高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课件新人教B版必修4
向量共线的条件与轴上向量坐标运算
1.掌握两个向量共线的条件,理解单位向量的含义,并能利用平行 向量基本定理解决有关共线或平行问题. 2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式,并能解决轴上 的相关问题.
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1.平行向量基本定理 若a=λb,则a∥b;反之,若a∥b,且b≠0,则一定存在唯一一个实数λ,使 a=λb. 归纳总结 1.给定一个非零向量a,与a同方向且长度等于1的向量, ������ 叫做向量a的单位向量,记作a0,a0= .
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(4)轴上向量的坐标:在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为 x2,则AB=x2-x1,即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的 坐标. (5)数轴上两点的距离公式:在数轴x上,点A的坐标为x1,点B的坐标 为x2,则|AB|=|x2-x1|. 【做一做2-1】 若数轴上,A,B两点的坐标分别是3,5,则A,B两点的 距离为( ) A.8 B.2 C.3 D.-2 答案:B
������������=�����������.
(4)如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么必有λ=μ=0. (5)向量λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b可以用平行四边形法则作出,如图.
题型一
题型二
题型一 轴上向量的坐标运算
【例1】 已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d. (1)若AC=5,求c的值; (2)若|BD|=6,求d的值; (3)若������������=-3������������,求证:3������������=-4������������. 分析解答本题,首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标, 然后求解或证明.
∴������������=-(-3������������)+������������=4������������. ∴3������������=12������������.
又-4������������=-4×(-3������������)=12������������, 故 3������������=-4������������. 反思正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其 他向量计算的基础,特别要注意向量坐标运算公式的顺序,还要注 意向量的模的运算中可能会出现两种情形.
关于平行向量基本定理的深入分析 剖析(1)对于向量a(a≠0),b,如果存在一个实数λ,使b=λa,那么由向 量共线的定义知向量a与b共线;已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的 长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,则当a与b同方向时,有b=μa, 当a与b反方向时,有b=-μa. (2)判断向量a(a≠0)与b是否共线的方法:判断是否有且只有一个 实数μ,使得b=μa. (3)证明A,B,C三点共线的方法:证明有且只有一个实数μ,使得
∴BA=1-7=-6,|������������|=|-6|=6;
AC=-3-1=-4,|������������|=|-4|=4; CB=7-(-3)=10,|������������|=10. (2)设 D 点的坐标为 x,则 CD=x-(-3)=x+3=4, 解得 x=1,即 D 点的坐标为 1. (3)设 E 点的坐标为 x,则|������������|=|x-7|=2,解得 x=5 或 9,即 E 点的坐 标为 5 或 9.
1
2
2.轴上向量的坐标及坐标运算 (1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴.取单位向量e,使e的方 向与轴l同方向,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使a=xe.反过 来,任意给定一个实数x,总能作一个向量a=xe,使它的长度等于这个 实数x的绝对值,方向与实数的符号一致.单位向量e叫做轴l的基向 量,x叫做a在l上的坐标(或数量). (2)x的绝对值等于a的长,当a与e同方向时,x是正数,当a与e反方向 时,x是负数.实数与轴上的向量建立起一一对应关系. (3)向量相等与两个向量的和:设a=x1e,b=x2e,若a=b,则x1=x2;反之, 若x1=x2,则a=b.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上 两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.
2.对定理的应用,要从两个方面进行:由a∥b(b≠0),可得a=λb;由 a=λb,可得a∥b.要注意两向量平行与几何中直线的平行是有区别 的,两向量平行包括两向量所在基线重合的情况.利用该定理可以 解决平面几何中两线段的平行、三角形相似、三点共线等问题.
|������|
1
2
【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.若a=3b,则a与b不一定共线 B.若a与b共线,则必有a=λb(λ∈R) C.若a+b=0,则a与b共线 D.若a,b均为非零向量且共线,则满足b=λa的实数λ不唯一 解析:若a=3b,则a与b一定共线,A错;当a≠0且b=0时,a与b共线,但 不存在λ∈R,使a=λb,B错;由a+b=0得a=-b,a与b必共线,C正确;当a,b 为非零向量且共线时,满足b=λa的λ唯一,D错. 答案:C
题型一
题型二
(1) 解: ∵AC=5,∴c-(-4)=5.∴c=1. (2) 解: ∵|BD|=6,∴|d-(-2)|=6, 即 d+2=6 或 d+2=-6, ∴d=4 或 d=-8. (3) 证明 ∵������������ = ������������ + ������������=-������������ + ������������,而������������=-3������������,
1
2
【做一做2-2】 已知数轴上点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列 结论错误的是( ) A.������������的坐标是 2 B.������������=-3��������������������=2������������
题型一
题型二
【变式训练 1】 已知在数轴上点 A,B,C 的坐标分别为 1,7,-3. (1)求������������, ������������ , ������������的坐标和长度; (2)若 CD=4,求 D 点的坐标; (3)若|������������|=2,求 E 点的坐标. 解:(1)∵点 A,B,C 的坐标分别为 1,7,-3,
(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：2-1-5
的坐标，然后求解或证明．
解析
(1)∵AC＝5，∴x－(－1)＝5，∴x＝4.
→ (2)∵|BD|＝3.∴|y－2|＝3. ∴y－2＝3 或 y－2＝－3，∴y＝5 或 y＝－1. → → (3)∵AC＝－3AD，∴AC＝－3AD. AC＝x＋1，AD＝y＋1，∴x＋1＝－3(y＋1)， ∴x＝－3y－4. CD＝y－x＝y－(－3y－4)＝4y＋4， ∴3CD＝12y＋12.
第二章 平面向量
2．1 向量的线性运算
2．1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学 习 目 标 掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义.
自 学 导 航 1.向量共线的条件 (1)平行向量基本定理： 如果 a＝λb，那么 a∥b；反之，如果 a∥b(b≠0)，那么一 定 存在唯一一个实数 λ ，使 a＝λb.
②已知轴 l，取单位向量 e，使 e 的方向与 l 的方向 相同 ， 对轴上任意向量 a，一定存在唯一实数 x，使 a＝xe，x 叫做 a 在 l 上的坐标(或数量)．向量 e 叫做轴 l 的基向量． ③给定单位向量 e， 能生成与它平行的所有向量的集合{xe|x ∈R}． ④x 的绝对值等于 a 的长，当 a 与 e 同方向 时，x 是正数， 当 a 与 e 反方向 时，x 是负数．
答案
C
→ → → 3．已知向量 a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝ 7a－2b，则一定共线的三点是( A．A、B、D C．B、C、D )
B．A、B、C D．A、C、D
解析
→ → → BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)
→ ＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB. ∴A、B、D 三点共线．
高中数学2-1-5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课件新人教B版必修
ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于 e1 与 e2 不共线，
k－λ＝0， 只能有 λk－1＝0，
则 k＝± 1.
[点评] 本题从正反两方面运用了向量共线的充要条
件，即a与b共线⇔存在λ使b＝λa.
λ(λ＝－1)，使得b＝λα成立)， ∴a与b共线， 综合①②可知a与b共线．
一、选择题 1． 数轴上三点 A、 B、 C 的坐标分别为－1、 2、 5， 则( A．AB＝－3 → ＝6 C.AC B．BC＝3 → ＝3 D.AB )
[答案] B
[解析] 由轴上向量坐标的定义
AB＝xB－xA＝3，BC＝xC－xB＝3. ∴选 B.
重点：轴上向量的坐标表示和轴上两点间距离公式．
难点：应用共线向量定理定义轴上向量的坐标表示及 轴上两点间距离公式． 学习时要注意以下几方面问题： 1．向量的平行与几何中直线的平行不同，向量平行包
含所在直线重合的情况，零向量与任一向量平行．
2．共线向量基本定理有两方面的应用，一是一个向量
可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二 是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表 示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据．
[ 辨析 ]
错解的原因是没有考虑到“ e ＝ 0” 这种情况，
原题已知中对向量e并无任何限制．
[正解] ①当e＝0时，则a＝－2e＝0，
∵“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线 向量”， 此时a与b共线． ②当e≠0时，a＝－2e≠0，b＝2e≠0，
∴b＝－a( 这时满足定理中的 a≠0，有且只有一个实数
高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课件新人教B版必修4
一
二
3.做一做:在四边形 ABCD 中,������������ = ������������,且|������������|=|������������ |,则这个四 边形是( )
A.矩形 B.正方形 C.等腰梯形 D.菱形 答案:C
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 一
二
二、轴上向量的坐标及坐标运算 【问题思考】
1.已知数轴上点 A(3),B(-1),则������������的坐标是 标是 ;������������的长度是 .
(3)在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2-x1.① 轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.根据公式① 可得数轴上两点的距离公式:|AB|=|x2-x1|.
一
二
3.做一做:已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,根据下列条件, 求B的坐标x2. (1)x1=5,BA=6; (2)x1=-3,|AB|=7. 答案:(1)-1 (2)-10或4
分析:解答本题首先根据条件表示出两点所对应的向量的坐标, 然后求解或证明.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)因为AC=5,所以c-(-4)=5.所以c=1. (2)因为|BD|=6, 所以|d-(-2)|=6, 即d+2=6或d+2=-6, 所以d=4或d=-8. (3)证明因为������������ = ������������ + ������������ =-������������ + ������������ , 而������������ =-3������������ , 所以������������=-(-3������������ )+������������ =4������������ . 所以 3������������=12������������ . 又-4������������ =-4× (-3������������ )=12������������ , 故 3������������=-4������������ . 反思感悟首先利用数轴上点的坐标,计算出两点所对应向量的坐 标,特别要注意向量坐标运算公式的顺序,还要注意模运算中可能 会出现的两种情形.
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂导学案 新人教B
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课堂导学三点剖析一、向量共线的概念及共线的条件1.向量共线的概念如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行.2.向量共线的条件——平行向量定理平行向量定理:如果a=λb,则a∥b;反之,如果a∥b(b≠0),则一定存在一个实数λ,使a=λb.注意:(1)本定理由向量平行和向量数乘的定义可以直接推知.(2)本定理深刻地揭示了平面内全体与非零向量b共线的向量的基本结构.【例1】判断向量a=-2e与b=2e是否共线.思路分析：要分e=0与e≠0两种情况分析.解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以,此时a与b共线. (2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0.∴b=-a(这时满足定理中的a≠0及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa成立).∴a与b 共线.综合(1)(2)可知,a与b共线.各个击破类题演练 1已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1,e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线?思路分析:根据向量共线条件列式求解.解:设存在λ,μ使得d与c共线,并设m(2e1-9e2)=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2),则m=λ+μ且m=3μλ-,解得λ=-2μ,即存在实数λ,μ,使得d=λa+μb与c共线.变式提升 1设两个非零向量e1,e2不是平行向量,试确定实数k的值,使k e1+e2和e1+k e2是两个平行向量. 思路分析:运用平行向量定理列式求解.解:因为(k e1+e2)∥(e1+k e2),所以存在唯一实数p使k e1+e2=p(e1+k e2)成立,所以(k-p)e1=(pk-1)e2,因为e1与e2不是平行向量,且为非零向量,所以k-p=0且pk-1=0,所以k=±1.温馨提示(1)向量共线的充要条件:a与b共线⇔存在唯一λ使b=λa(a≠0).(2)利用两个向量共线的充要条件证明多点共线,通常是采用列方程(组)的方法.二、轴上向量的坐标及其运算关于这部分内容要注意:1.轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.2.设e 是轴l 上的一个基向量.的坐标又常用表示,这时=AB e .3.在数轴x 上,已知点A 的坐标为x 1,点B 的坐标为x 2,则AB=x 2-x 1.即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.这样,又可以得到数轴上两点的距离公式:|AB|=|x 2-x 1|.【例2】 已知轴上三点A,B,C,且AC=2,BC=-2,则AB 等于( )A.0B.4C.-4D.非上述答案解析：AB=AC-BC=2-(-2)=4.答案:B类题演练 2已知数轴上两点M,N,且|MN|=4,若x m =-3,则x n 等于( )A.1B.2C.-7D.1或-7解析:据数轴上两点间的距离公式,得|MN|=|x n -x m |=4,又x m =-3,∴|x n +3|=4.∴x n =1或-7.答案:D变式提升 2A,B,C,D 是轴上任意四点,求证:AB+BC+CD+DA=0.证明:设轴l 上的点A,B,C,D 的坐标分别为x 1,x 2,x 3,x 4,则AB+BC+CD+DA=(x 2-x 1)+(x 3-x 2)+(x 4-x 3)+(x 1-x 4)=0.故原题得证.三、三点共线问题【例3】 如图所示,在ABCD 中,AD =a ,AB =b ,M 是AB 中点,点N 是BD 上一点,|BN |=31|BD |. 求证:M 、N 、C 三点共线.思路分析:将点共线问题转化成向量共线问题,即证明=3. 证明:∵=a ,=b ,∴=-=a -b . ∴=+=21b +31=21b +31(a -b )=31a +61b =61(2a +b ). 又∵=+=21b +a =21(2a +b ), ∴=3. 又与有共同起点,∴M、N、C三点共线.温馨提示几何中证明三点共线,通常以三点为起点和终点确定两个向量,然后看能否找到唯一的实数λ,使得一个向量等于另一个向量的λ倍,把三点共线问题转化成向量共线的问题.类题演练 3设e1、e2是不共线的向量.已知向量=2e1+k e2,=e1+3e2,=2e1-e2.若A、B、D三点共线,求k的值.解:∵=-=(2e1-e2)-( e1+3e2)= e1-4e2,又由题设A、B、D三点共线,得存在实数λ,使=λ,∴2e1+k e2e2=λ(e1-4e2).∴λ=2,k=-4λ=-8.变式提升 3已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,BC=6e1+23e2,CD=4e1-8e2,求证:A、B、D三点共线.证明:∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6AB,∴向量与共线.又与有共同起点A,∴A、B、D三点共线.温馨提示证明三点共线问题可转化为证明两向量平行,这是数形结合思想的具体体现,但要弄清两向量平行的含义,即两向量所在的直线平行或重合时,两向量平行,因此证得两向量平行后,若两向量所在的两直线有公共点,则两直线必重合,从而可得三点共线.一般地,要证明A,B,C三点共线,只要用该三点任意构造两向量(如:,),证明它们共线就可以了.。
数学必修Ⅳ人教新课标B版2-1-5向量共线的条件和轴上向量坐标运算课件(44张)
阶
段
段
一
三
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义.(重点) 2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题. (难点)
[基础·初探] 教材整理 1 平行向量基本定理 阅读教材 P90“例 1”以上内容，完成下列问题. 1.平行向量基本定理： 如果 a＝λb，则 a∥b ；反之，如果 a∥b，且 b≠0，则一定存在唯一一个实 数 λ，使a＝λb .
[小组合作型] 平行向量基本定理的应用
如图2-1-31所示，已知在▱ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD 上，且3BN＝BD.求证：M，N，C三点共线.
【导学号：72010051】
图2-1-31
【精彩点拨】 利用向量的运算法则将 M→C ， M→N 两向量分别用 A→B ， A→D 表示 出来，再利用平行向量基本定理判定M→C，M→N共线，从而证明M，N，C三点共线.
平行向量基本定理有两个方面的应用： (1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明 三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等. (2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求 参数，它是轴上向量坐标化的依据.
[再练一题] 1.已知任意两个非零向量a，b，作O→A＝a＋b，O→B＝a＋2b，O→C＝a＋3b.试判 断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 【解】 因为A→B＝O→B－O→A＝(a＋2b)－(a＋b)＝b， A→C＝O→C－O→A＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，故有A→C＝2A→B. 所以A→C∥A→B，且有公共点A，所以A，B，C三点共线.
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算课件
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【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.若a=3b,则a与b不一定共线 B.若a与b共线,则必有a=λb(λ∈R) C.若a+b=0,则a与b共线 D.若a,b均为非零向量且共线,则满足b=λa的实数λ不唯一 解析:若a=3b,则a与b一定共线,A错;当a≠0且b=0时,a与b共线,但 不存在λ∈R,使a=λb,B错;由a+b=0得a=-b,a与b必共线,C正确;当a,b 为非零向量且共线时,满足b=λa的λ唯一,D错. 答案:C
关于平行向量基本定理的深入分析 剖析(1)对于向量a(a≠0),b,如果存在一个实数λ,使b=λa,那么由向 量共线的定义知向量a与b共线;已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的 长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,则当a与b同方向时,有b=μa, 当a与b反方向时,有b=-μa. (2)判断向量a(a≠0)与b是否共线的方法:判断是否有且只有一个 实数μ,使得b=μa. (3)证明A,B,C三点共线的方法:证明有且只有一个实数μ,使得
������������=�����������.
(4)如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么必有λ=μ=0. (5)向量λ(μ1a+μ2b)=λμ1a+λμ2b可以用平行四边形法则作出,如图.
题型一 题型二
题型一 轴上向量的坐标运算
【例1】 已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-2,c,d. (1)若AC=5,求c的值; (2)若|BD|=6,求d的值; (3)若������������ =-3������������ ,求证:3������������ =-4������������ . 分析解答本题,首先根据条件表示出两点所对应的向 1】 已知在数轴上点 A,B,C 的坐标分别为 1,7,-3. (1)求������������, ������������, ������������的坐标和长度; (2)若 CD=4,求 D 点的坐标; (3)若|������������|=2,求 E 点的坐标.
2015-2016学年高一数学人教B版必修4：2.1.5向量共线的条件和轴上向量坐标运算课件2
人教B版必修4第二章平面向量2.1.5向量共线的条件和轴上向量的坐标运算向量共线的条件与轴上向量坐标运算引入：在学习向量概念时,我们们已给出向量共线的概念：如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或互相平行。
应注意，这里说的向量平、行包含向量基线重合的情形, 与两条直线平行的概念有点不同丿向量共线的条件由向量平行和向量数乘的定义可以推知:如果a =入b则a#b ；反之，如果a//b（b工o ），—►—►则存在一个实数入，使a =入b如果a— 2b贝！1刖”；如果c ——2b 则,如果d的长度是庁f 1 f长的一半，并且方向相反，则〃 =——b2单位向量给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量。
如果向量a的单位向量记作a0，由数乘向量定义可知_ _ -»-' aa = a a° 或a,。
=—a巩固练习判断TS塑命题是否正确一一(1)向量43与向量而平行，贝［|向量与向量矛方向相同或相反。
(X )(2)向量而与向量石是共线向量则A、B、C、D四点必在一条直线上。
(X )(3)若干个向量首尾相连，形成封闭图形则这些向量的和等于零向量。
(V)(4)起点不同，但方向相同且长度相等的几个向量是相等向量。
(V)例题讲解（一）例1、女口图所不，M、N是AABC的中位线。
求证：MN =丄3（7，且证明：M、N分别是AB、AC边上的中点-- 、 1 —» • 1 »AM = -AB.AM= -AC 2 2—> —> —1—1—»MN = AN-AM = -AC—— AB2 21> 1 —> = -(AC-AB) = -BC221:.MN^BC,MN = -BC定理的实质是向量相等，即存在唯一实数2使方=Aa(go),应从向量的大小和启向两个方面理 解，借助实数2沟通了两个向量庁与。
的联系解：由 /?二-2e 得e = —b ，代入 ° = 3e…2 一 因此，。
2020年高中数学第2章平面向量2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算课件新人教B版必修4
①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝e1＋2 e2－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋e1＋2 e2.
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
解析：选 B ①中 a＝－32b，所以 a∥b；②中 b＝e1＋2 e2－e1 ＝e2－2 e1＝－12a，所以 a∥b；③中 b＝3e1＋2 3e2＝32(e1＋e2)，若 e1 与 e2 共线，则 a 与 b 共线，若 e1 与 e2 不共线，则 a 与 b 不共线．
知识点二 轴上向量坐标及长度计算
3．已知数轴上两点 A，B 的坐标分别是－4，－1，则 AB 与
|A→B|分别是( )
A．－3，－3
B．3,3
C．3，－3
D．－6,6
解析：选 B A→B＝－1＋4＝3，AB＝－1－(－4)＝3，|A→B|＝3， 故选 B．
4．已知数轴上点 A，B，C 的坐标分别为 1，－4，－3，则|A→C |＋|B→C|＝________，|A→C＋B→C|＝________.
第二章 平面向量
2.1 向量的线性运算 2.1.5 向量共线的条件与
轴上向量坐标运算
|学习目标| 1．掌握平行向量基本定理并理解两个向量共线的条件及单 位向量的含义； 2．掌握轴上向量的坐标公式、数轴上两点间的距离公式， 并能解决实际问题．
基础知识点对点 课后拔高提能练
基础知识点对点
知识点一 平行向量基本定理
1．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－2a)
共线，则 λ＝( )
A．0
B．12
C．－2
D．12
解析：选 B 由 a＋λb 与－(b－2a)共线，则存在一个实数 m， 使 a＋λb＝m(－b＋2a)＝2ma－mb， ∴2－mm＝＝1， λ， ∴mλ＝＝－12，12.
【小初高学习】高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算示
2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算示范教案整体设计教学分析本小节涉及到解析几何一些基础知识：向量的共线(平行)、向量共线的条件、轴、向量在轴上的坐标及加法运算、数轴以及如何用位置向量确定轴上点的位置、基本公式等．这些知识看似简单，但极为重要．这一节的学习，可为不同层次的学生搭建学习数学的基础平台．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．向量的平行是用向量的基线平行定义的，并规定零向量可以与任意一个向量平行．从这里可以看出引入向量基线的作用，引入基线，主要是逻辑上的考虑，我们把向量平行建立在直线平行的基础上．这样，向量与几何紧密相连，又可避开直接用方向来定义向量的平行．平行向量基本定理是由向量平行的定义直接推知，没有作形式化的证明，教学时没有必要补充证明．轴上向量的坐标及其运算，完全可启发学生自己导出．一定要让学生区分轴与数轴这两个不同的概念．理解轴上向量与其实数(坐标)的一一对应关系．书中没有提及轴上向量的减法运算，它应包含在加法运算之中．轴上向量的基本公式，在数学2中已学习过，这里用向量再重新推导，目的是提高学生对这些基本公式的理解和记忆，提高学生对这些公式的理性认识．三维目标1．通过探究向量共线的条件，理解向量平行(共线)概念和平行向量基本定理，会证明几何中简单的平行问题．2．理解轴和轴上向量的概念，理解轴上向量的坐标．建立轴上向量与实数的一一对应关系．3．通过轴上向量的探究，能用向量的观点理解数轴，用轴上向量运算证明解析几何基本公式，并能用向量确定直线上点的位置．重点难点教学重点：平面向量基本定理，轴上向量的坐标及其运算．教学难点：对向量共线条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)在学习向量概念时，我们已给出向量共线的概念，即：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或互相平行(图1)．那么向量平行会有什么条件呢？由此展开新课．图1思路2.(问题引入)前面我们一起探究了向量加减法运算、向量的数乘运算以及它们的运算律，更重要的是探究了它们的几何意义．那么向量2a与向量3a的位置关系怎样？由此进入向量平行的探究．推进新课新知探究向量共线的条件提出问题向量平行具有哪些条件？怎样理解平行向量基本定理？向量平行与直线平行有什么异同？如何理解零向量平行这个特殊问题？ 活动：教师引导学生探究，由向量平行和数乘向量的定义可以直接推知，可得平行向量基本定理：如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a ＝λb .如图2，如果a ＝2b ，则a ∥b ；如果c ＝－2b ，则c ∥b ；图2如果d ∥b ，d 的长度是b 的长度的一半，并且方向相反，则d ＝－12b . 给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量．如果a 的单位向量记作a 0(图3)，由数乘向量的定义可知图3a ＝|a |a 0或a 0＝a |a |. 由于零向量的方向不定，在处理平行问题时，零向量与任何一个向量平行．正因为如此，关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a ≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．应注意，这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．也就是说：直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．讨论结果：(1)略．(2)略．轴上向量的坐标及其运算提出问题阅读教材，怎样理解轴上向量？与数轴有什么区别？根据轴上向量的概念，你能得到哪些基本公式？怎样用向量确定直线上点的位置？活动：教师与学生一起探究轴上向量这个概念，让学生一定区分开它与数轴的概念的不同．这里说的轴是指规定了方向和长度单位的直线．与数轴不同的是这里没有规定原点，仅是方向和长度单位．如图4.图4已知轴l.取单位向量e ，使e 的方向与l 同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a ，一定存在唯一实数x ，使a ＝x e .反过来，任意给定一个实数x ，我们总能作一个向量a ＝x e ，使它的长度等于这个实数x 的绝对值，方向与实数的符号一致．给定单位向量e ，能生成与它平行的所有向量的集合{x e |x∈R }．这里的单位向量e 叫做轴l 的基向量，x 叫做a 在l 上的坐标(或数量)．x 的绝对值等于a 的长，当a 与e 同方向时，x 是正数；当a 与e 反方向时，x 是负数．例如，AB →＝3e ，CD →＝－2e ，则AB →在l 上的坐标是3，CD →在l 上的坐标是－2.于是，在一条轴上，实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系．至此，我们就可用数值来表示向量．这一点特别重要，我们在解析几何初步中已经指出，如果点的位置不能用数值来表示，要使用现代的计算机技术研究图形的性质是不可能的．这里，我们奠定了向量的数量化基础，以后我们还要把平面向量、空间向量都数量化、代数化．这样，我们就可以用计算器、计算机等现代计算技术进行向量运算了．有了以上轴上向量的概念，教师引导学生自然地进行一些公式的推导与运算．设a ＝x 1e ，b ＝x 2e ，于是：如果a ＝b ，则x 1＝x 2；反之，如果x 1＝x 2，则a ＝b ；另外，a ＋b ＝(x 1＋x 2)e .这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．设e 是轴l 上的一个基向量(图5).AB →的坐标又常用AB 表示，这时AB →＝AB e .显然BA →＝BA e ，AB 是BA 绝对值相同，符号相反，即AB ＋BA ＝0.设e 是l 上的一单位向量(图5)，在l 上任取三点A ，B ，C ，则图5AB →＋BC →＝AC →，AB e ＋BC e ＝AC e ，(AB ＋BC)e ＝AC e .因为e ≠0，所以AB ＋BC ＝AC.①公式①在解析几何初步一章中已经得到，尽管形式非常简单，但极为重要．我们已经看到它是我们研究解析几何、三角的基础．这里我们应用向量计算精确方便地得到了这个公式．有了轴上向量的概念，我们可以用向量的观点，重新认识一下我们在初中学习过的数轴． 在轴x 上选一定点O 作为原点，就成为我们学过的数轴(图6)．图6设e 是轴x 的基向量，向量a 平行于x 轴，以原点O 为始点作OP →＝a ，则点P 的位置被向量a 所唯一确定，由平行向量基本定理知道，存在唯一的实数x ，使OP →＝x e .数值x 是点P 的位置向量OP →在x 轴上的坐标，也就是点P 在数轴x 上的坐标；反之亦然．如图7，如果点P 的坐标为3，则点P 的位置向量OP →的坐标也为3.图7在数轴x 上，已知点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2(图7)，于是由公式①，得AB ＝AO ＋OB ＝－OA ＋OB ＝x 2－x 1.即AB ＝x 2－x 1.②这就是说，轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．根据公式②，又可以得到数轴上两点的距离公式|AB|＝|x 2－x 1|③由于数轴是中学阶段第一个数形结合的工具，也是中学阶段最重要的数学概念之一，在这里引导学生重新对以上公式进行推导，提高了学生对这些基本公式的理解和记忆，提高了学生对这些公式的理性认识．讨论结果：(1)(2)(3)略．应用示例思路1例1如图8，MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝12BC ，且MN∥BC.图8证明：因为M ，N 分别是AB ，AC 边上的中点，所以AM →＝12AB →，AN →＝12AC →，MN →＝AN →－AM →＝12AC →－12AB →＝12(AC →－AB →)＝12BC →. 所以MN∥BC，MN ＝12BC. 图9BA →共线，根据向量共线定理，可知例2已知a ＝3e ，b ＝－2e .试问向量a 与b 是否平行？并求|a |∶|b |.解：由b ＝－2e ，得e ＝－12b ，代入a ＝3e ，得 a ＝－32b .因此，a 与b 平行，且|a |∶|b |＝32.3已知数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别是4，－2，－6，求AB →，BC →，CA →的坐标和长度(图10)．图10解：AB ＝(－2)－4＝－6，|AB →|＝|－6|＝6；BC ＝－6－(－2)＝－4，|BC →|＝|－4|＝4；CA ＝4－(－6)＝10，|CA →|＝|10|＝10.课堂小结1．先让学生回顾本节学习的数学知识和方法：向量平行的条件、轴上向量、确定轴上点的位置、基本公式等．体会本节学习中用到的思想方法．特别是用新学向量知识重新认识过去所学内容，是真正的温故知新，是对原知识的再提高，而不是把新知识与过去知识割裂开来，对学生理性思维的提高具有重大意义．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，类比是我们学习中伟大的引路人．作业课本本节练习A 组 2,3,4.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．由学生探究向量平行的特例，得到向量平行的条件．向量共线定理用来判断两个向量是否共线．然后对所探究的结果进行运用拓展．认识了轴上向量与数轴的不同，重新推导了几个公式．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．3．本节内容和方法具有丰富的内涵，不同层次的学生在这里都能有不同的提高．同时，本内容又是加强学生自主学习、合作学习的最佳平台，应充分利用好本节的教育功能．绽放出更为深层的智慧火花．备课资料一、新课标下教师的角色定位1．教师应努力成为数学探究课题的创造者，有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源．2．教师要成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者．教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料，引导和帮助而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题，指导学生和帮助学生养成查阅相关的参考书籍和资料、在计算机网络上查找和引证资料的习惯．在学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究．3．教师应该根据学生的差异，进行有针对性的指导，鼓励学生创新的同时，允许一部分学生可以在模仿的基础上发挥自己的想象力和创造力，正面鼓励学生的探索精神，肯定学生的创造性劳动，同时也指出存在的问题和不足．二、备用习题1．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．02．对判断向量a ＝－2e 与b ＝2e 是否共线？有如下解法：解：∵a ＝－2e ，b ＝2e ，∴b ＝－a.∴a 与b 共线．请根据本节所学的共线知识给以评析．如果解法有误，请给出正确解法．3．如图11，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？图114．根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明：(1)AD →＝BC →；(2)AD →＝13BC →；(3)AB →＝DC →，且|AB →|＝|AD →|. 参考答案：1．C2．分析：乍看上述解答，真是简单明快．然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为，原题已知中，对向量e 并无任何限制，那么就应允许e ＝0，而当e ＝0时，显然，a ＝0，b ＝0，此时，a 不符合定理中的条件，且使b ＝λa 成立的λ值也不唯一(如λ＝－1，λ＝1，λ＝2等均可使b ＝λa 成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线．可见，对e ＝0的情况应另法判断才妥．综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e ＝0时，则a ＝－2e ＝0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，∴此时a 与b 共线．(2)当e ≠0时，则a ＝－2e ≠0，b ＝2e ≠0，∴b ＝－a 〔这时满足定理中的a ≠0，及有且只有一个实数λ(λ＝－1)，使得b ＝λa 成立〕．∴a 与b 共线．综合(1)(2)，可知a 与b 共线．3．解：如图12，分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC.观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．图12事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →.所以A 、B 、C 三点共线．4．(1)四边形ABCD 为平行四边形，证略．(2)四边形ABCD 为梯形．(见图13)证明：因为AD →＝13BC →， 所以AD∥BC，且AD≠BC.所以四边形ABCD 为梯形．图13(3)四边形ABCD 为菱形．证明：如图14，因为AB →＝DC →，图14所以AB∥CD，AB ＝CD.所以四边形ABCD 为平行四边形． 又|AB →|＝|AD →|，所以ABCD 为菱形．点评：本题是用向量的性质判断图形的几何性质．。