高中数学必修四(人教版)课件 第三章 三角恒等变换 章末复习课
－2sin α ≥0， 2 1 解得3≤sin α <1，或－3<sin α ≤0. －2sin α <1，
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
1 2 1 1 2 2 ∴ y ＝ sin β － sin α ＝ (3sin α － 2sin α ) － sin α ＝ 2 2 2
2
sin
12 1 α －2 － . 4
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
方法二 函数与方程思想
【例 2】 (2015· 重庆高考)已知函数
π f(x)＝sin 2
－xsin
x－ 3cos2x.
(1)求 f(x)的最小正周期和最大值； 2π (2)讨论 上的单调性. ， 3 π 3 2 解 (1)f(x)＝sin －xsin x－ 3cos x＝cos xsin x－ 2 (1 2
S(α＋β)与 S(α－β)；将
S(α＋β)除以 C(α＋β)得到 T(α＋β)，将 S(α－β)除以 C(α－β)得到 T(α－β)； 将 S(α＋β)、C(α＋β)、T(α＋β)中的 β 换为 α，得到 S2α 、C2α 、T2α .
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
2.熟练掌握常用的角的变换，是提高解题速度、提高分析问题和 α 解决问题的能力的有效途径.常用的角的变换有：α＝2· 、4α 2 π π α 2 －α ＝2· 2α、4 － 2 ＝ 2 、 2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)、 2β＝(α＋β)－(α－β)＝(α＋β)＋(β－α)、α＝(α＋β)－β＝β－(β
减.
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
规律方法
通过三角变换，将角与函数统一，化成y＝
Asin(ωx＋φ)＋k的形式是解决问题的关键.
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
sin xcos x 【训练 2】 已知函数 f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x (1)求函数定义域. (2)求函数值域.
解 即 由
答案 D
知识网络 要点归纳
方法研修 体验高考
1.(2014· 新课标全国Ⅰ高考)设 1＋sin β tan α＝ ，则( cos β π A.3α －β＝ 2 π C.2α －β＝ 2 )
π α∈0， 2
，β
π ∈0， 2
，且
π B.3α ＋β＝ 2 π D.2α ＋β＝ 2
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
规律方法
本题先通过已知条件求得sin α的取值范围，然后
将函数化简为关于sin α的二次函数，最后根据二次函数的单
调性对sin α进行分类讨论求得最值 .在有关三角函数与二次 函数的综合问题中，一定要注意分类讨论思想的应用.
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
sin 3α 13 【训练 3】 设 α 为第四象限角，若 ＝ 5 ，则 tan 2α ＝ sin α _______.
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
方法四 数形结合思想
【例 4】 若方程 3sin x＋cos x＝a 在[0，2π ]上恰有两个 不同的实数解，求 a 的取值范围.
π x＝a，∴a＝2sinx＋ 6 ，x∈[0，2π ，x∈[0，2π
解 ∵ 3sin x＋cos 作出函数
知识网络 要点归纳
方法研修 体验高考
【训练 1】 已知 sin(3π －α)＝
3π 2cos 2
＋β和
3cos(－α)
＝－ 2cos(π ＋β)且 0<α<π ，0<β <π ，求 α、β 的值.
解 由 sin(3π －α)＝
3π 2cos 2 ＋β和
3cos(－α) ① ②
＝－ 2cos(π
sin α ＝ ＋β)得 3cos α
2sin β ， ＝ 2cos β ，
①2＋②2 得：1＋2cos2α ＝2， 1 2 ∴cos α ＝2∴cos α ＝± 2 ，
2
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
π 3π ∴α ＝ 4 或 α＝ 4 ， π 2 3 由 cos α ＝ 可得 cos β ＝ 得 β＝ ， 2 2 6 5π 2 3 由 cos α ＝－ 得 cos β ＝－ 得 β＝ ， 2 2 6 π π 3π 5π ∴α ＝ ，β ＝ 或 α＝ ，β ＝ . 4 6 4 6
章末复习课
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
1.本章的公式多不易记住，解决这个问题的最好办法就是掌握 每个公式的推导过程：首先用向量方法推导出 C(α－β)，再用 －β 代替 C(α－β)中的 β 得到 C(α＋β)；接着用诱导公式 sin(α± β)
π ＝cos 2 π ＝ cos －（α± β ） 2 －α∓β 得到
α －β α ＋β α －β α ＋β β α －α)、β＝ 2 － 2 、 2 ＝α －2－ －β 、 2 ＝ 2 β α α＋ － 2 2 ＋β.这些变换技巧需要同学们在平时解题的过程
中多多摸索，而探索的方法就是认真观察已知条件中的角与 待求式中的角之间的关系.
解析 sin 3α sin（2α＋α） 由 ＝ sin α sin α
sin 2αcos α＋cos 2αsin α ＝ sin α 13 ＝2cos α＋cos 2α＝ . 5
2
13 ∵2cos α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝ 5 .
2
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
4 ∴cos 2α＝5.∵α为第四象限角， 3π ∴2kπ＋ <α<2kπ＋2π(k∈Z)， 2 ∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)， 4 ∴2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝5， 3 3 ∴2α在第四象限，∴sin 2α＝－5，tan 2α＝－4. 3 答案 － 4
知识刻注意考虑角的范围是避免解题出错的唯一方法，首先 是本章的某些公式中的角就有范围限制，如 tan 2 α ＝ 2tan α π kπ π 中的 α 的限制条件是 α≠kπ ＋ 且 α≠ ＋ 2 2 4 1－tan2α (k∈Z)；其次是题中的角的范围也是有限制的.
知识网络 要点归纳
方法研修 体验高考
规律方法 三角函数求值主要有三种类型，即 (1)“ 给角求值 ” ，一般给出的角都是非特殊角，观察发现 题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，
必要时运用诱导公式.
(2)“ 给值求值 ” ，即给出某些角的三角函数式的值，求另 外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和 结论中的角，合理拆、配角.要注意角的范围. (3)“ 给值求角 ” ，本质上还是 “ 给值求值 ” ，只不过往往 求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调 性确定角，必要时还要讨论角的范围.
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
规律方法
本题将方程有两个不同的实数解转化为两
个函数的图象有两个不同的交点是一种很好的方法.今
后遇到此类问题时，可先观察方程两边是否为基本初
等函数，能否比较方便地作出两边函数的图象.如果能， 则利用数形结合方法可有效提高解题速度.
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
π π 【训练 4】 若函数 f(x)＝2sin x＋ (－2<x<10)的图象与 x 3 6
轴交于点 A，过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两 → → → 点，则(OB＋OC)· OA等于( A.－32 B.－16 ) C.16 D.32
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
解析
由 f(x)＝0，解得 x＝4，即 A(4，0)，过点 A 的直线 l
与函数的图象交于 B、C 两点，根据对称性可知，A 是 BC → ＋OC → ＝2OA →， → ＋OC → )· → ＝2OA →· → 的中点， 所以OB 所以(OB OA OA → ＝2|OA|2＝2×42＝32，
π 1 3 3 3 ＋cos 2x)＝ sin 2x－ cos 2x－ ＝sin2x－ － ， 2 2 2 3 2
π f(x)在 6
2－ 3 因此 f(x)的最小正周期为π ，最大值为 2 .
知识网络 要点归纳
方法研修 体验高考
(2)当
π x∈ 6
π 2π 时，0≤2x－ 3 ≤π ，从而 ， 3
2 ∈3，1时，y
当 sin α
2 是增函数，故当 sin α ＝3时，
1 2 ymin＝－9；当 sin α ∈－3，0时，y 是减函数，
故当 sin α ＝0 时，ymin＝0. 1 2 2 综上，可知函数 y＝sin β －2sin α 的最小值为－9.
2
1 2 求函数 y＝sin β － sin α 的最小值. 2 π π 1 2 解 ∵－6≤β < 4 ，∴－2≤sin β < 2 ，
2
1 ∴0≤sin β < ，∴0≤2sin2β <1. 2
2
∵2sin2β ＝3sin2α －2sin α ，∴0≤3sin2α －2sin α <1，
2 3sin α 即 2 3sin α
π ＋2kπ (k∈Z)∴x＝(2k＋1)π 或 x＝－ 2 ＋2kπ (k∈Z).
知识网络
要点归纳
方法研修
体验高考
∴函数定义域为
x|x∈R，且x≠（2k＋1）π π ，且x≠－ ＋2kπ ，k∈Z 2
合集下载
高中数学第三章三角恒等变换章末归纳整合课件a必修4a高一必修4数学课件
12/9/2021
第九页，共三十一页。
【例 2】 若函数 f(x)＝tan2x－atan x|x|≤π4的最小值为－6， 则实数 a 的值为________．
【分析】由角的范围可得 tan x 的范围，由二次函数的知识 分类讨论可得．
【解析】∵|x|≤π4，设 m＝tan x∈[－1,1]， ∴y＝tan2x－atan x＝m2－am，m∈[－1,1]． 当a2＜－1，即 a＜－2 时，函数 y＝m2－am 在 m∈[－1,1] 上单12/调9/202递1 增，
12/9/2021
第二十页，共三十一页。
4．(2018 年江苏)已知 α，β 为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)
＝－
5 5.
(1)求 cos 2α 的值；
(2)求 tan(α－β)的值．
12/9/2021
第二十一页，共三十一页。
【解析】(1)由csoins αα＝43，
结合 α 为锐角，解得
sin2α＋cos2α＝1，
sin α＝45，
cos
α＝35，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－275.
12/9/2021
第二十二页，共三十一页。
(2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝2245，则 tan 2α＝csoins 22αα＝ －274.
∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，α)， ∴sin(α＋β)＝ 1－cos2α＋β＝255， 则 tan(α＋β)α＋β)]＝1t＋ant2anα－2αttaannαα＋＋ββ＝－121.
令 2x＋π3＝t，则 t∈π3，43π，函数 y＝h(t)＝2sin t 与直线 y ＝k 在π3，43π上有两个交点，要使两个函数图象有两个交点， 则 3≤k＜2.
人教A版高中数学高一必修4课件第三章三角恒等变换
章末复习提升
17
跟踪演练 2 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝61，α∈π2，π， 求1＋sinco4sα2α的值. 解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13，
章末复习提升
18
即 cos 2α＝31.
又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
章末复习提升
19
∴1＋sinco4sα2α＝2sin12＋α·ccooss 1＋ 2
22αα＝2×1－＋213＋2213×13
＝－4152.
章末复习提升
20
题型三 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要是利用sin2α＋cos2α＝1， sin α ＝
∴|ka＋b|2＝|a－kb|2.
∴2kcos(α－β)＝－2kcos(α－β).
∵k≠0，∴cos(α－β)＝0.
∴cos(β－α)＝0.
又∵0<α<β<π，
∴β－α＝π2.
章末复习提升
31
跟踪演练 4 设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cos x,1)，
b＝(cos x， 3sin 2x).若 f(x)＝1－ 3，且 x∈－π3，π3，求 x. 解 由题设 f(x)＝2cos2 x＋ 3sin 2x ＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x＝2sin2x＋6π＋1. 若 f(x)＝1－ 3，则 2sin2x＋π6＝－ 3，
章末复习提升
32
即
sin2x＋6π＝－
3 2.
∵x∈－π3，π3，
∴2x＋π6∈－π2，56π.
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
31
因 为 图 象 的 一个 对 称 中心 到 最 近的 对 称 轴的 距离 为 π4 ， 又 ω>0，所以22ωπ ＝4×π4＝T.
因此 ω＝1.
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
32
(2)由(1)知 f(x)＝－sin2x－π3. 当 π≤x≤32π时，53π≤2x－π3≤83π.
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
34
(2)sin(2A＋2B)＝－sin2C， cos(2A＋2B)＝cos2C， tan(2A＋2B)＝－tan2C； (3)sinA＋2 B＝cosC2， cosA＋2 B＝sinC2，
26
[解] (1)∵f(x)＝sin2x＋ 3cos2x＝2sinx2＋3π， ∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π.
2
当 sinx2＋3π＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 当 sinx2＋3π＝1 时，f(x)取得最大值 2.
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
16
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
17
＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°] 2cos5°
＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5° 2cos5°
9
利用两角和差的正弦、余弦、正切公式即可求解．
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
高中数学人教A版(课件)必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.2
上一页
返回首页
下一页
(3)π4 ＋α＋π4 ＋β＝π2 ＋(α＋β)； (4)π4 ＋α＋π4 －β＝π2 ＋(α－β)．
上一页
返回首页
下一页
[再练一题]
2．已知 cos α ＝－45，α ∈π ，3π2 ，tan β ＝－13，β ∈π2 ，π ，求 cos(α ＋β)．
30°＝(
)
A．－
3 2
C．12
B．－12
D．
3 2
上一页
返回首页
下一页
(2)化简求值： ①11＋－tatann7755°°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)； ③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用． (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
上一页
返回首页
下一页
教材整理 3 两角和与差的正切公式
阅读教材 P129“探究”以下至“例 3”以上内容，完成下列问题．
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切
两角差 的正切
T(α＋β) T(α－β)
tan α ＋tan β α ，β ，α ＋β≠kπ tan(α＋β)＝1_－__ta_n__α__t_a_n__β_ ＋π2 (k∈Z) 且 tan
1＋tan 12°tan 72°
(3) tan 12°－tan 72° .
【解】
(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos
45°＝
2 2.
(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.
(3)原式＝1t＋ant1a2n°12－°ttaann7722°°＝－tan（72°1－12°）＝－