2018年广东专插本考试《高等数学》真题

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广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试

广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》（公共课）试题题号一二三四总分题分15154822得分总分合计人（签名）总分复核人（签名）复查总分复核人（签名）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.每小题给出的四个选项，只有一项符合题目要求的）1.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 1sin 3lim 0（）A.0B.1C.3D.4解答：由极限的性质可知x x x x x x x x x x x sin lim 1sin lim 3sin 1sin 3lim 000→→→+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+又由于有界函数×无穷小=无穷小，其中11sin≤x，0lim 0=→x x ，故01sinlim 30=→xx x 而又由于第一重要极限可知1sin lim 0=→xxx 因此110sin lim 1sin lim 3sin 1sin 3lim 000=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x x x x x x x x x x 故选B.2.设函数()x f 具有二阶导数，且()10-='f ，()01='f ，()10-=''f ，()31-=''f ，则下列说法正确的是（）得分评卷人A.点0=x 是函数()x f 的极小值点B.点0=x 是函数()x f 的极大值点C.点1=x 是函数()x f 的极小值点D.点1=x 是函数()x f 的极大值点解答：极值存在的第二充分条件：设函数()x f 在点0x 处具有二阶导数，且()00='x f ，()00≠''x f ，则（1）当()00<''x f 时，函数()x f 在点0x 处取得极大值；（2）当()00>''x f 时，函数()x f 在点0x 处取得极小值;（3）当()00=''x f 时，无法判别.因此根据题目条件()01='f ，()031<-=''f ，故由定理可知：点1=x 是函数()x f 的极大值点，故选D.3.已知()C x dx x f +=⎰2，其中C 为任意常数，则()=⎰dx x f 2（）A.Cx +5 B.Cx +4 C.C x +421 D.C x +332解答：由积分与微分的关系可知：()[]()x f dx x f ='⎰，因此()()()()xC x dx x f x f 22='+='=⎰故()222x x f =，即()Cx C x dx x dx x dx x f +=+⨯===⎰⎰⎰332223231222故选D.4.级数()=-+∑∞=1312n nn（）A.2B.1C.43D.21解答：由于级数可写为()()∑∑∑∞=∞=∞=-+=-+1113132312n n nn n n nn又因为∑∞=132n n ，()∑∞=-131n n n均为等比级数（几何级数），因此使用等比求和公式()qq a S n--=11其中a 为首项，q 为公比，故可得1311lim 311311311323232323221=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→∞=∑n n n nn n n n S ()41311lim 413114131131131313111-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∞→∞=∞=∑∑n n n nn nn nnn S 因此()434113121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+∑∞=n nn故选C.5.已知(){}94|,22≤+≤=y x y x D ，则⎰⎰=+Dd yx σ221（）A.π2B.π10C.23ln2π D.23ln4π解答：此题应使用二重积分在极坐标系中的累次积分法。

《高等数学》专插本2005-2019年历年试卷

广东省2019年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目要求）1．函数22()2x xf x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C=+=+⎰⎰C 为任意常数，则下列等式正确的是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．下列级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．若二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则2zy x∂=∂∂ 9．设平面区域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．求20sin 1lim x x e x x→-- 12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyz x z e -=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面区域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+- 判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de -=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分） 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰（1）求()x ϕ；（2）求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+（1）证明：()f x 在区间(0,) 内单调减少；（2）比较数值20192018与20182019的大小，并说明理由；2019年广东省普通高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解：21ln ln ln(21)12ln 1212(ln 1)2121xx x y x y x x x y x y x dy x x dx x x =+∴=-+'∴=+-+∴=+-++Q13.解：22222211112(1)12112arctan ln(1)2x dxx dx d x x xx x C++=++++=+++⎰⎰⎰14.,t =则211,22x t dx tdt =-=20121214215311,,2211()221()2111()253115t x t dx tdtt t tdt t t dtt t-==-==-=-=-=-⎰⎰⎰g15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--(,,)1(,,)(,,)11,11xyzxxyzyxyzzxyz xyzxyz xyzf x y z yzef x y z xzef x y z xyez yze z xzex xye y xye∴=-=-=--∂-∂∴==-∂+∂+16.解：由题意得12,0rθπ≤≤≤≤2222ln()3(4ln2)23(4ln2)|2(8ln23)Dx y ddππσθθπ∴+==-=-=-⎰⎰⎰17.解：由题意得414(1),321nnb nb n n++=+-414(1)1lim lim1,3213nx xnb nb n n+→∞→∞+∴==<+-由比值判别法可知1nnb∞=∑收敛0,n n a b ≤≤Q 由比较判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()()()()(1)xx x x df x x dedf x xde f x xe f x e x ----=∴='∴=-''∴=-Q()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.（1）由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰()()()()0x x x x ϕϕϕϕ''∴=-''∴+=特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(0)1,0()cos sin C x x xϕϕ=∴=∴=+Q(2)由题意得2202022(cos sin )(1sin 2)1(cos 2)22x V x x dx x dx x x ππππππππ=+=+=-=+⎰⎰20.证明（1）()ln(1)(1)ln 1()ln(1)ln 111ln(1)ln ()1f x x x x x x x f x x x x x x x x x=+-++'∴=+-+-+=+--++Q 证明11ln(1)ln ()01x x x x +--+<+即可即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =Q 在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 111101x x x xξξ<<+∴<<<+Q 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立11ln(1)ln ()01x x x x ∴+--+<+()f x ∴在(0,)+∞单调递减（2）设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比较,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x Q 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>广东省2018年普通高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题（本在题共5小题，每小题3分，共15分。

广东专插本18版—高数习题解析

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广东专插本(高等数学)-试卷44

广东专插本（高等数学）-试卷44(总分：44.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知函数f(2χ－1)的定义域为[0，1]，则函数f(χ)的定义域为 ( )（分数：2.00）1]B.[－1，1] √C.[0，1]D.[－1，2]解析：解析：由f(2χ－1)的定义域为[0，1]，可知－1≤2χ－1≤1，所以f(χ)的定义域为[－1，1]，故选B．3.若函数f(χ)χ＝0处连续，则a＝ ( )．（分数：2.00）A.0B.1C.－1√解析：解析：由f(χ)在χ＝0处连续可知f(χ)＝f(0)，于是有a＝f(0)D．4.f(χ)＝(χ－χ0 ).φ(χ)，其中φ(χ)可导，则f′(χ0 )＝ ( )（分数：2.00）A.0B.φ(χ0 ) √C.φ′(χ0 )D.∞解析：解析：f′(χ)＝φ(χ)＋(χ－χ0 )φ′(χ)，则f′(χ0 )＝φ(χ0 )，故选B．5.已知d[e -χ f(χ)]＝e χ dχ，且f(0)＝0，则f(χ)＝ ( )（分数：2.00）A.e 2χ＋e χB.e 2χ－e χ√C.e 2χ＋e －χD.e 2χ－e －χ解析：解析：由d[e －χf(χ)]＝e χdχ可得[e -χf(χ)]′＝e χ，两边同时积分刮∫[e －χf(χ)]′dχ＝∫e χ dχ，即有e -χ f(χ)＝e χ＋C，两边同时乘以e χ，即得f(χ)＝e 2χ＋Ce χ，又f(0)＝1＋C＝0．即得C＝－1．于是f(χ)＝e 2χ－e χ．故诜B．6. ( )（分数：2.00）√解析：解析：根据级数的性质有收敛级数加括号后所成的级数仍收敛，故选D．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.曲线y＝χarctanχ)的水平渐近线是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝－1）解析：解析：又y＝－1．8.设f(χ)在χ＝02，则f′(0)＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4）f′(0)＝4．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）＝3．10.微分方程y〞－4y′－5y＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y＝C 1 e －χ C 2 e 5χ）解析：解析：微分方程的特征方程为λ2－4λ－5＝0，则λ1＝－1，λ2＝5，则微分方程通解为y ＝C 1 e －χ＋C 2 e 5χ (C 1，C 2为任意常数)．11.设函数f(χ)在点χ0处可导，且f′(χ0)≠0， 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）三、解答题(总题数：9，分数：18.00)12.解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2020年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案

广东省2020年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题本试卷共2⻚，20⻚题，满分100分。

考试时间120一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个符合题目要求)1.设lim x→0[cos x −f(x)]=1, 则下列等式正确的是（）A.lim x→0f(x)=1 B.lim x→0f(x)cos x =1C.lim x→0f(x)=−1 D.lim x→0[f(x)+cos x ]=12.函数f(x)=2x 3−3x 2的极小值点为（） A.x =−1 B.x =0 C.x =1 D.x =23.已知3x 是函数f(x)的一个原函数，则f(x)=（） A.3x B.3x ln 3 C.x3xD.3x ln 34.设平⻚区域D ={(x,y )|x 2+y 2≤1，y ≥0},则∬(x 2+y 2)4dσD（） A.π10 B.π9 C.π5 D.2π95.设级数∑a n ∞n=1 满⻚0≤a n ≤15n ，则下列级数发散的是（）A.∑3a n ∞n=1B. ∑a n ∞n=1+3C.∑(a n ∞n=1+√n23) D.∑(a n ∞n=1−√n3) 二、填空题。

6.若函数f(x)={(1+a )x 2， x ≤1a (x −2)3+3, x >1 在x=1处连续，则常数a= . 7.曲线x 22+y 2=3在点（2，−1）处的切线方程为y= . 8.微分方程 y n +3y ’−4y =0的通解为y= .9.设二元函数f (x,y )在点(0,0)的某个邻域内有定义,且当x ≠0时，f(x,0)−f(0,0)x=3x +2，则f ’x (0,0)= 。

10.设函数f(x)在(−∞，+∞)内可导，且满足f(x)=f ‘(x)，f(0)=m ,如果∫f(x)e xdx =81−1,则m=____________。

三、计算题。

11.求极限limx→0∫tarctantdtx0x 312.已知y 是x的函数，且y ′=ln √x +√ln x +2ln 2，求d 2y dx 2|x =e13.求不定积分∫(cos x −x sin x 2)dx14.设函数f(x)={x 31+x 2, x ≤1x, x >1，求定积分∫f(x +2)dx 0−315.求二元函数z =3xy 2+x 2y的全微分dz ，并求ð2zðxðy16.计算∬ydσD ，其中D 是由直线y =x,y =−2与y =0,y =2x 围成的有界闭区域。

2018年成人高考专升本《高等数学(一)》考试及参考答案(共三套)

2018年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）。

答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．（共三套及参考答案）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．0B．1C．2D．不存在2．（）．A．单调增加且为凹B．单调增加且为凸c．单调减少且为凹D．单调减少且为凸3．A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．较低阶的无穷小量4．A．B．0C．D．15．A．3B．5C．1D．A．－sinxB．cos xC．D．A．B．x2C．2xD．28．A．B．C．D．9．设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于（）．A．1B．0C．D．一110．下列命题中正确的有（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题．21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分8分)22．(本题满分8分)设y=x+arctanx，求y'．23．(本题满分8分)24．(本题满分8分)计算25．(本题满分8分)26．(本题满分10分)27．(本题满分10分)28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积．模拟试题参考答案一、选择题1．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．2．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．3．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．4．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．可知应选D．5．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．故应选A．6．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．可知应选C．7．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．可知应选D．8．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.因此选D．9．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．10．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为级数的性质．可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．二、填空题11．【参考答案】e．【解析】本题考查的知识点为极限的运算．12．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为导数的计算．13．【参考答案】x—arctan x+C．【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．14．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为定积分运算．15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．解法1将所给表达式两端关于x求导，可得从而解法2将所给表达式两端微分，16．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．17．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．18．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，三、解答题21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．解法1解法2【解题指导】在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．22.【解析】23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．【解题指导】比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化. 24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】26．【解析】27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．28．【解析】所给曲线围成的图形如图8—1所示．2018年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）。

广东省2010~2020年专插本考试《高等数学》真题及答案

广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。

《高等数学》专插本年历年试卷

X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。

每题只有一个选项符合题目要求〕1．函数22()2x x f x x x -=+-的间断点是A ．2x =- 和0x =B ．2x =- 和1x =C ．1x =- 和2x =D ．0x = 和1x =2．设函数1,0()2,0cos ,0x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则0lim ()x f x → A ．等于1 B ．等于2 C ．等于1 或2 D ．不存在 3. 已知()tan ,()2xf x dx x Cg x dx C =+=+⎰⎰C 为任意常数，则以下等式正确的选项是A ．[()()]2tan x f x g x dx x C +=+⎰B ．()2tan ()x f x dx x C g x -=++⎰C ．[()]tan(2)x f g x dx C =+⎰D ．[()()]tan 2x f x g x dx x C +=++⎰4．以下级数收敛的是A ．11nn e ∞=∑ B ．13()2nn ∞=∑C ．3121()3n n n ∞=-∑ D ．121()3n n n ∞=⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∑．5．已知函数 ()bf x ax x =+在点1x =-处取得极大值，则常数,a b 应满足条件 A ．0,0a b b -=< B ．0,0a b b -=> C ．0,0a b b +=< D ．0,0a b b +=> 二、填空题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕6．曲线33arctan x t ty t ⎧=+⎨=⎩，则0t =的对应点处切线方程为y =7．微分方程0ydx xdy +=满足初始条件的1|2x y ==特解为y =8．假设二元函数(,)z f x y =的全微分sin cos ,x xdz e ydx e ydy =+ ,则 9．设平面地域{(,)|0,01}D x y y x x =≤≤≤≤，则Dxdxdy =⎰⎰10．已知1()sin(1)tf x dx t t tπ=>⎰，则1()f x dx +∞=⎰三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11．求20sin 1lim x x e x x →--12．设(0)21x x y x x =>+，求dydx13．求不定积分221xdx x ++⎰14．计算定积分012-⎰15．设xyzx z e-=，求z x ∂∂和z y∂∂ 16．计算二重积分22ln()Dx y d σ+⎰⎰，其中平面地域22{(,)|14}D x y x y =≤+≤ 17．已知级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑满足0,n n a b ≤≤且414(1),321n n b n b n n ++=+-判定级数1n n a ∞=∑的收敛性18．设函数()f x 满足(),xdf x x de-=求曲线()y f x =的凹凸区间四、综合题〔大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分〕 19．已知函数()x ϕ满足0()1()()xxx x t t dt x t dt ϕϕϕ=+++⎰⎰〔1〕求()x ϕ；〔2〕求由曲线 ()y x ϕ=和0,2x x π==及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转而成的立体的体积20．设函数()ln(1)(1)ln f x x x x x =+-+ 〔1〕证明：()f x 在区间(0,)+∞内单调减少；〔2〕比拟数值20192018与20182019的大小，并说明理由；202X 年X 省一般高校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1.B 2.A 3.D 4.C 5.B二、填空题〔本大题共5小题，每个空3分，共15分〕 6.13x 7.2x 8.cos x e y 9.1310.π 三、计算题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕11.原式00cos sin 1limlim 222x x x x e x e x x →→-+=== 12.解： 13.解：14.,t =则211,22x t dx tdt =-= 15.解：设(,,)xyzf x y z x z e=--16.解：由题意得12,0r θπ≤≤≤≤17.解：由题意得414(1),321n n b n b n n ++=+-由比值判别法可知1nn b∞=∑收敛0,n n a b ≤≤由比拟判别法可知1n n a ∞=∑也收敛18．解()f x ∴的凹区间为(1,)+∞，凸区间为(,1)-∞19.〔1〕由题意得0()1()()()1()xxx x x t dt x x t dt ϕϕϕϕϕ'=++-=+⎰⎰特征方程210r +=，解得r i=±通解为()cos sin x x x Cϕ=++(2)由题意得 20.证明〔1〕证明11ln(1)ln ()01x x x x+--+<+即可即证11ln(1)ln ()1x x x x+-<++令()ln g x x =()ln g x x =在(0,)+∞连续可导，由拉格朗日中值定理得ln(1)ln 1ln(1)ln ()1x x x x g x x x ξ+-'+-===+-且1x x ξ<<+ 11ln(1)ln ()1x x x x ∴+-<++成立()f x ∴在(0,)+∞单调递减〔2〕设2019,2018a b ==则201820192019,2018ba ab ==比拟,a b b a 即可，假设a bb a >即ln ln a b b a >即ln ln b ab a >设ln (),x g x x =则21ln ()xg x x -'=()g x 在(0,)+∞单调递减即()()g b g a ∴>，即a b b a >成立即2019201820182019>X 省202X 年一般高等学校本科插班生招生考试高等数学一、单项选择题〔本在题共5小题，每题3分，共15分。

广东专插本数学真题

广东专插本数学真题一、极坐标下的函数1. 设f(x,y)为极坐标下的函数，其中x=rcosθ，y=rsinθ，请求出f(x,y)的极导数f’(ρ,θ)：解：f’(ρ，θ)=[∂f/∂ρ,∂f/∂θ]T，其中∂f/∂ρ=1/r (∂f/∂xcosθ+∂f/∂y sinθ)，∂f/∂θ=−rsinθ(∂f/∂x)+rcosθ(∂f/∂y)。

2. 设z=f（x，y)的极导数恒为a，则其中的f（x，y）关于(x，y)的极坐标方程为：解：f（ρ,θ）=aρ +f0。

二、一元变量函数1. 求函数f (x) = |x| +x^2 的极值：解：由f'(x)=2x+sign(x)=0, 可得x=0为极值，故极大值为f(0)=0, 极小值为f(0)=0。

2. 求函数f (x)=(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)的极值：解：由f'(x)=4x³-48x²+96x-64=0, 可得x=2,4,6,8为极值，故极大值为f(8)=0, 极小值为f(2)= -1920。

三、二元变量函数1. 求函数 f(x,y)=x^2 -y^2的极值:解：由f(x,y)的偏导数为f x (x,y)=-2y , f y (x,y)=2x，可得x=0,y=0为极值，故极大值为f(0,0)=0,极小值为f(0,0)= 0。

2. 求函数 f(x,y)=x+y+2xy 的极值：解：由f x (x,y)=1+2y ，f y (x,y)=1+2x，可得x=0,y=0为极值，故极大值为f(0,0)= 0, 极小值为f(0, 0)= 0。

四、三角函数的运用1. 已知cosθ=-1/3,求sin 2θ的值：解：由余弦定理有cos2θ=2cos²θ-1，故有cos2θ=-1/3, 由之可知，sin2θ=√2/3。

2. 求tan 3θ的值：解：由tan 3θ=tan(3θ)=3tanθ-4tan³θ，可得tan 3θ=3tanθ-4(-1/3)=-7/3。

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2018年广东省普通高校本科插班生招生考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一项符合题目要求)
1．=+→∆)sin 1sin 3(lim 0x
x x x x A ．0 B ．1 C ．3 D ．4
2．设函数)(x f 具有二阶导数，且1)0(-='f ，0)1(='f ，1)0(-=''f ，3)1(-=''f ，则下列说法正确的是
A ．点0=x 是函数)(x f 的极小值点
B ．点0=x 是函数)(x f 的极大值点
C ．点1=x 是函数)(x f 的极小值点
D ．点1=x 是函数)(x f 的极大值点
3．已知C x dx x f +=⎰2)(，其中C 为任意常数,则⎰=dx x f )(2
A ．C x +5
B ．
C x +4
C ．C x +421
D ．C x +332 4．级数∑∞
==-+13)1(2n n n
A ．2
B ．1
C ．
43 D ．21 5．已知{}94) , (22≤+≤=y x y x D ，则=+⎰⎰D d y x σ221
A ．π2
B ．π10
C ．23ln 2π
D ．2
3ln 4π 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6．已知⎩⎨⎧==
3log t 2y t x ，则==1t dx dy 。

7．=+⎰-dx x x )sin (2
2 。

8．=⎰+∞
-dx e x 021 。

9．二元函数1+=y x z ,当e x =，0=y 时的全微分===e
x y dz 0 .
10．微分方程ydx dy x =2满足初始条件1=x y 的特解为=y 。

三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11．确定常数a ，b 的值，使函数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=<++= 0 )21(00 1)(2x x x b x x a x x f x ，，，
在0=x 处连续。

12．求极限))1ln(1(lim 20x
x x x +-→． 13．求由方程x
xe y y =+arctan )1(2所确定的隐函数的导数dx dy ． 14．已知)1ln(2x +是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f )(．
15．求曲线x
x y ++=11和直线0=y ,0=x 及1=x 围成的平面图形的面积A ． 16．已知二元函数21y
xy z +=，求y z ∂∂和x y z ∂∂∂2． 17．计算二重积分⎰⎰-D
d y x σ1，其中D 是由直线x y =和1=y ，2=y 及0=x 围成的闭区域．
18．判定级数∑∞
=+1
2sin n n x n 的收敛性．四、综合题（本大题共2小题,第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19．已知函数0)(4)(=-''x f x f ,0=+'+''y y y 且曲线)(x f y =在点)0 0(，处的切线与直线12+=x y 平行
(1）求)(x f ；
（2）求曲线)(x f y =的凹凸区间及拐点．
20．已知dt t x f x
⎰=02cos )(
（1）求)0(f '
（2）判断函数)(x f 的奇偶性,并说明理由；
（3）0>x ,证明)0(31)(3>+->λλ
λx x x f ．。