春九年级数学下册 1.2 二次函数y=ax2(a＜0)的图象与性质(第2课时)课件 (新版)湘教版
初中数学_二次函数的图象与性质(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的图象和性质》教学设计
执教者
课题 二次函数的图象和性质
解读理念 面向全体学生，着眼于学生的全面发展，是不同的学生都能获得不同的知识体验.
学情分析 学生对于分段函数图象的理解的不是很好，自己动手操作画图还不是很熟练，需要教师进行必要的引导，帮助分析.
教材分析
内容标准 一、能画出函数图象.
二、能根据函数的图象.
三、能说出函数对称轴，开口方向.
教学目标 情感态度价值观目标 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯能力目标 经历函数图象的作图过程，明确不同函数的图象性质
知识目标 理解和掌握二次函数的图象和性质，能利用描点法画出函数图象.
教学资源 1.北师大版九年级下册课本.
2.课件
教学重点 会画函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象，理解二者之间的关系.
教学难点 理解y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象的关系
方法解读 教学方法 启发式、探究式、参与式教学
教学准备 1.把握教材，了解学生的知识基础和思维层次.
2.提前布置学生预习.
3.教师搜集相关资料，制作多媒体课件.
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动
导入新课 创设情境，激发学生学习热情 展示两组不同的环境的图片，调动学生的学生观看两组不同的图片，思考本
教学过程 学习热情. 节课的讲解内容.
自主合作、探究学习 1通过课件动画演示y=ax2 (a≠0)的函数图像理解a对于二次函数图像性质的理解.
2.通过y=ax2 (a≠0)由特殊到一般的讲解掌握函数.图象的性质.
3通过y=ax2+c (a≠0)由特殊到一般的讲解掌握函数图象的性质.
4.通过y=ax2 (a≠0)和y=ax2+c (a≠0)图象的分析掌握平移的规律.
学习特例，学生举出例子，师生共同研究，分析一般形式，总结相应规律.
自主学习的基础上进行小组合作学习，然后由小组代表进行总结补充.
九年级数学 二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解1)Word版含解析
试卷第1页，共10页 专题2.12 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解1）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）
专题2.12 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质（知识讲解1）
【学习目标】
1．会用描点法画二次函数2(0)yaxbxca的图象；会用配方法将二次函数2yaxbxc的解析式写成2()yaxhk的形式；
2．通过图象能熟练地掌握二次函数2yaxbxc的性质；
3．经历探索2yaxbxc与2()yaxhk的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数2(0)yaxbxca与2(1)(0)yaxtka之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
从函数解析式2()yaxhk我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称2()yaxhk为顶点式，将顶点式2()yaxhk去括号，合并同类项就可化成一般式2yaxbxc．
2．一般式化成顶点式
22222()()()22bbbbyaxbxcaxxcaxxcaaaa
224()24bacbaxaa．
对照2()yaxhk，可知2bha，244acbka．
∴抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24(,)24bacbaa．
特别说明：
1．抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，顶点坐标是24(,)24bacbaa，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线2yaxbxc的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 试卷第2页，共10页 要点二、二次函数2(0)yaxbxca的图象的画法
《二次函数的图像和性质》第二课时教案 (1)
5.4二次函数的图像和性质(2)
教材分析：
本节课是在认识了二次函数y=ax2的图象和性质的基础上的一次提高和升华，通过图象与类比的方法来探索抛物线y=ax2+k,y=a(x-h)2与y=ax2的关系，并由此探索它们的性质．从本节课的作用看，它是整章教学的一个过度站，可看作前面知识的一个提高，知识的安排从特殊到一般，从简单到复杂符合学生的认知规律．
教学设计：
本节课主要采用小组合作探究式，教师引导的学习方式，让学生通过观察和类比，动手操作得到结果.在这节课中让学生充分地参与到学习中来，鼓励学生自己归纳，大胆猜测，由此可以养成学生的归纳能力与逻辑思维能力．
学习目标：
知识与技能：1．会画出y=ax2+k这类函数的图象．通过比较，了解这类函数的性质．
2．会画出y=a(x-h)2这类函数的图象．通过比较，了解这类函数的性质．
3．了解经过沿y轴向上或向下平移，可由抛物线y=ax2得到抛物线y=ax2+k．沿x轴向右或向左平移，可由抛物线y=ax2得到抛物线a(x-h)2
过程与方法：经历探索抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的关系的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用.
情感态度和价值观：在合作探索、自主学习的过程中，让学生体验数学学习活动充满探索性、创造性和趣味性，培养学生学习数学的热情和自信心．
学习重难点：
重点：抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的关系.
难点：应用y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的关系解决相关问题.
课前准备
教具准备 教师准备PPT课件
教学过程：
导入新课：
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开口方向、对称轴以及顶点坐标.
【设计意图】：
通过对二次函数y=-2x2的图象、开口方向、对称轴和顶点坐标的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到引入作用.
湘教版九年级数学下册学案：1.2 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质
湘教版九年级数学下册学案：1.2 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质
1 / 10 湘教版九年级下册数学导学案127班（ ）
第1章1.2二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质（1）
一、导入新课：
回答问题：
1.一次函数与反比例函数的图解是什么？它们有什么性质？
2.如何画一次函数与反比例函数的图象？
二、探究新知：
探究1：画二次函数y=ax2(a>0)的图象，若a=2，画出它的图象。
列表：
描点：
连线：
探究2：画二次函数y=21x2 的图象。（画在上面的坐标系中）
小结：二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质。
1.图象的开口向（ ）。
2.对称轴是（ ）轴，顶点是（ ），函数有最（ ）点。
3.当x>0时， ，
当x<0时， 。
展示提升： 已知函数24(2)kkykx是关于x的二次函数.
(1)求k的值.
(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪个范围内取值时，y随x的增大而增大？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
Y=2x2 … 0 …
xy湘教版九年级数学下册学案：1.2 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质
2 / 10 xy
三、本课小结：本节课你学到了什么？
四、当堂作业：
1、下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A.y=x2 B.y=x-1 C. 34yx D.y=1x
2.已知点（-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上，则（ ）
九年级数学第二章二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
【学习目标】
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.
【要点梳理】
要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法
描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.
（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）
（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.
（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.
要点进阶：
（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.
（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.
（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
《第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a>0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)
2．掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)
一、情境导入
自由落体公式h＝12gt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2(a>0)的图象
y＝(k＋2)xk2＋k是二次函数．
(1)求k的值；
(2)画出函数的图象．
解析：根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k的值，从而确定表达式，画出图象．
解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k为二次函数，∴k2＋k＝2，k＋2≠0，解得k＝1；
(2)当k＝1时，函数的表达式为y＝3x2，用描点法画出函数的图象．
列表：
x －1 －12 0 12 1 …
y＝3x2 3 34 0 34 3 … 描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各点，图象如以下图．
方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y＝ax2(a≠0)图象关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．
变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题
探究点二：二次函数y＝ax2(a>0)的性质
点(－3，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在函数y＝x2的图象上，那么y1、y2、y3的大小关系是________．
解析：方法一：把x＝－3，1，2分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，那么y1>y3>y2；
方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；
《二次函数 y=ax2的图象与性质》 知识清单
《二次函数 y=ax2的图象与性质》 知识清单
二次函数 y ＝ ax²的图象与性质 知识清单
一、二次函数的定义
形如 y ＝ ax²（a ≠ 0）的函数叫做二次函数。其中，x 是自变量，a
是二次项系数。
二、二次函数 y ＝ ax²的图象
1、 形状
二次函数 y ＝ ax²的图象是一条抛物线。
2、 开口方向
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
3、 对称轴
抛物线 y ＝ ax²的对称轴是 y 轴（即直线 x ＝ 0）。
4、 顶点坐标
抛物线 y ＝ ax²的顶点坐标是（0，0）。
三、二次函数 y ＝ ax²的性质
1、 增减性 当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧（即 x ＜ 0），y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧（即 x ＞ 0），y 随 x 的增大而增大。
当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧（即 x ＜ 0），y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧（即 x ＞ 0），y 随 x 的增大而减小。
2、 最值
当 a ＞ 0 时，函数有最小值，最小值为 0，此时 x ＝ 0。
当 a ＜ 0 时，函数有最大值，最大值为 0，此时 x ＝ 0。
四、a 对二次函数图象的影响
1、 a 的绝对值大小决定抛物线的开口大小
｜a|越大，抛物线的开口越窄；｜a|越小，抛物线的开口越宽。
2、 a 的正负决定抛物线的开口方向
a ＞ 0 时，开口向上；a ＜ 0 时，开口向下。
五、二次函数 y ＝ ax²图象的平移
1、 向上平移
将抛物线 y ＝ ax²向上平移 k 个单位，得到的抛物线解析式为 y ＝
ax² ＋ k 。
2、 向下平移 将抛物线 y ＝ ax²向下平移 k 个单位，得到的抛物线解析式为 y ＝
ax² k 。
六、二次函数 y ＝ ax²与一元二次方程的关系
抛物线 y ＝ ax²与 x 轴的交点情况，可以通过对应的一元二次方程
《二次函数y=ax2的图象与性质》教学反思
《二次函数y=ax²的图象与性质》的教学反思
《二次函数y=ax²的图象与性质》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十二章的内容。本节课在二次函数的概念之后，是进一步学习二次函数，主要内容是：研究y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标等其他性质。总体来讲，是研究二次函数图像和性质的基础。
首先复习一次函数的图象与性质，熟悉从解析式法到图象法的初步转换，从图象的形状位置以及kb变化对图象的影响，逐步推广到二次函数的研究过程中，基本思路是先猜测然后再验证。
类比画一次函数的图象的过程，我引导学生经历列表描点连线三个步骤，而后学生根据既定图象自主探究确定开口方向、对称轴、增减性等特点。通过对比两个bc为零，a同为正但不同的两个二次函数，进一步探究系数a与开口大小的关系，及时总结特殊二次函数的图象与性质并形成表格，方便学生对比学习。
为了巩固学生对特殊二次函数图象与性质的理解，我设置跟踪练习，题目涉及面广，类型要尽量全面。
遗憾的是，学生对在分布在对称轴两侧的点不能根据横坐标比较纵坐标的大小，主要原因是不能使用轴对称的性质。
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质.(教案)
22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质.（教案）
一、教学内容
本节课我们将学习人教版数学八年级下册第22章“二次函数”中的22.1.2节：“二次函数y=ax^2的图象和性质”。教学内容主要包括以下两点：
1. 掌握二次函数y=ax^2的基本形式，了解a的取值对图象的影响。
- 当a>0时，二次函数图象开口向上；
- 当a<0时，二次函数图象开口向下。
2. 理解二次函数y=ax^2图象的对称性、顶点、对称轴等性质，并能应用于解决实际问题。
- 顶点坐标为（0，0）；
- 对称轴为y轴；
- 函数图象关于y轴对称。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1. 培养学生的数学抽象能力，通过二次函数y=ax^2的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解并掌握二次函数的基本性质。
2. 提高学生的逻辑推理能力，通过分析二次函数图象的对称性、顶点、对称轴等性质，培养学生运用逻辑推理解决问题的能力。
3. 增强学生的数学建模素养，让学生在实际问题中运用二次函数y=ax^2的图象和性质进行建模，提高解决实际问题的能力。
这些核心素养目标将有助于学生深入理解二次函数的概念，并为后续学习打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 理解二次函数y=ax^2的基本形式及其图象特点，特别是a的取值对图象的影响。
- 掌握二次函数y=ax^2的顶点、对称轴和对称性等性质，并能运用这些性质分析问题。
- 能够通过具体例子，将二次函数的图象与实际情境联系起来，解决相关问题。
举例解释：
- 对于重点一，教师需通过图示和实际案例，强调a的正负对二次函数图象的影响，使学生形成直观认识。
- 对于重点二，教师应引导学生通过观察图象，发现并理解二次函数的性质，如顶点在原点，对称轴为y轴等。
- 对于重点三，教师可以设计一些实际问题，如抛物线的运动轨迹，让学生运用所学知识进行分析。
二次函数y=ax2的图象_九年级数学教案
二次函数y=ax2的图象_九年级数学教案
教学设计示例1 课题：二次函数 的图象
教学目标：
1、会用描点法画出二次函数 的图象；
2、根据图象观察、分析出二次函数 的性质；
3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识
4、渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点；
5、渗透数形结合的数学思想方法，培养观察能力和分析问题的能力；
6、培养学生勇于探索创创新及实事求是的科学精神.
教学重点：根据图象，观察、分析出二次函数的性质
教学难点：渗透数形结合的数学思想方法
教学用具：直尺、微机
教学方法：谈话、探究式
教学过程：
1、列表、描点画出函数 与 的图象，引入新课
例：画出函数 与 的图象
解：列两个表
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
x
-2
-1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
分别描点画图
2、根据图象发现问题，由学生探索出新知识.
提问：你能从图象中发现抛物线是哪些性质？这两个函数图象有何异同？
（1）这两个函数的图象都关于y轴对称.这一点可以从刚才的列表中可以看出， 时所对应的y值分别相等，如 等.这样的两个点关于y轴对称.由这些点构成的抛物线也关于y轴对称.从解析式中也可以得出这个结论：互为相反数的两个数的平方数相等，因此，这两个函数的图象都是关于y轴对称的.
（2）从图中可以看出，x可取x轴上的任意一点，而y对应的是大于、等于零的数.即抛物线有最低点（0，0）.这一点可以从解析式中得到很好的解释， 可取
任意实数. 图象开口向上.这也说明数与形是数学中的两条线索，它们是互相对应的，反映了数形结合的思想.
（3）从图中也可以看出抛物线不同于我们以前学过的正比例函数和一次函数，这两个函数的图象都是直线，而抛物线是曲线，有一个拐弯，函数的图象都在最低点拐了一个弯.这样它们的性质几发生了变化.在y轴的左侧，从左向右呈下坡趋势，即y随x的增大而减小；在y轴的右侧，从左向右，呈上坡趋势，即y随x的增大而增大.这一变化趋势也可以从列表中看出.