经济数学期末试卷

高职学院

40

分)

1．函数()

1lg +=x x

y 的定义域是（ D ）．

A ．1->x

B ．0≠x

C ．0>x

D ．1->x 且0≠x

2．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．1

1

)(2

--=

x x x f ，x x g =)(+ 1 C ．2ln x y =，x x g ln 2)(= D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g

3．设x x f 1

)(=

，则=))((x f f （ C ）． A ．x 1 B ．21

x

C ．x

D ．2x

4．下列函数中为奇函数的是（ C ）．

A ．x x y -=2

B ．x x y -+=e e

C ．1

1

ln

+-=x x y D ．x x y sin = 5．已知1tan )(-=x

x

x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量.

A. x →0

B. 1→x

C. -∞→x

D. +∞→x 6．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）

A ．12+x x

B ．)1ln(x +

C ．2

1

e x - D ．x

x

sin

7．函数sin ,0(),0

x

x f x x k x ?≠?

=??=? 在x = 0处连续，则k = (

C )．

A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2 8．曲线1

1

+=

x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）． A ．21-

B ．21

C ．3)

1(21+x D ．3)1(21+-x

9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）． A. y = x B. y = 2x C. y = 2

1

x D. y = -x 10．设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ．

12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1

d x

x

11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．

A ．sin x

B ．e x

C ．x 2

D ．3 - x 12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为

E p =（ B ）．

A ．

p p

32- B ．

--p

p

32 C ．

32-p

p

D ．-

-32p

p

1．下列等式不成立的是（ ）．正确答案：D

A ．)d(e d e x x x =

B ．)d(cos d sin x x x =-

C ．

x x x

d d 21

= D ．)1

d(d ln x x x = 2．若c x x f x +-=-

?2

e

d )(，则)(x f '=（ ）. 正确答案：D

A . 2

e x -- B . 2

e 2

1x - C .

2

e 4

1x - D . 2

e

4

1

x

--

3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）．正确答案：C A ．?+x x c 1)d os(2 B ．?-x x x d 12 C ．?x x x d 2sin D ．?

+x x x

d 12

4. 若c x x f x

x

+-=?11

e d e )(，则

f (x ) =（ ）．正确答案：C

A ．x 1

B ．-x 1

C ．21x

D ．-21

x

5. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．正确答案：B

A ．)(d )(x F x x f x

a

=? B ．)()(d )(a F x F x x f x

a

-=?

C ．)()(d )(a f b f x x F b a

-=? D ．)()(d )(a F b F x x f b

a

-='?

6．下列定积分中积分值为0的是（ ）．正确答案：A

A ．x x

x

d 2

e

e 1

1?--- B ．x x

x

d 2

e e 11?--+ C ．x x x d )cos (3

?-+π

π

D ．x x x d )sin (2?-+π

π

7．下列定积分计算正确的是（ ）．正确答案：D A ．2d 21

1=?-x x B ．15d 161

=?

-x

C ．0d sin 22

=?-

x x π

π D ．0d sin =?-x x π

π

8．下列无穷积分中收敛的是（ ）． 正确答案：C

A ．?

∞

+1

d ln x x B ．?

∞

+0

d e x x

C ．?

∞

+1

2d 1

x x D ．?∞+13d 1x x

6．设()sin 010

x x x

f x x ?≠?

=??=?

，则在0=x 处，)(x f （ ）

（A ）．连续 （B ）．左、右极限存在但不相等 （C ）．极限存在但不连续 （D ）．左、右极限不存在

7. 设2()sin x x

f x x

π-=，则函数()f x （ ）

（A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有1个可去间断点； （C ）有2个跳跃间断点； （D ）有3个可去间断点． 8．若点(1,4)是曲线2

3

y ax bx =+的拐点，则 ( )

（A ）6,2a b ==-； （B ）2,6a b =-=； （C ）1a b ==； （D ）2a b ==-． 9. 下列各式中正确的是（ ）

（A ）．(

())()b a

f x dx f x '=?

（B ）

．()()df x f x dx '= （C ）．(())()d f x dx f x =? （D ）．(

())()x a

f t dt f t '=?

10．某种产品的市场需求规律为8005Q p =-，则价格120p =时的需求弹性d η=（ ）

（A ）．4 （B ）．3 （C ）．4 % （D ）．3 %

二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）

1．函数?

??<≤-<≤-+=20,10

5,2)(2x x x x x f 的定义域是

[-5，2] ．

2．函数x

x x f --

+=21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) ．

3．若函数52)1(2

-+=+x x x f ，则=)(x f

62-x

．

4．设2

10

10)(x

x x f -+=

，则函数的图形关于 y 轴 对称．

5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为．

6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =

45q – 2 ．

7. =+∞→x

x

x x sin lim

1 .

8．已知x

x

x f sin 1)(-=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量．

9. 已知??

?

??=≠--=1

11

1)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .

10

．曲线y =

)1,1(处的切线斜率是

(1)0.5y '=

．

11．函数y x =-312

()的驻点是 x =1

. 12．需求量q 对价格p 的函数为2

e 100)(p

p q -?=，则需求弹性为E p = 2

p -

．

1．=?

-x x d e

d 2

x x d e 2

- ．

2．函数x x f 2sin )(=的原函数是 -

2

1

cos2x + c (c 是任意常数) ． 3．若)(x f '存在且连续，则='?

])(d [x f )(x f ' ．

4．若

c x x x f ++=?

2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x .

5．若c x F x x f +=?)(d )(，则x f x x )d e (e --?= c F x +--)e ( .

6．

=+?e 12

dx )1ln(d d x x

0 . 7．积分

=+?-1

122d )1(x x x

0 ．

8．无穷积分

?

∞

++0

2

d )

1(1

x x 是 收敛的 ．（判别其敛散性）

9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为：2 + q 2

3

1.

设1

()1ln f x x

=

+的定义域为 .

2. 当0x →时，若2

ln(1)ax -与sin x x 是等价无穷小量，则常数a = ． 3. 设0()f x A '=，则000

()(2)

lim

h f x f x h h

→--= .

4. 设()f x 在(,)-∞+∞上的一个原函数为sin 2x ，则()f x '= .

5. 设()f x 为连续函数，且10

()2

()f x x f t dt =+?

，则()f x = ．

三、计算题：(本大题有2小题，每小题6分，共12分)

1．已知y x x

x cos 2-

=，求)(x y ' ． 解： 2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=- 2

sin cos 2ln 2x

x x x x +=+

2．已知()2sin ln x

f x x x =+，求)(x f ' ． 解 x

x x x f x x 1cos 2sin 2ln 2)(+

+?=' 3．已知2

sin 2cos x y x

-=，求)(x y ' ．

解 )(cos )2(2sin )(2

2

'-'-='x x x y x

x

2

cos 22ln 2sin 2x x x x --=

4．已知x

x y 53e

ln -+=，求)(x y '

解：)5(e )(ln ln 3)(52

'-+'='-x x x x y x

x x

x

52

5e ln 3--=

5．已知x

y cos 25

=，求)2

π(y '；

解：因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5

(cos 2cos 2cos 2x x x

x x y -='='='

所以 5ln 25ln 5

2

πsin 2)2π(2

π

cos 2-=?-='y 6．设x x y x

+=2cos e

，求y d 解：因为212cos 23)2sin (e 2x x y x

+-=' 所以x x x y x d ]2

3

)2sin (e 2[d 21

2cos +-=

7．设x y x

5sin cos e

+=，求y d ．

解：因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x

x x x x sin cos 5cos e 4sin -=

所以 x x x x y x

d )sin cos 5cos

e (d 4sin -=

8．设x

x y -+=2

tan 3

，求y d ．

解：因为 )(2ln 2)(cos 133

2'-+'='-x x x y x

2ln 2cos 3322

x x x --= 所以 x x x y x d )2ln 2cos 3(d 3

22

--= 1．?+-x x x d 2

4

2解 ?+-x x x d 242=(2)d x x -?=2

122

x x c -+ 2．计算?x x x d 1sin

2 解

c x

x x x x x +=-=??1cos )1(d 1sin d 1sin

2 3．计算

?

x

x x d 2 解

c x x

x x

x x +=

=??

22

ln 2)(d 22d 2

4．计算?x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=??sin cos d cos cos d sin

5．计算?

+x x x d 1)ln (

解 ?+x x x d 1)ln (=?

+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122

=c x x x x x +--+4

)ln 2(2122 6．计算

x x

x d e 2

1

21?

解 x x x

d e 2121?=2

12

1

1211

e e e )1(d e -=-=-?x x

x

7

．

2e 1

x ?

解

x x

x d ln 112

e 1?

+=)ln d(1ln 112

e 1

x x

++?

=2e 1

ln 12x

+=)13(2-

8．x x x d 2cos 2π0

?

解：x x x d 2cos 20?π

=202sin 21π

x x -x x d 2sin 2120?π

=2

02cos 41π

x =21-

9．

x x d )1ln(1

e 0

?

-+

解

x x x x x x x d 1

)1ln(d )1ln(1e 0

1

e 01

e 0

?

?

---+-+=+ =x x d )11

1(1e 1e 0?-+-

-- =1

e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1

四、解答题（本大题有2小题，每小题8分，共16分）

1． 设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2

++=（万元）, 解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：

x x x C 625.0100)(2++= 625.0100

)(++=

x x

x C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2

=?+?+=C 5.1861025.010100)10(=+?+=C ，

116105.0)10(=+?='C

（2）令 025.0100

)(2

=+-

='

x x C ，得20=x （20-=x 舍去） 因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.

求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？ 2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p

=-100010（q 为需求量，p 为价格）． 试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？

解（1）成本函数C q ()= 60q +2000．

因为 q p =-100010，即p q =-1001

10

，

所以 收入函数R q ()=p ?q =(1001

10

-q )q =1001102q q -．

（2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q --(60q +2000) = 40q -110

2

q -2000

且'L q ()=(40q -110

2

q -2000')=40- q 令'L q ()= 0，即40- q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．

3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +（元），单位销售价格为p = （元/件）. 试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？ 解（1）由已知2

01.014)01.014(q q q q qp R -=-==

利润函数2

2

2

02.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .

因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，

（2）最大利润为 1230125020250025002.02025010)250(2

=--=?--?=L （元）

4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？

解 因为 ()9800

()0.536C q C q q q q

=

=++ (0)q > 298009800

()(0.536)0.5C q q q q

''=++

=- 令()0C q '=，即059800

2

.-

q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）. q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.

所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件.

此时的平均成本为

9800

(140)0.514036176140

C =?++

= （元/件） 5．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q

()=++2502010

2（万元）

．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？

解 因为 C q ()=

C q q ()=2502010

q q

++ 'C q ()=()2502010q q ++'=-+

2501

10

2q 令'C q ()=0，即-

+=2501

10

02q ，得150q =，q 2=-50（舍去）

， q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．

所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品