等差数列的概念与通项公式 人教课标版精品课件
a1= - 2 d=3 ∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3. 小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立 二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做 以下练习。
练习三 • 已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d;
解：依题意得： a1+3d=10
解之得： a1+6d=19 a1= 1 d=3
作业：课本 P.39---1,2,3,4,5,7.
＜＜课课练＞ ＞P.23---P.24.
等差数列的概念 与通项公式2
复习回顾：
等差数列定义：
an an1 d (n 2)
等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
等差数列通项公式的一个变式
an am (n m)d
例（. 1）在数列{an}中，Sn n2 2n 1， 那么该数列是否为等差数列？
（2）设x,a1, a2, y成等差数列，x,b1, b2, b3, y也成等差数列，
则 a2 a1
.
b1 b3
• 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第 几项，如果不是，说明理由。
＋a6 ＋a7=150，求a2＋a8的值
解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项
∴
a9
a3
a15 2
30 2
15
∵7+11=3+15 ∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
（2）∵3+7=4+6=5+5 ∴ a3＋a7 =a4 ＋a6=2 a5 ∴ a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=5 a5=150 即a5=30 故a2＋a8 =2 a5=60
例2 某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组 成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为 15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径。
例与3 公在差等d差.数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1
解：由题意得：
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方 程组，解之得：
例1：
梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm，中 间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中 间各级的宽度。
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度成的等
差数列，由已知条件有
a1=33，a12=110，n=12. 由通项公式，得a12=a1+(12-1)d
即110=33+11d,解得d=7.
如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的 等差中项.
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末 项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.
如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
3 15 5 37 7 59
2
2
2
5 3 7 1 9 7 5 9 3 11 1 13
m, n, p, q N 且 m n p q
求证： am an a p aq
证明： 设首项为 a1 ，则
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d
2a1 (m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
2a1 ( p q 2)d
∵ mn pq
∴ am an ap aq
等差数列性质2：
在等差数列an 中，m, n, p, q N
若 mn pq 则 am an ap aq
例4（：1）已知等差数列{an}中， a3 ＋a15=30,
（求2a）9，已a7知＋等a11差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5
分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写 出通项公式，就可以求出第20项a20.
解：(1)由题意得： a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式， 看是否存在正整数n,使得an=-401。
∴这个数列的首项是1，公差是3。
思考题：已知等差数列{an}中，am,d 是常数， 试求出an的值。
• 分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am,d 看 成是常数.
解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d
①
an=a1+(n-1)d
②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]
因此,a2= 33+7 a3=40+7 a4=54 a5=61 a6=68 a7=75 a8 = 82 a9度从上到下依次是
40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82c
m,89cm,96cm,103cm.
例2：
已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，
由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可
得:A-a=b-A,即 A a b 2
反之,若
A ab 2
则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.
总之: A a b a, A,b 成等差数列.
也就是说:
A
2
a
b是a,A,b成等差数列的充要条件.
2
等差数列的性质1：
所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
问an=? 通过观察：a2, a3, a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特 点？
an=a1+(n－1)d 当n=1时，上式也成立。
所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n－1)d
如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.
（2）由题意得： a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7=7n-5(n≥1)
42，40，38 。
②
从第二项起，后一项与前一项的差是－2.
请同学们思考，这两个数列有何共同特点?
等差数列的定义
• 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减 去它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的公差。公差通常用字母 d 表示.
你能再举出一些等差数列的例子吗？
通 项 公 式 的另一 推 导:
一般地， 设{an}为公差是d的等差数列， 首项是 a1， 则对n N ， 都有an1 an d ,当n 2时, 有
a2 a1 d , a3 a2 d , a4 a3 d , ...... an an1 d.把上面n 1个等式的两边分别相加, 得an a1 (n 1)d , an a1 (n 1)d. 而当n 1时,该等式也成立.对等差数列{an}, 其通项公式就是an a1 (n 1)d.
• 练习一：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些 不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是， 说明理由。
(1). 1, 1, 1, 1, 1. (2).4, 7,10,13,16. (3). 3, 2, 1,1, 2,3. (4). 1, 2,3, 4,5, 6. (5).5,9,13, , 4n 1, .
=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
思考练习：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求 a12,a3n.
解法一: 依题意得：
解之得
a1+2d=9 a1+8d=3 a1 =11
d =-1
∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n 故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
=p 它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公 差是p
在通项公式中令n=1，得a1=p+q,
所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,
例如：
首项是1，公差是2的无穷等 差数列的通项公式为
an ＝2n-1
相应的图象是直线y=2x-1 上均匀排开的无穷多个孤 立的点，如右图
思考：
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b 成等差数列,那么A应满足什么条件?
令100=7n-5,得 n=15 ∴-401是这个数列的第15项。
课本P.35例1：第一届现代奥运会于1896年在 希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会 如因故不能举行，届数照数．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的 通项公式；
（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年 举行奥运会吗？
等差数列的概念 与通项公式(1)
学习目标
目标1：理解等差数列的概念. 目标2：掌握等差数列的通项公式及推导方法. 目标3：掌握等差数列的通项公式的简单应用.
复习回顾
• 一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
练习二：数列{a n }为等差数列，是在括号内 填上适当的数. （1）.（），5，10. （2).1，2，（）. （3).4，（），（），13， .
练习三 • 已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d;
解：依题意得： a1+3d=10
解之得： a1+6d=19 a1= 1 d=3
作业：课本 P.39---1,2,3,4,5,7.
＜＜课课练＞ ＞P.23---P.24.
等差数列的概念 与通项公式2
复习回顾：
等差数列定义：
an an1 d (n 2)
等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
等差数列通项公式的一个变式
an am (n m)d
例（. 1）在数列{an}中，Sn n2 2n 1， 那么该数列是否为等差数列？
（2）设x,a1, a2, y成等差数列，x,b1, b2, b3, y也成等差数列，
则 a2 a1
.
b1 b3
• 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第 几项，如果不是，说明理由。
＋a6 ＋a7=150，求a2＋a8的值
解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项
∴
a9
a3
a15 2
30 2
15
∵7+11=3+15 ∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
（2）∵3+7=4+6=5+5 ∴ a3＋a7 =a4 ＋a6=2 a5 ∴ a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=5 a5=150 即a5=30 故a2＋a8 =2 a5=60
例2 某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组 成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为 15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径。
例与3 公在差等d差.数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1
解：由题意得：
a1+ 4d = 10 a1+11d=31 这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方 程组，解之得：
例1：
梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm，中 间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中 间各级的宽度。
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度成的等
差数列，由已知条件有
a1=33，a12=110，n=12. 由通项公式，得a12=a1+(12-1)d
即110=33+11d,解得d=7.
如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的 等差中项.
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末 项除外)都是它前一项与后一项的等差中项.
如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
3 15 5 37 7 59
2
2
2
5 3 7 1 9 7 5 9 3 11 1 13
m, n, p, q N 且 m n p q
求证： am an a p aq
证明： 设首项为 a1 ，则
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d
2a1 (m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
2a1 ( p q 2)d
∵ mn pq
∴ am an ap aq
等差数列性质2：
在等差数列an 中，m, n, p, q N
若 mn pq 则 am an ap aq
例4（：1）已知等差数列{an}中， a3 ＋a15=30,
（求2a）9，已a7知＋等a11差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5
分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写 出通项公式，就可以求出第20项a20.
解：(1)由题意得： a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式， 看是否存在正整数n,使得an=-401。
∴这个数列的首项是1，公差是3。
思考题：已知等差数列{an}中，am,d 是常数， 试求出an的值。
• 分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am,d 看 成是常数.
解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d
①
an=a1+(n-1)d
②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]
因此,a2= 33+7 a3=40+7 a4=54 a5=61 a6=68 a7=75 a8 = 82 a9度从上到下依次是
40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82c
m,89cm,96cm,103cm.
例2：
已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，
由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可
得:A-a=b-A,即 A a b 2
反之,若
A ab 2
则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.
总之: A a b a, A,b 成等差数列.
也就是说:
A
2
a
b是a,A,b成等差数列的充要条件.
2
等差数列的性质1：
所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
问an=? 通过观察：a2, a3, a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特 点？
an=a1+(n－1)d 当n=1时，上式也成立。
所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n－1)d
如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： a1=3,d=7-3=11-7=4,
∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.
（2）由题意得： a1=2,d=9-2=16-9=7
∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7=7n-5(n≥1)
42，40，38 。
②
从第二项起，后一项与前一项的差是－2.
请同学们思考，这两个数列有何共同特点?
等差数列的定义
• 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减 去它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 的公差。公差通常用字母 d 表示.
你能再举出一些等差数列的例子吗？
通 项 公 式 的另一 推 导:
一般地， 设{an}为公差是d的等差数列， 首项是 a1， 则对n N ， 都有an1 an d ,当n 2时, 有
a2 a1 d , a3 a2 d , a4 a3 d , ...... an an1 d.把上面n 1个等式的两边分别相加, 得an a1 (n 1)d , an a1 (n 1)d. 而当n 1时,该等式也成立.对等差数列{an}, 其通项公式就是an a1 (n 1)d.
• 练习一：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些 不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是， 说明理由。
(1). 1, 1, 1, 1, 1. (2).4, 7,10,13,16. (3). 3, 2, 1,1, 2,3. (4). 1, 2,3, 4,5, 6. (5).5,9,13, , 4n 1, .
=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
思考练习：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求 a12,a3n.
解法一: 依题意得：
解之得
a1+2d=9 a1+8d=3 a1 =11
d =-1
∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n 故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
=p 它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公 差是p
在通项公式中令n=1，得a1=p+q,
所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,
例如：
首项是1，公差是2的无穷等 差数列的通项公式为
an ＝2n-1
相应的图象是直线y=2x-1 上均匀排开的无穷多个孤 立的点，如右图
思考：
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b 成等差数列,那么A应满足什么条件?
令100=7n-5,得 n=15 ∴-401是这个数列的第15项。
课本P.35例1：第一届现代奥运会于1896年在 希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会 如因故不能举行，届数照数．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的 通项公式；
（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年 举行奥运会吗？
等差数列的概念 与通项公式(1)
学习目标
目标1：理解等差数列的概念. 目标2：掌握等差数列的通项公式及推导方法. 目标3：掌握等差数列的通项公式的简单应用.
复习回顾
• 一、数列的定义，通项公式: 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成 a1,a2，a3 ,… an,… 如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。
练习二：数列{a n }为等差数列，是在括号内 填上适当的数. （1）.（），5，10. （2).1，2，（）. （3).4，（），（），13， .
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新教材人教a版选择性必修第二册421第一课时等差数列的概念与通项公式课件3
所以 = + ,即 2ac=b(a+c).
+ + (+)+(+) + +(+) + + + + (+)
而
所以
+
=
+ + +
,
,
=
也成等差数列.
=
=
(+)
=
,
[例2] 已知三个数成等差数列,且是递增数列,它们的和为18,平方和为
差 d 等于(
(A)
C
(B)1
)
(C)
(D)
解析:因为在等差数列{an}中,a3=2,a6=4,
- -
所以等差数列{an}的公差 d=
-
=
= .
-
2.已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为
.
解析:因为 8,a,2,b,c 是等差数列,
116,求这三个数.
解:法一
设这三个数分别为 a,b,c,且 a<b<c,
= + ,
则由题意,得 + + = , 解得 a=4,b=6,c=8.故这三个数是 4,6,8.
+ + = ,
法二 设这三个数分别为 a-d,a,a+d,
由已知,得
(-) + + ( + ) = ,①
.
+ (-) = -,
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
高中数学人教A版必修5：2.2.1等差数列的概念通项公式 课件(共15张PPT)
复习回顾
等差数列三大基本题型：
1、知三求一（ a1, d, n, an ）
2、等差数列性质的应用 3、等差数列的证明
题型三：等差数列的证明
题型三：等差数列的证明
题型三：等差数列的证明
已知数列an 满足 a1
4, an
4
4 an1
(n
1), 记 bn
1 an
2
（1）求证：数列bn 是等差数列
则a
，b
，c
知识点二：等差数列的性质及其应用
练习 3：已知 a 1, 17 a,3 这 3 个数构成一个等差数列， 2
则a
知识点二：等差数列的性质及其应用
练习 4：已知是等差数列， a3 a5 18, a4 a8 24 则d
复习回顾
1、等差数列的定义：an1 an d n N
知识点一：等差数列的通项公式及其应用
例 1：已知等差数列an 中， a1 2, d 3 ，求数列an 的通项公式
知识点一：等差数列的通项公式及其应用
练习 1：已知数列 an 满足， a1 4, an1 an 2 ， 求数列an 的通项公式
知识点一：等差数列的通项公式及其应用
练习 2：在等差数列an 中
2、等差数列的通项公式：an ,b 三个数成等差数列 A 是 a, b 的等差中项
4、等差数列的性质:（1） d an am 2A a b
nm （2） 2an anr anr
（3） m n p q am an ap aq
（1）
求证：数列
1 an
1
是等差数列
（2） 求 an
（1）已知 a1 8, a9 2 ，求 d 和 a14 （2）已知 a3 a5 18, a4 a8 24 ，求 d
4.2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式(课件(人教版))
4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，
【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册
a
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
2018_2019版高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念及通项公式课件新人教A版必修
解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.
反思感悟定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其 步骤为: (1)作差 an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当 an+1-an 是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 an+1-an 不是常数,而是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
【问题思考】 1.观察下列三个数列:①100,150,200,250,300,…;②0,-4,-8,-12,-16,…;
1 1 1 1 1 ③3 , 3 , 3 , 3 , 3,….
思考:(1)你能否写出每个数列后面的各项?依据是什么?(2)这几个数 列的共同特征是什么?
提示 (1)可以写出每个数列后面的各项,例如:①350,400,…;② -20,-24,…;③ , ,…等,依据是这些数列前几项所呈现出的规律;(2) 在这些数列中,从第 2 项起,每一项与其前一项的差都是同一个常数.
1
2
3
变式训练 1 在等差数列{an}中,求解下列各题: (1)已知公差 d=- ,a7=8,则 a1= (2)已知 a3=0,a7-2a4=-1,则公差 d=
1 25 1 3
. ;
(3)a1= ,公差 d>0,且从第 10 项开始每项都大于 1,则此等差数列公 差 d 的取值范围是 .
解析 (1)由题意,得 a1+6× -
1 3
=8,解得 a1=10;
反思感悟定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其 步骤为: (1)作差 an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当 an+1-an 是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 an+1-an 不是常数,而是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
【问题思考】 1.观察下列三个数列:①100,150,200,250,300,…;②0,-4,-8,-12,-16,…;
1 1 1 1 1 ③3 , 3 , 3 , 3 , 3,….
思考:(1)你能否写出每个数列后面的各项?依据是什么?(2)这几个数 列的共同特征是什么?
提示 (1)可以写出每个数列后面的各项,例如:①350,400,…;② -20,-24,…;③ , ,…等,依据是这些数列前几项所呈现出的规律;(2) 在这些数列中,从第 2 项起,每一项与其前一项的差都是同一个常数.
1
2
3
变式训练 1 在等差数列{an}中,求解下列各题: (1)已知公差 d=- ,a7=8,则 a1= (2)已知 a3=0,a7-2a4=-1,则公差 d=
1 25 1 3
. ;
(3)a1= ,公差 d>0,且从第 10 项开始每项都大于 1,则此等差数列公 差 d 的取值范围是 .
解析 (1)由题意,得 a1+6× -
1 3
=8,解得 a1=10;
等差数列的概念与通项公式ppt 人教课标版
答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是
40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82c
m,89cm,96cm,103cm.
例2：
已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数如 果是，其首项与公差是什么？
解 a分列常n－：析，数an取： 只 就-1==数由 要 行(pp列等 看 了nn+中+差anqq的－数-)a(任-n列p-[1np意(的-n(p相n≥定+-2邻1义q))两)是，+项q不要]a是判n-1一定与个是an与不(nn是≥无2等关)差的数
练习：
（1）在等差数列{an}中， a3 ＋a9＋a15＋ a21=8，求a12 = 2
（2）已知等差数列{an}中， a3 和a15是
方程x2－6x－1=0的两个根，则a7 ＋a8 ＋
a9＋a10＋a11=
15 2
例5：
已知等差数列{an}中， a3 ＋a5= －14, 2a2 ＋a6 = －15，求a8
所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
问an=? 通过观察：a2, a3, a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特 点？
an=a1+(n－1)d 当n=1时，上式也成立。
所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n－1)d
作业：课本 P.39---1,2,3,4,5,7.
＜＜课课练＞ ＞P.23---P.24.
等差数列的概念 与通项公式2
复习回顾：
等差数列定义：
40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82c
m,89cm,96cm,103cm.
例2：
已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数如 果是，其首项与公差是什么？
解 a分列常n－：析，数an取： 只 就-1==数由 要 行(pp列等 看 了nn+中+差anqq的－数-)a(任-n列p-[1np意(的-n(p相n≥定+-2邻1义q))两)是，+项q不要]a是判n-1一定与个是an与不(nn是≥无2等关)差的数
练习：
（1）在等差数列{an}中， a3 ＋a9＋a15＋ a21=8，求a12 = 2
（2）已知等差数列{an}中， a3 和a15是
方程x2－6x－1=0的两个根，则a7 ＋a8 ＋
a9＋a10＋a11=
15 2
例5：
已知等差数列{an}中， a3 ＋a5= －14, 2a2 ＋a6 = －15，求a8
所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
问an=? 通过观察：a2, a3, a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特 点？
an=a1+(n－1)d 当n=1时，上式也成立。
所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n－1)d
作业：课本 P.39---1,2,3,4,5,7.
＜＜课课练＞ ＞P.23---P.24.
等差数列的概念 与通项公式2
复习回顾：
等差数列定义：
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
等差数列的概念与通项公式 课件
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
【例题解析】 例 1 已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出
它的通项公式． (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为：a,2a－1,3－a.
解 (1)设首项为 a1，公差为 d，则
a3＝a1＋2d＝5， a7＝a1＋6d＝13，
探究点一 等差数列的概念 问题 1 我们先看下面几组数列：
(1)3,4,5,6,7，…； (2)6,3,0，－3，－6，…； (3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，…. 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 __从__第__2_项__起__，__每___一__项__与__前__一__项__的__差__都__等___于__同__一__常__数__．
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， …
由此得出：an＝a1＋(n－1)d.
探究 2 由等差数列的定义知：an－an－1＝d(n≥2)，可以采用 叠加法得到通项公式 an.
a2－a1＝d
答
a3－a2＝d a4－a3＝d
(n－1)个
⋮
解 (1)是等差数列，a1＝4，d＝3； (2)是等差数列，a1＝31，d＝－6； (3)是等差数列，a1＝0，d＝0；
(4)是等差数列，a1＝a，d＝－b； (5)不是等差数列，a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴a2－a1≠a3－a2.
探究 如何准确把握等差数列的概念？谈谈你的理解．
答 (1)等差数列{an}从第 2 项起，每一项与它的前一项的差 都是同一个常数，这一点说明一个等差数列至少有 3 项． (2)如果一个数列，不从第 2 项起，而是从第 3 项起或第 4 项 起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是 等差数列，但可以说从第 2 项或第 3 项起是一个等差数列． (3)一个数列，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差，尽管 等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数可 以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同 一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．
4.2.1等差数列的概念PPT课件(人教版)
an a1 (n 1)d
结论：等差数列的通项公式的一般情势：an＝am＋(n－m)d
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
(1)an=9+(n－1)×9=9n
（2）38,40,42,44,46,48...
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
ab
叫做a与b的等差中项。即 A
2
这个式子叫做这个数列的递推公式.
引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，
环绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依
次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,L型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
求an 的公差和首项；(2)求等差数列 8,5, 2, 的第20项.
解: (1)当n 2时,由an 5 2n, 得
an1 5 2(n 1) 7 2n.
于是, d an an1 (5 2n) (7 2n) 2.
当n 1时, a1 5 2 3.
练习
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(2) 3，3，3，3，3，3
a1=3,公差 d=0 常数列
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
(4)95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－3