复超调和函数
复变函数1
复变函数由于我是AI语言模型，需要先了解一下您需要我阐述的方向是什么，比如：1. 复数和复变函数的基本概念2. 复变函数的连续性和解析性3. 解析函数的性质和应用4. 初等函数和特殊函数的复数拓展5. 复变函数的积分和级数展开6. 复变函数在边界和奇点上的性质和应用7. 其他与复变函数相关的主题请告诉我您需要哪个方面的文章，让我能更好地为您写作。
好的，接下来我将重点介绍第一点和第二点的内容。
复数和复变函数的基本概念我们首先来了解复数的概念。
复数是由实数和虚数构成的数，它可以被写成 z = x + iy 的形式，其中 i 是虚数单位，满足 i² = -1，x 和 y 是实数。
复数的实部为 x，虚部为 y，可以表示成Re(z) = x 和 Im(z) = y。
我们可以将复数表示在平面直角坐标系上，以实部为横坐标，虚部为纵坐标，将复数 z 对应的点记为 P(x,y)。
这样，复平面就被构造出来了，它是一个复数集合和平面上的坐标集合的一一对应。
复变函数是将复数集合映射为复数集合的函数，可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中 u 和 v 分别是实部和虚部的函数，被称为实部函数和虚部函数。
复变函数的连续性和解析性复变函数的连续性和解析性是我们研究复变函数必须要清楚的概念。
对于一个复变函数 f(z)，如果它在某一点 z0 存在极限值，且与 z0 的距离趋于零时函数值也趋于某一值，那么我们称 f(z)在 z0 处连续。
如果 f(z) 在其定义域内的每一点都是连续的，我们称 f(z) 是连续的。
对于一个复变函数 f(z)，如果它在某一点 z0 的某个邻域内都是解析函数，那么我们称 f(z) 在 z0 处是解析的。
如果 f(z) 在其定义域内的每一点处都是解析的，那么我们称 f(z) 是解析的。
解析函数的性质和应用解析函数拥有丰富的性质和重要的应用。
首先，解析函数具有实部和虚部的连续性。
由调和函数求解析函数的一个注记
看做是 Ｄ内某个解析函数 ） 的实部或虚部 ， 结合
级数 理论 ， 出一种 新 的 由调 和 函数 求 解 析 函数 的 给
方法 。
理论 和 方法又促 进 了复 变 函数 理论 本 身 的发展 ， 不 仅使 它 的 内容 更加 丰 富 ， 而且 开 辟 了许 多新 分 支 和
新领 域 。
函数＿ ｚ） 厂 的实部或虚部 ， （ 结合级数理论 ， 出一种新 的由调和 函数求解析 函数的方法。 给 关键词 调和函数 共轭调 和函数 解析 函数
ｒ 图法分类号 ｆ １
Ｏ ７． ； １４ ４
文献标志码 Ａ
复 变 函数 论 的发 生 与 发 展 都 是 和应 用 相 联 系 的， 例如 达 朗贝尔及 欧 拉 联 系着 流 体 力 学 导 出 了著
６ ６ ９１
Ⅱ ［ — 。 （ ）一ｉｙ— ｏ ］ （ Ｙ） ｝
（） １
证明
取 Ｚ＝ ， ０ ０ 由定理 （ ） １ 可得推论 结果 。
因为 当 Ｉ — ０ ＝ｌ 一 ）＋ｉＹ— ｏ Ｉ ｚ Ｚ Ｉ （ ０ （ Ｙ ） ＜Ｒ时 ， 幂 级数 绝对 收敛 ， 以其 各 项 取 共 轭所 得 级 数 绝 对 所 收敛 ， 取
ｆ） ， 卜 ， Ｃｆ） （＝ 字 其 Ｉ （。 ｚ２ 中， Ｚ ０ｏ ＝
证明 因为 Ｍ＝ （ ，） 单连 通 区域 Ｄ内 的调 ｕ ｘＹ 是 和 函 数 ， 以 必 有 共 轭 调 和 函 数 ＝ （ Ｙ 使 所 ， ） Ｉ 十ｉ Ｄ 内解 析 ， 厂 ）＝ （ ｖ 在 任取 ∈Ｄ， 。 则 ） 在 的
作者简介 ： 何力争 （ ９ ９ ） 男 ， １５ 一 ， 陕西 高陵人， 副教授 。研究方 向
基础数学与数学教学。Ｅｍａ ：ｌｌ２ ｉａｇ ６ ．ｏ － ｉ ｈｚ０ ｘ ｎ＠１３ ｃｎ。 ｌ ｈ
复变函数23解读
如：从原点起割破负实轴， (z)
2k k ( z ) 2k , k 0,1,2,3 当n 4时，
14
k的辐角的范围为： 2k
2k , k 0,1,2,3 4 4 4 4
2k 2k Tk : , k 0,1,, n 1 n n n n 为z n的单叶性区域的一种分法, 且z n
将每个Tk映为z平面上除去原点及负实轴的区域.
6
特别地：
注：
区域T 是z 的单叶性区域
n
2 k 1 T , 对2， | 2 || 1 |,arg 2 arg 1 , n k 1,2, , n 1, 则2 T .
0 ( z ) 2
从原点起割破正实轴，
第二章
解析函数
1
一、根式函数
1.幂函数的单叶性区域
定义1、规定根式函数 ＝ z为幂函数z 的
n n
反函数. 对z 0, ,
n z n | z |e
arg z 2 k i n
( k 0,1,2,, n 1)
n值函数
当z 0时， 0; 当z 时， ;
k n | z |e
k ( z )
4
i
,
2k k ( z ) 2k , k 0,1,2,3
9
取：
2k 2k Tk : , k 0,1,2,3 4 2 4
k ( z )
4 i
k n | z |e
,
2k k ( z ) 2 2k , k 0,1,2,3
第一章复变函数
一方面， − i = i ⋅ (−1) = i ⋅ (ijk) = (ii) ⋅ ( jk) = − jk, 我们有jk = i 另一方面， ijk = −1 = kk，因此ijkk = kkk = −k，
ii = jj = kk = ijk = −1 约去 −1得ij = k，然后ijj = kj，最后得到kj = −i
2
⎝2⎠ ⎝ 3⎠
即使三次方程的3个根都是实数，求解中也会出现复数。 4 许多结果为实数的表达式中必须出现复数。
例: sin10o有“解析表达式”吗？
由三倍角公式sin 3θ = 3sinθ − 4sin3 θ，可得 1 = 3sin10o − 4sin3 10o 2
令x = sin10o，得三次方程：x3 − 3 x + 1 = 0. 48
18
2/20/2012
常见的复变函数
多项式 a0 + a1z + a2 z2 + ... + an zn
有理分式 a0 + a1z + a2 z2 + ... + an z n
b0 + b1z + b2 z 2 + ... + bm z m
根式
a + bz
初等函数
exp(z) = exp(x + iy) = exp(x)(cos y + i sin y) sin z = 1 [exp(iz) − exp(−iz)]
21
2/20/2012
解析函数简介
在复变函数论中主要研究对象是 “解析函数”。复变函数论中的许 多重要结果都要求解析函数的前 提。
解析函数对定义域和函数导数性 质都有要求，其中，定义域不能 是一般的“点集”，而要求为满足 一定条件的点集-- “区域”。而导 数性质方面，则需要满足所谓柯 西-黎曼关系。
复变函数笔记
1859年，黎曼研究ζ函数的复零点，提出著名的黎曼猜想(Riemann Hypothesis):黎曼ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2。
延拓的概念和例子：复变函数要点：（1）基本是三块：cauchy积分理论，weirstass级数理论，riemann映射理论？函数的局部与整体性质：复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815.10.31-1897.2.19）这样伟大人物工作的中心．对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数;对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数．它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。
函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的．然而接下来Abel，Riemann 和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围．这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性．局部展开只是看待它们的一种方式．？退而求其次一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们．解的奇异性是真正决定其整体性质的东西．与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了．？曲面的局部与整体性质：在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程．只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了．当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质．（2）cauchy积分理论更多是方法性的东西，需要你了解解析函数到底是什么，什么是奇点，什么是单连通，复连通区域，区域有洞怎么积分,若尔当曲线的形态（3）级数部分的重点是极点（特殊的奇点），零点，留数，无穷原点的性质（转化成为零点）留数定理。
复变函数简单总结
复变函数简单总结复变函数简单总结对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。
复变函数的记号是w＝f（z）。
从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。
在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。
那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。
在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数V＝V（z）＝Vx（x，y）＋iVy（x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy （x，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。
在静电学中，平面静电场也可以用复函数E（z）＝Ex（x，y）＋iEy（x，y）来表示，Ex（x，y）和Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。
对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。
复变函数泛谈首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。
复数的集合复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。
可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。
而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。
结论为：数学不是科学。
数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。
哪怕是假命题如地心说，也是科学。
复变函数第一章：1.1解析函数
复变函数第⼀章：1.1解析函数参考资料：解析函数上⼀章中我们研究了复数的基本性质，以及其拓扑结构，由于复平⾯的拓扑结构和⼆维实平⾯的拓扑结构相同，因此在函数的极限、连续性⽅⾯和⼆元实函数⼏乎没有区别.但是由于复数可以做除法，因此复函数在微分结构上和⼆元实函数有很⼤的差别.我们会在本章中研究最简单的的内容，在第⼆、三章中学习了研究复变函数的⽅法之后，再精细的研究复变函数.1.解析函数1.1.1：从实函数⾓度研究复函数的微分结构设,因此对任何⼀个复函数⽽⾔，我们可以将其写作是⼆元函数的形式：因此我们可以按照研究实函数的⽅式来研究复变函数.由于：, 得 , 因此将其带⼊可得:因此我们也可以⽤复变量来表⽰函数的微分，此时我们引⼊两个常⽤的偏微分算⼦：所以：这样看起来似乎就是关于和的函数，虽然和之间并不是独⽴的.但是下边⼀个定理告诉我们，在求导时我们确实可以将其看作是两个独⽴的变量.设 , 求和 .⼗分容易求得：不难验证，他们还满⾜下边的性质：1.1.2 从复函数⾓度研究复变函数的微分结构上边的研究并没有什么兴趣，因为他们和⼆元实函数没有任何区别，我们更关⼼从复的⾓度去研究复变函数的微分结构.类似在实函数中⼀元函数可导或者可微的定义我们这样定义复变函数的可导性：类似于⼀元函数的可导的等价定义，我们可以得到复变函数的可导的等价定义：显然：反之不成⽴，我们可以找到⼀个连续但处处不可微的函数，这在实函数中我们是很难做到的，魏尔斯特拉斯花了很久的时间才⽤级数构造出了第⼀个例⼦.函数在中处处不可微.(不加证明.)⼀般来说但凡出现了这样的函数都会不可微(后边我们会看到这个原因.)同实函数⼀样，复变函数的求导也是满⾜四则运算和复合运算的法则的：Exe：复数形式的洛必达法则.: 和都在处可微, 且 . 证明:Exe：设域和域关于实轴对称. 证明: 如果是上的全纯函数, 那么是上的全纯函数.注意到这⾥域关于实轴对称的条件不能缺少，因为和必须在中.1.1.3:实函数和复函数之间的联系:Cauchy-Riemann⽅程如果只是单纯的向上边⼀样从实函数和复函数两个⾓度建⽴各⾃的微分理论，那样将带来很多⿇烦，很多术语将会滥⽤且代表不同的含义，因此我们必须建⽴复函数和实函数之间的关系.下边我们来探讨这种关系.现在我们从实变函数的⾓度出发：设.我们知道的极限趋近⽅式是多种多样的，就如同⼀样，最特殊的就是,以及这两种⽅式，现在我们来演算⼀下，看看会带来什么结果.当时, 有⽽当时, 有但是上述的条件只是必要的⽽⾮充分的，详情请看下边的反例：Exe：函数在满⾜定理上述定理中的条件, 但在不可微.(同理这⾥不给证明，实在是因为这个很容易.)下边我们来探讨复可微的充分条件.我们知道多元函数的偏导数存在是不能够推出函数是可微的，但是只要加上偏导数是来连续的，那么就可以推出可微是存在的.必要性：必要性的证明只需要证明函数的可微性即可.⽐较上式的实部和虚部, 得到和在处可微.⾄于⽅程，我们已经证明过了.充分性：充分性的证明完全是数学分析的定义展开，可以参见任何⼀本复变函数的书籍，这⾥不再赘述.前边我们曾经⽤复变量表⽰过函数的微分，现在我们来⽤他们表⽰函数的可微性.由于：因此我们可以得到另⼀个必要条件：1.1.4：调和函数引⼊练习题：设都是区域上的函数,证明: 如果函数在上解析, 则在上解析.由于在上解析, 因此 , 并且满⾜ C-R ⽅程 :利⽤此以及为区域上的函数得可见, 的实部和虚部满⾜ C-R ⽅程. 所以解析.在上边这个题中我们可以得到：这并不是偶然，(事实上，任何⼀个解析函数的实部和虚部都有这样的结论.}我们会在后边证明这件事情.)当然我们也可以⽤复数的形式表⽰Laplace算⼦：image所以这个结论是很容易证明的.总结⼀下，我们知道如果是区域且,且,那么都是调和函数，且是满⾜⽅程的.注意到这个说法，我们称是的共轭调和函数，这个顺序是不可颠倒的.现在考虑反问题，如果有了⼀个调和函数,是否存在⼀个的共轭调和函数,是的是调和函数.如果区域是单连通区域那么结果上述说法是成⽴的，但是如果区域不是单连通该结果不⼀定正确，稍后我们可以举出反例.思考：如何求共轭调和函数?想⼀想如果存在.那么就满⾜⽅程，显然.我们可以通过积分的⽅式来求.因为.所以我们希望两边积分来得到.因为函数调和，我们记.易得：是⼀个全微分⽅程。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
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hyperharmonic function
复超调和函数
1.
In the first part of this paper,resorting to the idea of quasi-permutation which created by Sha Hang,we give the equivalent conditions of complex monogenic and complex hypermonogenic functions,define the complex hyperharmonic function and discuss its equivalent conditions.
第一部分借助黄沙老师拟置换的思想,得到了复正则函数,复超正则函数的等价条件,定义了复超调和函数并讨论了它的等价条件,第二部分讨论了复超正则函数的若干性质。
2) hyperharmonic function
超调和函数
3) complex harmonic function
复调和函数
1.
The mixed boundary value problems for complex harmonic function s;
复调和函数的混合边值问题
2.
Cauchy integral formula for complex harmonic function s;
复调和函数的Cauchy积分公式
3.
In this paper, the properties of complex harmonic function on infinity are considered , and the relationship between two kinds of expressions of complex harmonic function is discovered.
本文讨论了复调和函数在无穷远点的性质,揭示出有界区域上复调和函数的两类表示式之间的关系。
4) k-hyperbolically harmonic function
k-超调和函数
1.
A partial differential equations is introduced on the basis of the definitions of
k-hypermonogenic function with vector value and the k-hyperbolically harmonic function,then the porperties of k-hypermonogenic function with vector value and their relations are discussed,at last a sufficient and necessary condition for the solvability of partial differential equations is obtained.
在k-超正则向量值函数和k-超调和函数定义的基础上,引入了一个偏微分方程组,然后借助这个偏微分方程组讨论了k-超正则向量值函数的性质及其与k-超调和函数的关系,最后给出了偏微分方程组可解的一个充分必要条件。
5) Super space time harmonic function
超空时调和函数
6) compound harmonic function
复谐函数，复调和函数
补充资料：调和函数
调和函数
harmonic function
在平面区域D上定义的函数u＝u(x，y)，若有二阶连续偏导数，且满足二阶拉普拉斯方程
则称u＝u（x，y）为D上的调和函数。
调和函数与解析函数有
密切关系，在平面区域D上的解析函数的实部与虚部都是调和函数，由于这一对调和函数还满足柯西黎曼条件，因而特别称虚部是实部的共轭调和函数。
反之一个单连域上的调和函数一定可以是一个单值解析函数的实部，而且这样的解析函数不唯一，它们相互之间可以相差一个纯虚数，而在多连通区域上，一个调和函数一般是一个多值解析函数的实部。
u（x，y）是区域D上调和函数的充要条件是u（x，y）在区域D连续且对D内任意一点P（x，y），
存在正实数r p，对所有正数r<r p有其中c r是以P（x，y）为心，r
为半径的圆，是u(x，y)沿c
法向的导数，当u（x，y）是一个圆盘△上的调和
r
函数，且在上连续时，则u(x，y)在D内任一点的值可表为积分公式：。