2010考研数学二答案解析
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2010考研数学二真题及答案
(Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解.
(23)设正交矩阵使得 为对角矩阵，若Q的第1
例为
一、填空题
参考解答
(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/m3)
(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式
，确定a，b的值，使等式在变换
(20)计算二重积分
(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且 。证明：存在
f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
(22)设
则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为．
(6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=．
二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)
(7)函数 的无穷间断点数为
(A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关．
(C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关．
(11) 设函数z=z(x，y)由方程 确定，其中F为可微函数，且
(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)
三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2010考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．)
(1)三阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 y=．
(2)曲线 的渐近线方程为．
(3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 ．
2010年考研数学(二)真题及参考答案
2010考研数学（二）真题及参考答案一、 选择题 （1） 函数()f x =的无穷间断点是 （）A ． B. C. D.（2） 设12,y y 是一阶线性齐次微分方程'()()y p x y q x +=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 （A ） A.11,22λμ==B. 11,22λμ=-=-C. 21,33λμ==D. 2,3λ=【详解】11()()(1)y p x y q x '+=⎧(1)λ(1)λ综上（3） 曲线y A. 4e 【详解】：(2x12x e =，2a e =（4）、设,m n 是正整数，则反常积分0⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于)⎰的瑕点0x =，当0x +→时21ln (1)m nx x-=-等价于221(1)m mnx --，而21120mnx dx -⎰收敛（因,m n 是正整数211mn⇒->-），故收敛；对于的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<12122ln (1)2(1)n m n m xx <-<-，而2112(1)mx dx -⎰显然收敛，故收敛。
所以选择D.（5）设函数(,)z x y ，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且'2F ≠zy∂=∂（B ）【详解】2)0z v dz '=，(6)ds =⎰A ．10dx ⎰⎰C.10(1)(1)dx x y ++⎰⎰(1)(1)x y ++【详解】：22211111111limlim()()(1)(1())nnnnx n i j i j ni jn i nj nnn n→∞→∞======++++∑∑∑∑1121(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰(7) 设向量组12:,r I ααα 可由向量组12:,S II βββ 线性表示。
2010考研数学二真题
【解析】
?z =-
Fx′= -
F1′???
y x2
??+ ?
F2′???
z x2
? ? ?=
F1′?yx + F2′?xz
=
yF1′+ zF2′,
?x Fz′
F2′?1x
F2′
xF2′
(6) 【答案】 (D).
?z = ?y
Fy′ =-
Fz′
F1′?1x F2′?1x
=
-
F1′, F2′
x ?z + y ?z = yF1′+ zF2′- yF1′= F2′?z = z ．
∫ ∫ (16)(
I
)
比较
1 0
ln
t
??ln
(1 + t )??n
dt 与
1 tn ln t dt (n = 1,2,? ) 的大小 , 说明理由；
0
∫ ( II
)
记 un =
1 0
ln
t
??ln (1+
t )??n
dt
(n = 1,2,?
), 求极限
lim
n→∞
un
.
(17) 设函数
y = f ( x) 由参数方程
.
2x3
(10)
曲线
y=
的渐近线方程为
x2 +1
.
(11) 函数 y = ln (1 - 2x)在x = 0 处的 n 阶导数 y(n) (0) =
.
(12) 当 0 ≤θ≤π时, 对数螺线 r = eθ的弧长为
.
(13) 已 知 一 个 长 方 形 的 长 l 以 2 cm/s 的 速 率 增 加 , 宽 w 以 3 cm/s 的 速 率 增 加．则 当
2010考研数学二真题(有答案解析)
r ( A)
r()
3,因此,
1
,即 A
1
1
.
1
0
0
二、填空题
(9)【答案】 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 3 22 2 0 ,因式分解得
2 2 2 22 1 0 ,
解得特征根为 2, i ,所以通解为 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
显然 lim f (x) 1 11 2 ,所以 x 1为连续点.
x1
2
2
而 lim f (x) lim x(x 1)
x1
x1 (x 1)(x 1)
1
1 x2
,所以 x 1 为无穷间断点,故答案选择
B.
(2)【答案】 (A)．
【解析】因 y1 y2 是 y P x y 0 的解,故 y1 y2 P x y1 y2 0,所以
3
明：存在 (0, 1) , (1 ,1) ,使得 f ( ) f ()= 2 2.
2
2
(22)(本题满分 11 分)
11 a
设
A
0
1
，b
1
,已知线性方程组
Ax
b
存在两个不同的解．
1
( I ) 求 ,a; ( II ) 求方程组 Ax b 的通解.
(23)(本题满分 11 分)
(4)【答案】 (D).
【解析】 x 0 与 x 1都是瑕点.应分成
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
0
nx
dx 2 0
nx
dx 1 2
2010年考研数学(二)试题
(D) e.
1 m ln2 (1− x)
∫ (4) 设 m, n 是正整数,则反常积分 0
dx 的收敛性 ( ) nx
(A) 仅与 m 的取值有关.
(B) 仅与 n 的取值有关.
(C) 与 m, n 取值都有关.
(D) 与 m, n 取值都无关.
(5) 设 函 数
z
=
z(x, y)
,由方程
F(y , x
(23) 设
A
=
⎜ ⎜
−1
3
a
⎟ ⎟
,正交矩阵
Q
使得
QT
AQ
为对角矩阵,若
Q
的第
1
列为
⎜⎝ 4 a 0 ⎟⎠
1 (1, 2,1)T ,求 a,Q 6
参考答案
一、选择题 (1)【答案】 (B).
【解析】因为
f
(x)
=
x2 − x x2 −1
1+
1 x2
有间断点 x = 0, ±1 ,又因为
数学（二）试题 第 3页 （共 3 页）
(5) 【答案】 (B).
【解析】
∂z
=
−
Fx′
=
−
F1′
⎛ ⎜
−
⎝
y x2
⎞ ⎟⎠
+
F2′
⎛ ⎜
−
⎝
z x2
⎞ ⎟⎠
=
F1′ ⋅
y x
+ F2′ ⋅
z x
=
yF1′
+
zF2′
,
∂x Fz′
F2′
⋅
1 x
F2′
xF2′
∂z
=−
【数学二】2010年全国考研研究生入学考试真题及答案答案解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。
2010年考研数学二试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()x f x →==所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x=,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, lnln 22a ay a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅,112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n j n y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i→∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=L ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ,即r s ≤,选(A). (8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-U ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞U .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =L .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dxt t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t ty e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积222222bbbba S xdyb y dy b --==-⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.2662211232cos 2(cos 2)()223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量23()3m abl πρ=+.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ []2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】22sin 1cos 2DI r r drd θθθ=-⎰⎰()222sin 1cos sin Dr r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰D=⎰⎰10xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角阵,且Q的第一列为2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ=,即 10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-, 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。
2010年考研数学试题详解及评分参考
ò 积分 xydx + x2dy = L
.
2010 年 • 第 4 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010 年数学试题详解及评分参考
【答】 应填 0 .
【解法一】 补有向线段 L : y = 0 (x Î[-1,1]) ，起点为 (1, 0) ，终点为 (-1, 0) ，设由
L 与 L 围成的平面区域为 D ，则利用格林公式及区域 D 关于 y 轴的对称性，得
nx
-
x
)
dx
ò (1) 对于
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
，易见被积函数非负，且只在
x
®
0+
时无界，于是
0
nx
ò ò 当 n > 1 时，由 lim n x m ln2 (1- x) = 0 及
1 2
1
dx 收敛，知
1 2
m
ln 2
(1 -
x)
dx
收敛；
x®0+
nx
0 nx
0
nx
( ) 当 n = 1 时，由 m ln2 (1- x)
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
2010-2019(10套)考研数学二真题和答案详细解析--答案直接附在每年题后面方便查阅
1 1 0 （Ⅱ） β1 = 1 ， β 2 = 2 ， β3 = 3 ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等 2 + 3 a + 3 1 − a a
价，求 a 的取值，并将 β 用 α1 , α 2 , α 3 线性表示.
2 . ，使得 P AP 所以存在 P −1 1 = (α1 ,α 2 ,α 3 ) 1 =Λ = 2 −
（1）当 a 2 − 1 ≠ 0 ，即 a ≠ ±1 时， r (α1 , α 2 , α 3 ) 3, r ( β1 , β 2 , β3 ) 3 ，此时两个向 = = 量组必然等价，且 β3 =α1 − α 2 +α 3 .
1 1 1 1 0 1 （2）当 a =1时， (α1 , α 2 , α 3 , β1 , β 2 , β3 ) → 0 −1 1 0 2 2 0 0 0 0 0 0
6
17.
18.
I = ∫π dθ ∫
4 3 π 4 sin 2 θ 0
π π r sin θ 1 3 1 3 5 4 rdr = ∫π sin θ dθ = − ∫π4 sin 4 θ d cos θ r 2 4 2 4
2 1 3π 1 3π = − ∫π4 (1 − cos 2 θ ) d cos θ = − ∫π4 (1 − 2 cos 2 θ + cos 4 θ ) d cos θ 2 4 2 4
x2 2
{ x , y） =（ 1 ≤ x ≤ 2 ,0 ≤ y ≤ y( x )}，求 D 绕x 轴旋转一
周所得旋转体的体积. 18.（本题满分 10 分） 已知平面区域 D 满足
{(x , y ) | (x
2010年考研数学二真题及答案解析
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