(0)x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ．（1）若直线AB 过焦点F ，求AF BF ∙的值；（2）是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）80；（2）14p =. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的方程可知其焦点F 的坐标，然后联立直线与抛物线的方程并消去y可得方程 016162=--x x ，再由韦达定理可知1212,x x x x +，即可求出所求的答案；（2）假设存在这样的实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形，然后联立抛物线的方程与直线的方程可得方程 0442=--p px x ，由韦达定理知1212,x x x x +，进而可求出点Q 的坐标，再由0=⋅QB QA 即可得出关于p 一元二次方程，进而求解之即可得出所求的结果.试题解析：（1）∵ ()0,2F ，4p =， ∴ 抛物线方程为y x 82=，与直线22y x =+联立消去y 得： 016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A ，则16,162121-==+x x x x ，∴ =++=++=)42)(42()2)(2(||||2121x x y y BF AF 80；（2）假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x设),(),,(2211y x B y x A ，则p x x p x x 4,42121-==+，可得),2,2(p p Q 由0=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ，即0)22)(222()2)(2(2121=-+-++--p x p x p x p x ，∴ 0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ，代入得01342=-+p p ，)(141舍或-==p p ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、直线与抛物线的综合问题；20.（本题满分15分）已知函数2()1,()||f x x g x x a =-=-．（1）当1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点；（2）若方程|()|()f x g x =有三个不同的实数解，求a 的值；（3）求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最小值()h a .【答案】（1）()F x 的零点为1，2-；（2）54a =±或1a =±；（3）251,()4211()1,()2251,()42a a h a a a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩. 【解析】试题分析：（1）由已知可求出函数()F x 的解析式，然后令()0F x =并分两种情况进行讨论：当1x ≥时和当1x <时，分别即可求出()F x 的零点；（2）将方程|()|()f x g x =转化为22(1)(1)0x x a x x a +---+-=，进一步转化为要求方程210x x a +--=和210x x a -+-=满足下列情形之一：（Ⅰ）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等（Ⅱ）两方程均有两不等根且由一根相同；最后并检验即可得出所求的结果；（3）分两种情况对其进行讨论：当12a ≤-时和当12a ≥时，并分别判断其在区间上的增减性，进而分别求出其对应情况下的最值即可得出所求的结果.试题解析：（1）当1a =时，222,1,()1|1|2, 1.x x x F x x x x x x ⎧- ≥⎪=---=⎨+- <⎪⎩，令()0F x =得，当1x ≥时，20x x -=，1x =（0x =舍去）当1x <时，220x x +-=，2x =-（1x =舍去）所以当1a =时，()F x 的零点为1，2-.（2）方程|()|()f x g x =，即2|1|||x x a -=-，变形得22(1)(1)0x x a x x a +---+-=，从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程210x x a +--= (1)与210x x a -+-= (2)满足下列情形之一：（Ⅰ）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等（Ⅱ）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同；对情形（I ）：若方程(1)有等根，则14(1)0a ∆=++= 解得 54a =-代入方程（2）检验符合； 若方程(2)有等根，则14(1)0a ∆=--=解得54a =代入方程（1）检验符合； 对情形（Ⅱ）：设0x 是公共根，则22000011x x a x x a +--=-+-，解得0x a =代入（1）得1a =±，1a =代入|()|()f x g x =检验得三个解为-2、0、1符合1a =-代入|()|()f x g x =检验得三个解为2、0、-1符合故|()|()f x g x =有三个不同的解的值为54a =±或1a =±． （3） 因为2()()()1||G x f x g x x x a =+=-+-=221()1()x x a x a x x a x a ⎧+--≥⎨-+-<⎩, 当12a ≤-时，()G x 在1[2,]2--上递减，在1[,2]2-上递增， 故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a =-=--； 当12a ≥时2()1G x x x a =--+，在1[2,]2-上递减，在1[,2]2上递增， 故()G x 在[2,2]-上最小值为min 15()()24G x G a ==-+，当1122a -<<时，()G x 在[2,]a -上递减，当[,2]x a ∈时递增，故此时()G x 在[-2，2]上的最小值为2min ()()1G x G a a ==-.综上所述： 251,()4211()1,()2251,()42a a h a a a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩. 考点：1、函数与方程；2、一元二次方程的解法；2、分段函数的最值的求法；。
温州八校2017学年第一学期期末联考高二数学试题(解析版)
温州市八校协作体2017-2018学年高二上学期期末联考数学试题1.已知集合{|0}A x x =>，{|01}B x x =<<，那么A B =I （ ）A. (1,)-+∞B. (0,1)C. (1,0]-D. (1,1)-【答案】B【解析】 {}()0,{|01},0,1.A x x B x x A B ==<<∴⋂=Q本题选择B 选项.2.若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 1或1- 【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=± 本题选择D 选项.3.设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“1b a >>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1a >时，log 1log a a b a >=，所以1b a >>；当01a <<时，log 1log a a b a >=，所以01b a <<<．所以是必要不充分条件，故选B ．4.设函数()f x 对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(2)2f =，则(2018)f =（ ）A. 2B. 2-C. 2018D. 2018- 【答案】A【解析】 ()()()()2,(4)2,()f x f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=∴Q 为周期函数，且周期为4，()()2018(45042)2 2.f f f ∴=⨯+==本题选择A 选项.5.已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A .B. C.D.【答案】C【解析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B ,故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.能推断出函数()y f x =在R 上为增函数的是（ ）A. 若,m n R ∈且m n <，则(3)(3)m n f f <B. 若,m n R ∈且m n <，则11(())(())22m nf f <C. 若,m n R ∈且m n <，则22()()f m f n <D. 若,m n R ∈且m n <，则33()()f m f n <【答案】D【解析】若,m n R ∈且m n <，则033,m n <<不能得到函数()y f x =在R 上为增函数，故A 错误；若,m n R ∈且m n <，则110,22m n ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不能得到函数()y f x =在R 上为增函数，故B 错误； 若,m n R ∈且m n <，则0m n <<时，220;m n <<0m n <<时，220;m n >>0m n <<时，2m 与2n 大小关系不确定，所以不能得到函数()y f x =在R 上为增函数，故C 错误；若,m n R ∈且m n <，则3333,,,m R n R m n ∈∈<又()()33f mf n <，所以函数()y f x =在R 上为增函数，故D 正确.本题选择D 选项.7.下列命题正确的是（ ）A. 若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB. 若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC. 若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD. 若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α【答案】D【解析】当直线l 含于平面α时，则α内存在无数条直线平行于直线l ，故A 错误；当直线l 含于或平行于或斜交于平面α时，α内存在无数条直线垂直于直线l ，故B 错误；当平面α与平面β相交时，β内平行于交线的直线都平行于平面α，故C 错误；本题选择D 选项. 8.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上的点，射线PT 是12F PF ∠的角平分线，过原点O 作PT 的平行线交于点M ，若121||||3MP F F =，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 3 D. 32【答案】D【解析】由题意可得：11MP OTPF FT =，则123c OT PF c OT =+ ① 由角平分线的性质可得：1212PF PF FT F T =，结合11PF MP FT OT =， 故：1223c PF a OT c OT-=- ② 由①可得：()123c c OT PF OT+=， 由②可得：()1232c c OT PF a OT-=+， 据此有：()()22332c c OT c c OT a OT OT+-=+， 整理可得：()()22233c c OT c c OT a OT +=-+， 据此得：432,32c c a e a =∴==. 本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．9.已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==现将ABD ∆沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5[,]66ππ内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）A.B.C. ⋃D. 【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵AB =BD =DA =2.BC =CD =2,∴CO ⊥BD ,AO ⊥BD ,且CO =1,AO =3，∴∠AOC 是二面角A −BD −C 的平面角，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，B (0,−1,0),C (1,0,0),D (0,1,0)，设二面角A −BD −C 的平面角为θ,则5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 连AO 、BO ,则∠AOC =θ,()3cos ,0,3sin A θθ， ∴()()3cos ,1,3sin ,1,1,0BA CD θθ==-u u u v u u u v ，设AB 、CD 的夹角为α，则13cos cos 22AB CD AB CDu u u v u u u v u u u v u u u v θα-⋅==⨯， ∵5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴33cos ,θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故55213cos 0,,cos 0,2θα⎡⎤⎡⎤-∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 本题选择A 选项.10.若三次函数32()f x x bx cx d =+++有极值点12,x x 且11()f x x =，设()g x 是()f x 的导函数，那么关于x 的方程(())0g f x =的不同实数根的个数为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】由题意可得函数()232g x x bx c =++有两个不同的实数根12,x x ，其中321111x bx cx d x +++=，()()0g f x =则：()1f x x =或()2f x x =，据此分类讨论：①若12x x <，当()1f x x =时，1x x =或3x x =，当()2f x x =时，4x x =，此时共有三个不同的实数根124,,x x x .②若12x x >，当()1f x x =时，1x x =或3x x =，当()2f x x =时，4x x =，此时共有三个不同的实数根124,,x x x .②若12x x =，()f x 没有极值点，不合题意.综上可得，方程()()0g f x =的不同实数根的个数为3.本题选择D 选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.函数()f x =的定义域为__________；值域为__________．【答案】 (1). 1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (2). [)0,+∞ ；【解析】由1310,3x x +≥∴≥-，所以函数()f x =1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； ()310,0,x f x +≥∴=Q 所以函数()f x =[)0,+∞.12.若218a =，2log 3b =，则2a b -= __________；1a b-=__________． 【答案】 (1). 6 (2). 2【解析】 2218log 3,23,26;23a b a b b b -=∴=∴===Q2222223222218,log 18,log 3,log 181log 18log 2log 91log 9 2.log 3log 3log 3a ab a b =∴==---∴=====Q Q 13.已知曲线x y e -=，则其图像上各点处的切线斜率的取值范围为 __________；该曲线在点(0,1)处的切线方程为__________．【答案】 (1).(,0)-∞ (2). 10x y +-=【解析】 ,0,x x y e y e Q ---'=∴=<所以其图像上各点处的切线斜率的取值范围为(),0-∞；0,,|1,x x x y e y e y --==∴=-∴'∴=-'Q 该曲线在点()0,1处的切线方程为11(0)y x -=--，即10x y +-=. 14.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.【答案】 (1).22π+ (2). 83π+ 【解析】 根据几何体的三视图可得为圆柱的一半与一个四棱锥的联合体，圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，高为2∴俯视图的面积为2111222222ππ⨯⨯+⨯⨯=+ ∴几何体的体积为211812222233ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．15.已知F 为椭圆2215x y +=的右焦点，M 为第一象限椭圆上的点，且MF x ⊥轴，直线MN 与圆221x y +=相切点N ，则||MN 等于__________．【解析】 由通径公式可得：2b MF a ==M ⎛ ⎝，由两点之间距离公式可得：OM ==，结合勾股定理可得：MN ===16.已知函数2()|log |f x x =，记函数()f x 在区间[],2t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若1[,4]2t ∈，则函数()h t 的值域为__________． 【答案】223log ,log 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】函数()f x 的图像如图所示，结合函数的图像分类讨论：当()0,1t ∈时，()22,3t +∈，函数()f x 在区间[],1t 上单调递减，在区间[]1,2t +上单调递增，()()(){}10,max ,2t t m f M f t f t ===+，求解方程()()2f t f t =+可得：1t =，当()1t ∈时，()()22log ,0,log t t M f t t m h t t ==-==-，当)1,1t ∈时，()()()()222log 2,0,log 2t t M f t t m h t t =+=+==+，当[)1,t ∈+∞时，()f x 在区间[],2t t +上单调递增，()()()()22222log 2log log 1h t f t f t t t t ⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭，综上可得：()()222log ,021log2,2112log 1,1t t h t t t t t ⎧⎪-<<-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，结合对数函数的性质可得函数()h t 的值域为223,32log log ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：求函数的值域的方法：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．17.在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DA BB 的中点，,M N 分别为线段1111,D A A B 上的动点（不包括端点）满足EN FM ⊥，则线段MN 的长度的取值范围为__________．【答案】255⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：()()1,0,0,2,2,1E F ，设()(),0,2,2,,2M x N y ，其中02,02x y <<<<，则()()1,,2,2,2,1EN y FM x u u u v u u u u v ==--，()(),1,,2.2,2,120EN FM EN FM y x x y ⊥∴⋅=--=-=u u u v u u u u v u u u v u u u u v Q ，据此可得：2,02,01x y x y =<<∴<<Q ，由空间中两点之间距离公式可得：()()()22222222222445,55MN x y y y y =-++-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当45y =时，255MN =，当0y =时，2MN =， 结合二次函数的性质可得线段MN 的长度的取值范围为25,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.点睛：1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．18.已知点(6,4)P 和直线:4l y x =，直线m 过点P 且分别与l 和x 轴交于,A B 两点，且点A 在第一象限.（1）当OP AB ⊥时，求AB 所在直线的直线方程；（2）当点(6,4)P 为AB 的中点时，求以AB 为直径的圆的方程.【答案】（1）32260x y +-=； （2）22(6)(4)32x y -+-=【解析】试题分析：（1）由题意可知2,3OP k =则32AB k =- ,直线AB 方程为：32260x y +-=；（2）由题意可知()10,0B ,()2,8A ，则圆的直径为AB =，圆的方程为：()()226432x y -+-=试题解析： （1）23,32OP AB k k =∴=-Q ,所以直线AB 方程为：32260x y +-=；（2）由()6,4P 为AB 的中点时,可知()10,0B ,()2,8A AB =， 所以以AB 为直径的圆的方程为：()()226432x y -+-=. 19.已知函数2()f x x ax a =++，()g x x =（1）若函数()()()F x f x g x =-的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若函数2log ((2)1)xy f =+与()g x 图像有交点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a =±（2）3a ≤-【解析】 试题分析：（1）函数的解析式()()21F x x a x a =+-+，满足题意时有2610a a ∆=-+= ，据此可得3a =±；（2）由题意可得方程()()221?210xxa a +-++= ，利用换元法，令2,0x t t =>，则方程()2110t a t a +-++=在()0,+∞ 上有解，结合均值不等式的结论可得3a ≤-试题解析：（1）由()()21F x x a x a =+-+，()2214610a a a a ∆=--=-+= ，得3a =±；（2）由()()221xlog f x +=，得()()221?210xx a a +-++= ，令2,0xt t =>，得关于t 的方程()2110t a t a +-++= 在()0,+∞ 上有解，得()()()()221311,1311tt a t t t a t t t -+⎡⎤+=--+=-=-++-⎢⎥++⎣⎦，由于()()31331t t ⎡⎤-++-≤-⎢⎥+⎣⎦，得3a ≤-20.如图，在三棱锥A BCD -中，BCD V 是正三角形，E 为其中心.面ABC ⊥面BCD ，30ACB ∠=o，2AB BC ==，M 是BD 的中点，2AN NM =u u u r u u u u r.（1）证明：//EN 面ABC ；（2）求BC 与面ANE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（27【解析】 【分析】（1）连接CM ，由重心的性质可得在AMC V 中有AN CENM EM=，则//EN AC ，结合线面平行的判定定理可得//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，由题意可得FCG ∠为BC 与面ANE 所成角，7sin 7FG FCG FC ∠==； 解法二：以BC 中点为原点，建立空间直角坐标系.可得()2,0,0CB =u u u r，面ANE的法向量为(3,3n =-r，则所求角的正弦值7sin cos<,>7n CB θ==r u u u r. 【详解】（1）连接CM ，因为E 是正三角形BCD V 的中心，所以E 在CM 上且2CE EM =，又2AN NM =u u u r u u u u r ，所以在AMC V 中有AN CENM EM=， 所以//EN AC ，又EN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，Q 面ABC ⊥面BCD ，面ABC I 面BCD BC =，AF BC ⊥，AF ⊂面ABC ，AF ∴⊥面BCD ，CH ⊂Q 平面BCD ，所以AF CH ⊥，又//FH BM ，所以FH CH ⊥，所以CH ⊥面AFH ，CH ⊂Q 平面ACH ，所以，面ACH ⊥面AFH ， 作FG AH ⊥，则FG ⊥面ACH ，连接CG ，则FCG ∠为BC 与面ANE 所成的角， ∴7sin FG FCG FC ∠==，即BC 与面ANE 所成角的正弦值为7； 解法二：以BC 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.2AB BC ==Q ，30ACB ∠=o ，(3A ∴，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,3,0D -，13,2M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， (3CA =u u u r ，33,22CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,0,0CB =u u ur .设面ANE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CA n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即3303302x z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 取(3,3n =-r ，7sin cos<,>7n CB n CB n CBθ⋅∴===⋅r u u u r r u u u r r u u u r ，因此，BC 与面ANE所成角的正弦值为77. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了线面角正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知点F 是抛物线22,(0)x py p =>的焦点，点A 是抛物线上的点，且(2,0)AF =u u u v，点,B C 是抛物线上的动点，抛物线在,B C 处的切线交于点D .（1）求抛物线的方程；（2）设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，若BCD ∆的面积为32，求证：21k k -为定值. 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析 【解析】 试题分析：（1）设()00,,0,,2p A x y F ⎛⎫⎪⎝⎭结合()00,2,02p AF x y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u v 可得抛物线的方程为24x y =（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则过点B 的切线方程为21124x x y x =- ，过点C 的切线方程为22224x x y x =-，则BC 中点221212,28x x x x P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由面积公式121·322BCD S DP x x ∆=-= ,得：128x x -= 故212124x x k k --== 为定值. 试题解析：（1）设()()0000,,0,,,2,022p p A x y F AF x y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v ，得02,2x p =-= 所以抛物线的方程为24x y = ；（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 过点B 的切线方程为()211142x x y x x -=- ，即21124x x y x =- ，同理过点C 的切线方程为22224x x y x =-，由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，1212·,24D D x x x x x y +== ,即1212·,24x x x x D +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 取BC 中点221212,28x x x x P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 322121212121211··32228416BCDx x x x x x S DP x x x x ∆-+=-=--== ,得：128x x -= ， 由21121211224,244x x x k k x ---===+ ，212124x x k k --== 为定值.点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； 求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-（0a >）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试问：函数()f x 图像上是否存在不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，使得()f x 在122x x x +=处的切线l 平行于直线AB ，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）结合函数的解析式可得()()()11ax x f x x+-'-=，据此可得()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）假设存在两点()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120x x <<，则()2121122121112AB y y lnx lnx k a x x a x x x x --==-++---，且函数在1202x x x +=处的切线斜率()()120122·12x x k f x a a x x +==-+-+'，据此整理计算有： ()22112212112121x x x x x ln x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++，令21x t x =，则1t >，则：()214211t lnt t t -==-++，421lnt t +=+，利用导函数研究函数的性质可得在()1,+∞内不存在t ，使得421lnt t +=+ ，则函数()f x 图象上是不存在满足题意的点. 试题解析： （1）由()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-'，又0,0a x >> 得10ax +> 故，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时()0f x '<，∴ ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）假设存在两点()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120x x <<，则：()21111112y lnx ax a x =-+-，()22222112y lnx ax a x =-+-，故()()()()22212121212121112ABlnx lnx a x x a x x y y kx x x x ---+---==--=()211221112lnx lnx a x x a x x --++--， 在函数图象1202x x x +=处的切线斜率()()12120122·122x x x x k f x f a a x x ++⎛⎫===-+-⎪+⎝⎭''， 得：()211221112lnx lnx a x x a x x --++-- ()12122·12x x a a x x +=-+-+，化简得：2121122lnx lnx x x x x -=-+， ()22112212112121x x x x x ln x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++， 令21x t x =，则1t >，上式化为：()214211t lnt t t -==-++，即421lnt t +=+， 若令()41g t lnt t =++，()()()()222114'11t g t t t t t -=-=++， 由()1,0t g t '≥≥， ()g t ∴在[)1,+∞上单调递增，()()12g t g >=， 这表明在()1,+∞内不存在t ，使得421lnt t +=+ . 综上，函数()f x 图象上是不存在不同两点()()1122,,,A x y B x y ，使得()f x 在122x x x +=处的切线l 平行于直线AB .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
浙江省温州市十校联合体高二技术上学期期末联考试题
2015学年第一学期十校联合体高二期末联考技术试卷（学考生考试时间60分钟，满分70分；选考生90分钟，满分100分。
）第I 卷(共50分)一、单项选择题(共25题，每小题2分，共50分。
)1.某用户在用导航软件设置好的导航路径行驶，途中高德地图提示前方有拥堵现象，建议改道，并实时提供新的导航路径，该实例最能体现信息的（ )A．载体依附性 B．时效性 C．共享性 D．真伪性2.小明通过百度查找到一篇包含图片的文章，如果想在本地电脑上对该文章及图片进行重新排版，以下做法比较合适的是（）A．选中网页上的内容复制到wordB．网页另存为txt文件C．创建指向该网页的快捷方式D．收藏该网页3.下面哪组文件格式不能都被OCR软件识别的是（ )A．JPG和FLA B．BMP和JPGC．BMP和TIF D．JPG和PNG4.查看以下access数据表，参考下方右边的设计视图，插入一条新记录，新记录“编号”字段的值为（）A．可能是5 B．一定是5 C．可能是9 D．一定是95.使用UltraEdit软件观察字符内码，结果如图所示：则车牌号“浙CN9999”的内码是（）A．D5 E3 43 4E 39 39 39 39 B．FA 43 20 39 39 39 39 C．D5 E3 43 20 39 39 39 39 D．B9 43 4E 39 39 39 396.国务院总理李克强5月13日主持召开国务院常务会议，其中提到促城市宽带提速，假设你家现在下载一个800MB的电影，花了7分钟时间下载完毕，那么下面哪个网速最可能是你家里现在的上网速度（）A．2M宽带（2Mbps） B．4 M宽带（4Mbps）C．12 M宽带（12Mbps） D．20 M宽带（20Mbps）7.用VB关系表达式表示“x大于等于50并且小于500”，以下哪个写法是正确的（）A．x>=50 and x<500 B． x>=50 x<500C．50=<x<500 D．x>=50 or x<5008.用GolgWare软件对一段时长20秒，量化位数为16位的mp3音频作如下操作：○1删除前10秒的声音数据；○2将右声道设置为静音；○3将量化位数设置为8位；○4将文件保存为MP3格式，其它不变。
2016-2017年浙江省温州市十校联合体联考高一(上)期中数学试卷及参考答案
2016-2017学年浙江省温州市十校联合体联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={|x|x＜1}，则A∪（∁R B）等于（）A．{x|x≥1}B．{x|x≥﹣1}C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，4） B．（4，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣4，4）3．（5分）设3a=4，则log23的值等于（）A．2a B．a C．D．4．（5分）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e5．（5分）函数f（x）=e﹣|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）下列函数中，可能是奇函数的是（）A．f（x）=x2+ax+1，a∈R B．f（x）=x+2a﹣1，a∈RC．f（x）=log2（ax2﹣1），a∈R D．f（x）=（x﹣a）|x|，a∈R7．（5分）已知函数f（x）=m x﹣1，g（x）=﹣1+log m x（m＞0，m≠1），有如下两个命题：p：f（x）的定义域和g[f（x）]的值域相等．q：g（x）的定义域和f[g（x）]的值域相等．则（）A．命题p，q都正确B．命题p正确，命题q不正确C．命题p，q都不正确D．命题q不正确，命题p正确8．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），且f（1）＞f（3），f（2）＞f（3）（）A．若k=1，则|a﹣1|＜|a﹣2|B．若k=1，则|a﹣1|＞|a﹣2|C．若k=2，则|a﹣1|＜|a﹣2|D．若k=2，则|a﹣1|＞|a﹣2|二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（4分）不等式（）x﹣5≤2x的解集是．10．（6分）log2+log 23•log34=，当a＜0时，••a﹣1=．11．（4分）设集合A={﹣4，t2}，集合B={t﹣5，9，1﹣t}，若9∈A∩B，则实数t=．12．（6分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=log2x，则f（﹣4）+f（0）=；若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是．13．（6分）设f：x→|x|+1是非空集合A到非空集合B的映射，若A={﹣1，0，1}且集合B只有两个元素，则B=；若B={1，2}，则满足条件的集合A 的个数是．14．（4分）已知a≥0且{y|y=2|x|，﹣2≤x≤a}=[m，n]，记g（a）=n﹣m，则g （a）=．15．（6分）定义max{{x，y}=，设f（x）=max{a x﹣a，﹣log a x}（x∈R+，a＞0，a≠1）．若a=，则f（2）+f（）=；若a＞1，则不等式f （x）≥2的解集是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）证明：f（x）≥；（Ⅱ）若f（x0）=，求x0的值．17．（15分）已知函数f（x）=x+的图象过点P（1，5）．（Ⅰ）求实数m的值，并证明函数f（x）是奇函数；（Ⅱ）利用单调性定义证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数．18．（15分）设集合A={x|ax2+bx+1=0}（a∈R，b∈R），集合B={﹣1，1}．（Ⅰ）若B⊆A，求实数a的值；（Ⅱ）若A∩B≠∅，求a2﹣b2+2a的值．19．（15分）已知函数f（x）=2ax﹣2，g（x）=a（x﹣2a）（x+2﹣a），a∈R且a ≠0．（Ⅰ）若{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，求实数a的值；（Ⅱ）若{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，求实数a的取值范围．20．（15分）函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m（0＜m≤1）．（Ⅰ）若x∈[0，m]，证明：f（x）≤；（Ⅱ）求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．2016-2017学年浙江省温州市十校联合体联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={|x|x＜1}，则A∪（∁R B）等于（）A．{x|x≥1}B．{x|x≥﹣1}C．{x|﹣1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}【解答】解：由集合B={x|x＜1}，全集为R，得到∁R B={x|x≥1}，又集合A={x|﹣1≤x≤2}，所以A∪（∁R B）={x|x≥﹣1}．故选：B．2．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，4） B．（4，+∞）C．[4，+∞）D．（﹣4，4）【解答】解：由﹣2+log2x≥0，得log2x≥2=log24，∴x≥4，∴函数f（x）=的定义域是[4，+∞）．故选：C．3．（5分）设3a=4，则log23的值等于（）A．2a B．a C．D．【解答】解：3a=4，可得alog23=2．则log23=．故选：D．4．（5分）已知函数则=（）A．B．e C．D．﹣e【解答】解：∵∴∴故选：A．5．（5分）函数f（x）=e﹣|x﹣1|的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=e﹣|x﹣1|的定义域为R，故排除C，D，当x=1时，函数取最大值1，故排除A，故选：B．6．（5分）下列函数中，可能是奇函数的是（）A．f（x）=x2+ax+1，a∈R B．f（x）=x+2a﹣1，a∈RC．f（x）=log2（ax2﹣1），a∈R D．f（x）=（x﹣a）|x|，a∈R【解答】解：对于A，f（x）=x2+ax+1，a∈R，当a=0时，f（x）为偶函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数；对于B，f（x）=x+2a﹣1，a∈R，由2a﹣1＞0，f（x）为非奇非偶函数；对于C，f（x）=log2（ax2﹣1），a∈R，由f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数；对于D，f（x）=（x﹣a）|x|，a∈R，当a=0时，f（x）=x|x|，f（﹣x）=﹣f（x），f（x）为奇函数；a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=m x﹣1，g（x）=﹣1+log m x（m＞0，m≠1），有如下两个命题：p：f（x）的定义域和g[f（x）]的值域相等．q：g（x）的定义域和f[g（x）]的值域相等．则（）A．命题p，q都正确B．命题p正确，命题q不正确C．命题p，q都不正确D．命题q不正确，命题p正确【解答】解：函数f（x）=m x﹣1的定义域为R，值域为（0，+∞）；函数g[f（x）]=﹣1+log m（m x﹣1）=x﹣2的定义域为R，值域为R，g（x）的定义域为（0，+∞），值域为R；函数f[g（x）]==的定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故p：f（x）的定义域和g[f（x）]的值域相等，正确；q：g（x）的定义域和f[g（x）]的值域相等，正确；故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=（a∈R），且f（1）＞f（3），f（2）＞f（3）（）A．若k=1，则|a﹣1|＜|a﹣2|B．若k=1，则|a﹣1|＞|a﹣2|C．若k=2，则|a﹣1|＜|a﹣2|D．若k=2，则|a﹣1|＞|a﹣2|【解答】解：分析各选项，只需讨论k=1和k=2两种情况，①当k=1时，f（x）=2a﹣x，在R上单调递减，所以，必有f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），这两个式子对任意的实数a都成立，因此，A选项和B选项都不能成立；②当k=2时，f（x）=，f（x）在（﹣∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x=a轴对称，又因为f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），结合函数图象可知，对称轴x=a＞，因此，|a﹣1|＞|a﹣2|．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（4分）不等式（）x﹣5≤2x的解集是{x|x≥} ．【解答】解：由（）x﹣5≤2x，得2﹣x+5≤2x，∴﹣x+5≤x，解得x．∴不等式（）x﹣5≤2x的解集是{x|x≥}．故答案为：{x|x≥}．10．（6分）log2+log 23•log34=5，当a＜0时，••a﹣1=﹣a．【解答】解：log2+log 23•log34=3+2=5，当a＜0时，••a﹣1=﹣a•a•a﹣1=﹣a，故答案为：5，﹣a．11．（4分）设集合A={﹣4，t2}，集合B={t﹣5，9，1﹣t}，若9∈A∩B，则实数t=﹣3．【解答】解：∵A={﹣4，t2}，B={t﹣5，9，1﹣t}，且9∈A∩B，∴t2=9，解得：t=3或﹣3，当t=3时，根据集合元素互异性不合题意，舍去；则实数t=﹣3，故答案为：﹣312．（6分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时f（x）=log2x，则f（﹣4）+f（0）=﹣2；若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是a＞1或﹣1＜a＜0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣log24=﹣2，f（0））=0，∴f（﹣4）+f（0）=﹣2；f（a）＞f（﹣a），可化为f（a）＞0，a＞0时，log2a＞0，∴a＞1；a＜0时，f（﹣a）＜0，log2（﹣a）＜0，∴﹣1＜a＜0．综上所述，a＞1或﹣1＜a＜0．故答案为﹣2，a＞1或﹣1＜a＜0．13．（6分）设f：x→|x|+1是非空集合A到非空集合B的映射，若A={﹣1，0，1}且集合B只有两个元素，则B={1，2} ；若B={1，2}，则满足条件的集合A的个数是7．【解答】解：若A={﹣1，0，1}且集合B只有两个元素，则B={1，2}；|x|+1=1，x=0，|x|=2，x=±1，∴A={0}，{1}，{﹣1}，{0，1}，{0，﹣1}，{1，﹣1}，{0，1，﹣1}，共7个．故答案为{1，2}，7．14．（4分）已知a≥0且{y|y=2|x|，﹣2≤x≤a}=[m，n]，记g（a）=n﹣m，则g（a）=．【解答】解：①当0≤a≤2时，m=1，n=4，则g（a）=n﹣m=3；②当a＞2时，m=2a，n=1，则g（a）=n﹣m=2a﹣1，综上所述，．故答案是：．15．（6分）定义max{{x，y}=，设f（x）=max{a x﹣a，﹣log a x}（x∈R+，a＞0，a≠1）．若a=，则f（2）+f（）=；若a＞1，则不等式f（x）≥2的解集是或x≥log a（a+2）} ．【解答】解：a=，f（x）=max{（）x﹣，﹣log x}=，则f（2）+f（）==．不等式f（x）≥2，可得a x﹣a≥2，解得x≥log a（a+2），﹣log a x≥2，解得．故答案为：，或x≥log a（a+2）}，三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）证明：f（x）≥；（Ⅱ）若f（x0）=，求x0的值．【解答】证明：（Ⅰ）当x＜1时，由于是减函数∴…（3分）当x≥1时，由于是增函数，∴…（6分）∴…（7分）解：（Ⅱ）当x0＜1时，由于，∵…（10分）当x0≥1时，由于∵…（13分）x0=0或x0=2…（14分）17．（15分）已知函数f（x）=x+的图象过点P（1，5）．（Ⅰ）求实数m的值，并证明函数f（x）是奇函数；（Ⅱ）利用单调性定义证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数．【解答】解：（Ⅰ）的图象过点P（1，5），∴5=1+m，∴m=4…（2分）∴，f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，…（4分）∴f（x）=﹣f（x），…（6分）f（x）是奇函数．…（7分）（Ⅱ）证明：设x2＞x1≥2，则（10分）又x2﹣x1＞0，x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4…（12分）∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），即f（x）在区间[2，+∞）上是增函数…（15分）18．（15分）设集合A={x|ax2+bx+1=0}（a∈R，b∈R），集合B={﹣1，1}．（Ⅰ）若B⊆A，求实数a的值；（Ⅱ）若A∩B≠∅，求a2﹣b2+2a的值．【解答】解：（Ⅰ）由于B⊆A，且B={﹣1，1}，而集合A中最多有2个元素，故A={﹣1，1}；…（4分）由韦达定理得：…（7分）（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：1°若1∈A，则a+b=﹣1，…（9分）所以a2﹣b2+2a=（a+b）（a﹣b）+2a=﹣（a﹣b）+2a=a+b=﹣1…（11分）2°若﹣1∈A，则a﹣b=﹣1，…（13分）所以a2﹣b2+2a=（a+b）（a﹣b）+2a=﹣（a+b）+2a=a﹣b=﹣1综上，a2﹣b2+2a=﹣1…（15分）19．（15分）已知函数f（x）=2ax﹣2，g（x）=a（x﹣2a）（x+2﹣a），a∈R且a ≠0．（Ⅰ）若{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，求实数a的值；（Ⅱ）若{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）…（2分）g（x）=a（x﹣2a）（x+a﹣2）=0得x=2a，x=2﹣a…（4分）∵{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，∴…（6分）经检验a=1符合题意，∴a=1…（7分）（Ⅱ）解法1：设由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R当a＞0时，x→+∞总有f（x）＞0，g（x）＞0不符合题意…（9分）当a＜0时，由f（x），g（x）的图象可得f（x）＜0或g（x）＜0成立则…（13分）∴…（15分）（Ⅱ）解法2：设由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R当a＞0时，x→+∞总有f（x）＞0，g（x）＞0不符合题意…（9分）当a＜0时，若f（x）＜0，则若g（x）＜0，则x∈（2﹣a，+∞）∪（﹣∞，2a）则…（13分）∴综上…（15分）20．（15分）函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m（0＜m≤1）．（Ⅰ）若x∈[0，m]，证明：f（x）≤；（Ⅱ）求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．【解答】（Ⅰ）证明：∵0＜m≤1，∴f（x）的对称轴x=∈[，），①0＜m≤时，函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m开口向下，在[0，m）函数是增函数，∴f（x）≤f（m）=﹣m2+（3﹣2m）m+2+m=﹣3m2+4m+2=﹣3；②当时，f（x）max=f（）==＜．综上，f（x）≤；（Ⅱ）函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m=﹣（x﹣）2+，若0，则0＜2m≤1，f（x）的对称轴x=∈[1，），则f（x）在[﹣1，1]上为增函数，∵f（1）=4﹣m∈[），|f（﹣1）|=|3m﹣2|∈[，2）．∴|f（1）|＞|f（﹣1）|，∴|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）=f（1）=4﹣m；若＜m≤1，则1＜2m≤2，f（x）的对称轴x=∈（，1]，则f（x）在[﹣1，1]上先增后减，且最小值为f（﹣1）=3m﹣2，最大值为f（）=m2﹣2m+．∵|f（﹣1）|=|3m﹣2|∈[0，1]，f（）=m2﹣2m+=．∴|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）=f（）=m2﹣2m+．综上，g（m）=．。
温州八校2017学年第一学期期末联考高二数学试题(原卷版)
温州市八校协作体2017-2018学年高二上学期期末联考 数学试题 1.已知集合{|0}A x x =>，{|01}B x x =<<，那么A B =I （ ）A. (1,)-+∞B. (0,1)C. (1,0]-D. (1,1)-2.若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 1或1-3.设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“1b a >>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设函数()f x 对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(2)2f =，则(2018)f =（ ）A. 2B. 2-C. 2018D. 2018-5.已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A .B. C.D. 6.能推断出函数()y f x =在R 上为增函数的是（ ）A. 若,m n R ∈且m n <，则(3)(3)m n f f <B. 若,m n R ∈且m n <，则11(())(())22m nf f <C. 若,m n R ∈且m n <，则22()()f m f n <D. 若,m n R ∈且m n <，则33()()f m f n <7.下列命题正确的是（ ）A. 若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB. 若直线l 不垂直于平面α，则α内不存直线垂直于直线lC. 若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD. 若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α8.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上的点，射线PT 是12F PF ∠的角平分线，过原点O 作PT 的平行线交于点M ，若121||||3MP F F =，则双曲线的离心率是（ ）C. 3D. 329.已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==现将ABD ∆沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5[,]66ππ内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）A. B. C. ⋃ D. 10.若三次函数32()f x x bx cx d =+++有极值点12,x x 且11()f x x =，设()g x 是()f x 的导函数，那么关于x 的方程(())0g f x =的不同实数根的个数为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 311.函数()f x =的定义域为__________；值域为__________．12.若218a =，2log 3b =，则2a b -= __________；1a b-=__________． 13.已知曲线x y e -=，则其图像上各点处的切线斜率的取值范围为 __________；该曲线在点(0,1)处的切线方程为__________．14.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.15.已知F 为椭圆2215x y +=的右焦点，M 为第一象限椭圆上的点，且MF x ⊥轴，直线MN 与圆221x y +=相切点N ，则||MN 等于__________．16.已知函数2()|log |f x x =，记函数()f x 在区间[],2t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若1[,4]2t ∈，则函数()h t 的值域为__________． 17.在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DA BB 的中点，,M N 分别为线段1111,D A A B 上的动点（不包括端点）满足EN FM ⊥，则线段MN 的长度的取值范围为__________． 18.已知点(6,4)P 和直线:4l y x =，直线m 过点P 且分别与l 和x 轴交于,A B 两点，且点A 在第一象限.（1）当OP AB ⊥时，求AB 所在直线的直线方程；（2）当点(6,4)P 为AB 的中点时，求以AB 为直径的圆的方程.19.已知函数2()f x x ax a =++，()g x x =（1）若函数()()()F x f x g x =-的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若函数2log ((2)1)x y f =+与()g x 图像有交点，求实数a 的取值范围.20.如图，在三棱锥A BCD -中，BCD V 是正三角形，E 为其中心.面ABC ⊥面BCD ，30ACB ∠=o ，2AB BC ==，M 是BD 的中点，2AN NM =u u u r u u u u r.（1）证明：//EN 面ABC ；（2）求BC 与面ANE 所成角的正弦值.21.已知点F 是抛物线22,(0)x py p =>的焦点，点A 是抛物线上的点，且(2,0)AF =u u u v，点,B C 是抛物线上的动点，抛物线在,B C 处的切线交于点D.（1）求抛物线的方程；（2）设直线,AC AB 斜率分别为12,k k ，若BCD ∆的面积为32，求证：21k k -为定值. 22.已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-（0a >）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试问：函数()f x 图像上是否存在不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，使得()f x 在122x x x +=处的切线l 平行于直线AB ，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由.。
[精选]2019-2020年浙江省温州市十校联合体高二上册期末数学试卷(有答案)
浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．2=8y B．2=﹣8y C．y2=﹣8 D．y2=82．（4分）已知直线l1：﹣y+1=0和l2：﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．23．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E﹣AFG体积是（）A． B．C．D．4．（4分）若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或25．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β B．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C． D．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16于A（1，y1），B（2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．13．（4分）已知抛物线y2=4的焦点为F，准线与轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．14．（6分）已知直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4，直线l：y=﹣+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C（0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．2=8y B．2=﹣8y C．y2=﹣8 D．y2=8【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的标准方程为：2=8y．故选A．2．（4分）已知直线l1：﹣y+1=0和l2：﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵已知平行直线l1：﹣y+1=0与l2：﹣y+3=0，∴l1与l2间的距离d==，故选C．3．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E﹣AFG体积是（）A． B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，•AA1，∴V=S△ABC∵E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，=，，∴S△AFG∴三棱锥E﹣AFG体积：V E﹣AFG===S△ABC•AA1=．故选：D．4．（4分）若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或2【解答】解：∵圆2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．5．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β B．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C． D．【解答】解：以D为原点，DA为轴，DC为y轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（，y，），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16于A（1，y1），B（2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为=my+2m，代入y2=16可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且【解答】解：在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ，则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ，且CH ＜CB=a ， sinβ=＜=； 由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ，设P 到平面ABC 的距离为d ，由BC ⊥平面PAC ，且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ，即有BC•S △ACP =d•S △ABC ，即a••a•a•sinθ=d••a•a解得d=sinθ，则sinα==≤， 即有α≤． 另解：由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP以C 为坐标原点，CA 为轴，CB 为轴，建立直角坐标系O ﹣y ， 可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2， 可得P （cosθ，sinθ，0），过P 作PM ⊥AC ，可得PM ⊥平面ABC ，∠PBM=α，sinα==≤，可得α≤； 过C 作CN 垂直于平面PAB ，垂足为N ，则∠CPN=β， sinβ==＜=．故选：B ．10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．2tanθ，【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）•，∴c2（）tanθ=c2（）•，∴（）sin2θ=（）•cos2θ，∴，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：2﹣4y2=1的渐近线方程是y=±，双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：2﹣4y2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±；离心率e==．故答案为：y=±；．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．13．（4分）已知抛物线y2=4的焦点为F，准线与轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得cos∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．14．（6分）已知直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．【解答】解：直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，∴，∴=﹣m（m+1）+1，解得=，y=m×+1=，∴P点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：S ma==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值S ma==1+．故答案为：，．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（1，y1），C（2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣，则，解得2=①；同理联立，解得1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则2=⇒22=1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴1+22=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4，直线l：y=﹣+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（1，y1），B（2，y2），由抛物线C：y2=4，直线l：y=﹣+b得y2+4y﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|AB|=|y1﹣y2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB为直径的圆与轴相切，设AB中点为M|AB|=|y1+y2|又y1+y2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴4=解得b=﹣，则M（，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin∠MEH=．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．21．（15分）已知点C（0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|0|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（﹣0）2+（y﹣y0）2=（0﹣1）2+，令=0，得y2﹣2y0y+20﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=20﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣≤0≤，所以﹣≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，2+2]．（15分）22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=+m代入椭圆C的方程32+4y2=12中，得（42+3）2+8m+4m2﹣12=0．由直线与椭圆C仅有一个公共点知，△=642m2﹣4（42+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=42+3．设d1=|F1M=，d2=|F2M|=，d1d2=•===3，|F 1M|+|F2M|=d1+d2≥=2．（Ⅱ）当≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN||tanθ|，∴|MN|=，S=|MN|•（d1+d2）====，∵m2=42+3，∴当≠0时，|m|，∴＞+=，∴S．当=0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．。
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2016-2017学年浙江省温州市十校联合体高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若角α的始边是x轴正半轴，终边过点P（4，﹣3），则cosα的值是（）A．4 B．﹣3 C．D．﹣2．（4分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）A．{y|y=x2，x∈R}B．{y|y=2x，x∈R}C．{y|y=lgx，x＞0} D．?3．（4分）函数y=a|sinx|+2（a＞0）的单调递增区间是（）A．（﹣，）B．（﹣π，﹣）C．（，π）D．（，2π）4．（4分）已知向量、不共线，若=+2，=﹣4﹣，=﹣5﹣3，则四边形ABCD是（）A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形5．（4分）已知，则=（）A．sinθ﹣cosθB．cosθ﹣sinθC．±（sinθ﹣cosθ）D．sinθ+cosθ6．（4分）已知a x+b y≤a﹣x+b﹣y（1＜a＜b），则（）A．x+y≥0 B．x+y≤0 C．x﹣y≤0 D．x﹣y≥07．（4分）已知函数f（x）=ln|ax|（a≠0），g（x）=x﹣3+sinx，则（）A．f（x）+g（x）是偶函数B．f（x）?g（x）是偶函数C．f（x）+g（x）是奇函数D．f（x）?g（x）是奇函数8．（4分）设实数x1、x2是函数的两个零点，则（）A．x1x2＜0 B．0＜x1x2＜1 C．x1x2=1 D．x1x2＞19．（4分）已知函数f（x）=sin（2x+φ1），g（x）=cos（4x+φ2），|φ1|≤，|φ2|≤．x=φ是函数f（x）和g（x）的对称轴，则直线x=kπ+φ（k∈Z）是函数g（x）的对称轴；P（φ，0）是函数f（x）和g（x）的对称中心，则点Q（+φ，0）（k∈Z）是函数f（x）的中心对称．（）A．命题①②??都正确B．命题①②??都不正确C?②不正确D?②正确10．（4分）已知函数f t（x）=（x﹣t）2﹣t，t∈R，设f（x）=，若0＜a＜b，则（）A．f（x）≥f（b）且当x＞0时f（b﹣x）≥f（b+x）B．f（x）≥f（b）且当x＞0时f（b﹣x）≤f（b+x）C．f（x）≥f（a）且当x＞0时f（a﹣x）≥f（a+x）D．f（x）≥f（a）且当x＞0时f（a﹣x）≤f（a+x）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（4分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（2，），则a=．12．（4分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的直径是cm，这条弧所在的扇形面积是cm2．13．（6分）已知函数f（x）=2tan（ωｘ+?）的最小正周期为，且，则ω＝，?=．14．（6分）已知函数f（x）=cos2x+sinx﹣1，则f（x）值域是，f（x）的单调递增区间是．15．（6分）已知函数若f（x）在上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是．16．（6分）已知AB是单位圆O上的一条弦，λ∈R，若的最小值是，则|AB|=，此时λ＝．17．（4分）已知集合A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，记集合A中元素的个数为n（A），定义m（A，B）=，若m（A，B）=1，则正实数a的值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（Ⅰ）求A∩B、（?U A）∪（?U B）；（Ⅱ）若{x|2k﹣1≤x≤2k+1}?A，求实数k的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（），且．（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小正周期T及φ的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数y=f（x）的最小值．20．（15分）已知函数f（x）=2x+cosα﹣2﹣x+cosα，x∈R，且．（1）若0≤α≤π，求α的值；（2）当m＜1时，证明：f（m|cosθ|）+f（1﹣m）＞0．21．（15分）已知二次函数f（x）=x2﹣2x+3（Ⅰ）若函数的最小值为3，求实数m的值；（Ⅱ）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．22．（15分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）当时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年浙江省温州市十校联合体高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若角α的始边是x轴正半轴，终边过点P（4，﹣3），则cosα的值是（）A．4 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由题意可得x=4，y=﹣3，∴r=5，∴cosα＝=，故选C．2．（4分）若集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，则集合Q不可能是（）A．{y|y=x2，x∈R}B．{y|y=2x，x∈R}C．{y|y=lgx，x＞0} D．?【解答】解：∵集合P={y|y≥0}，P∩Q=Q，∴Q?P∵A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，满足要求B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，满足要求C={y|y=lgx，x＞0}=R，不满足要求D=?，满足要求故选C3．（4分）函数y=a|sinx|+2（a＞0）的单调递增区间是（）A．（﹣，）B．（﹣π，﹣）C．（，π）D．（，2π）【解答】解：在坐标系中画出函数y=a|sinx|+2（a＞0）的图象：根据图象得到函数的一个增区间是：（﹣π，﹣），故选：B4．（4分）已知向量、不共线，若=+2，=﹣4﹣，=﹣5﹣3，则四边形ABCD是（）A．梯形B．平行四边形C．矩形D．菱形【解答】解：根据题意，向量、不共线，若=+2，=﹣4﹣，=﹣5﹣3，则向量=++=﹣8﹣2，分析可得：=2，即直线AD与BC平行，而向量与不共线，即直线AB与CD不平行，故四边形ABCD是梯形；故选：A．5．（4分）已知，则=（）A．sinθ﹣cosθB．cosθ﹣sinθC．±（sinθ﹣cosθ）D．sinθ+cosθ【解答】解：由，===|sinθ﹣cosθ|=sinθ﹣cosθ，故选：A．6．（4分）已知a x+b y≤a﹣x+b﹣y（1＜a＜b），则（）A．x+y≥0 B．x+y≤0 C．x﹣y≤0 D．x﹣y≥0【解答】解：∵a x+b y≤a﹣x+b﹣y，∴a x﹣a﹣x≤b﹣y﹣b y，令f（x）=a x﹣a﹣x，g（y）=b﹣y﹣b y，∵1＜a＜b，则f（x）为增函数，g（y）为减函数，且f（0）=g（0）=0，故x≤0，且y≤0，即x+y≤0时，a x﹣a﹣x≤b﹣y﹣b y恒成立，故选：B．7．（4分）已知函数f（x）=ln|ax|（a≠0），g（x）=x﹣3+sinx，则（）A．f（x）+g（x）是偶函数B．f（x）?g（x）是偶函数C．f（x）+g（x）是奇函数D．f（x）?g（x）是奇函数【解答】解：函数f（x）=ln|ax|（a≠0），由ln|﹣ax|=ln|ax|，可得f（x）为偶函数；g（x）=x﹣3+sinx，由（﹣x）﹣3+sin（﹣x）=﹣（x﹣3+sinx），可得g（x）为奇函数．设F（x）=f（x）g（x），由F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）（﹣g（x））=﹣F（x），可得F（x）为奇函数．故选：D．8．（4分）设实数x1、x2是函数的两个零点，则（）A．x1x2＜0 B．0＜x1x2＜1 C．x1x2=1 D．x1x2＞1【解答】解：令f（x）=0，∴|lnx|=（）x；∴函数f（x）的零点便是上面方程的解，即是函数y=|lnx|和函数y=（）x的交点，画出这两个函数图象如下：由图看出＜﹣lnx1＜1，﹣1＜lnx1＜0，0＜lnx2＜；∴﹣1＜lnx1+lnx2＜0；∴﹣1＜lnx1x2＜0；∴0＜＜x1x2＜1故选：B．9．（4分）已知函数f（x）=sin（2x+φ1），g（x）=cos（4x+φ2），|φ1|≤，|φ2|≤．x=φ是函数f（x）和g（x）的对称轴，则直线x=kπ+φ（k∈Z）是函数g（x）的对称轴；P（φ，0）是函数f（x）和g（x）的对称中心，则点Q（+φ，0）（k∈Z）是函数f（x）的中心对称．（）A．命题①②??都正确B．命题①②??都不正确C?②不正确D?②正确【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ1），g（x）=cos（4x+φ2），|φ1|≤，|φ2|≤；∴函数f（x）的对称轴为2x+φ1=kπ+，即x=kπ+﹣φ1，k∈Z，令2x+φ1=kπ，解得x=kπ﹣φ1，∴f（x）对称中心为（kπ﹣φ1，0），k∈Z；函数g（x）的对称轴为4x+φ2=kπ，即x=kπ﹣φ2，k∈Z，令4x+φ2=kπ+，解得x=kπ+﹣φ2，对称中心为（kπ+﹣φ2，0），k∈Z；∵直线x=φ是函数f（x）和g（x）的对称轴，∴直线x=kπ+φ（k∈Z）是函数g（x）的对称轴，命题①正确；∵点P（φ，0）是函数f（x）和g（x）的对称中心，则点Q（+φ，0）（k∈Z）不一定是函数f（x）的中心对称，命题②错误．故选：C．10．（4分）已知函数f t（x）=（x﹣t）2﹣t，t∈R，设f（x）=，若0＜a＜b，则（）A．f（x）≥f（b）且当x＞0时f（b﹣x）≥f（b+x）B．f（x）≥f（b）且当x＞0时f（b﹣x）≤f（b+x）C．f（x）≥f（a）且当x＞0时f（a﹣x）≥f（a+x）D．f（x）≥f（a）且当x＞0时f（a﹣x）≤f（a+x）【解答】解：作函数f（x）的图象，且解方程f a（x）=f b（x）得，（x﹣a）2﹣a=（x﹣b）2﹣b，解得x=，f a（x）=（x﹣a）2﹣a≥﹣a，f b（x）=（x﹣b）2﹣b≥﹣b，且﹣b＜﹣af（x）≥f（b）且当x＞0时f（b﹣x）≤f（b+x），故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（4分）若幂函数f（x）=x a的图象过点（2，），则a=．【解答】解：∵幂函数y=x a的图象过点（2，），∴2a=，解得a=，故答案为：．12．（4分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的直径是8cm，这条弧所在的扇形面积是2πcm2．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，∴半径r=4cm，直径是8cm，∴这条弧所在的扇形面积为S==2πcm2．故答案为8，2π．13．（6分）已知函数f（x）=2tan（ωｘ+?）的最小正周期为，且，则ω＝2，?=﹣．【解答】解：函数f（x）=2tan（ωｘ+?）的最小正周期为，∴=，解得ω=2；又，即2tan（2×+φ）=﹣2，∴2tanφ＝﹣2，即tanφ＝﹣1；又|φ|＜，∴φ＝﹣．故答案为：2，．14．（6分）已知函数f（x）=cos2x+sinx﹣1，则f（x）值域是，f（x）的单调递增区间是．【解答】解：f（x）=cos2x+sinx﹣1=（1﹣sin2x）+sinx﹣1=﹣sin2x+sinx，设sinx=t，t∈[0，1]，∴f（x）=﹣t2+t=﹣t（t﹣1），当t=，即sinx=，x=时函数f（x）取得最大值为，当t=0，即sinx=0时，函数f（x）取得最小值为0．∴f（x）值域是，f（x）的单调递增区间是．故答案为：，．15．（6分）已知函数若f（x）在上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（﹣，0）．【解答】解：f（x）的图象如图所示∵f（x）在上既有最大值又有最小值，∴，解得﹣＜a＜0，故a的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0），16．（6分）已知AB是单位圆O上的一条弦，λ∈R，若的最小值是，则|AB|=1或，此时λ＝．【解答】解：不妨设=（1，0），=（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．则===≥=|sinθ|=，∴θ＝，，，．=，或=．则|AB|=1或．此时λ=cosθ＝．故答案分别为：1或，．17．（4分）已知集合A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，记集合A中元素的个数为n（A），定义m（A，B）=，若m（A，B）=1，则正实数a的值是．【解答】解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②，又由A={1，2}，且m（A，B）=1，∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，∴a=0；2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，即，解得a=±2，综上所述a=0或a=±2，∵a＞0，∴a=，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（Ⅰ）求A∩B、（?U A）∪（?U B）；（Ⅱ）若{x|2k﹣1≤x≤2k+1}?A，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，﹣3≤x﹣1≤2?﹣2≤x≤3，则B={x|﹣3≤x﹣1≤2}={x|﹣2≤x≤3}，故A∩B={x|1＜x≤3}，（?U A）∪（?U B）=?U（A∩B）={x|x≤1，或x＞3}；（2）若{x|2k﹣1≤x≤2k+1}?A，则必有2k﹣1＞1或2k+1＜﹣4，解可得：k＞1或．19．（15分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（），且．（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小正周期T及φ的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数y=f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ），∵f（0）=sinφ＝，，∴φ＝，（Ⅱ）由（1）可得f（x）=sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴函数y=f（x）的最小值为﹣20．（15分）已知函数f（x）=2x+cosα﹣2﹣x+cosα，x∈R，且．（1）若0≤α≤π，求α的值；（2）当m＜1时，证明：f（m|cosθ|）+f（1﹣m）＞0．【解答】解：（1），，…（2分）…（3分）由0≤α≤π，∴…（7分）（2）证明：∵m＜1，若|cosθ|≠1，则，…（9分）∴，m（|cosθ|﹣1）＞﹣1，m|cosθ|＞m﹣1，又|cosθ|=1时左式也成立，∴m|cosθ|＞m﹣1…（11分）由（1）知，，在x∈R上为增函数，且为奇函数，…（13分）∴f（m|cosθ|）＞f（m﹣1）∴f（m|cosθ|）+f（1﹣m）＞0…（15分）21．（15分）已知二次函数f（x）=x2﹣2x+3（Ⅰ）若函数的最小值为3，求实数m的值；（Ⅱ）若对任意互不相同的x1，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．【解答】解（Ⅰ）令t=log3x+m，∵，∴t∈[m﹣1，m+1]，从而y=f（t）=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2，t∈[m﹣1，m+1]当m+1≤1，即m≤0时，，解得m=﹣1或m=1（舍去），当m﹣1＜1＜m+1，即0＜m＜2时，y min=f（1）=2，不合题意，当m﹣1≥1，即m≥2时，，解得m=3或m=1（舍去），综上得，m=﹣1或m=3，（Ⅱ）不妨设x1＜x2，易知f（x）在（2，4）上是增函数，故f（x1）＜f（x2），故|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|可化为f（x2）﹣f（x1）＜kx2﹣kx1，即f（x2）﹣kx2＜f（x1）﹣kx1（*），令g（x）=f（x）﹣kx，x∈（2，4），即g（x）=x2﹣（2+k）x+3，x∈（2，4），则（*）式可化为g（x2）＜g（x1），即g（x）在（2，4）上是减函数，故，得k≥6，故k的取值范围为[6，+∞）22．（15分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）当时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x＞0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，…．（2分）所以f（x）的单调递增区间是（0，1]，（﹣∞，﹣1]，单调递减区间是[1，+∞），[﹣1，0）…．（6分）（Ⅱ）由得，∴①当0＜x＜1时，，∴…（8分）∵∴a≥1…（10分）②当x＞1时，，∴…（12分）∵，∴…．…（14分）综上所述，a的取值范围是．…（15分）。
2023-2024学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(A卷)【答案版】
2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x +y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°2．在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则AB →+12(BD →+BC →)=（ ）A ．AD →B ．GA →C ．AG →D ．MG →3．已知函数f （x ）满足f(x)=f ′(π3)sinx −cosx ，则f ′(π3)的值为（ ）A ．√3B ．√32C ．−√3D ．−√324．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1，则a 4＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．165．已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．√226．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作{a n }，下列不是数列{a n }的项的是（ ）A ．35B ．70C ．145D ．1707．已知F 为椭圆x 24+y 23=1的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，|AF |•|BF |=125，则直线AB 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√3C ．±√2D ．±18．若函数f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增，则a 和b 的可能取值为（ ） A ．a ＝ln 1.1，b ＝10 B ．a ＝ln 11，b ＝0.1 C ．a ＝e 0.2，b ＝0.8D ．a ＝e﹣0.2，b ＝1.8二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ） A ．x 24−y 22=1与x 24+y 22=1 B ．x 24−y 22=1与y 22−x 24=1C ．x 24+y 22=1与x 22+y 24=1D ．y 2+4x ＝0与x 2+2y ＝010．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2，则（ ） A ．f ′（﹣1）＝﹣3B ．f （x ）有两个极值点C ．f （x ）在区间（﹣3，3）上既有最大值又有最小值D ．f(−52)+f(−1)+f(12)=611．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，a 1+a 2＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若{a n }为等差数列，则数列{S n }为递增数列 B ．若{a n }为等比数列，则数列{S n }为递增数列 C ．若{a n }为等差数列，则数列{|a n |}为递增数列D ．若{a n }为等比数列，则数列{|a n |}为递增数列12．已知在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝4，AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，点E ，F ，T 分别为棱A 1A ，C 1C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC 的中点，且A 1E =FC =√2BT ，则（ ）A ．A 1B ∥平面EFTB ．M ∈平面EFTC ．点A 到平面EFT 距离的最大值为√142 D ．平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为√22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3S 3＝S 2+2S 4，且a 4＝1，则公差d ＝ ．14．已知圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0和圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0外离，则整数m 的一个取值可以是 ． 15．两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为 ．16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，l ：y =√3x 是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线PF 1与l 交于点Q ，QF 1⊥QF 2，则tan∠F 1PF 22= ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC =23π，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，M 为PB 的中点．（1）求证：平面MAC ⊥平面PDB ； （2）求CP 与平面MAC 所成角的正弦值．18．（12分）已知圆满足： ①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1； ③圆心到直线l ：x ﹣2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．19．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=a n a n +1，a 1=12． （1）求证：数列{1a n}为等差数列； （2）设数列{a n }前n 项和为S n ，且S 2n ﹣S n ＞k 对任意的n ∈N *恒成立，求k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）求证：当a ＞0时，f(x)+44√a． 21．（12分）已知点A(−√5，2)在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2=1上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的取值范围．22．（12分）设函数f（x）＝（x﹣2）e ax．（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣3x+b＝0，求a，b的值；（2）若当x＞0时，恒有f（x）＞﹣x﹣2，求实数a的取值范围；（3）设n∈N*时，求证：312+22+522+32+⋯+2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)．2023-2024学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x +y +1＝0的倾斜角为（ ） A ．135°B ．120°C ．60°D ．45°解：直线x +y +1＝0的向量为﹣1，直线的倾斜角为α，∴tan α＝﹣1，∴α＝135°． 故选：A ．2．在空间四边形ABCD 中，点M ，G 分别是BC 和CD 的中点，则AB →+12(BD →+BC →)=（ ）A ．AD →B ．GA →C ．AG →D ．MG →解：由题意可知，12CD →=CG →，故AB →+12(BD →+BC →)=AB →+12(BC →+CD →+BC →)=AB →+BC →+12CD →=AC →+CG →=AG →．故选：C ．3．已知函数f （x ）满足f(x)=f ′(π3)sinx −cosx ，则f ′(π3)的值为（ ）A ．√3B ．√32C ．−√3D ．−√32解：f ′(x)=f ′(π3)cosx +sinx ，∴f ′(π3)=12f′(π3)+√32，∴f ′(π3)=√3．故选：A ．4．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1，则a 4＝（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16解：因为S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n =m ⋅2n −1， 根据等比数列的求和公式S n =a 11−q −a11−q⋅q n ，可知，q ＝2，m ＝1， 则q ＝2，m ＝1，a 1＝1，则a 4=a 1q 3=8． 故选：C ．5．已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．√22解：根据题意，画出轴截面△ABC ，DEFG 为内接矩形，如图所示： 设圆柱的高为h ，圆柱的底面半径为r ，圆锥的高为H ，底面半径为R ，则ℎH=R−r R，所以h =H(R−r)R， 所以圆柱的侧面积为S 侧＝2πrh ＝2πr •H(R−r)R =2πH(Rr−r 2)R；则当r =−R 2×(−1)=R2时，圆柱的侧面积最大，此时ℎH=R−R2R=12． 故选：B ．6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作{a n }，下列不是数列{a n }的项的是（ ）A ．35B ．70C ．145D ．170解：由题意可知，a 1＝1，a 2＝5，a 3＝12，a 4＝22，则数列{a n }的后项与前项的差依次为4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…， 所以a 5＝35，a 6＝51，a 7＝70，a 8＝92，a 9＝117，a 10＝145，a 11＝176，a 12＝210，…． 故选：D ． 7．已知F 为椭圆x 24+y 23=1的左焦点，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，|AF |•|BF |=125，则直线AB 的斜率为（ ） A ．±2B ．±√3C ．±√2D ．±1解：根据题意可得a ＝2，b =√3，c ＝1，设直线AB 的倾斜角为θ，A 到左准线的距离为d ， 则|AF|d=e ，∴|AF |＝ed ＝e （a 2c−c +|AF |cos θ），∴|AF |＝e （b 2c+|AF |cos θ），∴（1﹣e cos θ）|AF |=b2a ，∴|AF |=b 2a1−ecosθ，同理可得|BF |=b 2a1+ecosθ，∴|AF |•|BF |=b 4a 21−e 2cos 2θ=125， ∴941−14cos 2θ=125，解得cos 2θ=14，∴cos θ＝±12，又θ∈[0，π），∴θ=π3或2π3，∴k ＝tan θ＝±√3． 故选：B ．8．若函数f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增，则a 和b 的可能取值为（ ） A ．a ＝ln 1.1，b ＝10 B ．a ＝ln 11，b ＝0.1 C ．a ＝e 0.2，b ＝0.8D ．a ＝e﹣0.2，b ＝1.8解：f （x ）＝a x +b x ，a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f ′（x ）＝a x lna +b x lnb ， 令g （x ）＝f ′（x ），则g ′（x ）＝a x （lna ）2+b x （lnb ）2＞0恒成立， 故f ′（x ）＝a x lna +b x lnb 在（0，+∞）上单调递增， 要想f （x ）＝a x +b x 在（0，+∞）上单调递增， 只需f ′（0）＝lna +lnb ≥0，即只需ab ≥1， A 选项，ab ＝10ln 1.1， 令h （x ）＝x ﹣1﹣lnx ，x ＞1，则h ′（x ）＝1−1x =x−1x＞0在（1，+∞）上恒成立，故h （x ）＝x ﹣1﹣lnx 在（1，+∞）上单调递增， 故h （1.1）＞h （1）＝0，即0.1＞ln 1.1＞0， 故ab ＝10ln 1.1＜10×0.1＝1，A 错误； B 选项，由于ln 11＜10，故ab ＝0.1ln 11=ln1110＜1，B 错误； C 选项，ab ＝0.8e 0.2，令q （x ）＝（1﹣x ）e x ，x ∈（0，1），则q ′（x ）＝﹣e x +（1﹣x ）e x ＝﹣xe x ＜0恒成立， 故q （x ）＝（1﹣x ）e x 在（0，1）上单调递减， 故q （0.2）＜q （0）＝1，即0.8e 0.2＜1，C 错误； D 选项，ab ＝1.8e﹣0.2，令w （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ∈（﹣1，0），则w ′（x ）＝e x ﹣1＜0恒成立，故w （x ）＝e x ﹣x ﹣1在（﹣1，0）上单调递减， 故w （﹣0.2）＞w （0）＝0，即e ﹣0.2＞1﹣0.2＝0.8，故ab ＝1.8e ﹣0.2＞1.8×0.8＝1.44＞1，D 正确．故选：D ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ） A ．x 24−y 22=1与x 24+y 22=1 B ．x 24−y 22=1与y 22−x 24=1C ．x 24+y 22=1与x 22+y 24=1D ．y 2+4x ＝0与x 2+2y ＝0解：对于A ：双曲线的离心率e =c a =√4+24=√62，椭圆的离心率e =c a =√4−24=√22，故A 错误； 对于B ：第一个双曲线的离心率e =c a =√4+24=√62，第二个双曲线的离心率e =c a =√2+42=√3，故B 错误；对于C ：第一个椭圆的离心率e =c a =√4+24=√62，第二个椭圆的离心率e =c a =√4+24=√62，故C 正确；对于D ：所以抛物线的离心率都为1，故D 正确． 故选：CD ．10．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2，则（ ） A ．f ′（﹣1）＝﹣3B ．f （x ）有两个极值点C ．f （x ）在区间（﹣3，3）上既有最大值又有最小值D ．f(−52)+f(−1)+f(12)=6解：A ．由f （x ）＝x 3+3x 2，得f ′（x ）＝3x 2+6x ，所以f ′（﹣1）＝3﹣6＝﹣3，故A 正确； B ．由f ′（x ）＞0，可得x ＜﹣2或x ＞0，所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增；由f ′（x ）＜0，可得﹣2＜x ＜0，所以f （x ）在（﹣2，0）上单调递减． 所以f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，在x ＝0处取得极小值，故B 正确； C ．由B 知，f （x ）在x ＝﹣2处取得极大值，在x ＝0处取得极小值．f （﹣3）＝﹣27+27＝0，f （﹣2）＝﹣8+12＝4，f （0）＝0，f （3）＝27+27＝54．显然f （3）＞f （﹣2），所以f （x ）在区间（﹣3，3）上没有最大值，故C 错误；D ．因为f(−52)=(−52)3+3×(−52)2=258，f(−1)=−1+3=2，f(12)=(12)3+3×(12)2=78．所以f(−52)+f(−1)+f(12)=6．故D 正确．故选：ABD ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＜0，a 1+a 2＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若{a n }为等差数列，则数列{S n }为递增数列 B ．若{a n }为等比数列，则数列{S n }为递增数列 C ．若{a n }为等差数列，则数列{|a n |}为递增数列D ．若{a n }为等比数列，则数列{|a n |}为递增数列 解：因为a 1＜0，a 1+a 2＞0， 所以a 2＞﹣a 1＞0，若{a n }为等差数列，则公差d ＝a 2﹣a 1＞0，则{a n }为递增数列，数列{S n }也为递增数列，A 正确； 若{a n }为等比数列，则公比q =a 2a 1＜−1，则{a n }为摆动数列，则数列{S n }不具有单调性，B 错误； 若{a n }为等差数列，则公差d ＝a 2﹣a 1＞0，则a n ＞a n ﹣1＞…＞a 2＞|a 1|，即{|a n |}为递增数列，C 正确； 若{a n }为等比数列，则q =a 2a 1＜−1， 故对于数列{|a n |}，|a n ||a n−1|＞1，|a 1|＞0，即数列{|a n |}为递增数列，D 正确．故选：ACD ．12．已知在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1＝4，AC ＝BC ＝2，AC ⊥BC ，点E ，F ，T 分别为棱A 1A ，C 1C ，AB 上的动点（不含端点），点M 为棱BC 的中点，且A 1E =FC =√2BT ，则（ ）A ．A 1B ∥平面EFTB ．M ∈平面EFTC ．点A 到平面EFT 距离的最大值为√142 D ．平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为√22解：如图，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，设CF ＝t （0＜t ＜4），则AE =4−t ，BT =√22t ，AB =2√2，故BT BA =t 4，所以BT =t4BA ， 则E （2，0，4﹣t ），F （0，0，t ），A （2，0，0），B （0，2，0），故BT →=t 4BA →=t 4(2，−2，0)=(t 2，−t2，0)，所以T （t 2，2−t 2，0），对于A ，A 1（2，0，4），则A 1B →=(−2，2，−4)，ET →=(t 2−2，2−t 2，t −4)=(1−t 4)⋅(−2，2，4)=(1−t 4)A 1B →，所以ET →∥A 1B →，则ET ∥A 1B ，又ET ⊂平面EFT ，A 1B ⊄平面EFT ，所以A 1B ∥平面EFT ，故A 正确； 对于B ，M （0，1，0），则FM →=(0，1，−t)，FT →=(t 2，2−t2，−t)，FE →=(2，0，4−2t)，假设M ∈平面EFT ，则M ，E ，F ，T 四点共面， 所以存在唯一实数对（λ，μ），使得FT →=λFE →+μFM →， 即(12t ，2−12t ，−t)=λ(2，0，4−2t)+μ(0，1，−t)， 所以{12t =2λ2−12t =μ−t =(4−2t)λ−tμ，解得{λ=14tμ=2−12t ，所以M ，E ，F ，T 四点共面，即M ∈平面EFT ，故B 正确； 对于C ，AE →=(0，0，4−t)，设平面EFT 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则有{m →⋅FE →=2x +(4−2t)z =0m →⋅FM →=y −tz =0，令z ＝1，则y ＝t ，x ＝t ﹣2，所以m →=(t −2，t ，1)，所以点A 到平面EFT 的距离为|m →⋅AE →||m →|=22，令4﹣t ＝p ，p ∈（0，4），则t ＝4﹣p ， 故|m →⋅AE →||m →|=22=22=2=√2−p +p 2，当1p =27，即p =72时，(|m →⋅AE →||m →|)max =1√2−12×27+127=√142，所以点A 到平面EFT 距离的最大值为√142，故C 正确； 对于D ，因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1→=(0，0，4)即为平面ABC 的一个法向量， 又B 1（0，2，4），则FB 1→=(0，2，4−t)， 设平面B 1EF 的法向量为n →=(a ，b ，c)，则有{n →⋅FE →=2a +(4−2t)c =0n →⋅FB 1→=2b +(4−t)c =0，令c ＝1，则a =t −2，b =12t −2，故n →=(t −2，12t −2，1)，设平面B 1EF 与平面ABC 所成的角为θ， 则|cosθ|=|cos〈AA 1→，n →〉|=|AA 1→⋅n →||AA 1→||n →|=44√(t−2)2+(12t−2)2+1=1√54t 2−6t+9，则sinθ=√1−cos 2θ=√1−154t 2−6t+9， 当t =125时，(sinθ)min =23， 所以平面B 1EF 与平面ABC 所成角正弦值的最小值为23，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知3S 3＝S 2+2S 4，且a 4＝1，则公差d ＝ ﹣1 ． 解：设等差数列{a n } 的公差为d ，因为3S 3＝S 2+2S 4，a 4＝1，可得3（3a 1+3d ）＝2a 1+d +2（4a 1+6d ），即且a 4＝a 1+3d ＝1，解得d ＝﹣1．故答案为：﹣1．14．已知圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0和圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0外离，则整数m 的一个取值可以是 7（答案不唯一） ．解：根据题意，圆C 1：x 2+y 2﹣8x +7＝0，即（x ﹣4）2+y 2＝9，其圆心为（4，0），半径为3； 圆C 2：x 2+y 2+6y +m ＝0，即x 2+（y +3）2＝9﹣m ，必有m ＜9， 其圆心为（0，﹣3），半径为√9−m ，若两圆外离，则有3+√9−m ＜5，解可得：m ＞5， 综合可得：5＜m ＜9，又由m 为整数，则m 的值为6、7、8，则m 的一个取值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）．15．两个正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N 分别是对角线AC 和BF 上的动点，则MN 的最小值为√33． 解：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABCD ， 根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，∴BC ⊥BE ，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设A （1，0，0），C （0，0，1），F （1，1，0），E （0，1，0）， ∵CM ＝a ，BN ＝b ，(a ，b ∈[0，√2])，∴M(a √20，1−a √2)，N(b √2b√20)， MN =√(a √2b √2)2+(0−b √2)2+(1a √2)2=√a 2−√2a +1+b 2−ab =√(b −a 2)2+34(a −2√23)+13，当a =2√23，b =√23时，MN 最小，最小值为√33． 故答案为：√33． 16．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，l ：y =√3x 是C 的一条渐近线，P 是C 第一象限上的点，直线PF 1与l 交于点Q ，QF 1⊥QF 2，则tan∠F 1PF 22= √3−1 ．解：设∠F1PF2＝α，y=√3x的倾斜角为60°，即∠QOF2＝60°，由双曲线的渐近线方程可得ba=√3，则c=√a2+b2=2a，即e=c a=2，由QF1⊥QF2，可得∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝150°﹣α，在△PF1F2中，由正弦定理可得|PF1|sin∠PF2F1=|PF1|sin(150°−α)=|PF2|sin30°=|F1F2|sinα，则|PF1|−|PF2|sin(150°−α)−12=12cosα+√32sinα−12=2csinα，即有e=ca=12cosα+√32sinα−12=2，化为1﹣cosα＝（√3−1）sinα，即1−cosαsinα=2sin2α22sinα2cosα2=tanα2=tan∠F1PF22=√3−1．故答案为：√3−1．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC=23π，PD⊥平面ABCD，PD＝1，M为PB的中点．（1）求证：平面MAC⊥平面PDB；（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值．解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB，∵AC⊂平面AMC，∴平面MAC⊥平面PDB；（2）过点P作PH⊥平面AMC，交平面AMC于点H，连接CH，则∠PCH是CP与平面MAC所成角，连接BD ，交AC 于O ，连接OM ，∵PD ∥OM ，∴PD ∥平面AMC ，∴PH 是点D 到平面AMC 的高， ∵PD ⊥平面ABCD ，∴OM ⊥OD ，∵平面AMC ⊥平面PDB ，平面AMC ∩平面PDB ＝OM ， ∴OD ⊥平面AMC ，∴PH ＝OD =12，PC =√2，设CP 与平面MAC 所成角为θ，则CP 与平面MAC 所成角的正弦值为sin θ=ODPC =122=√24．18．（12分）已知圆满足： ①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1； ③圆心到直线l ：x ﹣2y ＝0的距离为√55．求该圆的方程．解：设所求圆心为P （a ，b ），半径为r ，则圆心到x 轴，y 轴的距离分别为|b |、|a |，因圆P 截y 轴得弦长为2，由勾股定理得r 2＝a 2+1，又圆被x 轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1， ∴劣弧所对的圆心角为90°， 故r =√2b ，即r 2＝2b 2， ∴2b 2﹣a 2＝1①，又∵P （a ，b ）到直线x ﹣2y ＝0的距离为√55， 即√5=√55，即a ﹣2b ＝±1．② 解①②组成的方程组得：{a =1b =1或{a =−1b =−1，于是即r 2＝2b 2＝2， ∴所求的圆的方程为（x +1）2+（y +1）2＝2或（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2． 19．（12分）已知数列{a n }满足a n+1=a n a n +1，a 1=12． （1）求证：数列{1a n}为等差数列； （2）设数列{a n }前n 项和为S n ，且S 2n ﹣S n ＞k 对任意的n ∈N *恒成立，求k 的取值范围． 解：（1）证明：由a n+1=a n a n +1，a 1=12，可得1a n+1=1a n+1， 即有数列{1a n}是首项为2，公差为1的等差数列； （2）1a n=2+n ﹣1＝n +1，则a n =1n+1，数列{a n}前n项和S n=12+13+...+1n+1，S2n=12+13+...+1n+1+1n+2+...+12n+12n+1，S2n﹣S n=1n+2+...+12n+12n+1，由S2n﹣S n＞k对任意的n∈N*恒成立，可得k＜（S2n﹣S n）min．设b n=1n+2+...+12n+12n+1，b n+1=1n+3+1n+4+...+12n+1+12n+2+12n+3，b n+1﹣b n=12n+2+12n+3−1n+2=3n+4(2n+2)(2n+3)(n+2)＞0，则n∈N*，S2n﹣S n递增，可得n＝1时，（S2n﹣S n）min=1 3，则k＜13，即k的取值范围是（﹣∞，13）．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求证：当a＞0时，f(x)+44√a．解：（1）因为f′（x）=1x−a，所以当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＝0，得x=1 a ，在（0，1a）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1a，+∞）上f′（x）＜0，f（x）单调递减．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，1a）上单调递增，在（1a，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）知当a＞0时，f（x）max＝f（1a ）＝ln1a−1，只需要证（ln 1a −1）+44√a，即证√a+lna﹣3＞0，令g（a）=4√alna﹣3，则g′（a）=√a−2a√a，所以g（a）在（0，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，所以g（a）≥g（4）＝ln4﹣1＞0，所以f（x）+44√a ．21．（12分）已知点A(−√5，2)在双曲线C：x2a2−y2a2=1上，（1）求C 的方程；（2）如图，若直线l 垂直于直线OA ，且与C 的右支交于P 、Q 两点，直线AP 、AQ 与y 轴的交点分别为点M 、N ，记四边形MPQN 与三角形APQ 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）由点A(−√5，2)在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2=1上，可得5a 2−4a2=1，解得a 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x 2﹣y 2＝1．（2）由直线l 垂直于OA ，可得直线l 的斜率k =−1k OA =√52， 设直线l 的方程为y =√52x +m 且P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程组{y =√52x +m x 2−y 2=1，整理得x 2+4√5mx +4(m 2+1)=0，因为直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，所以{Δ=(4√5m)2−16(m 2+1)＞0x 1+x 2=−4√5m ＞0x 1x 2=4(m 2+1)＞0，解得m ＜−12，所以x 1+x 2=−4√5m ，x 1x 2=4(m 2+1)， 则|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+(√52)2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+(√52)2√(−4√5m)2−4×4(m 2+1)=6√4m 2−1，又由点A 到直线l ：√5x −2y +2m =0的距离为d =√5×√5−2×2+2m|√(√5)+(−2)=13|2m −9|， 所以S 2=12|PQ|⋅d =√4m 2−1⋅|2m −9|，直线AP 的方程为y −2=1x 1+√5+√5)，令x ＝0，可得y M =√5⋅(1x 1+√5)+2， 直线AQ 的方程为y −2=2x 2+5+√5)，令x ＝0，可得y N =√5⋅(2x 2+5)+2， 则|MN|=|y M −y N |=√5|1x 1+52x 2+5=√5|√52x 1+m−2x 1+5√52x 2+m−2x 2+5=√5|122(x 1+√5)(x 2+√5)=√5|√22x 1x 2+2√5(x 1+x 2)+10=√5|(2m−9)√(−4√5m)−16(m 2+1)8(m 2+1)+2√5⋅(−4√5m)+10=2√5⋅√4m 2−1|2m−1|，所以△AMN 的面积S 3=5⋅√4m 2−1|2m−1|，又由S 1S 2=S 2−S 3S 2=1−S 3S 2，得S 1S 2=1−5|(2m−1)(2m−9)|=1−5|4m 2−20m+9|，m ＜−12，令f(m)=4m 2−20m +9=4(m −52)2−16，可得函数f （m ）在(−∞，−12)上单调递减，且f(−12)=20，所以f （m ）＞20，所以S 1S 2∈(34，1)，即S 1S 2的取值范围为(34，1)．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣2）e ax ．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣3x +b ＝0，求a ，b 的值； （2）若当x ＞0时，恒有f （x ）＞﹣x ﹣2，求实数a 的取值范围； （3）设n ∈N *时，求证：312+22+522+32+⋯+2n+1n 2+(n+1)2＜ln(n +1)．解：（1）由f （x ）＝（x ﹣2）e ax ，得f ′（x ）＝e ax +a （x ﹣2）e ax ，则f （0）＝﹣2，f ′（0）＝1﹣2a ，即切点坐标为（0，﹣2），切线的斜率k ＝1﹣2a ， 由曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ﹣3x +b ＝0， 可得{−2−3×0+b =01−2a =3，解得a ＝﹣1，b ＝2．（2）由g （x ）＝f （x ）+x +2＝（x ﹣2）e ax +x +2， 得g ′（x ）＝e ax +a （x ﹣2）e ax +1＝（ax ﹣2a +1）e ax +1， 由题意可知，当x ＞0时，恒有g （x ）＞0，且g （0）＝0， 则g ′（0）＝1﹣2a +1≥0，解得a ≤1，若a ≤1，则当a ＜0时，g(x)=(x −2)e ax +x +2=(x +2)e ax (x−2x+2+e −ax )=(x +2)e ax (1−4x+2+e −ax )，因为x ＞0，所以（x +2）e ax ＞0， 令ℎ(x)=1−4x+2+e −ax ，则h （x ）＞h （0）＝0，即g （x ）＝（x +2）e ax h （x ）＞0，符合题意； 当a ＝0时，则g （x ）＝x ﹣2+x +2＝2x ＞0在（0，+∞）内恒成立，符合题意；当0＜a ≤1时，令φ（x ）＝g ′（x ），则φ′（x ）＝ae ax +a （ax ﹣2a +1）e ax ＝a （ax ﹣2a +2）e ax ， 因为x ＞0，则ax ﹣2a +2＞﹣2a +2≥0，e ax ＞0，可知φ′（x）＝a（ax﹣2a+2）e ax＞0在（0，+∞）内恒成立，则φ（x）在（0，+∞）内单调递增，可得φ（x）＞φ（0）＝2﹣2a≥0，则g（x）在（0，+∞）内单调递增，可得g（x）＞φ（0）＝0，符合题意；综上，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．（3）证明：由（2）可知，当a≤1，x＞0时，（x﹣2）e ax+x+2＞0，令a＝1，可得（x﹣2）e x+x+2＞0，令t=e 12x＞1，则t2＝e x，x＝2lnt，则（2lnt﹣2）t2+2lnt+2＞0，所以t2−11+t2＜lnt，令t=n+1n＞1，n∈N∗，则(n+1n)2−11+(n+1n)2＜lnn+1n，所以2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−lnn，则312+22＜ln2−ln1，522+32＜ln3−ln2，⋯，2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−lnn，所以312+22+522+32+⋯+2n+1n2+(n+1)2＜ln(n+1)−ln1=ln(n+1)．。