沪科版八年级数学15.4(1)角的平分线
沪科版八年级上册15.角的平分线的性质课件
1
∴S
1
△
பைடு நூலகம்
ABC
＝
S
△
1
ABD+S
△
BCD
＝
2
AB•DE+
2 BC•DF ＝
1
2
DE•(AB+BC)＝ 28，
即 2 DE×(6+8)＝ 28， ∴ DE ＝ 4．
角的平分线的性质
1.角的平分线图形结构中的“两种数量关系”： 如图，OC 平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F.
角的平分线的性质
3. 过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最 常用的作辅助线的方法．
作业提升
请完成教材课后习题
1
1
2.“以大于2 MN 的长为半径画弧”是因为若以小于 2 MN
的长为半径，则画出的两弧不能相交；
感悟新知
(3)画射线OC. 射线OC 即为所求(如图15.4-1).
3.“画射线OC”不能叙述为“ 连接OC”， 因为角平分线是射线而不是线段； 4. 根据作图可知△ OMC ≌ △ ONC，(SSS) 所以OC 平 分∠ AOB.
感悟新知
(2)解：AF+BE ＝ AE．理由如下： 由(1)可知DC ＝ DE，又∵ AD=AD， ∴ Rt △ DCA ≌ Rt △ DEA，(HL) ∴ AC ＝ AE， ∴ AF+FC ＝ AE，即AF+BE ＝ AE．
感悟新知
例4 [模拟·济南章丘区]如图15.4-6，BD 平分∠ ABC 交 AC 于点D，DE ⊥ AB 于E，DF ⊥ BC 于F，AB ＝ 6，BC ＝ 8，若S △ ABC ＝ 28，求DE 的长．
上海沪科版初中数学八年级上册15.4 第1课时 角平分线的尺规作图2
上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！15.4 角的平分线第1课时角平分线的尺规作图教材分析本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进行的。
它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点作已知直线垂线的尺规作法。
它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、研究几何知识的重要基础。
教学目标知识与技能：1. 掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。
2. 掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
过程与方法：1培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。
2.培养学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重、难点重点：角平分线及垂线的尺规作法；难点：角平分线的尺规作法的正确性的证明；教学教具：三角板，圆规，纸做的角等；教学过程设计一、温故知新导入课件展示：观察下列图形并找出它们的对称轴；回顾角平分线的定义。
板书课题：15.4角的平分线二、新课教学问题1：如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？学生活动1：学生动手操作，思考：角的对称轴和角的平分线的关系。
学生观察思考并总结：折叠法、度量法、尺规作图法。
问题2：用尺规作图法作∠AOB的角平分线。
引导学生写出“已知”和“求作”并会根据作法作出∠AOB 的角平分线。
老师先在黑板上演示作法，在让同学们根据作法作出∠AOB 的角平分线，并思考每一步作法的可行性，老师巡视指导。
问题3：为什么OP 是角平分线呢？你能证明吗？活动2：小组交流，合作探究证明过程。
可让学生板演证明过程。
创新提高，继续探究。
问题4：当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？AB活动3：引导学生积极思考，组内交流，确定画法。
沪科版八年级数学上册15.4：角平分线性质及判定
辅导资料No.17年级八年级教学内容角平分线定理及应用知识点三、【角平分线的定义、性质与判定】1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？例3、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．例4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
方法规律（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。
（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。
（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．练习巩固1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（）A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE 4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（）A．2 B．2C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（）A．30 B．24 C．15 D．107．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点10．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（）A．6 B．12 C．18 D．2412．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（）个．A．1 B．2 C．3 D．413．如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB +CD ，四个结论中成立的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③14．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE +AC=AB ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个15．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =10，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．616．如图，15DAE ADE ∠=∠=,//DE AB ,DF AB ⊥,若6AE =，则DF 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．617．如图，四边形ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线，AB=AD ，E 、F 两点分别在AB 、AD 上，且AE=DF ．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD 的一半．18．△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作一直线交AB 、AC 于E 、F ．且BE=EO ．（1）说明OF 与CF 的大小关系；（2）若BC=12cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，求△OBC 的面积．。
15.4.1角的平分线(尺规作图)
的两旁；
2)以点C为圆心，CK长为半径
C
作弧，交AB于点D和E； 3)分别以点D和点E为圆心，
A
D
EB
大于1/2DE的长为半径作弧， K
两弧交于点F； 4)作直线CF，则直线CF是所
F
求的垂线. 为什么CF就是所要求作的垂线呢？
1、任作两条长度不等的线段a、b
a
(b＞a)，你能用尺规作图的方法作 出以a为直角边，以b为斜边的直角
b
三角形吗？
2、已知底边及底边上的
C
高作等腰三角形.
G b
follow me ！
l
A E
Fa
B
1、角平分线的三种作法 2、两个尺规作图
1、过直线上一点作已知直线的垂线.
已知：直线AB及直线AB上一点C， 求作：直线AB的垂线，使它经过点C。
结合作图过程说说作法吧？
F
为什么CF就是所要求作的
垂线呢？
A D
C
EB
2、过直线外一点作已知直线的垂线.
已知：直线AB及直线AB外一点C，
作法： 求作：直线AB的垂线，使它经过点C。
1)任意取一点K，使K和C在AB
第15章《轴对称图形与等腰三角形》
沪 科 版 八 年 级 数 学 上
1、什么是角平分线？
B
2、你有几种方法能得到一个 角的角平分线？
折纸法
O
A
度量法
？ 尺规作图
尺规作图，follow me ！
作法：
1、以点O为圆心，任意长为
半径作圆弧，与角的两边分 别2、交分于别M以、NM两、点N为；圆大心于，12适MN当
Ｂ N
P
的长为半径作弧，两条圆弧
沪科版八年级数学上册《15.4.1角的平分线》教案1
《15.4.1角的平分线》教案学习目标1、会画已知角的平分线.2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线.3、会画经过一点作已知直线垂线.学习重点掌握尺规作已知角的平分线的作法.学习难点从作图过程中找到已知条件，通过逻辑推理验证所作图形为角平分线.教学流程一、新课导入：师：同学们，请大家观察我手中的三角形，如果我要将其中一个角分成两个相等的角，你有哪些方法？生：翻折、用量角器量、用直尺和圆规.师：①本节课我们就学习用没有刻度的直尺和圆规画已知角的平分线(出示课题)，这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一起来了解一下学习目标.②若学生说不出用尺规作图，则这样引导:前面我们学习了用尺规作图的方法可以画一条线段等于已知线段，画一个角等于已经角，那么用尺规作图的方法可否画这个角的平分线呢？这就是我们今天要学习的内容.二、探索新课1、下面介绍用尺规作图法作出角AOB的角平分线.○1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．○2．分别以M，N为圆心．大于1/2MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于P．○3．作射线OP．射线OP即为所求．2、思考：怎么证明射线OP就是角AOB的平分线呢？学生课堂自己证明.3、当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？已知：直线AB及一点C，求作：直线AB的垂线，使它经过点C. 解：分两类情况作图1.当点C在直线AB上时作平角ACB的平分线CF，直线CF就是所求的垂线.2.当C在直线AB外时.作法：任意取一点K，使K和C在AB的两旁；以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作直线CF.直线CF是所求的垂线.三、小结1.尺规作图的两种种常用基本作图.2.掌握一些规范的几何作图语句.3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述即可.4.解决尺规作图问题，先作出符合.四、作业课本P143页练习.。
沪科数学八年级上册《15.4角平分线的性质与判定》课件
A D
∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠
在Rt △PDO 与Rt △PEO中 O
1 2
P C
｛PD=PE（已知） OP=OP（公共边）
E
∴Rt△PDO≌△PDO
B
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
思
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:我们知道,两条直线
相交只有一个交点.要想证明三条直线相交
驶向成功的 彼岸
回顾 思考
角平分线的这条性 质是怎样得到的呢？
• 角平分线的性质是什么 ？
• 用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两 边叠合在一起，再把纸片展开，你看到 了什么？
• 角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等
开启智慧
定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等. 如图,已知:OC是∠AOB的
思考
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认
识?
角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E 为垂足，
考 分 析
于一点,只要能证明两条直线的交点在第三 条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习 的内容. 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
A
ND P
过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是
E,F,D.
B E
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
沪科版-数学-八年级上册15.4角的平分线 配套课件
点分别为A,B,C,请你在平面内找到一
点,使这个点满足到三条直线的距离都
相等,并请你探究这样的点共有几个?
角平分线
一.角平分线的定义 在角的内部从角的顶点出发,并且把
角分成两个相等角的射线叫角平分线.
A
C
o
B
二.角平分线的性质
定理:角平分线上的点到这个角的
两边的距离相等.
已知:OC是 ∠AOB的平分线, 点P在OC 上,PD⊥OA,PE
A D
PC
o ⊥OB,垂足分别
1 2
为D,E.
求证:PD=PE
EB
证明:[板书]
三.角平分线的判定 请同学们写出角平分线性质定理的
逆命题,并猜想它是真命题还是假命题. 定理:在角的内部,且到角两边距离相
等的点,在这个角的平分线上.
请同学们写出已知, 求证.证明过程
A D
PC
o1 2
EB
四.角平分线的作法:. 已知;∠AOB
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
作法:1.在OA和OB上分别
试判定∠BPF与∠CPF的关系,并加以证明.
D
[典中点
P13B组 T2]
E A
NM
P
B
FC
例4:如图:在△ABC中AD是△ABC的外 角平分线,点P是AD上任意一点,试猜 想,AB+AC和BP+CP有怎样的大小关系? 并证明你的结论.
[题网P13精彩一题T9]
B
A
E
12
P
C
D
例5:如图:AC平分∠BAD,CE⊥AB于
E, AE 1 ( AD AB) 2
求∠ADC+∠ABC的大小.
1第2课时角平分线的性质定理及逆定理课件沪科版八年级上册数学
你的理由.
预习导学
角平分线性质定理
阅读教材本课时相关的内容，回答下列问题.
1.揭示概念:角平分线上的点到角两边的距离
相等 .
2.归纳:角平分线的判定定理: 角的内部到角两边距离相等
的点 在这个角的平分线上.
预习导学
1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝
3.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求
证:AB＋BD＝AC.
合作探究
证明:如图，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则
∠BDE＝∠BED，
∴AE＝AB＋BD.
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，
∴∠BED＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，
∴AB＋BD＝AC.
第15章 轴对称图形与等
腰三角形
15.4 角的平分线
第2课时 角平分线的性质定理及
逆定理
素养目标
1.掌握角平分线定理及其逆定理.
2.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题.
◎重点:角平分线的性质定理及其逆定理.
◎难点:角平分线性质定理及其逆定理的综合应用.
预习导学
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位
合作探究
【变式训练】如上题图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB
＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.
解:辅助线同上，得AE＝AB＋BD.
∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.
易证△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝
2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.
合作探究
沪科版八年级数学上册《15.4.1角的平分线》教案2
《16.4.1角的平分线》教案教材分析本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进行的.它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点作已知直线垂线的尺规作法.它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习研究几何知识的重要基础.教学目标知识目标：1.掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性.2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法.能力目标：1.培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力.2.培养学生分析问题和解决问题的能力.情感价值：在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性.教学重点角平分线及垂线的尺规作法.教学难点角平分线的尺规作法的探索过程.教具三角板，圆规，纸做的角.一、温故知新导入新课1.提出问题：什么是角平分线？2.如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？3.度量法：用量角器作∠AOB的角平分线.4.说明：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴.5.设问：除了这种方法外，还有什么方法能作呢？这就是我们这节课要解决的问题.6.板书课题：角的平分线学生回忆思考回答.二、探索新知活动1：1.出示一个纸质的角，提问：你能作出这个角的平分线吗？2.根据学生回答，折叠法，折痕所在的射线就是角平分线.3.用剪刀对折叠后的角进行修剪.4.让学生观察修剪后的角，提问：能从中发现什么？根据学生回答，适当提示：边相等.加上字母O、A、B、D、E、P，即OD=OE，DP=EP.5.问题：已知∠AOB，求作：∠AOB的角平分线6.点题：前面我们所讲的是度量法及折叠法，今天将探索运用直尺和圆规来作角平分线.7.怎样用直尺和圆规来作角平分线？提示学生能否从折纸角中得到启示8.如何在∠AOB的内部找到P点呢？9.归纳角的平分线的作法并板书作法.10.证明作法的正确性.11．任作一个角，用直尺和圆规作出它的角平分线.活动2：1．问题：你能作一个平角的角平分线吗？2．问题：这个作图可以看着是什么？如何写已知，求作？3．刚才作的是点在直线上的，你能过直线外一点作已知直线的垂线吗？4.提示学生：刚才我们是利用全等来操作的，这个题也可以利用全等来操作.5.板书作法并作图.6.点题：你能否用全等来证明作法的正确性.7.任作一条直线，任取一个点，过这个点作这条直线的垂线.三、归纳小结强化思想1.本节课你学习了哪些知识？(学会了两种基本尺规作图：作角平分线，作垂线.)2.通过进一步的探索你有何收获？四、作业P143页练习.。
沪科版八年级数学上册课件15.4 角的平分线第1课时
新课导入
怎样做一个已知角的平分线？ 问题思索： 1、为什么所做的OP，就是∠AOB的平
分线呢？
2.OP是∠AOB的平分，P是OP上的任一点，过点P分别 作P C⊥OA， PD⊥OB，C、D是垂足，根据你学过 的知识，图只你们得到哪些结论？写出这个问题的 已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ求证，并给出证明。
学习新知
结论：
角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
已知：如图所示，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 为D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
A
D P
O
E
B
结论：
在一个角内部，到角的两边的距离相等的 点在这个角的平分线上。
课堂小结
本节课学习了哪些内容？你有何收获？
学习目标
1、知识与技能 探索角平分线的性质定理和它的逆定理，掌握它们 的作图方法。 2、过程与方法 经历探索角平分线定理和逆定理的过程，体会这两 个定理的作用，发展几何空间意识。 3、情感、态度与价值观 培养良好的逻辑思维能力，感悟逻辑推理在现实生 活中的应用价值。
预学检测
1、本节课主要学习那些内容？ 2、你认为本节课的重点内容是什么？ 3、你对哪些内容有疑问？