人教版九年级上册数学课件：22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质(共19张PPT)
在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而减 小;在对称轴 y有最小 右侧，y随x 值，y最 增大而增大 小=0
a值越，
开口越大， a值越小， 开口越小
y轴
(0,0)
1.二次函数y=ax2的图象是一条向上或向下的 抛物线。
2.二次函数y=ax²的开口大小与a的关系： |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大； |a|值相同，开口形状相同。
三、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4 。
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中， 错误的是（ C ） A.它的图象的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值 C.a越大，图象开口越小；a越小，图象开口 越大 D.当a＞0，在x＞0时，y随x的增大而增大
二次函数y=ax²的图象及其性质
抛物线 a的 开口方向 符号 与大小
开口向上 a值越大， a>0 开口越小， a值越小， 开口越大 开口向上 a<0 在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而增 大;在对称轴 y有最大 右侧，y随x 值， 增大而减小 y最大=0 y轴 (0,0)
对称轴
顶点 最大（小） 增减性 坐标 值
探究2
请在同一坐标系中，画出函数 y 1 x
2
2
与 y=2x²的图象，并通过图象谈谈它们的特 征及其差异。 y x
O
探究3
（1）在同一直角坐标系中，画出数y=-x²， ,
y=-2x²的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和
不同点？
（2）当a＜0时，二次函数
O
y=ax² 的图象有什么特点？
归纳总结
四、师生互动，课堂小结
1.画二次函数y=ax²的图象时，有哪些地方是你 需关注的？ 2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax²的性质的？ 3.本节课你存在哪些疑问?
课 后 作 业
1.布置作业：从教材习题22.1中选取。 2.完成精析精练中本课时练习的“课后巩固练习” 部分。
3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x²的图 象，结合图象，指出当x取何值时，y1＞y2；当x取 何值时，y1＜y2。 列表如下：
x
y=x
„
„
-3
-3 -9
-2 -1
-2 -1 -4 -1
0
0 0
1
1
2
2
3
3
„
„
y=-x² „
-1 -4
-9 „
根据图象可知，当x＞0或x＜-1时，y1＞ y2；当0＜x＜1时，y2＞y1。
一、情景导入，初步认识
问题1 一次函数的图象是一条直线，二次函数的图 象是什么形状呢？通常怎么画一个函数的图象呢？
问题2 你能画出二次函数y=x² 的图象吗？
(1) 列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
（2）描点：
（3）用平滑的曲线连接：
二、思考探究，获取新知
探究1 你能说说二次函数y=x²的图象有哪些特 征吗？
a值越，
开口越大， a值越小， 开口越小
y轴
(0,0)
1.二次函数y=ax2的图象是一条向上或向下的 抛物线。
2.二次函数y=ax²的开口大小与a的关系： |a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大； |a|值相同，开口形状相同。
三、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4 。
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中， 错误的是（ C ） A.它的图象的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值 C.a越大，图象开口越小；a越小，图象开口 越大 D.当a＞0，在x＞0时，y随x的增大而增大
二次函数y=ax²的图象及其性质
抛物线 a的 开口方向 符号 与大小
开口向上 a值越大， a>0 开口越小， a值越小， 开口越大 开口向上 a<0 在对称轴左侧， 当X=0时 y随x增大而增 大;在对称轴 y有最大 右侧，y随x 值， 增大而减小 y最大=0 y轴 (0,0)
对称轴
顶点 最大（小） 增减性 坐标 值
探究2
请在同一坐标系中，画出函数 y 1 x
2
2
与 y=2x²的图象，并通过图象谈谈它们的特 征及其差异。 y x
O
探究3
（1）在同一直角坐标系中，画出数y=-x²， ,
y=-2x²的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和
不同点？
（2）当a＜0时，二次函数
O
y=ax² 的图象有什么特点？
归纳总结
四、师生互动，课堂小结
1.画二次函数y=ax²的图象时，有哪些地方是你 需关注的？ 2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax²的性质的？ 3.本节课你存在哪些疑问?
课 后 作 业
1.布置作业：从教材习题22.1中选取。 2.完成精析精练中本课时练习的“课后巩固练习” 部分。
3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x²的图 象，结合图象，指出当x取何值时，y1＞y2；当x取 何值时，y1＜y2。 列表如下：
x
y=x
„
„
-3
-3 -9
-2 -1
-2 -1 -4 -1
0
0 0
1
1
2
2
3
3
„
„
y=-x² „
-1 -4
-9 „
根据图象可知，当x＞0或x＜-1时，y1＞ y2；当0＜x＜1时，y2＞y1。
一、情景导入，初步认识
问题1 一次函数的图象是一条直线，二次函数的图 象是什么形状呢？通常怎么画一个函数的图象呢？
问题2 你能画出二次函数y=x² 的图象吗？
(1) 列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
（2）描点：
（3）用平滑的曲线连接：
二、思考探究，获取新知
探究1 你能说说二次函数y=x²的图象有哪些特 征吗？
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22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
知识点三
画二次函数的图象,列表时取的点越多,图象往往越准确,但是 一般采用“五点法”或“七点法”画图,画图时应注意: (1)描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分,是近似的, 由于x可取一切实数,所以图象是向两方无限延伸的; (2)点取得越多,图象画得越精确,在限定条件下(即限定自变量 的取值范围)或在实际问题中,函数的图象必须要根据自变量 的取值范围取其中的一部分; (3)所画图象必须平滑(符合点的发展变化的趋势),尤其是顶点 不能画成“尖”形的.
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
知识点一
知识点二
知识点三
知识点一二次函数y=x2的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,对称轴与抛物线的交点叫 做顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 对于特殊的二次函数y=x2,对称轴是y轴,顶点是(0,0),顶点是它的 最低点,在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛 物线从左到右上升.也就是说,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0 时,y随x的增大而增大. 名师解读:理解和记忆二次函数的性质时,可以从y=x2得到启发, 其他二次函数的图象及性质可类比y=x2的图象和性质,主要从开口 方向、对称轴、顶点、增减性等几个方面去进行.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点二y=ax2的图象 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线 的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点.对于y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越小. 名师解读:二次函数y=ax2的图象是抛物线,结合图象可知,二次项 系数a的符号决定了开口方向,|a|决定了开口的大小.
人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质课件
a<0
1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y x2
y
2
y 2 x 2
y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为
（ 0 ， 0） ______ 的抛物线，反之，顶点在（0,0）
2 y = ax 的抛物线的形式是_________.
体验画图
抛物线的定义：
实际上,二次函数的图象是抛物线，
它们开口向上或向下，一般地，二次
函数 y ax bx c 的图象叫做抛
2 2
物线 y ax bx c .
体验画图
3. 拓展与延伸： 3 个点， （1）画二次函数的图象一般需要___
哪些点比较关键？ 抛物线
yx
2
轴 对称图形，对称 是__
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
a>0
体验画图
（3）以上都是当a >0时，二次函数 y ax 的图象，
2
那么当 a<0时，试在同一直角坐标系画出二次函数：
1 2 y x ，y x ，y 2 x 2 的图象. 2
2
关于 y 轴对称 原点（0，0）
对称性
顶点
总结提高
2. 二次项系数 a 对形如 y=ax2 的函数值 y 又有
何影响？对图象又有何影响？
y＝ax2
开口
a>0 开口向上
a<0 开口向下
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
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九年级数学上册教学课件《二次函数y=ax2的图象和性质》
对称 轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物 线的最高点还是最低点.
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
1.正确理解抛物线的有关概念.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
探究新知
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
22.1 二次函数的图像和性质
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
22.1 二次函数的图像和性质
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6
-9
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
y
的取值范围是 k>1 .
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： O x
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上
y轴 （0,0）
y 3x 2 y 1 x2
3
y 1 x2 3
2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.
1.正确理解抛物线的有关概念.
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
探究新知
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
22.1 二次函数的图像和性质
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
22.1 二次函数的图像和性质
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6
-9
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
知识点 2 二次函数y=ax2的图象性质
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
3.如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k
y
的取值范围是 k>1 .
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： O x
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上
y轴 （0,0）
y 3x 2 y 1 x2
3
y 1 x2 3
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版九年级上册数学《二次函数的图像和性质》说课教学复习课件
=
=
=
2
2
判别式的应用
例题2
解析
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
−3≠0 即
△≥ 0
−3≠0
①
16 − 4 − 3 −1 ≥ 0 ②
解得 ≠ 3
≥ −1
∴ ≥ −1且m≠ 3
陷阱提示：若没有限定“一元二次方程”，m-3=0也符合题意.
2 − 4 =25-20=5＞0.
△
=
2
∴
∴△= − 4=36−20=16＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴方程有两个不相等的实数根
2
−±
−4
−5± 5
−± 2 −4
6±
16
∴
=
∴ =
=
= 3 ±=2 2
2
2
2
−5+ 5
−5− 5
，
即
.
.
= ，即
课件 课件
课件 课件
课件
课件
1）开口都向下（a<0），对称轴都是y轴。
2）当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大。
3）顶点是原点（最大值）。
y=- x2
y=-x2
y=-2x2
4）a值越小抛物线开口越小。
归纳小结
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
课件
课件
=
=
2
2
判别式的应用
例题2
解析
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
−3≠0 即
△≥ 0
−3≠0
①
16 − 4 − 3 −1 ≥ 0 ②
解得 ≠ 3
≥ −1
∴ ≥ −1且m≠ 3
陷阱提示：若没有限定“一元二次方程”，m-3=0也符合题意.
2 − 4 =25-20=5＞0.
△
=
2
∴
∴△= − 4=36−20=16＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴方程有两个不相等的实数根
2
−±
−4
−5± 5
−± 2 −4
6±
16
∴
=
∴ =
=
= 3 ±=2 2
2
2
2
−5+ 5
−5− 5
，
即
.
.
= ，即
课件 课件
课件 课件
课件
课件
1）开口都向下（a<0），对称轴都是y轴。
2）当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大。
3）顶点是原点（最大值）。
y=- x2
y=-x2
y=-2x2
4）a值越小抛物线开口越小。
归纳小结
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
课件
课件
22.1.2二次函数y=ax2图像与性质
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
x y = x2 · · · · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · · · · ·
9
4
1
0
1
9
4
9
2. 根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点（x,y） 3.连线 如图，再用平 滑曲线顺次连接各点， －3 2 就得到y = x 的图象．
y = x2
6
3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线 开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向 上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c （a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c y = x2
m2+m
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
0
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
九年级数学上册二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课件
图22-1-7
解：(1)填表如上，图象略； (2)a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小.
6．已知 a≠0，在同一直角坐标系中，函数 y＝ax 与 y＝ax2 的图象有可能是 (C )
A
B
C
D
【解析】 A 项，函数 y＝ax 中，a>0，y＝ax2 中，a>0，但当 x＝1 时，两 函数图象应有交点(1，a)，错误；
下列关系式一定正确的是( C )
A．y1>0>y2
B．y2>0>y1
C．y1>y2>0
D．y2>y1>0
3．函数 y＝x2，y＝21x2，y＝2x2 的图象大致如图 22-1-5 所示，则图中从里
到外的三条抛物线对应的函数依次是( D )
A．y＝12x2，y＝x2，y＝2x2
B．y＝x2，y＝21x2，y＝2x2
类型之二 由二次函数 y＝ax2 的图象特征求待定字母的值
已知函数
是关于 x 的二次函数．
(1)求 m 的值；
(2)当 m 为何值时，此函数图象的顶点为最低点？
(3)当 m 为何值时，此函数图象的顶点为最高点？
m＋2≠0， 解：(1)由题意，得m2＋2m－6＝2， 解得 m1＝2，m2＝－4； (2)若函数图象的顶点为最低点，则 m＋2>0， ∴由(1)知，m＝2； (3)若函数图象的顶点为最高点，则 m＋2<0， ∴由(1)知，m＝－4.
分层作业
1．[2016·玉林]抛物线 y＝12x2，y＝x2，y＝－x2 的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0,0)为顶点；③都以 y 轴为对称轴；④都关于
x 轴对称．其中说法正确的个数有( B )
人教版九年级上册数学课件 第二十二章 二次函数 二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2的图象和性质
2
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
猎豹图书
增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
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增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点
二次函数y=ax2的图象和性质2
10
若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而____减__小____；当 x＜0时，y随x的增大而__增__大____；
当x＝0时，y取最____大____值0.
返回 11
9．关于二次函数y＝36x2的叙述，错误的是( D ) A．图象的对称轴是y轴 B．图象的顶点是原点 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值
4)，则该图象必经过点( A )
A．(2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，2)
D．(4，－2)
返回 5
4．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
返回
6
5．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( A )
③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
返回
14
题型 1 次函数y＝ax2的性质在求字母值中的应用
12．根据下列条件分别求a的取值范围： (1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
x 1＝1 y1＝1
,
x2＝－2， y2＝4.1
∴C(－2，4)．
20
∴S△OBC＝S△AOC－S△AOB＝
1 2
AO•|yC|－
1 2
AO•|yB|＝
1 2
×2×4－
1 2
×2×1＝3.
∵S△AOD＝
1 2
若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而____减__小____；当 x＜0时，y随x的增大而__增__大____；
当x＝0时，y取最____大____值0.
返回 11
9．关于二次函数y＝36x2的叙述，错误的是( D ) A．图象的对称轴是y轴 B．图象的顶点是原点 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．y有最大值
4)，则该图象必经过点( A )
A．(2，4)
B．(－2，－4)
C．(－4，2)
D．(4，－2)
返回 5
4．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
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6
5．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( A )
③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
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14
题型 1 次函数y＝ax2的性质在求字母值中的应用
12．根据下列条件分别求a的取值范围： (1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，
当x＜0时，y随x的增大而增大；
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
x 1＝1 y1＝1
,
x2＝－2， y2＝4.1
∴C(－2，4)．
20
∴S△OBC＝S△AOC－S△AOB＝
1 2
AO•|yC|－
1 2
AO•|yB|＝
1 2
×2×4－
1 2
×2×1＝3.
∵S△AOD＝
1 2
人教版初中数学2011课标版九年级上册22.1二次函数y = ax 2 + bx + c (a≠0)的图象和性质(共20张PPT)
22.1二次函数y = ax 2 + bx + c (a≠0) 的图象和性质
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3(x-1)2 -2
y最大＝
4ac，当
x b 2a
时，y随x的增大而增大；
当 x b 时，y随x的增大而减小。
2a
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当 x b 时，y随x的增大而增大。
2a
例1 用配方法把 y 2x2 4x 7化为
y a x h2 k 的形式，写出抛物线的
配 方
(1)“提”：提出二次项系数；
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
2
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a= 1 >0,
2
∴开口向上; 对称轴:直线x=6; 顶点坐标:(6,3).
列表
x …0 1 2 3 4… y … －6 0 2 0 －6 …
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
· · （1,0）
（3,0）
x
x=2
· · （0,－6）
（4,－6）
三．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
你能说说二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3(x-1)2 -2
y最大＝
4ac，当
x b 2a
时，y随x的增大而增大；
当 x b 时，y随x的增大而减小。
2a
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当 x b 时，y随x的增大而增大。
2a
例1 用配方法把 y 2x2 4x 7化为
y a x h2 k 的形式，写出抛物线的
配 方
(1)“提”：提出二次项系数；
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
2
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a= 1 >0,
2
∴开口向上; 对称轴:直线x=6; 顶点坐标:(6,3).
列表
x …0 1 2 3 4… y … －6 0 2 0 －6 …
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
· · （1,0）
（3,0）
x
x=2
· · （0,－6）
（4,－6）
三．探究二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
你能说说二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？