线性与非线性发展方程差分格式计算稳定性的比较分析.pdf
一类线性发展方程的交替紧致差分格式
一类线性发展方程的交替紧致差分格式
◎邓定文
（南昌航空大学，江西南昌３３００６３）
［关键词］交替隐式法；紧致差分格式；Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ外推法；稳定性
［摘要］文章给出求解一类线性发展方程的交替方向紧致差分格式并运用能量法证明它是无条件稳定的。Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ外推
法使时间方向上有四阶精度，数值结果表明新算法的高精度和有效性。
［中图分类号］０２４１．８２ ［文献标志码］Ａ ［文章编号】１００１—４９２６（２０１０）０２—００５５—０５
ＡＤＩ Ｃｏｍｐａｃｔ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ
Ｓｏｌｖｉｎｇ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｌｉｎｅａｒ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ
ＤＥＮＧ Ｄｉｎｇ—ｗｅｎ
（ＮａｎｃｈａｎｇＨａｎｇｋｏｎｇ Ｕｎ＆ｅ￣ｉｔｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ，Ｊｉａｎｇｘｉ ３３００６３，Ｃｈｉｎａ）
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ＡＤＩ；ｃｏｍｐａｃｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ；Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｄｅｒｉｖｅ ａ ｎｅｗ ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｉｍｐｌｉｃｉｔ（ＡＤＩ）ｃｏｍｐａｃｔ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ａ ｋｉｎｄ ｏｆ
ｌｉｎｅａｒ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｔ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｅｎｅｒｇｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｅｗ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｓｔａｂｌｅ．Ｒｉｃｈ—
ａｒｄｓｏｎ ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｆｏｕｒｔｈ—ｏｒｄｅｒ ａｃｃｕｒａｃｙ ｉｎ ｔｅｍｐｏｒａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ ｔｏ ｉｌ—
微分方程中的数值解法稳定性分析
微分方程中的数值解法稳定性分析
数值解法是微分方程求解中常用的方法之一。对于许多复杂的微分方程，往往无法通过解析方法获得精确解，因此需要借助数值方法来进行近似求解。然而，不同的数值解法存在着不同的稳定性特点，其对解的精确度和稳定性有着重要影响。本文将对微分方程中常见的数值解法进行稳定性分析。
一、欧拉法
欧拉法是最简单直观的数值解法，它采用离散化的方式逼近微分方程的解。对于一阶常微分方程dy/dt = f(t,y)，欧拉法的迭代格式为：
y_i+1 = y_i + h*f(t_i, y_i)
其中，h为步长，t_i为离散的时间点。欧拉法的稳定性分析可以通过线性稳定性分析方法进行。
假设精确解为y(t)，采用欧拉法得到的数值解为y_i，则欧拉法的局部截断误差为O(h^2)，即e_i = O(h^2)。由此可以推导出欧拉法的增长因子为：
g(h) = 1 + hf'(t_i, y_i)
当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，欧拉法是稳定的；当|h*f'(t_i, y_i)| > 1时，欧拉法是不稳定的。因此，欧拉法的稳定性要求步长h不能太大，且f(t, y)的绝对值不能太大。
二、改进的欧拉法（Heun法） 改进的欧拉法，也称为Heun法，是对欧拉法的一种改进。它通过估计两个点处的斜率来提高解的精确度。Heun法的迭代格式为：
k_1 = hf(t_i, y_i)
k_2 = hf(t_i + h, y_i + k_1)
y_i+1 = y_i + 0.5*(k_1 + k_2)
Heun法的稳定性分析类似于欧拉法。同样地，当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，Heun法是稳定的。
三、Runge-Kutta法
Runge-Kutta法是一类常用的数值解法，包括二阶(两步)、四阶(四步)、六阶(六步)等不同阶数的方法。以四阶Runge-Kutta法为例，其迭代格式为：
k1 = hf(t_i, y_i)
非线性薛定谔方程的五种差分格式
非线性薛定谔方程的五种差分格式
非线性薛定谔方程（NLSE）是一类非常重要的和高度发达的信息传输研究的重要模型。它的出现为很多无线通信的技术发展提供了重要的基础和参照。目前，非线性薛定谔方程的差分格式已有五种。它们是恒定折回差分格式（CFD），动态折回差分格式（DRFD），步进步函数差分格式（SDF），连续步函数差分格式（CDF）和多阶进步函数差分格式（MSDF）。
恒定折回差分格式（CFD）是用于解决非线性薛定谔方程的最简单的一种差分格式。它最初由Lyons发明，是一种非标准的三点迭代形式，但比一般三点迭代形式更有效。它的优点在于最大限度地减少了计算量，但它的准确性不高，偏离正确的解。
动态折回差分格式（DRFD）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的差分格式。它使用了非标准的五点迭代形式，比三点迭代形式更高效，可以很好地跟踪参数变化并准确地加以反映。它在计算量上比CFD稍大，但其计算结果更加准确，离正确解更近。
步进函数差分格式（SDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种改进的五点迭代格式。它在数值处理上有更低的计算量，而且能够比动态折回差分格式更准确地产生数值解。
连续步函数差分格式（CDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种七点迭代格式，它可以更准确地模拟无线信号传输状况。它有较低的运算量，可以获得较高精度的解。
多阶步函数差分格式（MSDF）是用于解决非线性薛定谔方程的一种变阶函数形式，它可以更准确地模拟信号的非线性传输过程，同时具有低的运行复杂性和高的计算精度，减小了计算时间。
总之，非线性薛定谔方程的不同差分格式均有不同的特征，决定了它们之间的特点和性能差异，旨在满足不同信号处理需求。
偏微分方程数值解：4、差分格式收敛性分析
相容性概念：相容性(consistency)：当有限差分网格变小时，截断误差趋于0。经典显示差分格式：
h→ ，k → 截断误差→ 经典显式差分无条件相容DuFort-Frankel差分格式截断误差
条件相容。绝大多数差分格式为无条件相容！
稳定性（stability）：计算所得解的全部扰动有界。条件稳定/无条件稳定数值分析的稳定性概念与偏微分方程无关，它关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。
Lax等价定理：对一个适定的定解问题，若给出的差分格式是相容的，则该差分格式收敛的充分必要条件是该差分格式稳定。
算法稳定性是最重要的问题，精度排在其后，只有在稳定的情况下再追求精度。(1) 显式差分为例：误差的传播过程图：差分格式收敛性分析
分区 抛物线偏微分方程 的第1 页
(2) Richardson 显式差分
来自 要点：a 误差满足同样的方程b误差函数的分解（傅里叶分解+分离变量法）
Von Neumann stability analysis-稳定性分析
分区 抛物线偏微分方程 的第2 页 Von Neumann条件 稳定分析过程
两边同除以 得到：
经典显式差分稳定性条件 ：
Richardson显式差分O(Δ )
分区 抛物线偏微分方程 的第3 页
结论：Richardson显式差分格式无条件不稳定，即使精度高也无用处%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
隐式差分
分区 抛物线偏微分方程 的第4 页
结论：无条件稳定Crank-Nicolson隐式差分
结论：无条件稳定加权隐式差分
向量函数稳定性：增长矩阵方法增长矩阵
分区 抛物线偏微分方程 的第5 页 可以得到
要求矩阵特征值满足
分区 抛物线偏微分方程 的第6 页
一类非线性偏微分方程的数值求解
课例研究2622017年 第13期引言：1偏微分方程可以用来描述真实世界的实际问题。简单的拋物型偏微分方程即热传导方程有效地表征了物体内温度随着时间的演化过程与温度分布。对于具有简单边界条件的偏微分方程，解析解可以通过分离变量法或拉普拉斯变化得到[1]。由于问题本身的复杂性，非线性偏微分方程目前主要采用数值方法求解且没有统一的求解方法。因此，针对非线性微分方程的特点选取合理的求解方法是十分重要的。有限差分法是求解偏微分方程普遍采用的数值方法之一。基于有限差分法，目前已有很多学者针对偏微分方程的数值求解展开了相关研究[2-4]，如：二维波动方程的差分方法[5]，以及有限差分法在求解一类非线性微分方程时的稳定性问题[6]。1 一类非线性偏微分方程的化简设函数(),fxt，其自变量为x和t，考虑下面的非线性偏微分方程()22,mfffhxttxx∂∂∂=−∂∂∂，axb<<，0t<<∞ （1）()(),0=fxxϕ （2）()()1,=fatgt，()()2,=fbtgt （3）其中m为幂指数。上述的非线性偏微分方程若直接按照有限差分法进行离散求解会出现不收敛的情形。由于该方程为非线性二阶偏微分方程，利用复合函数求导的关系，可以将上式右边进行化简。化简后可以写为()11,1mffhxttmxx+∂∂∂=−∂+∂∂ （4）非线性微分方程由于收敛较为困难，目前普遍采用隐式方法求解。在下面的计算中，将针对非线性微分方程采用显式求解。为求解上述非线性偏微分方程，分别在时间和空间进行离散.假定变量x的区间为axb≤≤，将x划分为n个网格，则ibaxian−=−，0,1,in= （5）其中每一网格的宽度baxn−∆=。同理，可以对时间进行离散ktkt=∆，t∆为时间步长，k为时间步数。利用时间的向前差分和空间的中心差分法可以将方程（4）进行离散()1,kkiikiffftt+−∂=∂∆ （6）()22,ixixkkkifffxx+∆−∆−∂=∂∆ （7）其中i表示节点编号。将式（6）和（7）代入式（4）中，可以得到离散形式为11111=1mmkkiiffPQtxmxx+++−−∆∆+∆∆ （8）其中kkixiffxxPx+∆∂∂−∂∂=∆，kkiixffxxQx−∆∂∂−∂∂=∆ （9）作者简介：李颖（1981－），女，甘肃临洮，研究生，讲师，研究方向：计算机应用。由此，已经完成了对与整个非线性偏微分方程的离散。值得指出的是，选择了时间上的向前差分而没有采用向后差分。因此，时间步长t∆必须足够小才能保证解的收敛。但与隐式求解方法相比，向前差分避免了单步内的迭代，因此整体上的计算时间并没有显著增多。为了验证该方法的正确性，首先与有限元的结果进行对比。考虑较为简单的边界条件和初始条件，即(),00fx= （10）()(),0,00fafb== （11）验证的例子中选取幂指数4m=。当幂指数m增大时，方程的非线性会增强，因此选取的时间步长也应相应的减小。需要指出的是，对于这类特殊的非线性微分方程，幂指数应该选取偶数，当选择奇数时计算会出现不收敛。为简化计算，a和b分别取为-1和1。数值计算中将整个区间划分为100个网格，时间步长为510s−且函数(),hxt取为1。2 数值结果图1给出函数值随m值的变化规律，其中0.5st=。从图1中可以发现，函数值在0.5x=±处有较为明显的转折。即使当m值取值为51时，程序依然能够很好的收敛。图1 不同m值对应的函数值Fig.1 The results for different values of m.图1给出了函数(),hxt为常数时的值，为了进一步分析该方法的适用性。讨论(),hxt为函数时的情形。图2给出了(),hxtx=和(),2hxtx=时的值。图中的结果显示该方法依然可以较好的处理(),hxt为函数时的变化。图2 不同()hx对应的函数值Fig.2 The results for different ()hx一类非线性偏微分方程的数值求解■李 颖 （甘肃广播电视大学 兰州 730030）【摘 要】 采用有限差分法求解一类特殊的非线性拋物型偏微分方程。非线性微分方程通常采用隐式方法求解，对微分方程进行简化后可以进行显示求解。当非线性方程含有的幂次较高时，依然可以给出较为精确的结果。最后，给出了几种特殊情形的结果，结果表明程序在不同参数下依然有效。【关键词】 非线性偏微分方程；有限差分法；数值解【中图分类号】 G64.23【文献标识码】 A【文章编号】 2095-3089（2017）13-0262-02
求解BURGERS方程的数值方法及其稳定性分析
国内图书分类号：O241.82 学校代码：10213
国际图书分类号： 517.9 密级：公开
理学硕士学位论文
求解Burgers方程的数值方法及其稳定性分
析
硕士研究生：张弘博
导师：李冬松
申请学位：理学硕士
学科：计算数学
所在单位：数学系
答辩日期：2010年6月
授予学位单位：哈尔滨工业大学
Classified Index: O241.82
U.D.C.: 517.9
Dissertation for the Master Degree in Science
THE NUMERICAL METHODS FOR
BURGERS EQUATION AND STABILITY
ANALYSIS
Candidate： Zhang Hongbo
Supervisor： Prof. Li Dongsong
Academic Degree Applied for： Master of Science
Speciality： Computational Mathematics
Affiliation： Department of Mathematics
Date of Defence: June, 2010
Degree Conferring Institution: Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
- I - 摘 要
本文主要研究了求解非线性Burgers方程的数值解法，并对其进行了相应的稳
定性分析。文中首先详细地介绍了计算流体力学的发展历史及Burgers方程的研究
意义，指出了模拟Burgers方程的困难之处——在解中产生激波。然后，简单的介
绍了文中所用到的三种数值方法(有限差分法，交替分组显示 (AGE) 方法和局部
间断加辽金 (LDG) 有限元法) 的提出，发展情况及基本思想，并简要地介绍了本
文所进行的工作。
本文分为四章。在第二章中，我们讨论的是，利用中心差分方法求解一维非
一类非线性发展方程差分法的稳定性
第３５卷第５期 ２（ＫＩ＇／年９月 河海大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） Ｖｏ１．３５ Ｎｏ．５ Ｓｅｐ．２００７
一类非线性发展方程差分法的稳定性
胡庆云
（河海大学理学院，江苏南京２１００９８）
摘要：研究了用差分法求解自治的发展方程时稳定性和收敛性这两个基本概念之间的联系，利用计
算时间的有限性和紧致性，在可解集为开集的条件下，得出方程解的邻近也可解的结论．当近似方 法同时具备收敛性和稳定性时，方程解必然具备逐点Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件．方程解的邻近如果可解并具备
逐点Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，则差分法收敛必有稳定界存在，从而差分格式收敛性保证其稳定性，因此可以
放弃线性这一重要条件． 关键词：发展方程；非线性；收敛性；稳定性；逐点Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件
中图分类号：０２４１．８２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—１９８０（２００７）０５—０６０９—０４
本文研究一类非线性发展方程差分法的稳定性，该方程为
＝ 篆 （０≤ ≤ ） （１）
ｕ（０）＝ｕ （ ） （２）
（ ，券）是空间［ ２（ ）］ 的某子集上的非线性算子，不显含时间 ，因此，称其是自治的非线性发展
方程ｌ１＿２ｊ． 假定用差分法离散方程（１）时，得到步进式计算格式 （凡ｒ， ）＝Ｃ（ｒ， ） （（凡一１）ｒ， ） （凡＝１，２，…） （３）
其中 （盯， ）是初值问题式（１），（２）在ｔ＝盯时的差分解（０≤几ｒ≤Ｔ），Ｃ（ｒ， ）表示从（凡一１）ｒ时刻到盯 时刻之间的对应关系，是一个在ｒ时段内将网格向量函数映到网格向量函数的离散算子．由于方程（１）是自
治的，所以Ｃ（ｒ， ）不明显依赖于ｔ 为叙述简洁起见，在不影响正确性的前提下，下面将省写空间变量 ． 对于一个差分格式，如果要求它同时具有稳定性和收敛性２个性质，只有在方程物理解变化比较平缓时
一类非线性反应扩散方程有限差分格式的稳定性分析
第２８卷第２期 ２０１０年４月 江 西 ＪＩＡＮＧＸＩ 科 学 ＳＣＩＥＮＣＥ Ｖｏｊ．２８ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２０１０ 文章编号：１００１—３６７９（２０１０）０２—０１５０—０３ 一类非线性反应扩散方程 有限差分格式的稳定性分析 徐琛梅，成金环 （河南大学数学与信息科学学院，河南开封４７５００１） 摘要：对一类特殊的非线性反应扩散方程进行完全离散，得到非线性的有限差分格式。然后引入新的步长函 数空间，并在这个空间上，采用变分近似法讨论该格式的稳定性问题。在给出非线性有限差分格式的稳定性 条件时，所使用方法非常简单和有效。 关键词：有限差分；稳定性分析；变分近似法；反应扩散方程 中图分类号：Ｏ２４１．ｇ４ 文献标识码：Ａ 。 Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ａ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｒｅａｃｔｉｏｎ－Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＸＵ Ｃｈｅｎ－ｍｅｉ，ＣＨＥＮＧ Ｊｉｎ—ｈｕａｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｎａｎ Ｋａｉｆｅｎｇ ４７５００１ ＰＲＣ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ，ｔｈｅ ｆｕｌｌｙ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｒｅａｃｔｉｏｎ— ｄｉｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｎｅｗ ｓｔｅｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｏｂ— ｌｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｕｓｅｄ ｉｓ ｅｘｔｒａｏｒｄｉｎａｒｙ ｓｉｍｐｌｅｎｅｓｓ ａｎｄ ａｖａｉｌａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｇａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ，Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，Ｒｅａｃｔｉｏｎ ｄｉｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｏ 前言 随着科学技术的发展，非线性现象在自然科 学和社会科学领域的作用越来越重要。物理、化 学、生物、工程技术、甚至社会经济等都存在大量 重要的非线性问题，并且这些问题最终都是用非 线性微分方程来描述的数学模型 Ｊ。关于非线 性偏微分方程的有限差分格式的稳定性问题，尽 管有不少讨论的方法 Ｊ，但这些方法都是比较繁 琐的，并且也有一定的局限性。而对某些特殊的 非线性反应扩散方程的有限差分格式，利用变分 近似法，讨论其稳定性还是相当简单的。为了简 单起见，下面就以特殊的一维反应扩散方程的初 边值问题为例来说明这个问题。对于高维的情 况，也可以用同样的办法处理。 本文首先对这个特殊的一维反应扩散方程进 行完全离散，得到非线性的有限差分格式；再引人 步长函数空间，在这个函数空间中，利用变分近似 收稿日期：２０１０—０２—２３；修订日期：２０１０—０３—２４ 作者简介：徐琛梅（１９６５一），女，河南周口人，副教授，主要从事微分方程数值解的研究工作。 基金项目：河南省教育厅自然科学研究资助计划项目（２０１０Ａ１００００３）。
【文献综述】热传导方程差分格式的收敛性和稳定性
文献综述
信息与计算科学
热传导方程差分格式的收敛性和稳定性
在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问
题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工
具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、 数学和计算机三者结合的
交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.
计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点
它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早
已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋
梁”.
在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时,
除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具
有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确
解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的
是热传导方程.
有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定
解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解
区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条
件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近
似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散
点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的
近似解.
热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首
先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有
实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格
二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法
中国海洋大学
硕士学位论文
二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法
姓名：***
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：***
201206二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法
摘要
本文分析二维地下水溶质运移数学模型的控制方程，在此基础上，建立了
求解控制方程的交替方向隐式差分格式。古典显格式由于稳定性，在时间上限
制很大；隐式差分格式和中心差分法需要求解多个未知量，导致计算时占用内
存大，求解困难；本文采用的交替方向差分法，每层分两步计算，每步只需求解
一个三对角方程组，在计算规模上相当于一维的计算量，并且它与隐式格式有
相同的稳定性。其次控制方程含有非线性系数，为了高精度地模拟模型，本文
对非线性系数用三次样条插值逼近，提高了计算精度。通过数值算例比较证明
本文方法可以对地下水溶质运移进行有效的模拟，对解决此类非线性问题有参考价值。最后分析了线性的溶质运移方程的稳定性。
文章由三部分组成：
第一部分为前言。介绍了地下水模型和求解地下水问题的数值方法的背景和发展状况，以及本文的主要研究内容。
第二部分为地下水溶质运移模型分析。在这一部分里，介绍了地下水基本
假设和根据均衡单元体的质量守恒建立地下水运动的连续方程和溶质运移方
程。再根据二维潜水问题的Ｄｕｐｕｉｔ假设，最终形成二维问题的模型。还对方程
中涉及到的参数做了详细的分析。
第三部分为二维地下水模型的有限差分方法。给出方程的交替方向差分格
式和二维时的三次样条插值计算。对于方程非线性系数我们介绍了两种方法进
行逼近，通过数值算例证明两层平均的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值逼近更有效。最后分
析了线性的溶质运移方程的稳定性。
关键词：地下水连续方程；溶质运移方程；交替方向差分方法；样条插值；
稳定性；二维地下水溶质运移耦合方程组的差分方法
ＡＤＩｄｉ如ｒｅｎｃｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒＣＩｌｍｅｎＳｌｏｎａＩｇｒｏｕｎｄｗａｔｅｒｃｏｕｐｌｅｄｓｙｓｔｅｍｏｆｔｗｏ
ａｎｄｓｏｌｕｔｅｔｒａｎｓｐｏｒｔ